第1章 1.5.1 数量积的定义及计算(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

1.5.1　数量积的定义及计算(二) [学习目标]　1.理解投影的概念.2.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.3.会利用数量积求向量的模和夹角. 导语 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 一、投影 知识梳理 1.投影向量，投影长 作向量=a，=b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则=+，其中与共线. 我们把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||=|||cos α|称为投影长.  2.在方向上的投影 ||cos α刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影. 3.数量积的几何意义 一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.  注意点： (1)明确投影向量、投影及投影长三个概念的区别. (2)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的.a在b方向上的投影|a|cos α的公式为|a|cos α=，b在a方向上的投影|b|cos α的公式为|b|cos α=. (3)求a在b方向上的投影向量时，首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角α，然后依据公式|a|cos αe计算. 例1　已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影. 解　(1)a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 120°=-10. (2)a在b上的投影为|a|cos θ===-. 延伸探究　在本例条件不变的情况下，求b在a上的投影. 解　b在a上的投影为|b|cos θ===-2. 反思感悟　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影等于|a|cos θ(θ为向量a，b的夹角)，即该投影与b的模无关. 跟踪训练1　在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，∠ABC=30°，D为BC的中点. (1)求在方向上的投影； (2)求在方向上的投影. 解　如图，连接AD. 因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC. 又AB=2，∠ABC=30°， 所以CD=BD=AB·cos 30°=. 由图可知与的夹角为∠ABC的补角， 所以与的夹角为150°， (1)在方向上的投影为||cos 150° =2×cos 150°=-. (2)在方向上的投影为||cos 150° =×cos 150°=-. 二、数量积的运算律 问题　对于实数a，b，c满足如下运算律： (1)ab=ba；(2)a(b+c)=ab+ac；(3)若ab=ac，则b=c其中a≠0. 向量a，b，c是否具有以上运算律？ 提示　a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立；若a·b=a·c未必有b=c. 知识梳理 1.数量积的运算律 设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 交换律 a·b=b·a 与数乘的结合律 a·(λb)=λ(a·b) 分配律 a·(b+c)=a·b+a·c 2.平面向量数量积的运算性质 (1)(a+b)2=a2+2a·b+b2； (2)(a-b)2=a2-2a·b+b2； (3)(a+b)·(a-b)=a2-b2； (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a. 注意点： 一般地，对于非零向量a，b，c. (1)a·b=b·c推不出a=c. (2)向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c). 例2　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A. a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 答案　ACD 解析　根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a-(c·a)·b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0， ∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形， ∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确；显然D正确. 反思感悟　进行数量积运算时，能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2=a·a. (2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. (3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. 跟踪训练2　已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，a与-b的夹角为，则(a-b)·(2a+b)等于(　　) A.1　B.3　C.-1　D.-5 答案　A 解析　因为a与-b的夹角为，则a与b的夹角为，又|a|=1，|b|=， 则a·b=1××=-1， 所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b-b2 =2×12-(-1)-()2=1. 三、向量的模 例3　已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角θ为.求|a+b|，|a-b|. 解　a·b=|a||b|cos θ=5×5×=. |a+b|== ==5. |a-b|== ==5. 反思感悟　求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，即|a|=，此性质可以实现实数运算与向量运算的相互转化. (2)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2=a2±2a·b+b2，(a+b)·(a-b)=a2-b2等. 跟踪训练3　已知|a|=1，|b|=3，且|a-b|=2，求|a+b|. 解　方法一　∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=1+9-2a·b=4， ∴a·b=3. ∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+9+2×3=16，∴|a+b|=4. 方法二　∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2，|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2， ∴|a-b|2+|a+b|2=2a2+2b2=2×1+2×9=20. 又|a-b|=2，∴|a+b|2=16，∴|a+b|=4. 四、向量的夹角 例4　若两个向量a与b的夹角为，且a是单位向量，|b|=2，c=2a+b，则向量c与b的夹角为　　　　.  答案　 解析　由题知a·b=1×2×cos =1， 所以c·b=(2a+b)·b=2a·b+b2=6， |c|=|2a+b|= ==2. 设c与b的夹角为θ， 则cos θ===. 因为θ∈[0，π]，所以θ=. 反思感悟　(1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ=求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. (2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解. (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]. 跟踪训练4　若非零向量a，b满足2|a|=|b|，且(3a+b)⊥(a-2b)，则a与b的夹角为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　C 解析　设a与b的夹角为θ， 因为非零向量a，b满足2|a|=|b|， 且(3a+b)⊥(a-2b)， 所以(3a+b)·(a-2b)=0， 即3a2-5a·b-2b2=0， 所以3|a|2-5|a|·(2|a|)cos θ-2×4|a|2=0， 解得cos θ=-， 又0≤θ≤π，所以θ=. 1.知识清单： (1)投影的概念及运用. (2)数量积的运算律. (3)利用数量积求向量的模和夹角. 2.方法归纳：类比法. 3.常见误区：向量夹角；向量共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角；a·b<0⇏两向量夹角为钝角. 1.对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　) A.|a·b|=|a||b| B.|a+b|=|a|+|b| C.(a·b)c=a(b·c) D.|a|= 答案　D 解析　因为a·b=|a||b|cos θ， 所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误； 根据向量加法的平行四边形法则，|a+b|≤|a|+|b|，只有当a，b同向时取“=”，所以B错误； 由向量数量积的性质知C错误； 因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2， 所以|a|=，所以D正确. 2.已知|a|=6，|b|=8，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影为(　　) A.4　B.-4　C.2　D.-2 答案　A 解析　向量b在a方向上的投影为 |b|cos θ=8×cos 60°=4. 3.已知非零向量a，b的夹角为45°，且|a|=2，|a-b|=2，则|b|=　　　　.  答案　2 解析　因为|a-b|= = ==2， 又|a|=2， 所以=2. 由题意知|b|≠0，所以|b|=2. 4.已知|a|=3，|b|=2，⊥，则a与b的夹角的余弦值为　　　　.  答案　 解析　由⊥， 得·=0， 可得2a2-5a·b-3b2=0， 代入|a|=3，|b|=2，可得a·b=， 所以a与b的夹角的余弦值为==. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.已知|b|=3，a在b方向上的投影为，则a·b的值为(　　) A.3　B.　C.2　D. 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ，∵|a|cos θ=， ∴a·b=|a||b|cos θ=3×=. 2.若a·c=b·c(c≠0)，则(　　) A.a=b B.a≠b C.|a|=|b| D.a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等 答案　D 解析　由向量数量积的几何意义可知选D. 3.已知|a|=3，|b|=2，且a，b的夹角为60°，如果(3a+5b)⊥(ma-b)，那么m的值为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　C 解析　由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0， 即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0， 3m×32+(5m-3)×3×2cos 60°-5×22=0， 解得m=. 4.已知平面向量a，b满足a·(a+b)=3且|a|=2，|b|=1，则向量a与b的夹角为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　C 解析　设向量a与b的夹角为θ. 因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos θ=3， 所以cos θ=-， 又因为θ∈[0，π]，所以θ=. 5.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　) A.　B.　C.　D.1 答案　B 解析　因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0， 即b2=2a·b， 又因为|a|=1，|a+2b|=2， 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4， 从而|b|=. 6.若平面向量a，b，c两两夹角相等，且|a|=|b|=2，|c|=5，则|a+b+c|等于(　　) A.　B.9　C.3或9　D.3或 答案　C 解析　∵平面上三个向量a，b，c两两夹角相等，|a|=|b|=2，|c|=5， 当两两夹角为120°时， |a+b+c|2=4+4+25+2×2×2×cos 120°+2×2×5×cos 120°+2×2×5×cos 120°=9， 所以|a+b+c|=3； 当两两夹角为0°时，|a+b+c|=2+2+5=9. 7.(5分)已知向量a与b的夹角为120°，|a|=1，|b|=2，则a·(a-4b)=　　　　.  答案　5 解析　因为a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2×=-1， 所以a·(a-4b)=|a|2-4a·b=1+4=5. 8.(5分)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1+e2与e1+λe2的夹角为60°，则实数λ的值是　　　　.  答案　- 解析　因为|e1+e2|==2，|e1+λe2|=，且·=+λ， 所以cos 60°==，解得λ=-. 9.(10分)已知两个平面向量a与b的夹角为，且|a|=1，|b|=2，记m=3a-b，n=ta+2b. (1)若m⊥n，求实数t的值；(5分) (2)若t=2，m与n的夹角为θ，求cos θ.(5分) 解　(1)由m⊥n得m·n=0， 即m·n=(3a-b)·(ta+2b)=3ta2+(6-t)a·b-2b2=3t|a|2+(6-t)|a||b|cos-2|b|2=3t+(6-t)×1×2×-2×22=0，解得t=1. 所以当m⊥n时，t=1. (2)当t=2时，m=3a-b，n=2a+2b， 所以m·n=(3a-b)·(2a+2b)=6a2+4a·b-2b2=6|a|2+4|a||b|cos-2|b|2 =6+4×1×2×-2×22=2， |m|===， |n|===2， 所以cos θ=cos〈m，n〉===. 10.(12分)已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°. (1)求(2a-b)·(a+3b)与|a+b|的值；(6分) (2)x为何值时，xa-b与a+3b的夹角为钝角？(6分) 解　(1)因为|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°， 所以a·b=|a||b|cos〈a，b〉=2×3×cos 120°=-3. (2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2×4-15-3×9=-34. |a+b|== ==. (2)因为xa-b与a+3b的夹角为钝角， 所以(xa-b)·(a+3b)=xa2+(3x-1)a·b-3b2=4x-9x+3-27<0， 即x>-. 又当xa-b与a+3b的夹角为180°时，x=-， 所以当x>-且x≠-时，xa-b与a+3b的夹角为钝角. 11.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是(　　) A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 答案　CD 解析　分析知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B结论错误； ∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3， ∴|a+b|=，故A结论错误； ∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0，∴(4a+b)⊥b，故C结论正确； a·b=1×2×cos 120°=-1，故D结论正确. 12.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 答案　A 解析　因为(-)·(+-2)=0， 即·(+)=0， 又因为-=， 所以(-)·(+)=0， 即||=||，所以△ABC是等腰三角形. 13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M是BC的中点，若=a，=b且||=2，AD=1，∠DAB=，则||等于(　　) A.　B.　C.　D.2 答案　B 解析　如图，连接AC，因为点M是BC的中点， 所以= == =+， 所以==×+×2×1×+×12=，所以||=. 14.(5分)已知向量a，b满足|a|=2|b|，a·b=-1，则|a+b|的最小值为　　　　.  答案　 解析　设向量a，b的夹角为θ，θ∈，则a·b=|a||b|cos θ=2|b|2cos θ=-1， 所以|b|2=≥， 所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=5|b|2-2≥，即|a+b|的最小值为. 15.(5分)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，AE与BF交于点G，且=λ，则λ=　　　　；若AB=10，AD=5，·=2，则·=　　　　.  答案　　96 解析　设=a，=b，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以=+=2+，则=2λ+，因为A，G，E三点共线，所以2λ+=1，解得λ=，所以==-)=b-a，·=b2-a·b=10-a·b=2，所以a·b=40. 又=+=+=a+b， 所以·=a2+a·b=96. 16.(12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足(+)·=(+)·=(+)·=0，且b2-2b+c2=0. (1)证明：点O为△ABC的外心；(5分) (2)求·的取值范围.(7分) (1)证明　由(+)·=0， 可得(+)·(-)=-=0， 所以||2=||2，即||=||， 同理||=||，所以||=||=||， 所以点O为△ABC的外心. (2)解　由于O是三角形外接圆的圆心，故O是△ABC三边中垂线的交点. 如图所示，延长AO交外接圆于点D，连接BD，CD，则AD是圆O的直径. 所以∠ACD=∠ABD=90°，cos∠CAD=， cos∠BAD=. 所以·=(-)· =·-·) =(||||cos∠CAD -||||cos∠BAD) =(||2-||2) =(b2-c2)=(b2+b2-2b) =b2-b=-， 因为c2=2b-b2>0，所以0<b<2， 令f(b)=-， 则当b=时，f(b)有最小值-. 又因为f(0)=0，f(2)=2， 所以-≤f(b)<2， 所以·的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5.1 第1章 <<< 数量积的定义及计算(二) 1.理解投影的概念. 2.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式. 3.会利用数量积求向量的模和夹角. 学习目标 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 导 语 一、投影 二、数量积的运算律 课时对点练 三、向量的模 随堂演练 内容索引 四、向量的夹角 投影 一 1.投影向量，投影长 作向量=a，=b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则=+，其中与共线. 我们把______称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||= __________称为投影长.  |||cos α| 知识梳理 2.在方向上的投影 ||cos α刻画了投影向量的 和 ，称为在方向上的投影. 3.数量积的几何意义 一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.  大小 方向 |b|cos α 知识梳理 (1)明确投影向量、投影及投影长三个概念的区别. (2)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的.a在b方向上的投影|a|cos α的公式为|a|cos α=，b在a方向上的投影|b|cos α的公式为|b|cos α=. (3)求a在b方向上的投影向量时，首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角α，然后依据公式|a|cos αe计算. 注 意 点 <<< 8 　已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°. (1)求a·b； 例 1 a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 120°=-10. 9 (2)求a在b上的投影. a在b上的投影为|a|cos θ===-. 10 　在本例条件不变的情况下，求b在a上的投影. 延伸探究 b在a上的投影为|b|cos θ===-2. 11 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影等于|a|cos θ (θ为向量a，b的夹角)，即该投影与b的模无关. 反 思 感 悟 12 　在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，∠ABC=30°，D为BC的中点. (1)求在方向上的投影； 跟踪训练 1 13 如图，连接AD. 因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC. 又AB=2，∠ABC=30°， 所以CD=BD=AB·cos 30°=. 由图可知的夹角为∠ABC的补角， 所以的夹角为150°， 方向上的投影为||cos 150°=2×cos 150°=-. 14 (2)求在方向上的投影. 方向上的投影为||cos 150°=×cos 150°=-. 15 二 数量积的运算律 提示　a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立；若a·b=a·c未必有b=c. 对于实数a，b，c满足如下运算律： (1)ab=ba；(2)a(b+c)=ab+ac；(3)若ab=ac，则b=c其中a≠0. 向量a，b，c是否具有以上运算律？ 问题 1.数量积的运算律 设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 交换律 a·b=b·a 与数乘的结合律 a·(λb)=λ(a·b) 分配律 a·(b+c)=a·b+a·c 知识梳理 18 2.平面向量数量积的运算性质 (1)(a+b)2= ； (2)(a-b)2=a2-2a·b+b2； (3)(a+b)·(a-b)=a2-b2； (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a. a2+2a·b+b2 知识梳理 19 一般地，对于非零向量a，b，c. (1)a·b=b·c推不出a=c. (2)向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c). 注 意 点 <<< 20 　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是 A. a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 例 2 √ √ √ 21 根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0， ∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形， ∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确； 显然D正确. 22 反 思 感 悟 进行数量积运算时，能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2=a·a. (2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. (3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. 　已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，a与-b的夹角为，则(a-b)· (2a+b)等于 A.1　 B.3　 C.-1　 D.-5 跟踪训练 2 √ 因为a与-b的夹角为，则a与b的夹角为，又|a|=1，|b|=， 则a·b=1××=-1， 所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b-b2=2×12-(-1)-()2=1. 24 向量的模 三 　已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角θ为.求|a+b|，|a-b|. 例 3 a·b=|a||b|cos θ=5×5×=. |a+b|====5. |a-b|====5. 26 反 思 感 悟 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，即|a|=，此性质可以实现实数运算与向量运算的相互转化. (2)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2=a2±2a·b+b2，(a+b)·(a-b)=a2-b2等. 求向量的模的常见思路及方法 　已知|a|=1，|b|=3，且|a-b|=2，求|a+b|. 跟踪训练 3 方法一　∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=1+9-2a·b=4， ∴a·b=3. ∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+9+2×3=16，∴|a+b|=4. 方法二　∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2，|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2， ∴|a-b|2+|a+b|2=2a2+2b2=2×1+2×9=20. 又|a-b|=2，∴|a+b|2=16，∴|a+b|=4. 28 向量的夹角 四 　若两个向量a与b的夹角为，且a是单位向量，|b|=2，c=2a+b，则向量c与b的夹角为　　　.  例 4 30 由题知a·b=1×2×cos =1， 所以c·b=(2a+b)·b=2a·b+b2=6， |c|=|2a+b|===2. 设c与b的夹角为θ， 则cos θ===. 因为θ∈[0，π]，所以θ=. 31 反 思 感 悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ=求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. (2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解. (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]. 　若非零向量a，b满足2|a|=|b|，且(3a+b)⊥(a-2b)，则a与b的夹角为 A.　 B.　 C.　 D. 跟踪训练 4 √ 33 设a与b的夹角为θ， 因为非零向量a，b满足2|a|=|b|， 且(3a+b)⊥(a-2b)， 所以(3a+b)·(a-2b)=0， 即3a2-5a·b-2b2=0， 所以3|a|2-5|a|·(2|a|)cos θ-2×4|a|2=0， 解得cos θ=-， 又0≤θ≤π，所以θ=. 34 1.知识清单： (1)投影的概念及运用. (2)数量积的运算律. (3)利用数量积求向量的模和夹角. 2.方法归纳：类比法. 3.常见误区：向量夹角；向量共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角；a·b<0⇏两向量夹角为钝角. 课堂小结 随堂演练 五 1.对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是 A.|a·b|=|a||b| B.|a+b|=|a|+|b| C.(a·b)c=a(b·c) D.|a|= √ 1 2 3 4 1 2 3 4 因为a·b=|a||b|cos θ， 所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误； 根据向量加法的平行四边形法则，|a+b|≤|a|+|b|，只有当a，b同向时取“=”，所以B错误； 由向量数量积的性质知C错误； 因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2， 所以|a|=，所以D正确. 2.已知|a|=6，|b|=8，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影为 A.4　 B.-4　 C.2　 D.-2 向量b在a方向上的投影为|b|cos θ=8×cos 60°=4. √ 1 2 3 4 3.已知非零向量a，b的夹角为45°，且|a|=2，|a-b|=2，则|b|=　　　　.  因为|a-b|== ==2， 又|a|=2， 所以=2. 由题意知|b|≠0，所以|b|=2. 1 2 3 4 2 4.已知|a|=3，|b|=2，⊥，则a与b的夹角的余弦值为　　　.  由⊥， 得·=0， 可得2a2-5a·b-3b2=0， 代入|a|=3，|b|=2，可得a·b=， 所以a与b的夹角的余弦值为==. 1 2 3 4 课时对点练 六 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D C C B C 5 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 - CD A B 　96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. (1)由m⊥n得m·n=0， 即m·n=(3a-b)·(ta+2b)=3ta2+(6-t)a·b-2b2 =3t|a|2+(6-t)|a||b|cos-2|b|2 =3t+(6-t)×1×2×-2×22=0， 解得t=1. 所以当m⊥n时，t=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. (2)当t=2时，m=3a-b，n=2a+2b， 所以m·n=(3a-b)·(2a+2b)=6a2+4a·b-2b2=6|a|2+4|a||b|cos-2|b|2 =6+4×1×2×-2×22=2， |m|===， |n|===2， 所以cos θ=cos〈m，n〉===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (1)因为|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°， 所以a·b=|a||b|cos〈a，b〉=2×3×cos 120°=-3. (2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2×4-15-3×9=-34. |a+b|====. (2)因为xa-b与a+3b的夹角为钝角， 所以(xa-b)·(a+3b)=xa2+(3x-1)a·b-3b2=4x-9x+3-27<0，即x>-. 又当xa-b与a+3b的夹角为180°时，x=-， 所以当x>-且x≠-时，xa-b与a+3b的夹角为钝角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (1)证明　由(+)·=0， 可得(+)·(-)=-=0， 所以||2=||2， 即||=||， 同理||=||， 所以||=||=||， 所以点O为△ABC的外心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (2)解　由于O是三角形外接圆的圆心，故O是△ABC三边中垂线的交点. 如图所示，延长AO交外接圆于点D，连接BD，CD，则AD是圆O的直径. 所以∠ACD=∠ABD=90°，cos∠CAD=，cos∠BAD=. 所以·=(-)·=·-·) =(||||cos∠CAD-||||cos∠BAD) =(||2-||2)=(b2-c2)=(b2+b2-2b)=b2-b=-， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 因为c2=2b-b2>0， 所以0<b<2， 令f(b)=-， 则当b=时，f(b)有最小值-. 又因为f(0)=0，f(2)=2，所以-≤f(b)<2， 所以·的取值范围是. 1.已知|b|=3，a在b方向上的投影为，则a·b的值为 A.3　 B.　 C.2　 D. 设a与b的夹角为θ，∵|a|cos θ=， ∴a·b=|a||b|cos θ=3×=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.若a·c=b·c(c≠0)，则 A.a=b B.a≠b C.|a|=|b| D.a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等 由向量数量积的几何意义可知选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.已知|a|=3，|b|=2，且a，b的夹角为60°，如果(3a+5b)⊥(ma-b)，那么m的值为 A.　 B.　 C.　 D. 由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0， 即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0， 3m×32+(5m-3)×3×2cos 60°-5×22=0， 解得m=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.已知平面向量a，b满足a·(a+b)=3且|a|=2，|b|=1，则向量a与b的夹角为 A.　 B.　 C.　 D. 设向量a与b的夹角为θ. 因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos θ=3， 所以cos θ=-， 又因为θ∈[0，π]，所以θ=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于 A.　 B. 　C.　 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0， 即b2=2a·b， 又因为|a|=1，|a+2b|=2， 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4， 从而|b|=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.若平面向量a，b，c两两夹角相等，且|a|=|b|=2，|c|=5，则|a+b+c|等于 A. 　B.9　 C.3或9　 D.3或 ∵平面上三个向量a，b，c两两夹角相等，|a|=|b|=2，|c|=5， 当两两夹角为120°时， |a+b+c|2=4+4+25+2×2×2×cos 120°+2×2×5×cos 120°+2×2×5 ×cos 120°=9， 所以|a+b+c|=3； 当两两夹角为0°时，|a+b+c|=2+2+5=9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.已知向量a与b的夹角为120°，|a|=1，|b|=2，则a·(a-4b)=　　　.  因为a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2×=-1， 所以a·(a-4b)=|a|2-4a·b=1+4=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 答案 8.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1+e2与e1+λe2的夹角为60°， 则实数λ的值是　　　　.  因为|e1+e2|==2，|e1+λe2|=·=+λ， 所以cos 60°==，解得λ=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 答案 9.已知两个平面向量a与b的夹角为，且|a|=1，|b|=2，记m=3a-b，n=ta+2b. (1)若m⊥n，求实数t的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由m⊥n得m·n=0， 即m·n=(3a-b)·(ta+2b)=3ta2+(6-t)a·b-2b2=3t|a|2+(6-t)|a||b|cos -2|b|2=3t+ (6-t)×1×2×-2×22=0，解得t=1. 所以当m⊥n时，t=1. 答案 (2)若t=2，m与n的夹角为θ，求cos θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当t=2时，m=3a-b，n=2a+2b， 所以m·n=(3a-b)·(2a+2b)=6a2+4a·b-2b2=6|a|2+4|a||b|cos -2|b|2 =6+4×1×2×-2×22=2， |m|===， |n|===2， 所以cos θ=cos〈m，n〉===. 答案 10.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°. (1)求(2a-b)·(a+3b)与|a+b|的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°， 所以a·b=|a||b|cos〈a，b〉=2×3×cos 120°=-3. (2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2×4-15-3×9=-34. |a+b|====. 答案 (2)x为何值时，xa-b与a+3b的夹角为钝角？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为xa-b与a+3b的夹角为钝角， 所以(xa-b)·(a+3b)=xa2+(3x-1)a·b-3b2=4x-9x+3-27<0， 即x>-. 又当xa-b与a+3b的夹角为180°时，x=-， 所以当x>-且x≠-时，xa-b与a+3b的夹角为钝角. 答案 11.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是 A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 答案 分析知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B结论错误； ∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3， ∴|a+b|=，故A结论错误； ∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0，∴(4a+b)⊥b，故C结论正确； a·b=1×2×cos 120°=-1，故D结论正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 因为(-)·(+-2)=0， 即·(+)=0， 又因为-=， 所以(-)·(+)=0， 即||=||，所以△ABC是等腰三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M是BC的中点，若=a，=b且||=2，AD=1，∠DAB=，则||等于 A.　 B.　 C.　 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接AC，因为点M是BC的中点， 所以= ===+， 所以==×+×2×1×+×12=，所以||=. 答案 14.已知向量a，b满足|a|=2|b|，a·b=-1，则|a+b|的最小值为　　　.  设向量a，b的夹角为θ，θ∈，则a·b=|a||b|cos θ=2|b|2cos θ=-1， 所以|b|2=≥， 所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=5|b|2-2≥，即|a+b|的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，AE与 BF交于点G，且=λ，则λ=　　　；若AB=10，AD=5，·=2， 则·=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 96 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=a，=b，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以=+=2+=2λ+，因为A，G，E三点共线，所以2λ+=1，解得λ===-)=b-a，·=b2-a·b=10-a·b=2，所以a·b=40. 又=+=+=a+b， 所以·=a2+a·b=96. 答案 16.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足(+)·=(+)·=(+)·=0，且b2-2b+c2=0. (1)证明：点O为△ABC的外心； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(+)·=0， 可得(+)·(-)=-=0， 所以||2=||2，即||=||， 同理||=||，所以||=||=||， 所以点O为△ABC的外心. 答案 (2)求·的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于O是三角形外接圆的圆心，故O是△ABC三边中垂线的交点. 如图所示，延长AO交外接圆于点D，连接BD，CD， 则AD是圆O的直径. 所以∠ACD=∠ABD=90°，cos∠CAD=， cos∠BAD=. 所以·=(-)·=·-·)=(||||cos∠CAD -||||cos∠BAD)=(||2-||2) =(b2-c2)=(b2+b2-2b)=b2-b=-， 答案 73 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为c2=2b-b2>0，所以0<b<2， 令f(b)=-， 则当b=时，f(b)有最小值-. 又因为f(0)=0，f(2)=2， 所以-≤f(b)<2， 所以·. 答案 74 第一章 <<< $$