第1章 1.6.2 第1课时 正弦定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

1.6.2　正弦定理 第1课时　正弦定理 [学习目标]　通过探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题. 导语　如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出AB的距离？ 一、正弦定理的推导 问题1　在Rt△ABC中，==，在锐角三角形或钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 提示　成立，证明如下： 若△ABC是锐角三角形，如图，设CD为AB边上的高，易知CD=bsin A=asin B. 方法一　故=. 同理可证=，故==. 方法二　由于△ABC的面积不变，故有 S△ABC=AB·CD=bcsin A=acsin B. 因此bsin A=asin B，即=. 同理可证=，即==. 若△ABC为钝角三角形，也可类似得到上述结论. 知识梳理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等.即==. 二、已知两角及一边解三角形 例1　在△ABC中，c=10，∠A=45°，∠C=30°，求a，b和∠B. 解　根据正弦定理得 a===10. 又∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-(45°+30°)=105°. 所以b===20sin 75° =20×=5(+). 反思感悟　已知三角形两角及一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角及对边. (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边. 跟踪训练1　在△ABC中，已知∠B=45°，∠C=60°，c=1，求最短边的边长. 解　因为∠B=45°，∠C=60°，所以∠A=75°， 故∠B最小，所以b为最短边， 由正弦定理=， 得b===， 故所求的最短边长为. 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 例2　在△ABC中，已知c=，∠A=45°，a=2，解这个三角形. 解　∵=，∴sin C===， ∵0°<∠C<180°，∴∠C=60°或∠C=120°. 当∠C=60°时，∠B=75°，b===+1； 当∠C=120°时，∠B=15°，b===-1. ∴b=+1，∠B=75°，∠C=60°或b=-1， ∠B=15°，∠C=120°. 延伸探究　若把本例中的条件“∠A=45°”改为“∠C=45°”，则角A有几个值？ 解　∵=，∴sin A===. ∵c=>2=a，∴∠C>∠A. ∴∠A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个. 反思感悟　已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)由正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. (2)由三角形内角和定理求出第三个角. (3)根据正弦定理求出第三条边. 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值. 跟踪训练2　在△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cos C等于(　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　由正弦定理，得=， 即=，解得sin C=， ∵AB<AC，∴∠C<∠B， ∴cos C==. 四、三角形解的个数的判断 问题2　由例2可知，已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角时，三角形解的个数可能不唯一，如何判断其解的个数？ 提示　不妨设已知△ABC的两边a，b和∠A，作图步骤如下：①先把未知边c画为水平的，作出已知∠A，∠A的另一条边为已知边b；②以边b的端点C为圆心，a为半径画弧；③观察此弧与除去顶点A的射线l的公共点的个数，便可得此三角形解的个数. 显然，当∠A为锐角时，有如图所示的四种情况： 当∠A为钝角时，有如图所示的两种情况： 根据分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致三角形有不同个数的解.若∠A为锐角，只有当a≥bsin A时才有解，并且随着a的增大，得到的解的个数也是不同的.若∠A为钝角或直角，只有当a>b时才有解. 例3　下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知sin 75°=. (1)a=7，b=8，∠A=105°； (2)b=10，c=5，∠C=60°； (3)a=2，b=6，∠A=30°. 解　(1)由a=7，b=8，可得a<b，所以∠A<∠B， 又由∠A=105°>90°， 所以这样的三角形无解. (2)由b=10，c=5， 可得b<c，所以∠B<∠C， 又由∠C=60°<90°， 所以这样的三角形只有一解. 由正弦定理，可得sin B===， 所以∠B=45°， 所以∠A=180°-(∠B+∠C)=75°， 所以a====5+5. (3)由a=2，b=6，可得a<b， 又由∠A=30°<90°，且bsin A=6sin 30°=3， 所以a>bsin A， 所以这样的三角形有两解； 由正弦定理，可得sin B===，所以∠B=60°或∠B=120°， 当∠B=60°时，∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，c===4； 当∠B=120°时，∠C=180°-(∠A+∠B)=30°， c===2， 所以∠B=60°，∠C=90°，c=4或∠B=120°， ∠C=30°，c=2. 反思感悟　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数. (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 跟踪训练3　不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a=5，b=4，∠A=120°； (2)a=9，b=10，∠A=60°； (3)b=72，c=50，∠C=135°. 解　(1)sin B=sin 120°=×<，所以三角形有一解. (2)sin B=sin 60°=×=，而<<1. 所以当∠B为锐角时，满足sin B=的角B的取值范围是60°<∠B<90°.满足∠A+∠B<180°； 当∠B为钝角时，满足sin B=的角B的取值范围是90°<∠B<120°，也满足∠A+∠B<180°.故三角形有两解. (3)sin B==sin C>sin C=. 所以∠B>45°，所以∠B+∠C>180°，故三角形无解. 1.知识清单： (1)正弦定理. (2)利用正弦定理解三角形. (3)三角形解的个数的判断. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论. 1.在△ABC中，一定成立的等式是(　　) A.asin A=bsin B B.acos A=bcos B C.asin B=bsin A D.acos B=bcos A 答案　C 解析　由正弦定理=，得asin B=bsin A. 2.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC等于(　　) A.4　B.2　C.　D. 答案　B 解析　由正弦定理=，得=， 所以AC=×=2. 3.已知在△ABC中，b=4，c=2，∠C=30°，那么此三角形(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 答案　C 解析　由正弦定理和已知条件，得=， ∴sin B=>1，∴此三角形无解. 4.在△ABC中， a=5，b=5，∠A=30°，则∠B=　　　　　.  答案　60°或120° 解析　由正弦定理=，得sin B==. ∵b>a，∴∠B>∠A，且0°<∠B<180°，∴∠B=60°或120°. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.在△ABC中，a=3，∠A=30°，∠B=15°，则c等于(　　) A.1　B.　C.3　D. 答案　C 解析　∠C=180°-30°-15°=135°，c===3. 2.在△ABC中，已知AB=AC，∠B=30°，则∠C等于(　　) A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105° 答案　C 解析　由正弦定理，可得=， 即=，可得sin C=， 由AB=AC可知AB>AC，所以∠C>∠B， 因为0°<∠C<180°， 所以∠C=45°或∠C=135°. 3.在△ABC中，a=bsin A，则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案　B 解析　由题意及正弦定理可知，=b=，则sin B=1， 又∠B∈(0，π)，故∠B为直角，△ABC是直角三角形. 4. 在△ABC中，已知∠A=，a=，b=1，则c的值为(　　) A.1　B.2　C.-1　D. 答案　B 解析　由正弦定理=， 可得=， ∴sin B=， 由a>b，得∠A>∠B，∴∠B∈， ∴∠B=. 故∠C=，由勾股定理得c=2. 5.在△ABC中，若=，则C的值为(　　) A.30°　B.45°　C.60°　D.90° 答案　B 解析　由正弦定理，知=，∴=， ∴cos C=sin C，∴tan C=1， 又∵0°<∠C<180°，∴∠C=45°. 6.(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A.a=8，b=16，∠A=30°，有一解 B.b=18，c=20，∠B=60°，有两解 C.a=5，c=2，∠A=90°，无解 D.a=30，b=25，∠A=150°，有一解 答案　ABD 解析　A中，∵=，∴sin B==1，∴∠B=90°，即只有一解； B中，∵=，∴sin C==，且c>b，∴∠C>∠B，故有两解； C中，∵∠A=90°，a=5，c=2，∴b===，有解； D中，∵=，∴sin B==，又b<a，∴角B只有一解. 7.(5分)在△ABC中，若a=，b=，∠B=，则∠A=　　　　.  答案　或 解析　由正弦定理，得sin A===， 又∠A∈(0，π)，a>b， ∴∠A>∠B，∴∠A=或. 8.(5分)在△ABC中，b=7，∠B=，cos A=，则a=　　　　.  答案　3 解析　在△ABC中，b=7，∠B=，cos A=， 所以sin A===. 由正弦定理=， 得a===3. 9.(10分)在△ABC中，已知b=6，c=6，∠C=30°，求a的值. 解　由正弦定理=， 得sin B==. 因为b>c，所以∠B>∠C=30°， 所以∠B=60°或120°. 当∠B=60°时，∠A=90°，a===12. 当∠B=120°时，∠A=30°，a===6. 所以a=6或12. 10.(12分)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 a=2csin A. (1)求角C的大小；(6分) (2)若c=，且ab=6，求△ABC的周长.(6分) 解　(1)由a=2csin A及正弦定理得==，因为sin A≠0，故sin C=. 又因为△ABC为锐角三角形，所以∠C=. (2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos=7， 因为ab=6，所以a2+b2=13，解得或 所以△ABC的周长为a+b+c=5+. 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A=60°，a=，则等于(　　) A.　B.　C.　D.2 答案　D 解析　在△ABC中，由正弦定理得 ====2， ∴===2， ∴=2. 12.在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，若△ABC有两解，则x的取值范围是(　　) A. B.(1，+∞) C. D.(1，2) 答案　D 解析　如图，三角形有两解的条件为bsin A<a<b， ∴xsin 30°<1<x， 故x的取值范围是1<x<2. 13.在△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，b=2+2，已知sin 75°=，则△ABC中最小的边长为(　　) A.2 B.4 C.+ D.- 答案　B 解析　因为∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-75°=45°， 由三角形的边角关系小角对小边，可知最小的边长为c， 由正弦定理=， 得=， 所以c==4， 所以△ABC中最小的边长为4. 14.(5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则c=　　　　.  答案　 解析　在△ABC中，由cos A=，cos C=， 可得sin A=，sin C=， 又a=1，故由正弦定理得，c==. 15.(5分)在△ABC中，∠B=120°，AB=，角A的平分线交BC于D，AD=，则AC=　　　　.  答案　 解析　如图所示，∵∠B=120°，AB=，AD=， ∴由正弦定理得sin∠ADB==， ∴∠ADB=45°，∴∠BAD=15°，∠BAC=30°， ∴在△ABC中，∠C=30°，由正弦定理得AC===. 16.(12分)在△ABC中，a=，∠A=，试求△ABC周长的取值范围.(附：sin(A-B)=sin Acos B-sin B·cos A；sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A) 解　由正弦定理，得==， 即===2， ∴b=2sin B，c=2sin C， ∴△ABC的周长为l=a+b+c=+2sin B+2sin C =+2sin B+2sin =+3sin B+cos B =+2sin， 又B∈，∴B+∈， ∴sin∈， ∴l∈(2，3]. 即△ABC周长的取值范围为(2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时 第1章 <<< 正弦定理 通过探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题. 学习目标 如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出AB的距离？ 导 语 一、正弦定理的推导 二、已知两角及一边解三角形 课时对点练 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 随堂演练 内容索引 四、三角形解的个数的判断 正弦定理的推导 一 在Rt△ABC中，==，在锐角三角形或钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 问题1 提示　成立，证明如下： 若△ABC是锐角三角形，如图，设CD为AB边上的高，易知CD=bsin A =asin B. 方法一　故=. 同理可证=，故==. 方法二　由于△ABC的面积不变，故有 S△ABC=AB·CD=bcsin A=acsin B. 因此bsin A=asin B，即=. 同理可证=，即==. 若△ABC为钝角三角形，也可类似得到上述结论. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比值相等.即 _____________. 正弦 == 知识梳理 二 已知两角及一边解三角形 　在△ABC中，c=10，∠A=45°，∠C=30°，求a，b和∠B. 例 1 根据正弦定理得a===10. 又∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-(45°+30°)=105°. 所以b===20sin 75° =20×=5(+). 11 反 思 感 悟 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角及对边. (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边. 已知三角形两角及一边解三角形的方法 因为∠B=45°，∠C=60°，所以∠A=75°， 故∠B最小，所以b为最短边， 由正弦定理=， 得b===， 故所求的最短边长为. 　在△ABC中，已知∠B=45°，∠C=60°，c=1，求最短边的边长. 跟踪训练 1 13 已知两边及其中一边的对角解三角形 三 　在△ABC中，已知c=，∠A=45°，a=2，解这个三角形. 例 2 15 ∵=，∴sin C===， ∵0°<∠C<180°，∴∠C=60°或∠C=120°. 当∠C=60°时，∠B=75°，b===+1； 当∠C=120°时，∠B=15°，b===-1. ∴b=+1，∠B=75°，∠C=60°或b=-1， ∠B=15°，∠C=120°. 16 　若把本例中的条件“∠A=45°”改为“∠C=45°”，则角A有几个值？ 延伸探究 ∵=，∴sin A===. ∵c=>2=a，∴∠C>∠A. ∴∠A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个. 17 反 思 感 悟 (1)由正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. (2)由三角形内角和定理求出第三个角. (3)根据正弦定理求出第三条边. 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值. 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 　在△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cos C等于 A.　 B.　 C.　 D. 跟踪训练 2 √ 由正弦定理，得=， 即=，解得sin C=， ∵AB<AC，∴∠C<∠B， ∴cos C==. 19 三角形解的个数的判断 四 由例2可知，已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角时，三角形解的个数可能不唯一，如何判断其解的个数？ 问题2 21 提示　不妨设已知△ABC的两边a，b和∠A，作图步骤如下：①先把未知边c画为水平的，作出已知∠A，∠A的另一条边为已知边b；②以边b的端点C为圆心，a为半径画弧；③观察此弧与除去顶点A的射线l的公共点的个数，便可得此三角形解的个数. 显然，当∠A为锐角时，有如图所示的四种情况： 当∠A为钝角时，有如图所示的两种情况： 根据分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致三角形有不同个数的解.若∠A为锐角，只有当a≥bsin A时才有解，并且随着a的增大，得到的解的个数也是不同的.若∠A为钝角或直角，只有当a>b时才有解. 　下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知sin 75°=. (1)a=7，b=8，∠A=105°； 例 3 由a=7，b=8，可得a<b，所以∠A<∠B， 又由∠A=105°>90°， 所以这样的三角形无解. 24 (2)b=10，c=5，∠C=60°； 25 由b=10，c=5， 可得b<c，所以∠B<∠C， 又由∠C=60°<90°， 所以这样的三角形只有一解. 由正弦定理，可得sin B===， 所以∠B=45°， 所以∠A=180°-(∠B+∠C)=75°， 所以a====5+5. 26 (3)a=2，b=6，∠A=30°. 27 由a=2，b=6，可得a<b， 又由∠A=30°<90°，且bsin A=6sin 30°=3， 所以a>bsin A， 所以这样的三角形有两解； 由正弦定理，可得sin B===，所以∠B=60°或∠B=120°， 当∠B=60°时，∠C=180°-(∠A+∠B)=90°，c===4； 28 当∠B=120°时，∠C=180°-(∠A+∠B)=30°， c===2， 所以∠B=60°，∠C=90°，c=4或∠B=120°， ∠C=30°，c=2. 29 反 思 感 悟 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数. (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 反 思 感 悟   A为钝角 A为直角 A为锐角 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 　不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a=5，b=4，∠A=120°； 跟踪训练 3 sin B=sin 120°=×<，所以三角形有一解. 32 (2)a=9，b=10，∠A=60°； sin B=sin 60°=×=<<1. 所以当∠B为锐角时，满足sin B=的角B的取值范围是60°<∠B<90°.满足∠A+∠B<180°； 当∠B为钝角时，满足sin B=的角B的取值范围是90°<∠B<120°，也满足∠A+∠B<180°.故三角形有两解. 33 (3)b=72，c=50，∠C=135°. sin B==sin C>sin C=. 所以∠B>45°，所以∠B+∠C>180°，故三角形无解. 34 1.知识清单： (1)正弦定理. (2)利用正弦定理解三角形. (3)三角形解的个数的判断. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论. 课堂小结 随堂演练 五 1.在△ABC中，一定成立的等式是 A.asin A=bsin B B.acos A=bcos B C.asin B=bsin A D.acos B=bcos A 由正弦定理=，得asin B=bsin A. √ 1 2 3 4 2.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC等于 A.4　 B.2　 C.　 D. 由正弦定理==， 所以AC=×=2. √ 1 2 3 4 3.已知在△ABC中，b=4，c=2，∠C=30°，那么此三角形 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 由正弦定理和已知条件，得=， ∴sin B=>1，∴此三角形无解. √ 1 2 3 4 4.在△ABC中， a=5，b=5，∠A=30°，则∠B=　　 　　　.  由正弦定理=，得sin B==. ∵b>a，∴∠B>∠A，且0°<∠B<180°，∴∠B=60°或120°. 1 2 3 4 60°或120° 课时对点练 六 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C B B B ABD 或 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 3 D D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. 由正弦定理=，得sin B==. 因为b>c，所以∠B>∠C=30°，所以∠B=60°或120°. 当∠B=60°时，∠A=90°，a===12. 当∠B=120°时，∠A=30°，a===6. 所以a=6或12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (1)由a=2csin A及正弦定理得==，因为sin A≠0，故sin C=. 又因为△ABC为锐角三角形，所以∠C=. (2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos=7， 因为ab=6，所以a2+b2=13， 解得或 所以△ABC的周长为a+b+c=5+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 由正弦定理，得==， 即===2， ∴b=2sin B，c=2sin C， ∴△ABC的周长为l=a+b+c=+2sin B+2sin C=+2sin B+2sin =+3sin B+cos B=+2sin， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 又B∈， ∴B+∈， ∴sin∈， ∴l∈(2，3]. 即△ABC周长的取值范围为(2，3]. 1.在△ABC中，a=3，∠A=30°，∠B=15°，则c等于 A.1　 B.　 C.3　 D. ∠C=180°-30°-15°=135°，c===3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.在△ABC中，已知AB=AC，∠B=30°，则∠C等于 A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由正弦定理，可得=， 即=，可得sin C=， 由AB=AC可知AB>AC，所以∠C>∠B， 因为0°<∠C<180°， 所以∠C=45°或∠C=135°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.在△ABC中，a=bsin A，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 由题意及正弦定理可知，=b=，则sin B=1， 又∠B∈(0，π)，故∠B为直角，△ABC是直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4. 在△ABC中，已知∠A=，a=，b=1，则c的值为 A.1　 B.2　 C.-1　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由正弦定理=， 可得=， ∴sin B=， 由a>b，得∠A>∠B，∴∠B∈， ∴∠B=. 故∠C=，由勾股定理得c=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.在△ABC中，若=，则C的值为 A.30° 　B.45°　 C.60°　 D.90° 由正弦定理，知=，∴=， ∴cos C=sin C，∴tan C=1， 又∵0°<∠C<180°，∴∠C=45°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 A.a=8，b=16，∠A=30°，有一解 B.b=18，c=20，∠B=60°，有两解 C.a=5，c=2，∠A=90°，无解 D.a=30，b=25，∠A=150°，有一解 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 A中，∵=，∴sin B==1，∴∠B=90°，即只有一解； B中，∵=，∴sin C==，且c>b，∴∠C>∠B，故有两解； C中，∵∠A=90°，a=5，c=2，∴b===，有解； D中，∵=，∴sin B==，又b<a，∴角B只有一解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.在△ABC中，若a=，b=，∠B=，则∠A=　　　　.  由正弦定理，得sin A===， 又∠A∈(0，π)，a>b， ∴∠A>∠B，∴∠A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 或 答案 8.在△ABC中，b=7，∠B=，cos A=，则a=　　　.  在△ABC中，b=7，∠B=，cos A=， 所以sin A===. 由正弦定理=， 得a===3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 答案 9.在△ABC中，已知b=6，c=6，∠C=30°，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由正弦定理=， 得sin B==. 因为b>c，所以∠B>∠C=30°， 所以∠B=60°或120°. 当∠B=60°时，∠A=90°，a===12. 当∠B=120°时，∠A=30°，a===6. 所以a=6或12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 59 10.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 a=2csin A. (1)求角C的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a=2csin A及正弦定理得==，因为sin A≠0，故sin C=. 又因为△ABC为锐角三角形，所以∠C=. 答案 (2)若c=，且ab=6，求△ABC的周长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos=7， 因为ab=6，所以a2+b2=13，解得 所以△ABC的周长为a+b+c=5+. 答案 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A=60°，a=，则等于 A.　 B.　 C.　 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 在△ABC中，由正弦定理得 ====2， ∴===2， ∴=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，若△ABC有两解，则x的取值范围是 A. B.(1，+∞) C. D.(1，2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，三角形有两解的条件为bsin A<a<b， ∴xsin 30°<1<x， 故x的取值范围是1<x<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.在△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，b=2+2，已知sin 75°=，则△ABC中最小的边长为 A.2 B.4 C.+ D.- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-75°=45°， 由三角形的边角关系小角对小边，可知最小的边长为c， 由正弦定理=， 得=， 所以c==4， 所以△ABC中最小的边长为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则c=　　　　.  在△ABC中，由cos A=，cos C=， 可得sin A=，sin C=， 又a=1，故由正弦定理得，c==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.在△ABC中，∠B=120°，AB=，角A的平分线交BC于D，AD=，则AC=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示，∵∠B=120°，AB=，AD=， ∴由正弦定理得sin∠ADB==， ∴∠ADB=45°，∴∠BAD=15°，∠BAC=30°， ∴在△ABC中，∠C=30°，由正弦定理得AC===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.在△ABC中，a=，∠A=，试求△ABC周长的取值范围.(附：sin(A-B)=sin Acos B-sin B·cos A；sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由正弦定理，得==， 即===2， ∴b=2sin B，c=2sin C， ∴△ABC的周长为l=a+b+c=+2sin B+2sin C =+2sin B+2sin =+3sin B+cos B =+2sin， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 72 又B∈，∴B+∈， ∴sin∈， ∴l∈(2，3]. 即△ABC周长的取值范围为(2，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 73 第一章 <<< $$