第1章 1.5.1 数量积的定义及计算(一)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

1.5.1　数量积的定义及计算(一) [学习目标]　1.理解向量数量积的含义及其物理意义.2.能正确熟练地应用数量积的定义进行运算. 导语 前面我们学习了向量的线性运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 一、数量积的定义 问题　如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F||s|cos α. (1)这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①W(功)是　　　量；②F(力)是　　　量；③s(位移)是　　　量；④α是　　　量.  (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 提示　(1)①数；②向；③向；④数. (2)功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 知识梳理 1.数量积的定义 设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b=|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积. 2.数量积的性质 a·b=0⇔|a|=0或|b|=0或cos α=0. (1)当a，b均不为0时，a·b=0⇔cos α=0⇔α=⇔a⊥b. (2)当a=0或b=0时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有a⊥b. 因此，a·b=0⇔a⊥b对所有情形均成立. 注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”. (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)若a·b=0，则a和b中至少有一个零向量或a，b均为非零向量，且a⊥b. 例1　(多选)下列说法中，错误的是(　　) A.a，b共线⇔a·b=|a||b| B.|a||b|<a·b C.a2+b2≥2a·b D.非零向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角 答案　ABD 解析　a，b共线⇔a·b=±|a||b|，故A错误；|a|·|b|≥a·b，故B错误；≥2|a||b|≥2a·b，故C正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，故D错误. 反思感悟　对于概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解.特别是易与实数运算相混淆的运算律，当然还有数量积中有关角的概念以及数量积的性质等. 跟踪训练1　(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列结论中正确的是(　　) A.a·b=±|a||b|⇔a∥b B.a，b反向⇔a·b=-|a||b| C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b| D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c| 答案　ABC 解析　∵a·b=|a||b|cos θ，∴由a·b=±|a|·|b|及a，b为非零向量可得cos θ=±1，∴θ=0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故A正确；若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b=|a|·|b|·cos π=-|a||b|，且以上各步均可逆，故B正确； 当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a+b|=|a-b|.反过来，若|a+b|=|a-b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故C正确； 当|a|=|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误. 二、求向量的数量积 例2　已知等边△ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解　(1)∵与的夹角为60°， ∴·=||||cos 60°=1×1×=. (2)∵与的夹角为120°， ∴·=||||cos 120°=1×1×=-. (3)∵与的夹角为60°， ∴·=||||cos 60°=1×1×=. 反思感悟　求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]. (2)分别求|a|和|b|. (3)求数量积，即a·b=|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 跟踪训练2　已知|a|=4，|b|=5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积. 解　设a与b的夹角为θ， (1)当a∥b时，若a与b同向，则θ=0°， a·b=|a||b|cos 0°=4×5×1=20； 若a与b反向，则θ=180°， a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时，θ=90°， a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)当a与b的夹角为30°时， a·b=|a||b|cos 30°=4×5×=10. 三、数量积的应用 例3　(1)已知|a|=9，|b|=6，a·b=-54，则a与b的夹角θ为(　　) A.45°　B.135°　C.120°　D.150° 答案　B 解析　∵a·b=|a||b|cos θ=-54， ∴cos θ===-， ∵0°≤θ≤180°，∴θ=135°. (2)在△ABC中，=a，=b，当a·b≥0时，判断△ABC的形状. 解　因为在△ABC中，=a，=b，a·b≥0， 所以|a||b|cos〈a，b〉≥0，即cos〈a，b〉≥0，又〈a，b〉∈(0，π)， 所以0<〈a，b〉≤，即0<π-∠ABC≤，所以∠ABC=或<∠ABC<π， 所以△ABC是直角三角形或钝角三角形. 延伸探究　若本例中，“a·b<0”，能否判断△ABC的形状？ 解　由a·b<0可知·<0，∴·>0， ∴||||cos B>0，又∠B∈(0，π)， ∴∠B是锐角， 又∠B未必是△ABC的最大内角，故无法判断△ABC的形状. 反思感悟　数量积的符号与向量夹角的关系 设a，b的夹角为θ，则 (1)a·b>0，则θ∈； (2)a·b<0，则θ∈. 跟踪训练3　已知|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　∵Δ=|a|2-4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0， 即|a|2-4|a||b|cos θ≥0， 又|a|=2|b|，∴4|b|2-8|b|2cos θ≥0， ∴cos θ≤，又0≤θ≤π， ∴≤θ≤π. 1.知识清单： (1)数量积的定义. (2)数量积的性质. (3)数量积的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：计算数量积时，常因不清楚两向量的夹角导致计算失误. 1.若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角θ为45°，则m·n等于(　　) A.12　B.12　C.-12　D.-12 答案　B 解析　由平面向量数量积的定义可得m·n=|m|·|n|cos 45°=4×6×=12. 2.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是(　　) A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b=0 D.|a|= 答案　AB 解析　a·b=0⇒a⊥b或a=0或b=0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2， 所以|a|=，所以D正确. 3.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是(　　) A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案　C 解析　由·=0，知AB⊥BC. 由=，知BC∥AD且BC=AD， 所以四边形ABCD是矩形. 4.如图，已知△ABC是边长为的等边三角形，则： (1)·=　　　　；  (2)若E为BC的中点，则·=　　　　.  答案　(1)-　(2)0 解析　(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°. 如图，延长AB至点D，使BD=AB， 则=， ∴∠DBC为向量与的夹角. ∵∠DBC=120°， ∴向量与的夹角为120°， 故·=||||cos 120°=-. (2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC， ∴与的夹角为90°， 故·=0. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为，则a·b等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　a·b=|a||b|cos =1×2×=1. 2.已知向量|a|=10，|b|=12，且a·b=-60，则向量a与b的夹角为(　　) A.60°　B.120°　C.135°　D.150° 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ， 则cos θ===-， 又0°≤θ≤180°，∴θ=120°. 3.在等腰直角三角形ABC中，若∠C=90°，AC=，则·的值等于(　　) A.-2　B.2　C.-2　D.2 答案　B 解析　·=||||cos ∠ABC=2××cos 45°=2. 4.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　) A.100 J　B.50 J　C.50 J　D.200 J 答案　B 解析　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W=F·s=10×10×cos 60°=50(J). 5.在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·>0，则点P与圆C的位置关系是(　　) A.点P在圆C外部 B.点P在圆C上 C.点P在圆C内部 D.不确定 答案　A 解析　在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·>0，所以∠APB为锐角，所以点P在圆C外部. 6.已知非零向量a，b满足|b|=2，且a·b=|a|，则向量a，b的夹角θ的大小为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　C 解析　因为a·b=|a|，所以|a||b|cos θ=|a|，所以cos θ==，又θ∈[0，π]，所以θ=. 7.(5分)在△ABC中，∠ABC=90°，若BD⊥AC，且BD交AC于点D，||=，则·=　　　　.  答案　-3 解析　如图所示， 因为BD⊥AC， 则|BC|cos∠CBD=|BD|， 则·=-· =-||||cos∠CBD =-||2=-3. 8.(5分)定义：|a×b|=|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-6，则|a×b|= 　　　　.  答案　8 解析　cos θ===-， ∵θ∈[0，π]，∴sin θ=. ∴|a×b|=2×5×=8. 9.(10分)如图，在▱ABCD中，||=4，||=3，∠DAB=60°.求： (1)·；(3分) (2)·；(3分) (3)·.(4分) 解　(1)因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°.所以·=||||cos 0°=3×3×1=9. (2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°. 所以·=||||cos 180°=4×4×(-1)=-16. (3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°. 所以·=||||cos 120°=4×3×=-6. 10.(11分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且=x+y. (1)若=，求x，y的值；(4分) (2)若=3，||=4，||=2，且与的夹角为60°，求·的值.(7分) 解　(1)若=，则=+， 故x=y=. (2)因为||=4，||=2，∠BOA=60°， 所以∠OBA=90°， 所以||=2. 又因为=3， 所以||=. 所以||==， cos∠OPB=. 所以与的夹角θ的余弦值为-. 所以·=||||cos θ=-3. 11.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是(　　) A.cos θ>0⇔e1·e2>0 B.若e1∥e2，则e1·e2=1 C.若e1∥e2，则e1·e2=-1 D.|e1·e2|≤1 答案　AD 解析　∵e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ， ∴若cos θ>0，则e1·e2>0； 若e1·e2>0，则必有cos θ>0，故A正确. e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2=1，当e1，e2反向时，e1·e2=-1，故B，C错误. |e1·e2|≤|e1||e2|=1，故D正确. 12.(多选)在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是(　　) A.||2=· B.||2=· C.||2=· D.||2=·=· 答案　AD 解析　对于A，·=||||cos A=||2，故A正确；对于B，·=-||·||·cos C=-||2，故B错误；对于C，·=-||||cos ∠ABD=-||2，故C错误；对于D，·=||||cos ∠ABD=||2，·=||||cos ∠CBD=||2，故D正确. 13.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是(　　) A.· B.· C.· D.· 答案　A 解析　由于⊥，故其数量积是0；与P1P6的夹角是，故其数量积小于0；设正六边形的边长是a，则·=||||·cos 30°=a2，·=||||cos 60°=a2.故选A. 14.(5分)已知在△ABC中，AB=AC=4，·=8，则△ABC的形状是　　　　，·=　　　　.  答案　等边三角形　-8 解析　·=||||cos∠BAC， 即8=4×4×cos∠BAC， 于是cos∠BAC=， 因为0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC=60°. 又AB=AC，故△ABC是等边三角形. 此时·=||||cos 120°=-8. 15.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，即长段为全段的0.618.0.618被公认为最具有审美意义的比例数字.宽与长的比为≈0.618的矩形叫作黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，在黄金矩形ABCD中，BC=-1，AB>BC，那么·的值为(　　) A.-1 B.+1 C.4 D.2+2 答案　C 解析　由黄金矩形的定义，可得AB=2，BC=-1，在矩形ABCD中，cos∠CAB===，则·=||||cos∠CAB=2××=4. 16.(12分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；(5分) (2)求·的取值范围.(7分) 解　(1)由已知可得=， 四边形OAMB是菱形，则=+， 所以=-=-(+) =--. (2)易知∠DMC=60°，且||=||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=， 则·=××cos 60°=. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC=1， 则·=1×1×cos 60°=. 所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5.1 第1章 <<< 数量积的定义及计算(一) 1.理解向量数量积的含义及其物理意义. 2.能正确熟练地应用数量积的定义进行运算. 学习目标 前面我们学习了向量的线性运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 导 语 一、数量积的定义 二、求向量的数量积 课时对点练 三、数量积的应用 随堂演练 内容索引 数量积的定义 一 提示　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F||s|cos α. (1)这个公式有什么特点？请完成下列填空： 问题 ①W(功)是　　量；②F(力)是　　量；③s(位移)是　 　量；④α是　　量.  (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 数 向 向 数 1.数量积的定义 设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b= 为a与b的数量积. 2.数量积的性质 a·b=0⇔|a|=0或|b|=0或cos α=0. (1)当a，b均不为0时，a·b=0⇔cos α=0⇔α=⇔ . (2)当a=0或b=0时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有a⊥b. 因此，a·b=0⇔ 对所有情形均成立. |a||b|cos〈a，b〉 a⊥b a⊥b 知识梳理 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”. (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)若a·b=0，则a和b中至少有一个零向量或a，b均为非零向量，且a⊥b. 注 意 点 <<< 8 　(多选)下列说法中，错误的是 A.a，b共线⇔a·b=|a||b| B.|a||b|<a·b C.a2+b2≥2a·b D.非零向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角 例 1 √ √ √ 9 a，b共线⇔a·b=±|a||b|，故A错误； |a|·|b|≥a·b，故B错误； ≥2|a||b|≥2a·b，故C正确； 当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，故D错误. 10 对于概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解.特别是易与实数运算相混淆的运算律，当然还有数量积中有关角的概念以及数量积的性质等. 反 思 感 悟 11 　(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列结论中正确的是 A.a·b=±|a||b|⇔a∥b B.a，b反向⇔a·b=-|a||b| C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b| D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c| 跟踪训练 1 √ √ √ 12 ∵a·b=|a||b|cos θ，∴由a·b=±|a|·|b|及a，b为非零向量可得cos θ=±1，∴θ=0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故A正确； 若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b=|a|·|b|·cos π=-|a||b|，且以上各步均可逆，故B正确； 当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a+b|=|a-b|.反过来，若|a+b|=|a-b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故C正确； 当|a|=|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误. 13 二 求向量的数量积 　已知等边△ABC的边长为1，求： (1)·； 例 2 ∵的夹角为60°， ∴·=||||cos 60°=1×1×=. 15 (2)·； ∵的夹角为120°， ∴·=||||cos 120°=1×1×=-. (3)·. ∵的夹角为60°， ∴·=||||cos 60°=1×1×=. 16 反 思 感 悟 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]. (2)分别求|a|和|b|. (3)求数量积，即a·b=|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 求平面向量数量积的步骤 　已知|a|=4，|b|=5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积. 跟踪训练 2 18 设a与b的夹角为θ， (1)当a∥b时，若a与b同向，则θ=0°， a·b=|a||b|cos 0°=4×5×1=20； 若a与b反向，则θ=180°， a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时，θ=90°， a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)当a与b的夹角为30°时， a·b=|a||b|cos 30°=4×5×=10. 19 数量积的应用 三 　(1)已知|a|=9，|b|=6，a·b=-54，则a与b的夹角θ为 A.45° 　B.135° 　C.120°　 D.150° 例 3 √ ∵a·b=|a||b|cos θ=-54， ∴cos θ===-， ∵0°≤θ≤180°，∴θ=135°. 21 (2)在△ABC中，=a，=b，当a·b≥0时，判断△ABC的形状. 因为在△ABC中，=a，=b，a·b≥0， 所以|a||b|cos〈a，b〉≥0，即cos〈a，b〉≥0，又〈a，b〉∈(0，π)， 所以0<〈a，b〉≤，即0<π-∠ABC≤，所以∠ABC=<∠ABC<π， 所以△ABC是直角三角形或钝角三角形. 22 　若本例中，“a·b<0”，能否判断△ABC的形状？ 延伸探究 由a·b<0可知·<0，∴·>0， ∴||||cos B>0，又∠B∈(0，π)， ∴∠B是锐角， 又∠B未必是△ABC的最大内角，故无法判断△ABC的形状. 23 反 思 感 悟 设a，b的夹角为θ，则 (1)a·b>0，则θ∈； (2)a·b<0，则θ∈. 数量积的符号与向量夹角的关系 　已知|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，则a与b的夹角的取值范围是 A.　 B.　 C.　 D. 跟踪训练 3 √ 25 ∵Δ=|a|2-4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0， 即|a|2-4|a||b|cos θ≥0， 又|a|=2|b|，∴4|b|2-8|b|2cos θ≥0， ∴cos θ≤，又0≤θ≤π， ∴≤θ≤π. 26 1.知识清单： (1)数量积的定义. (2)数量积的性质. (3)数量积的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：计算数量积时，常因不清楚两向量的夹角导致计算失误. 课堂小结 随堂演练 四 1.若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角θ为45°，则m·n等于 A.12　 B.12　 C.-12　 D.-12 由平面向量数量积的定义可得m·n=|m|·|n|cos 45°=4×6×=12. √ 1 2 3 4 2.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是 A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b=0 D.|a|= √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 a·b=0⇒a⊥b或a=0或b=0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2， 所以|a|=，所以D正确. 3.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是 A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 由·=0，知AB⊥BC. 由=，知BC∥AD且BC=AD， 所以四边形ABCD是矩形. √ 1 2 3 4 4.如图，已知△ABC是边长为的等边三角形，则： (1)·=　　　；  1 2 3 4 - ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°. 如图，延长AB至点D，使BD=AB， 则=， ∴∠DBC为向量的夹角. ∵∠DBC=120°， ∴向量的夹角为120°， 故·=||||cos 120°=-. (2)若E为BC的中点，则·=　　　.  1 2 3 4 0 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC， ∴的夹角为90°， 故·=0. 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B B B A C -3 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 8 AD AD A 等边三角形　-8 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. (1)因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°. 所以·=||||cos 0°=3×3×1=9. (2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°. 所以·=||||cos 180°=4×4×(-1)=-16. (3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°. 所以·=||||cos 120°=4×3×=-6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (1)若=，则=+，故x=y=. (2)因为||=4，||=2，∠BOA=60°，所以∠OBA=90°，所以||=2. 又因为=3，所以||=. 所以||==，cos∠OPB=. 所以与的夹角θ的余弦值为-. 所以·=||||cos θ=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (1)由已知可得=，四边形OAMB是菱形，则=+， 所以=-=-(+)=--. (2)易知∠DMC=60°，且||=||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=，则·=××cos 60°=. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC=1， 则·=1×1×cos 60°=. 所以·的取值范围为. 1.已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为，则a·b等于 A.1 B.2 C.3 D.4 a·b=|a||b|cos =1×2×=1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.已知向量|a|=10，|b|=12，且a·b=-60，则向量a与b的夹角为 A.60°　 B.120° 　C.135° 　D.150° 设a与b的夹角为θ， 则cos θ===-， 又0°≤θ≤180°，∴θ=120°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.在等腰直角三角形ABC中，若∠C=90°，AC=，则·的值等于 A.-2 　B.2　 C.-2　 D.2 ·=||||cos ∠ABC=2××cos 45°=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小 为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运 动10 m时，力F做的功为 A.100 J　 B.50 J　 C.50 J　 D.200 J 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W=F·s=10×10 ×cos 60°=50(J). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·>0，则点P与圆C的位置关系是 A.点P在圆C外部 B.点P在圆C上 C.点P在圆C内部 D.不确定 在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·>0，所以∠APB为锐角，所以点P在圆C外部. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.已知非零向量a，b满足|b|=2，且a·b=|a|，则向量a，b的夹角θ的大小为 A.　 B.　 C.　 D. 因为a·b=|a|，所以|a||b|cos θ=|a|，所以cos θ==，又θ∈[0，π]，所以θ=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.在△ABC中，∠ABC=90°，若BD⊥AC，且BD交AC于点D，||=，则·=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -3 如图所示， 因为BD⊥AC， 则|BC|cos∠CBD=|BD|， 则·=-· =-||||cos∠CBD =-||2=-3. 答案 8.定义：|a×b|=|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-6，则|a×b|= 　　　.  cos θ===-， ∵θ∈[0，π]，∴sin θ=. ∴|a×b|=2×5×=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 答案 9.如图，在▱ABCD中，||=4，||=3，∠DAB=60°. 求： (1)·； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为∥的夹角是0°. 所以·=||||cos 0°=3×3×1=9. 答案 (2)·； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为∥的夹角是180°. 所以·=||||cos 180°=4×4×(-1)=-16. 答案 (3)·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为的夹角为60°，所以的夹角为120°. 所以·=||||cos 120°=4×3×=-6. 答案 10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点， 且=x+y. (1)若=，求x，y的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若==+， 故x=y=. 答案 (2)若=3，||=4，||=2，且与的夹 角为60°，求·的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为||=4，||=2，∠BOA=60°， 所以∠OBA=90°， 所以||=2. 又因为=3， 所以||=. 所以||==，cos∠OPB=. 答案 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以的夹角θ的余弦值为-. 所以·=||||cos θ=-3. 答案 55 11.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是 A.cos θ>0⇔e1·e2>0 B.若e1∥e2，则e1·e2=1 C.若e1∥e2，则e1·e2=-1 D.|e1·e2|≤1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 答案 ∵e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ， ∴若cos θ>0，则e1·e2>0； 若e1·e2>0，则必有cos θ>0，故A正确. e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2=1，当e1，e2反向时，e1·e2=-1，故B，C错误. |e1·e2|≤|e1||e2|=1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.(多选)在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是 A.||2=· B.||2=· C.||2=· D.||2=·=· 对于A，·=||||cos A=||2，故A正确； 对于B，·=-||·||·cos C=-||2，故B错误； 对于C，·=-||||cos ∠ABD=-||2，故C错误； 对于D，·=||||cos ∠ABD=||2，·=||||cos ∠CBD =||2，故D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 13.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是 A.· B.· C.· D.· 由于⊥，故其数量积是0；与P1P6的夹角是，故其数量积小于0；设正六边形的边长是a，则·=||||· cos 30°=a2，·=||||cos 60°=a2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.已知在△ABC中，AB=AC=4，·=8，则△ABC的形状是__________， ·=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 等边三角形 -8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ·=||||cos∠BAC， 即8=4×4×cos∠BAC， 于是cos∠BAC=， 因为0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC=60°. 又AB=AC，故△ABC是等边三角形. 此时·=||||cos 120°=-8. 答案 拓广探究 15.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，即长段为全段的0.618.0.618被公认为最具有审美意义的 比例数字.宽与长的比为≈0.618的矩形叫作黄金矩形，它广泛的出现 在艺术、建筑、人体和自然界中，在黄金矩形ABCD中，BC=-1，AB>BC，那么·的值为 A.-1 B.+1 C.4 D.2+2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由黄金矩形的定义，可得AB=2，BC=-1，在矩形ABCD中，cos∠CAB===·=||||cos∠CAB=2× ×=4. 答案 16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得=， 四边形OAMB是菱形，则=+， 所以=-=-(+)=--. 答案 (2)求·的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知∠DMC=60°，且||=||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=， 则·=××cos 60°=. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC=1， 则·=1×1×cos 60°=. 所以·. 答案 第一章 <<< $$