第1章 1.3 向量的数乘-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

[学习目标]　1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.3.理解向量的夹角的概念. 导语 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的向量的数乘运算. 一、向量的实数倍 问题1　已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).它们的长度和方向分别是怎样的？ 提示　a+a+a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(-a)+(-a)+(-a)是a的长度的3倍，与a的方向相反，如图所示. 知识梳理 1.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘，一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|=|λ||a|. (1)当λ≠0且a≠0时， λa的方向 (2)当λ=0或a=0时，λa=0a=0或λa=λ0=0. 2.向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小. 3.向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量. 注意点： (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别注意当λ=0时，λa=0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ+a，λ-a是无法运算的. 例1　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的是(　　) A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B.当λ=0时，λa的方向具有任意性 C.|λa|=λ|a| D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 答案　ABD 解析　根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ=0时，λa=0，零向量的方向具有任意性，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都是与a同向，或者都是与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|=|λ||a|，故C错误. 反思感悟　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模. 跟踪训练1　下列各式中不表示向量的是(　　) A.0·a B.a+3b C.|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y) 答案　C 解析　向量的数乘运算结果均为向量，显然只有|3a|不是向量. 二、共线向量 问题2　若非零向量a，b方向相同或相反，则a与b存在怎样的数量关系？ 提示　a=λb，λ∈R. 知识梳理 1.共线向量 当非零向量a，b方向相同或相反时，就称a，b共线，也称a，b平行，记作a∥b，并规定零向量与所有的向量平行. 2.向量共线定理 a∥b⇔存在实数λ，使得b=λa或a=λb(a，b为非零向量). 3.向量的夹角 (1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，任选一点O，作=a，=b，则∠AOB=θ 称为向量a，b所成的角(也称夹角)，记作〈a，b〉. (2)范围：向量a，b夹角的范围是[0，π]. ①当θ=0时，a，b方向相同； ②当θ=π时，a，b方向相反； ③当0<θ<π时，a与b所在直线相交于点O； ④当θ=时，a与b垂直，记作a⊥b. (3)零向量：由于零向量的方向可以是任意方向，于是既可以规定0与a的夹角为0，此时零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，此时零向量与任一向量垂直. 注意点： (1)相等向量是共线向量，但共线向量未必是相等向量. (2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角.作=，则∠BAD才是向量与的夹角. 例2　(1)根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明. ①=； ②=； ③=，且||=||. 解　①∵=，∴AD∥BC，AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. ②∵=， ∴AD∥BC， AD≠BC. ∴四边形ABCD是梯形. ③∵=，且||=||， ∴四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形. 即四边形ABCD是菱形. (2)已知|a|=|b|=2，且a与b的夹角为60°，则a+b与a的夹角是多少？a-b与a的夹角又是多少？ 解　如图所示，作=a，=b，且∠AOB=60°. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则=a+b，=a-b. 因为|a|=|b|=2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB=60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a+b与a的夹角是30°，a-b与a的夹角是60°. 反思感悟　(1)利用向量共线求几何体的形状的关键是由=λ，证得||=λ||且AB∥CD. (2)①求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. ②特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0=180°-θ；当λ1λ2>0时，θ0=θ. 跟踪训练2　在△ABC中，∠C=90°，BC=AB，则与的夹角是(　　) A.30°　B.60°　C.120°　D.150° 答案　C 解析　如图，作向量=，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB=90°，BC=AB，所以∠ABC=60°，所以∠BAD=120°，即与的夹角是120°. 三、共线向量的运算与数乘运算律 问题3　类比实数乘法的运算律，猜想一下向量的数乘有哪些运算律？ 提示　结合律，分配律. 知识梳理 1.单位向量 长度为1的向量称为单位向量.对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e=a. 2.数乘运算律 一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律：(x+y)a=xa+ya. (2)对实数乘法的结合律：x(ya)=(xy)a. (3)对向量加法的分配律：x(a+b)=xa+xb. 角度1　向量的线性运算 例3　若a=2b+c，则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)等于(　　) A.-a B.-b C.-c D.以上都不对 答案　C 解析　原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b =a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-c. 角度2　共线向量的判定及应用 例4　设a，b是不共线的两个向量. (1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值. (1)证明　∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b， 而=-=(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线. (2)解　∵8a+kb与ka+2b共线， ∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)， 即(8-λk)a+(k-2λ)b=0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ=±2，∴k=2λ=±4. 角度3　用已知向量表示其他向量 例5　如图所示，四边形OADB是以向量=a，=b为邻边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示，，. 解　因为===-)=(a-b)， 所以=+=b+a-b=a+b. 因为==，所以=+=+==+)=(a+b). =-=(a+b)-a-b=a-b. 反思感悟　(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得=λ(或=λ等)即可.已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. (2)用已知向量表示其他向量的方法 跟踪训练3　(1)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0，则x=　　　　.  答案　4b-3a 解析　由已知，得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0， 所以x+3a-4b=0， 所以x=4b-3a. (2)在△ABC中，若点D满足=2，则等于(　　) A.+ B.- C.- D.+ 答案　D 解析　如图所示， 由题意可得=+ =+ =+-)=+. (3)设a，b是不共线的两个平面向量，已知=2a+kb，=a-b.若P，Q，R三点共线，则实数k的值为(　　) A.2　B.-2　C.　D.- 答案　B 解析　∵a，b是不共线的两个平面向量，∴a≠b，即≠0，∵P，Q，R三点共线，∴与共线，∴存在实数λ，使=λ.∴2a+kb=λa-λb，即(2-λ)a=(-k-λ)b，由a，b不共线，必有2-λ=-k-λ=0，解得λ=2，k=-2. 1.知识清单： (1)向量的数乘及运算律. (2)向量共线定理. (3)向量的夹角. (4)数乘的运算律. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：找错向量的夹角. 1.(多选)下列算式中，正确的是(　　) A.(-7)×6a=-42a B.a-2b+(2a+2b)=3a C.a+b-(a+b)=0 D.4(2a+b)=8a+4b 答案　ABD 2.已知非零向量a，b满足a=4b，则(　　) A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 答案　C 解析　∵a=4b，4>0，∴|a|=4|b|. ∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同. 3.在▱ABCD中，=2a，=3b，则等于(　　) A.a+b　B.a-b　C.2a+3b　D.2a-3b 答案　C 解析　=+=2a+3b. 4.设e1与e2是两个不共线向量，=3e1+2e2，=ke1+e2，=3e1-2ke2，若A，B，D三点共线，则k=　　　.  答案　- 解析　因为A，B，D三点共线， 故存在一个实数λ，使得=λ， 又=3e1+2e2，=ke1+e2，=3e1-2ke2， 所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2) =(3-k)e1-(2k+1)e2， 所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2， 所以 解得k=-. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.下列说法中，正确的是(　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反 B.若a，b共线，则b=λa C.若|b|=2|a|，则b=±2a D.若b=±2a，则|b|=2|a| 答案　D 解析　对于A，当λ=0时，结论不成立； 对于B，当a=0时，结论不成立； 对于C，当|b|=2|a|时，b与2a不一定共线； 对于D，因为b=±2a，所以|b|=2|a|，故正确. 2.若向量a与b的夹角为60°，则向量-a与-b的夹角是(　　) A.60°　B.120°　C.30°　D.150° 答案　A 解析　向量-a与-b的夹角与a与b的夹角相等，都为60°. 3.如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，那么向量+等于(　　) A.　B.　C.　D. 答案　A 解析　在矩形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，故=，又∵E为CD的中点， ∴+=+=+=. 4.已知=a+4b，=2b-a，=2(a+b)，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 答案　B 解析　∵+=a+4b，即+=， ∴=，即存在λ=1使=λ. ∴，共线. 又∵两向量有公共点B，∴A，B，D三点共线. 5.如图，在△ABC中，=a，=b，=3，=2，则等于(　　) A.-a+b B.a-b C.a+b D.-a+b 答案　D 解析　=+=+ =-)-=-+ =-a+b. 6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足=+，则等于(　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　由=+，有-=-， 即=3， 则=-=-(+)=-4=4，所以==. 7.(5分)若2-(c+b-3y)+b=0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y=　　　　.  答案　a-b+c 解析　将原等式变形为 2y-a-c-b+y+b=0， 即y=a-b+c， 所以y==a-b+c. 8.(5分)若=-，且=λ，则λ=　　　　.  答案　 解析　因为=-， 所以-=-+)， 所以=， 即=， 所以λ=. 9.(10分)计算： (1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)；(5分) (2)-.(5分) 解　(1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b) =a+b+a-b-a+b =a+b=a+b. (2)- =- =a+b-a-b=0. 10.(11分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，=，=a，=b. (1)用a，b表示向量，，，，；(5分) (2)求证：B，E，F三点共线.(6分) (1)解　∵=+)=(a+b)， ∴==(a+b)， ∵==b， ∴=-=(a+b)-a=(b-2a)， =-=b-a. (2)证明　由(1)知=-a+b，=-a+b=， ∴=，∴与共线. 又BE，BF有公共点B，∴B，E，F三点共线. 11.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ，μ，使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x，y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD，其中=a，=b 答案　AB 解析　对于A，联立2a-3b=4e和a+2b=-2e消去向量e可得出4a+b=0， ∴b=-4a，且a≠0，∴a，b共线. 对于B，∵a，b都是非零向量，且λ≠μ，λa-μb=0， ∴λ，μ都不为0，∴a=b，∴a，b共线. 对于C，当x=y=0时，满足x+y=0，此时对任意的向量a，b都有xa+yb=0，∴不能得出a，b共线； 对于D，∵在梯形中AB与CD不一定平行，∴不能得出a，b共线. 12.已知在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，则四边形ABCD为(　　) A.梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 答案　A 解析　∵=++ =(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b) =-8a-2b=2(-4a-b)， ∴=2. ∴与共线，且||=2||. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD=2BC. ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形. 13.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则等于(　　) A.-+ B.+ C.- D.- 答案　D 解析　由三角形法则得=-，=+. 因为E为BC的中点，F为AE的中点， 所以=，=， 所以=-=-=+)-=+-. 又因为=，所以=-. 14.(5分)△ABC所在的平面内有一点P，满足+4+=2，则△PAC与△PBC的面积之比为　　　　.  答案　 解析　因为+4+=2， 所以+4+=2(-)， 所以3+2+=0， 设=3，=2，=，如图所示， 则++=0， 即P为△A'B'C'的重心， 设S△A'B'P=S△A'PC'=S△PB'C'=S， 则S△PAC=S，S△PBC=S， 即△PAC与△PBC的面积之比为=. 15.(多选)设P是△OAB内部(不含边界)的一点，以下可能成立的是(　　) A.=+ B.=+ C.=+ D.=+ 答案　AC 解析　对于A，如下图所示，可知P在△OAB内部，故成立； 对于B，如下图所示，可知P在△OAB外部，故不成立； 对于C，因为=+=++=+，如下图所示，可知P在△OAB内部，故成立. 对于D，因为=+=++=-+，如下图所示，可知P在△OAB外部，故不成立. 16.(12分)过△ABC的重心G任作一直线分别交AB，AC于点D，E，若=x，=y，且xy≠0，试求+的值. 解　如图，设=a，=b，则= =×(a+b) =(a+b). ∴=-=a-b， =-=xa-yb. ∵与共线，∴=λ， ∴a-b=λxa-λyb， ∴消去λ得=， ∴+=3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.3 第1章 <<< 向量的数乘 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 3.理解向量的夹角的概念. 学习目标 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的向量的数乘运算. 导 语 一、向量的实数倍 二、共线向量 课时对点练 三、共线向量的运算与数乘运算律 随堂演练 内容索引 向量的实数倍 一 提示　a+a+a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(-a)+(-a)+(-a)是a的长度的3倍，与a的方向相反，如图所示. 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).它们的长度和方向分别是怎样的？ 问题1 1.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘，一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作 ，称为a的λ倍，它的长度|λa|= . (1)当λ≠0且a≠0时， (2)当λ=0或a=0时，λa=0a= 或λa=λ0= . λa |λ||a| λa的方向 0 0 知识梳理 2.向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向 . 3.向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称 .向量线性运算的结果仍是一个 . 放大或缩小 向量的线性运算 向量 知识梳理 (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别注意当λ=0时，λa=0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ+a，λ-a是无法运算的. 注 意 点 <<< 9 　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的是 A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B.当λ=0时，λa的方向具有任意性 C.|λa|=λ|a| D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 例 1 √ √ √ 10 根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确； 对于B，当λ=0时，λa=0，零向量的方向具有任意性，故B正确； 对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都是与a同向，或者都是与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确； 对于C，|λa|=|λ||a|，故C错误. 11 λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模. 反 思 感 悟 12 　下列各式中不表示向量的是 A.0·a B.a+3b C.|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y) 跟踪训练 1 √ 向量的数乘运算结果均为向量，显然只有|3a|不是向量. 13 二 共线向量 提示　a=λb，λ∈R. 若非零向量a，b方向相同或相反，则a与b存在怎样的数量关系？ 问题2 1.共线向量 当非零向量a，b方向 时，就称a，b共线，也称a，b平行，记作 ，并规定 与所有的向量平行. 2.向量共线定理 a∥b⇔存在实数λ，使得 (a，b为非零向量). 3.向量的夹角 (1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，任选一点O， 作=a，=b，则 称为向量a，b所成的角 (也称夹角)，记作〈a，b〉. 相同或相反 a∥b 零向量 b=λa或a=λb ∠AOB=θ 知识梳理 16 (2)范围：向量a，b夹角的范围是 . ①当θ= 时，a，b方向相同； ②当θ= 时，a，b方向相反； ③当 <θ< 时，a与b所在直线相交于点O； ④当θ=____时，a与b垂直，记作 . (3)零向量：由于零向量的方向可以是任意方向，于是既可以规定0与a的夹角为0，此时零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，此时零向量与任一向量垂直. [0，π] 0 π 0 π a⊥b 知识梳理 17 (1)相等向量是共线向量，但共线向量未必是相等向量. (2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量 注 意 点 <<< 的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角.作=，则∠BAD才是向量与的夹角. 18 　(1)根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明. ①=； 例 2 ∵=，∴AD∥BC，AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 19 ②=； ∵=， ∴AD∥BC， AD≠BC. ∴四边形ABCD是梯形. 20 ③=，且||=||. ∵=，且||=||， ∴四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形. 即四边形ABCD是菱形. 21 (2)已知|a|=|b|=2，且a与b的夹角为60°，则a+b与a的夹角是多少？a-b与a的夹角又是多少？ 22 如图所示，作=a，=b，且∠AOB=60°. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则=a+b，=a-b. 因为|a|=|b|=2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB=60°， 所以的夹角为30°，的夹角为60°. 即a+b与a的夹角是30°，a-b与a的夹角是60°. 23 反 思 感 悟 (1)利用向量共线求几何体的形状的关键是由=λ，证得||=λ||且AB∥CD. (2)①求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. ②特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0=180°-θ；当λ1λ2>0时，θ0=θ. 在△ABC中，∠C=90°，BC=AB，则与的夹角是 A.30°　 B.60°　 C.120°　 D.150° 跟踪训练 2 √ 如图，作向量=，则∠BAD是的夹角，在△ABC中，因为∠ACB=90°，BC=AB，所以∠ABC=60°，所以∠BAD=120°，即的夹角是120°. 25 共线向量的运算与数乘运算律 三 类比实数乘法的运算律，猜想一下向量的数乘有哪些运算律？ 提示　结合律，分配律. 问题3 27 1.单位向量 长度为 的向量称为单位向量.对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e=a. 2.数乘运算律 一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律：(x+y)a= . (2)对实数乘法的结合律：x(ya)= . (3)对向量加法的分配律：x(a+b)= . xa+ya (xy)a xa+xb 1 知识梳理 28 　若a=2b+c，则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)等于 A.-a B.-b C.-c D.以上都不对 例 3 √ 角度1　向量的线性运算 原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-c. 29 　设a，b是不共线的两个向量. (1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线； 例 4 角度2　共线向量的判定及应用 ∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b， 而=-=(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2， ∴共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线. 30 (2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值. ∵8a+kb与ka+2b共线， ∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)， 即(8-λk)a+(k-2λ)b=0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ=±2，∴k=2λ=±4. 31 　如图所示，四边形OADB是以向量=a，=b为邻边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示，，. 例 5 角度3　用已知向量表示其他向量 32 因为===-)=(a-b)， 所以=+=b+a-b=a+b. 因为== =+=+==+)=(a+b). =-=(a+b)-a-b=a-b. 33 反 思 感 悟 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得=λ(或=λ等)即可.已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. (2)用已知向量表示其他向量的方法 3　(1)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0，则x=　　　　.  跟踪训练 3 4b-3a 由已知，得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0， 所以x+3a-4b=0， 所以x=4b-3a. 35 (2)在△ABC中，若点D满足=2，则等于 A.+ B.- C.- D.+ √ 36 如图所示， 由题意可得=+=+ =+-)=+. 37 (3)设a，b是不共线的两个平面向量，已知=2a+kb，=a-b.若P，Q，R三点共线，则实数k的值为 A.2　 B.-2　 C.　 D.- √ ∵a，b是不共线的两个平面向量， ∴a≠b，即≠0， ∵P，Q，R三点共线， ∴共线， ∴存在实数λ，使=λ. ∴2a+kb=λa-λb，即(2-λ)a=(-k-λ)b，由a，b不共线，必有2-λ=-k-λ=0，解得λ=2，k=-2. 38 1.知识清单： (1)向量的数乘及运算律. (2)向量共线定理. (3)向量的夹角. (4)数乘的运算律. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：找错向量的夹角. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)下列算式中，正确的是 A.(-7)×6a=-42a B.a-2b+(2a+2b)=3a C.a+b-(a+b)=0 D.4(2a+b)=8a+4b √ 1 2 3 4 √ √ 2.已知非零向量a，b满足a=4b，则 A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 ∵a=4b，4>0，∴|a|=4|b|. ∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同. √ 1 2 3 4 3.在▱ABCD中，=2a，=3b，则等于 A.a+b　 B.a-b　 C.2a+3b　 D.2a-3b =+=2a+3b. √ 1 2 3 4 4.设e1与e2是两个不共线向量，=3e1+2e2，=ke1+e2，=3e1-2ke2，若A，B，D三点共线，则k=　　　.  1 2 3 4 - 因为A，B，D三点共线， 故存在一个实数λ，使得=λ， 又=3e1+2e2，=ke1+e2，=3e1-2ke2， 所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2， 所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2， 所以 解得k=-. 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A A B D B a-b+c 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 AB A D AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. (1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)=a+b+a-b-a+b =a+b=a+b. (2)- =-=a+b-a-b=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (1)解　∵=+)=(a+b)， ∴==(a+b)， ∵==b， ∴=-=(a+b)-a=(b-2a)， =-=b-a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (2)证明　由(1)知=-a+b，=-a+b=， ∴=，∴与共线. 又BE，BF有公共点B， ∴B，E，F三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 如图，设=a，=b，则==×(a+b)=(a+b). ∴=-=a-b，=-=xa-yb. ∵与共线，∴=λ， ∴a-b=λxa-λyb，∴ 消去λ得=，∴+=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1.下列说法中，正确的是 A.λa与a的方向不是相同就是相反 B.若a，b共线，则b=λa C.若|b|=2|a|，则b=±2a D.若b=±2a，则|b|=2|a| √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 对于A，当λ=0时，结论不成立； 对于B，当a=0时，结论不成立； 对于C，当|b|=2|a|时，b与2a不一定共线； 对于D，因为b=±2a，所以|b|=2|a|，故正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 53 2.若向量a与b的夹角为60°，则向量-a与-b的夹角是 A.60°　 B.120°　 C.30°　 D.150° 向量-a与-b的夹角与a与b的夹角相等，都为60°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，那么向量+等于 A.　 B. 　C.　 D. 在矩形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，故=，又∵E为CD的中点，∴+=+=+=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.已知=a+4b，=2b-a，=2(a+b)，则 A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 ∵+=a+4b，即+=， ∴=，即存在λ=1使=λ. ∴共线. 又∵两向量有公共点B，∴A，B，D三点共线. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.如图，在△ABC中，=a，=b，=3， =2，则等于 A.-a+b B.a-b C.a+b D.-a+b =+=+=-)-=-+=-a+b. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足=+ ，则等于 A.　 B.　 C.　 D. 由=+-=-， 即=3， 则=-=-(+)=-4=4==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.若2-(c+b-3y)+b=0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y=　 　　　.  将原等式变形为2y-a-c-b+y+b=0， 即y=a-b+c， 所以y==a-b+c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a-b+c 答案 8.若=-，且=λ，则λ=　　　.  因为=-， 所以-=-+)， 所以=， 即=， 所以λ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.计算： (1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (a+2b)+(3a-2b)-(a-b)=a+b+a-b-a+b =a+b=a+b. 答案 (2)-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - =-=a+b-a-b=0. 答案 10.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，=，=a，=b. (1)用a，b表示向量，，，，； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=+)=(a+b)， ∴==(a+b)， ∵==b， ∴=-=(a+b)-a=(b-2a)， =-=b-a. 答案 64 (2)求证：B，E，F三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知=-a+b，=-a+b=， ∴=，∴共线. 又BE，BF有公共点B，∴B，E，F三点共线. 答案 11.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定能使a，b共线的是 A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ，μ，使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x，y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD，其中=a，=b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 答案 对于A，联立2a-3b=4e和a+2b=-2e消去向量e可得出4a+b=0， ∴b=-4a，且a≠0，∴a，b共线. 对于B，∵a，b都是非零向量，且λ≠μ，λa-μb=0， ∴λ，μ都不为0，∴a=b，∴a，b共线. 对于C，当x=y=0时，满足x+y=0，此时对任意的向量a，b都有xa+yb=0，∴不能得出a，b共线； 对于D，∵在梯形中AB与CD不一定平行，∴不能得出a，b共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.已知在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，则四边形ABCD为 A.梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b)， ∴=2. ∴共线，且||=2||. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD=2BC. ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形. 答案 13.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则等于 A.-+ B.+ C.- D.- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由三角形法则得=-=+. 因为E为BC的中点，F为AE的中点， 所以==， 所以=-=-=+)-=+-. 又因为==-. 答案 14.△ABC所在的平面内有一点P，满足+4+=2，则△PAC与 △PBC的面积之比为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为+4+=2， 所以+4+=2(-)， 所以3+2+=0， 设=3=2=，如图所示， 则++=0， 即P为△A'B'C'的重心， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设S△A'B'P=S△A'PC'=S△PB'C'=S， 则S△PAC=S，S△PBC=S， 即△PAC与△PBC的面积之比为=. 答案 拓广探究 15.(多选)设P是△OAB内部(不含边界)的一点，以下可能成立的是 A.=+ B.=+ C.=+ D.=+ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，如下图所示，可知P在△OAB内部，故成立； 对于B，如下图所示，可知P在△OAB外部，故不成立； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，因为=+=++=+，如下图所示，可知P在△OAB内部，故成立. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，因为=+=++=-+，如下图所示，可知P在△OAB外部，故不成立. 答案 16.过△ABC的重心G任作一直线分别交AB，AC于点D，E，若=x，=y，且xy≠0，试求+的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设=a，=b，则==×(a+b)=(a+b). ∴=-=a-b， =-=xa-yb. ∵共线，∴=λ， ∴a-b=λxa-λyb， 答案 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴消去λ得=， ∴+=3. 答案 81 第一章 <<< $$