第1章 1.6.2 第2课时 正弦定理、余弦定理的综合应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2课时　正弦定理、余弦定理的综合应用 [学习目标]　通过余弦定理、正弦定理进一步探索三角形中边与角的关系，掌握三角形的面积公式，灵活运用定理解三角形. 导语 上一节课我们学习了正弦定理，知道了应用正弦定理可以解决的两类解三角形问题，并对已知两边及其中一边的对角解三角形时解的个数作了讨论.这节课我们将进一步学习正弦定理，明确其比值的几何意义，实现边角互化的灵活性. 一、扩充的正弦定理 问题1　在△ABC中，==，那么这个比值与三角形的外接圆有什么关系？ 提示　如图，无论怎么移动B'，都会有∠B'=∠B， 所以在△AB'C中，==c， c是Rt△ABC，△AB'C外接圆的直径， 所以对任意△ABC，均有===2R(R为△ABC外接圆的半径). 知识梳理 1.扩充的正弦定理：设△ABC的边长分别为a，b，c，外接圆的半径为R，则===2R，这个结果称为扩充的正弦定理. 该式表明三角形各边与它所对角的正弦的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的直径. 2.正弦定理的变形形式 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=，sin B=，sin C=. (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (4)===. 注意点： 边角互化时，边与对角的正弦值不能直接互换，而应考虑式子中的“2R”能否约去. 例1　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A=acos B. (1)求∠B的大小； (2)若b=3，sin C=2sin A，求a，c的值. 解　(1)∵bsin A=acos B， ∴由扩充的正弦定理，得sin Bsin A=sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0，即得tan B=， 又∠B∈(0，π)，∴∠B=. (2)∵sin C=2sin A，∴由正弦定理，得c=2a， 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得9=a2+4a2-2a·2acos ， 解得a=，∴c=2a=2. 反思感悟　利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化. (1)当出现边角混合时，常使用正弦定理； (2)当出现三边的平方时，常用余弦定理. 跟踪训练1　如图，已知☉O的半径为R，△ABC为其内接等边三角形，求△ABC的边长及△OBC的外接圆半径. 解　设△OBC的外接圆半径为r，则在△ABC中，由正弦定理得=2R， ∴BC=2Rsin∠BAC=2R·=R. 在☉O中，由圆的性质可知∠BOC=2∠BAC=， 故在△BOC中，由正弦定理得， =2r，即2r=，即r=R. 所以△ABC的边长为R，△OBC的外接圆半径为R. 二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 例2　在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且sin A=2sin Bcos C，则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 答案　C 解析　在△ABC中，由扩充的正弦定理得 ===2R(R为△ABC外接圆的半径). ∵sin2A=sin2B+sin2C， ∴=+， 即a2=b2+c2，∴∠A=90°， ∴∠B+∠C=180°-∠A=90°. 又sin A=2sin Bcos C， ∴sin 90°=2sin Bcos(90°-B)， ∴sin2B=. ∵∠B是锐角，∴sin B=， ∴∠B=45°，∠C=45°. ∴△ABC是等腰直角三角形. 反思感悟　判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. 跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状是(　　) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　A 解析　在△ABC中，cos A=cos C， ∠A，∠C∈(0，π)， 由函数y=cos x在(0，π)上单调递减， 可得∠A=∠C. 由扩充的正弦定理及3b=2asin B， 得3sin B=2sin Asin B， 而0<∠B<π，即sin B>0，解得sin A=， 显然∠A为锐角，从而有∠A=60°，则∠C=60°，进而得∠B=60°， 所以△ABC的形状是等边三角形. 三、三角形的面积公式 问题2　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 提示　边b上的高h为asin C，故面积为S=bh=absin C. 知识梳理 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S= absin C=bcsin A=acsin B.即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.  例3　(1)在△ABC中，A=30°，C=45°，a=2，求S△ABC； (2)若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，求边AB的长度. 解　(1)方法一　因为A=30°，C=45°， 所以B=105°， 由正弦定理=， 得b===+， S△ABC=absin C=×2×(+)×=+1. 方法二　设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得==4=2R，所以R=2. 又A=30°，C=45°，所以B=105°， 所以S△ABC=2R2sin Asin Bsin C=8×××=+1. (2)方法一　由S△ABC=AC·BC·sin C=， 得AC=2， 由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=22+22-2×2×2×=4， 所以AB=2，即边AB的长度为2. 方法二　由S△ABC=AC·BC·sin C=， 得AC=2，所以AC=BC=2，又C=60°， 所以△ABC为等边三角形，所以AB=2， 即边AB的长度为2. 反思感悟　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用. 跟踪训练3　如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=120°，AB=4，BC=CD=2，求该四边形ABCD的面积. 解　连接BD(图略)，在△BCD中，BC=CD=2，∠C=120°， 则∠DBC=30°，所以BD=2，∠ABD=90°，所以S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD =×2×2×+×4×2=5. 1.知识清单： (1)扩充的正弦定理. (2)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. (3)三角形的面积公式. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形. 1.在△ABC中，已知∠A=60°，BC=4，则△ABC外接圆的直径为(　　) A.8　B.　C.4　D. 答案　B 解析　由正弦定理得2R====. 2.已知在△ABC中，AB=4，AC=3，cos A=，则△ABC的面积为(　　) A.3　B.3　C.6　D.6 答案　B 解析　因为cos A=，A为三角形内角， 所以sin A==， 所以S△ABC=bcsin A=×3×4×=3. 3.在△ABC中，若a=2bsin A，则∠B等于(　　) A.60° B.120° C.60°或120° D.30°或150° 答案　C 解析　由扩充的正弦定理得sin A=2sin B·sin A， 因为sin A≠0，所以sin B=. 又0°<∠B<180°， 所以∠B=60°或120°. 4.在△ABC中，若lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A)，则此三角形是　　　　三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).  答案　直角 解析　∵lg(sin A+sin C)=lg， ∴sin2C-sin2A=sin2B，结合正弦定理得c2=a2+b2， ∴△ABC为直角三角形. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共24分 1.在△ABC中，a=5，b=3，则的值是(　　) A.　B.　C.　D. 答案　A 解析　根据正弦定理，得==. 2.(多选)已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则∠A等于(　　) A.30°　B.60°　C.150°　D.120° 答案　BD 解析　因为S=bcsin A=， 所以×2×sin A=， 所以sin A=，因为0°<∠A<180°， 所以∠A=60°或120°. 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=，∠A=75°，∠B=45°，则△ABC的外接圆的面积为(　　) A.　B.π　C.2π　D.4π 答案　B 解析　在△ABC中，∠A=75°，∠B=45°，所以∠C=180°-∠A-∠B=60°. 设△ABC的外接圆的半径为R， 则由扩充的正弦定理，可得2R===2， 解得R=1，故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π. 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A+bsin B<csin C，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案　C 解析　由扩充的正弦定理及已知，得a2+b2<c2， 所以a2+b2-c2<0， 由余弦定理，得cos C=<0， 所以角C为钝角，即△ABC为钝角三角形. 5.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3，则cos C的值为(　　) A.　B.-　C.　D.- 答案　A 解析　∵在△ABC中， sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3， ∴a∶b∶c=3∶2∶3， 设a=3k，b=2k，c=3k(k>0)， 则cos C===. 6.(多选)在△ABC中，∠B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积是(　　) A.2　B.　C.3　D.4 答案　AB 解析　在△ABC中，因为∠B=30°，AB=2，AC=2， 所以由=，得sin C==， 又因为AB·sin 30°<AC<AB， 所以∠C有两解， 所以∠C=60°或∠C=120°. 由三角形内角和定理得∠A=90°或∠A=30°. 由面积公式S△ABC=AB·AC·sin A， 所以S△ABC=2或S△ABC=. 7.(5分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则∠A=　　　　.  答案　 解析　因为=，所以由正弦定理得=，即b2+c2-a2=bc， 由余弦定理得cos A===， 又∠A∈(0，π)，所以∠A=. 8.(5分)在△ABC中，sin B=2sin A，a+c=3，且cos C=，则a=　　　　.  答案　1 解析　∵sin B=2sin A，∴b=2a， 又a+c=3，∴c=3-a， ∴cos C===， 整理，得a2+2a-3=0，解得a=1(a=-3舍去). 9.(10分)在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sin Bsin C，试判断△ABC的形状. 解　由sin2A=sin Bsin C和正弦定理，得a2=bc. 因为2a=b+c，则a=， 所以=bc，整理得(b-c)2=0， 所以b=c，所以从而a==b=c，故△ABC是等边三角形. 10.(10分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sin B=. (1)求角C的值；(5分) (2)若b=2，△ABC的面积为，求c的值.(5分) 解　(1)由sin B=得2csin B=b， 由扩充的正弦定理得2sin Csin B=sin B， 所以sin B(2sin C-1)=0， 因为sin B≠0，所以sin C=， 因为∠C是钝角，所以∠C=. (2)由S=absin C=a=，得a=2， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C =12+4-2×2×2×=28， 即c的值为2. 11.(多选)下列说法正确的是(　　) A.在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则∠A=∠B C.在△ABC中，若sin A>sin B，则∠A>∠B；若∠A>∠B，则sin A>sin B D.在△ABC中，= 答案　ACD 解析　对于A，由正弦定理===2R，可得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C，故A正确； 对于B，由sin 2A=sin 2B，可得2A=2B，或2A+2B=π，即∠A=∠B或∠A+∠B=，故B错误； 对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B⇔a>b⇔∠A>∠B，因此∠A>∠B是sin A>sin B的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理===2R， 可得右边===2R=左边，故D正确. 12.(多选)在锐角△ABC中，三个内角分别是∠A，∠B，∠C，且∠A>∠B，则下列说法正确的是(　　) A.sin A>sin B B.cos A<cos B C.sin A>cos B D.sin B<cos A 答案　ABC 解析　∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B，故A成立. 函数y=cos x在区间[0，π]上单调递减， ∵∠A>∠B，∴cos A<cos B，故B成立. 在锐角三角形中，∵∠A+∠B>， ∴∠A>-∠B， 函数y=sin x在区间上单调递增， 且∠A，-∠B∈， 则有sin A>sin，即sin A>cos B， 故C成立， 同理sin B>cos A，故D不成立. 13.(5分)已知△ABC的面积S=，∠A=，则·=　　　　.   答案　2 解析　S=||||sin A， 即||||sin =， 故||||=4， 所以·=||||cos A=4cos =2. 14.(5分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C=sin2C，则=　　　，角C的最大值为　　　　.  答案　2　 解析　∵2sin Asin Bcos C=sin2C， ∴2abcos C=c2⇒a2+b2-c2=c2⇒=2， ∴cos C==≥， ∵0<∠C<π， ∴0<∠C≤，当且仅当a=b时取等号. 即角C的最大值为. 15.(5分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，∠B=，若a2+c2=4ac，则=　　　.  答案　 解析　由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=5ac， 由正弦定理，得sin2B=5sin Asin C=， 所以sin Asin C=， 所以==. 16.(11分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b=4，∠B=. (1)求△ABC周长的取值范围；(6分) (2)求△ABC面积的最大值.(5分) 解　(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B， 即b2=a2+c2+ac. 又b=4， 所以16=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-，当且仅当a=c时，等号成立， 所以(a+c)2≤16，所以(a+c)2≤. 即4<a+c≤. 所以8<a+b+c≤4+，当且仅当a=c时，等号成立. 即△ABC周长的取值范围为. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得b2=a2+c2+ac，又b=4， 所以16=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac，即ac≤，当且仅当a=c时，等号成立， 所以S△ABC=acsin B≤××=， 即△ABC面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第1章 <<< 正弦定理、余弦定理的综合应用 通过余弦定理、正弦定理进一步探索三角形中边与角的关系，掌握三角形的面积公式，灵活运用定理解三角形. 学习目标 上一节课我们学习了正弦定理，知道了应用正弦定理可以解决的两类解三角形问题，并对已知两边及其中一边的对角解三角形时解的个数作了讨论.这节课我们将进一步学习正弦定理，明确其比值的几何意义，实现边角互化的灵活性. 导 语 一、扩充的正弦定理 二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 课时对点练 三、三角形的面积公式 随堂演练 内容索引 扩充的正弦定理 一 提示　如图，无论怎么移动B'，都会有∠B'=∠B， 所以在△AB'C中，==c， c是Rt△ABC，△AB'C外接圆的直径， 所以对任意△ABC，均有===2R(R为△ABC外接圆的半径). 在△ABC中，==，那么这个比值与三角形的外接圆有什么关系？ 问题1 1.扩充的正弦定理：设△ABC的边长分别为a，b，c，外接圆的半径为R，则=== ，这个结果称为扩充的正弦定理. 该式表明三角形各边与它所对角的 的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的 . 2R 正弦 直径 知识梳理 2.正弦定理的变形形式 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=，sin B=，sin C=. (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (4)===. 知识梳理 边角互化时，边与对角的正弦值不能直接互换，而应考虑式子中的“2R”能否约去. 注 意 点 <<< 9 　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A=acos B. (1)求∠B的大小； 例 1 ∵bsin A=acos B， ∴由扩充的正弦定理，得sin Bsin A=sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0，即得tan B=， 又∠B∈(0，π)，∴∠B=. 10 (2)若b=3，sin C=2sin A，求a，c的值. ∵sin C=2sin A，∴由正弦定理，得c=2a， 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得9=a2+4a2-2a·2acos ， 解得a=，∴c=2a=2. 11 利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化. (1)当出现边角混合时，常使用正弦定理； (2)当出现三边的平方时，常用余弦定理. 反 思 感 悟 12 　如图，已知☉O的半径为R，△ABC为其内接等边三角形，求△ABC的边长及△OBC的外接圆半径. 跟踪训练 1 13 设△OBC的外接圆半径为r，则在△ABC中，由正弦定理得=2R， ∴BC=2Rsin∠BAC=2R·=R. 在☉O中，由圆的性质可知∠BOC=2∠BAC=， 故在△BOC中，由正弦定理得， =2r，即2r=，即r=R. 所以△ABC的边长为R，△OBC的外接圆半径为R. 14 二 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 　在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且sin A=2sin Bcos C，则△ABC的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 例 2 √ 16 在△ABC中，由扩充的正弦定理得 ===2R(R为△ABC外接圆的半径). ∵sin2A=sin2B+sin2C， ∴=+， 即a2=b2+c2，∴∠A=90°， ∴∠B+∠C=180°-∠A=90°. 17 又sin A=2sin Bcos C， ∴sin 90°=2sin Bcos(90°-B)， ∴sin2B=. ∵∠B是锐角，∴sin B=， ∴∠B=45°，∠C=45°. ∴△ABC是等腰直角三角形. 18 反 思 感 悟 (1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. 判断三角形形状的方法及注意事项 　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状是 A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 跟踪训练 2 √ 20 在△ABC中，cos A=cos C， ∠A，∠C∈(0，π)， 由函数y=cos x在(0，π)上单调递减， 可得∠A=∠C. 由扩充的正弦定理及3b=2asin B， 得3sin B=2sin Asin B， 而0<∠B<π，即sin B>0，解得sin A=， 显然∠A为锐角，从而有∠A=60°，则∠C=60°，进而得∠B=60°， 所以△ABC的形状是等边三角形. 21 三角形的面积公式 三 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 提示　边b上的高h为asin C，故面积为S=bh=absin C. 问题2 23 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公 式为S=__________=__________=__________.即任意三角形的面积等于任 意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.  absin C bcsin A acsin B 知识梳理 24 　(1)在△ABC中，A=30°，C=45°，a=2，求S△ABC； 例 3 25 方法一　因为A=30°，C=45°， 所以B=105°， 由正弦定理=， 得b===+， S△ABC=absin C=×2×(+)×=+1. 26 方法二　设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得==4=2R，所以R=2. 又A=30°，C=45°，所以B=105°， 所以S△ABC=2R2sin Asin Bsin C=8×××=+1. 27 (2)若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，求边AB的长度. 28 方法一　由S△ABC=AC·BC·sin C=， 得AC=2， 由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=22+22-2×2×2×=4， 所以AB=2，即边AB的长度为2. 方法二　由S△ABC=AC·BC·sin C=， 得AC=2，所以AC=BC=2，又C=60°， 所以△ABC为等边三角形，所以AB=2， 即边AB的长度为2. 29 反 思 感 悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用. 　如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C =120°，AB=4，BC=CD=2，求该四边形ABCD的面积. 跟踪训练 3 连接BD(图略)，在△BCD中，BC=CD=2，∠C=120°， 则∠DBC=30°，所以BD=2，∠ABD=90°，所以S四边形ABCD =S△BCD+S△ABD =×2×2×+×4×2=5. 31 1.知识清单： (1)扩充的正弦定理. (2)利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. (3)三角形的面积公式. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形. 课堂小结 随堂演练 四 1.在△ABC中，已知∠A=60°，BC=4，则△ABC外接圆的直径为 A.8　 B.　 C.4　 D. 由正弦定理得2R====. √ 1 2 3 4 2.已知在△ABC中，AB=4，AC=3，cos A=，则△ABC的面积为 A.3　 B.3　 C.6　 D.6 因为cos A=，A为三角形内角， 所以sin A==， 所以S△ABC=bcsin A=×3×4×=3. √ 1 2 3 4 3.在△ABC中，若a=2bsin A，则∠B等于 A.60° B.120° C.60°或120° D.30°或150° 由扩充的正弦定理得sin A=2sin B·sin A， 因为sin A≠0，所以sin B=. 又0°<∠B<180°， 所以∠B=60°或120°. √ 1 2 3 4 4.在△ABC中，若lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A)，则此三角形是 　　　三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).  ∵lg(sin A+sin C)=lg， ∴sin2C-sin2A=sin2B，结合正弦定理得c2=a2+b2， ∴△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 直角 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A BD B C A AB 　 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 1 ACD ABC 2 2　 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 由sin2A=sin Bsin C和正弦定理，得a2=bc. 因为2a=b+c，则a=， 所以=bc， 整理得(b-c)2=0， 所以b=c，所以从而a==b=c，故△ABC是等边三角形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)由sin B=得2csin B=b， 由扩充的正弦定理得 2sin Csin B=sin B， 所以sin B(2sin C-1)=0， 因为sin B≠0，所以sin C=， 因为∠C是钝角，所以∠C=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)由S=absin C=a=， 得a=2， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C =12+4-2×2×2×=28， 即c的值为2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B， 即b2=a2+c2+ac. 又b=4，所以16=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-，当且仅当a=c时，等号成立， 所以(a+c)2≤16，所以(a+c)2≤. 即4<a+c≤. 所以8<a+b+c≤4+，当且仅当a=c时，等号成立. 即△ABC周长的取值范围为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得b2=a2+c2+ac，又b=4， 所以16=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac，即ac≤，当且仅当a=c时，等号成立， 所以S△ABC=acsin B≤××=， 即△ABC面积的最大值为. 1.在△ABC中，a=5，b=3，则的值是 A.　 B.　 C.　 D. 根据正弦定理，得==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.(多选)已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则∠A等于 A.30°　 B.60°　 C.150°　 D.120° 因为S=bcsin A=， 所以×2×sin A=， 所以sin A=，因为0°<∠A<180°， 所以∠A=60°或120°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=，∠A=75°，∠B=45°，则△ABC的外接圆的面积为 A.　 B.π　 C.2π　 D.4π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 在△ABC中，∠A=75°，∠B=45°，所以∠C=180°-∠A-∠B=60°. 设△ABC的外接圆的半径为R， 则由扩充的正弦定理，可得2R===2， 解得R=1，故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A+bsin B <csin C，则△ABC是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由扩充的正弦定理及已知，得a2+b2<c2， 所以a2+b2-c2<0， 由余弦定理，得cos C=<0， 所以角C为钝角，即△ABC为钝角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3，则cos C的值为 A.　 B.-　 C.　 D.- ∵在△ABC中， sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3， ∴a∶b∶c=3∶2∶3， 设a=3k，b=2k，c=3k(k>0)， 则cos C===. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)在△ABC中，∠B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积是 A.2　 B.　 C.3　 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 在△ABC中，因为∠B=30°，AB=2，AC=2， 所以由=，得sin C==， 又因为AB·sin 30°<AC<AB， 所以∠C有两解， 所以∠C=60°或∠C=120°. 由三角形内角和定理得∠A=90°或∠A=30°. 由面积公式S△ABC=AB·AC·sin A， 所以S△ABC=2或S△ABC=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则∠A=　　　.  因为==，即b2+c2-a2=bc， 由余弦定理得cos A===， 又∠A∈(0，π)，所以∠A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.在△ABC中，sin B=2sin A，a+c=3，且cos C=，则a=　　　.  ∵sin B=2sin A，∴b=2a， 又a+c=3，∴c=3-a， ∴cos C===， 整理，得a2+2a-3=0，解得a=1(a=-3舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 答案 9.在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sin Bsin C，试判断△ABC的形状. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由sin2A=sin Bsin C和正弦定理，得a2=bc. 因为2a=b+c，则a=， 所以=bc，整理得(b-c)2=0， 所以b=c，所以从而a==b=c，故△ABC是等边三角形. 答案 10.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sin B=. (1)求角C的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由sin B=得2csin B=b， 由扩充的正弦定理得2sin Csin B=sin B， 所以sin B(2sin C-1)=0， 因为sin B≠0，所以sin C=， 因为∠C是钝角，所以∠C=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 58 (2)若b=2，△ABC的面积为，求c的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由S=absin C=a=，得a=2， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C =12+4-2×2×2×=28， 即c的值为2. 答案 11.(多选)下列说法正确的是 A.在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则∠A=∠B C.在△ABC中，若sin A>sin B，则∠A>∠B；若∠A>∠B，则sin A>sin B D.在△ABC中，= √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 答案 对于A，由正弦定理===2R，可得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶ 2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C，故A正确； 对于B，由sin 2A=sin 2B，可得2A=2B，或2A+2B=π，即∠A=∠B或∠A+∠B=，故B错误； 对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B⇔a>b⇔∠A>∠B，因此∠A>∠B是sin A>sin B的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理===2R， 可得右边===2R=左边，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.(多选)在锐角△ABC中，三个内角分别是∠A，∠B，∠C，且∠A>∠B，则下列说法正确的是 A.sin A>sin B B.cos A<cos B C.sin A>cos B D.sin B<cos A √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 ∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B，故A成立. 函数y=cos x在区间[0，π]上单调递减， ∵∠A>∠B，∴cos A<cos B，故B成立. 在锐角三角形中，∵∠A+∠B>， ∴∠A>-∠B， 函数y=sin x在区间上单调递增， 且∠A，-∠B∈， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 则有sin A>sin，即sin A>cos B， 故C成立， 同理sin B>cos A，故D不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.已知△ABC的面积S=，∠A=，则·=　　　.   S=||||sin A， 即||||sin =， 故||||=4， 所以·=||||cos A=4cos =2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin B cos C=sin2C，则=　　　，角C的最大值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 ∵2sin Asin Bcos C=sin2C， ∴2abcos C=c2⇒a2+b2-c2=c2⇒=2， ∴cos C==≥， ∵0<∠C<π， ∴0<∠C≤，当且仅当a=b时取等号. 即角C的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，∠B=，若a2+c2=4ac，则=　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=5ac， 由正弦定理，得sin2B=5sin Asin C=， 所以sin Asin C=， 所以==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b=4，∠B=. (1)求△ABC周长的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B， 即b2=a2+c2+ac. 又b=4， 所以16=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-，当且仅当a=c时，等号成立， 所以(a+c)2≤16，所以(a+c)2≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 71 即4<a+c≤. 所以8<a+b+c≤4+，当且仅当a=c时，等号成立. 即△ABC周长的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 72 (2)求△ABC面积的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得b2=a2+c2+ac，又b=4， 所以16=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac，即ac≤，当且仅当a=c时，等号成立， 所以S△ABC=acsin B≤××=， 即△ABC面积的最大值为. 答案 第一章 <<< $$