第1章 1.2 第2课时 向量的减法-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2课时　向量的减法 [学习目标]　1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握向量减法的意义及减法法则.2.理解向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加减法综合运算. 导语 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了加法的三角形法则和平行四边形法则，如何进行向量的减法运算呢？ 一、向量的减法 问题1　在数的运算中，减法是加法的逆运算.类比数的减法，向量的减法和加法有什么关系？ 提示　向量的减法是向量加法的逆运算. 问题2　类比减法的运算法则“减去一个数等于加上一个数的相反数”，你能定义向量的减法法则吗？ 提示　减去一个向量等于加上一个向量的相反向量. 知识梳理 1.定义：已知两个向量a，b，求x满足a+x=b，这样的运算叫作向量的减法.记为x=b-a，x称为b与a之差. 如图，，，是△OAB的三边，记=a，=b，由于+=. 因此，=-=b-a. 也可以由，经过加法得到： =+=(-)+=(-a)+b. 2.意义：减去一个向量a，等于加上它的相反向量-a，即b-a=b+(-a). 例1　(1)(多选)下列各式可以化简为的是(　　) A.+ B.- C.- D.- 答案　AD 解析　对于A，+=；对于B，-=--=-(+)≠；对于C，-=；对于D，-=，故选AD. (2)化简： ①--； ②-(--). 解　①--=++=0. ②-(--)=-(+-)=-(-)=-=0. 反思感悟　求两个向量的差向量的思路 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简. 跟踪训练1　化简下列式子： (1)---； (2)(-)-(-). 解　(1)原式=+-=+=0. (2)原式=--+ =(-)+(-)=+=0. 二、位置向量 知识梳理 任取一定点O，从O分别观测A，B两点的方向和距离，则点A，B的位置由点O分别到A，B的两个向量，唯一表示，，分别称为点A，B的位置向量.因此，向量等于终点向量减去起点向量. 例2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a+b-c. 解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 跟踪训练2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c. 解　如图，在平面内任取一点O，作向量=a，=b，则向量=a-b，再作向量=c， 则向量=a-b-c. 三、向量加减法的综合应用 问题3　如图，在平行四边形ABCD中，记=a，=b，你能找到a+b，a-b吗？ 提示　能.a+b=，a-b=. 例3　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以==c，=-=b-a， 故=+=b-a+c. 延伸探究　将本例中的条件“点B是平行四边形ACDE外一点”换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，如图，其他条件不变，其结论又将如何呢？ 解　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以==c，=-=b-a， =+=b-a+c. 反思感悟　用向量表示其他向量的方法 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则. (2)表示向量时要考虑以下问题：它是不是某个平行四边形的对角线，是否可以找到由起点到终点的恰当途径，它的起点和终点是否为两个有共起点的向量的终点. 跟踪训练3　如图所示，解答下列各题： (1)用a，d，e表示； (2)用b，c表示； (3)用a，b，e表示； (4)用c，d表示. 解　(1)=++=d+e+a. (2)=-=--=-b-c. (3)=++=a+b+e. (4)=-=-(+)=-c-d. 1.知识清单： (1)向量的减法运算. (2)位置向量. (3)向量加减法的综合运用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算. 1.在△ABC中，=a，=b，则等于(　　) A.a+b　B.-a-b　C.a-b　D.b-a 答案　B 解析　如图，∵=+=a+b， ∴=-=-a-b. 2.-+等于(　　) A.　B.　C.0　D. 答案　C 解析　-+=+=0. 3.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且=，则化简+--的结果为(　　) A.0　B.　C.　D. 答案　A 解析　+--=(-)+(-)=+=-=0. 4.若菱形ABCD的边长为2，则|-+|的长度为　　　　.  答案　2 解析　|-+|=|++|=||=2. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(　　) A.-= B.-= C.-= D.-= 答案　C 解析　对于A，-=，A正确； 对于B，-=+=，B正确； 对于C，-=- =-2≠，C错误； 对于D，-=+=，D正确. 2.已知四边形ABCD，O为任意一点，若+=+，那么四边形ABCD的形状是(　　) A.正方形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 答案　B 解析　由+=+得， -=-， ∴=， ∴BA∥CD，且BA=CD， ∴四边形ABCD的形状是平行四边形. 3.如图，在四边形ABCD中，设=a，=b，=c，则等于(　　) A.a-b+c 　　B.b-(a+c) C.a+b+c 　　D.b-a+c 答案　A 解析　=- =+- =-+ =a-b+c. 4.已知非零向量a与b同向，则a-b(　　) A.必与a同向 B.必与b同向 C.可能与a同向、反向也可能是0 D.不可能与b同向 答案　C 解析　向量a与b同向， 当|a|>|b|时，a-b与a同向； 当|a|<|b|时，a-b与a反向； 当|a|=|b|时，a-b=0. 5.在边长为1的正三角形ABC中，|-|的值为(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　D 解析　如图，作菱形ABCD， 则|-|=|-| =||=. 6.(多选)下列结果恒为零向量的是(　　) A.-(+) B.-+- C.-+ D.++- 答案　BCD 解析　A项，-(+)=-=+；B项，-+-=+=0；C项，-+=+=0；D项，++-=+=0. 7.(5分)如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则-+=　　　.  答案　0 解析　因为D是边BC的中点，所以=， 所以-+=+-=-=0. 8.(5分)如图，在正六边形ABCDEF中，记向量=a，=b，则向量=　　　　　.(用a，b表示)  答案　b-a 解析　由正六边形的性质知， -=， ∴=b-a. 9.(10分)如图，O为△ABC内一点，=a，=b，=c.求作： (1)b+c-a；(5分) (2)a-b-c.(5分) 解　(1)如图所示，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则=+=b+c， 所以b+c-a=-=. (2)由(1)知，=b+c， 则a-b-c=-=. 10.(11分)已知在△OAB中，=a，=b，满足|a|=|b|=|a-b|=2，求|a+b|与△OAB的面积. 解　由已知得||=||， 以，为邻边作平行四边形OACB如图， 且=a+b，=a-b， 由于|a|=|b|=|a-b|， 则OA=OB=BA， ∴△OAB为正三角形，四边形OACB为菱形， ∴|a+b|=||=2×=2， S△OAB=×2×=. 11.在平面上有A，B，C三点，设m=+，n=-，若m与n的长度恰好相等，则有(　　) A.A，B，C三点必在一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形 答案　C 解析　由题意知A，B，C三点不共线，以，为邻边作平行四边形ABCD，则m=+=，n=-=，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角. 12.(多选)已知点O，N在△ABC所在平面内，且||=||=||，++=0，则点O，N分别是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案　AC 解析　因为||=||=||， 所以点O到三角形的三个顶点的距离相等， 所以O为△ABC的外心； 由++=0，得+=-=，由中线的性质可知点N在AB边的中线上， 同理可得点N在其他边的中线上， 所以点N为△ABC的重心. 13.若||=5，||=8，则||的取值范围是(　　) A.[3，8]　B.(3，8)　C.[3，13]　D.(3，13) 答案　C 解析　∵||=|-|且 |||-|||≤|-|≤||+||， ∴3≤|-|≤13，∴3≤||≤13. 14.(5分)已知=a，=b，若||=12，||=5，且∠AOB=90°，则|a-b|=　　　　.  答案　13 解析　∵||=12，||=5，∠AOB=90°， ∴||2+||2=||2， ∴||=13. ∵=a，=b， ∴a-b=-=， ∴|a-b|=||=13. 15.若点O是△ABC的外心，且++=0，则△ABC的内角C等于(　　) A.45°　B.60°　C.90°　D.120° 答案　D 解析　∵++=0， ∴+=， ∴四边形OACB为平行四边形， 又点O是△ABC的外心， ∴||=||=||=||=||， ∴∠ACO=∠BCO=60°， 故∠ACB=120°. 16.(12分)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，求： (1)|a+b+c|；(6分) (2)|a-b+c|.(6分) 解　(1)由已知得a+b=+=， ∵=c， ∴延长AC到点E， 使||=||，如图所示， 则a+b+c=， 且||=2. ∴|a+b+c|=2. (2)作=，连接CF，则+=， 而=-=-=a-b， ∴|a-b+c|=|+|=||且||=2. ∴|a-b+c|=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第1章 <<< 向量的减法 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握向量减法的意义及减法法则. 2.理解向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加减法综合运算. 学习目标 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了加法的三角形法则和平行四边形法则，如何进行向量的减法运算呢？ 导 语 一、向量的减法 二、位置向量 课时对点练 三、向量加减法的综合应用 随堂演练 内容索引 向量的减法 一 提示　向量的减法是向量加法的逆运算. 在数的运算中，减法是加法的逆运算.类比数的减法，向量的减法和加法有什么关系？ 问题1 提示　减去一个向量等于加上一个向量的相反向量. 类比减法的运算法则“减去一个数等于加上一个数的相反数”，你能定义向量的减法法则吗？ 问题2 1.定义：已知两个向量a，b，求x满足a+x=b，这样的运算叫作_________ .记为x=b-a，x称为 之差. 如图，，，是△OAB的三边，记=a，=b，由于+=. 因此，=-=b-a. 也可以由，经过加法得到： =+=(-)+=(-a)+b. 2.意义：减去一个向量a，等于加上它的相反向量 ，即b-a= . 向量的 减法 b与a -a b+(-a) 知识梳理 (1)(多选)下列各式可以化简为的是 A.+ B.- C.- D.- 例 1 √ √ 对于A，+=； 对于B，-=--=-(+)≠； 对于C，-=； 对于D，-=，故选AD. 9 (2)化简： ①--； --=++=0. ②-(--). -(--)=-(+-)=-(-)=-=0. 10 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简. 求两个向量的差向量的思路 反 思 感 悟 11 化简下列式子： (1)---； 跟踪训练 1 原式=+-=+=0. (2)(-)-(-). 原式=--+=(-)+(-)=+=0. 12 二 位置向量 任取一定点O，从O分别观测A，B两点的方向和距离，则点A，B的位置由点O分别到A，B的两个向量，唯一表示，________分别称为点A，B的位置向量.因此，向量等于终点向量减去起点向量. ， 知识梳理 14 如图，已知向量a，b，c，求作向量a+b-c. 例 2 15 方法一　如图①，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. 16 反 思 感 悟 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 求作两个向量的差向量的两种思路 如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c. 跟踪训练 2 如图，在平面内任取一点O，作向量=a，=b，则向量=a-b，再作向量=c， 则向量=a-b-c. 18 向量加减法的综合应用 三 如图，在平行四边形ABCD中，记=a，=b，你能找到a+b，a-b吗？ 提示　能.a+b=，a-b=. 问题3 20 　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量，，. 例 3 因为四边形ACDE是平行四边形， 所以==c，=-=b-a， 故=+=b-a+c. 21 　将本例中的条件“点B是平行四边形ACDE外一点”换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，如图，其他条件 不变，其结论又将如何呢？ 延伸探究 因为四边形ACDE是平行四边形， 所以==c，=-=b-a， =+=b-a+c. 22 反 思 感 悟 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则. (2)表示向量时要考虑以下问题：它是不是某个平行四边形的对角线，是否可以找到由起点到终点的恰当途径，它的起点和终点是否为两个有共起点的向量的终点. 用向量表示其他向量的方法 如图所示，解答下列各题： (1)用a，d，e表示； 跟踪训练 3 =++=d+e+a. (2)用b，c表示； =-=--=-b-c. 24 (3)用a，b，e表示； =++=a+b+e. (2)用b，c表示； =-=-(+)=-c-d. 25 1.知识清单： (1)向量的减法运算. (2)位置向量. (3)向量加减法的综合运用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算. 课堂小结 随堂演练 四 1.在△ABC中，=a，=b，则等于 A.a+b　 B.-a-b　 C.a-b　 D.b-a √ 1 2 3 4 如图，∵=+=a+b， ∴=-=-a-b. 2.-+等于 A.　 B.　 C.0　 D. -+=+=0. √ 1 2 3 4 3.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且=，则化简+--的结果为 A.0　 B.　 C.　 D. +--=(-)+(-)=+=-=0. √ 1 2 3 4 4.若菱形ABCD的边长为2，则|-+|的长度为　　　.  |-+|=|++|=||=2. 1 2 3 4 2 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A C D BCD 0 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 C AC C 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则=+=b+c， 所以b+c-a=-=. (2)由(1)知，=b+c， 则a-b-c=-=. 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由已知得||=||， 以，为邻边作平行四边形OACB如图， 且=a+b，=a-b， 由于|a|=|b|=|a-b|， 则OA=OB=BA， ∴△OAB为正三角形，四边形OACB为菱形， ∴|a+b|=||=2×=2，S△OAB=×2×=. 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)由已知得a+b=+=， ∵=c， ∴延长AC到点E，使||=||，如图所示， 则a+b+c=，且||=2. ∴|a+b+c|=2. (2)作=，连接CF， 则+=，而=-=-=a-b， ∴|a-b+c|=|+|=||且||=2. ∴|a-b+c|=2. 16. 1.在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是 A.-= B.-= C.-= D.-= 对于A，-=，A正确； 对于B，-=+=，B正确； 对于C，-=-=-2≠，C错误； 对于D，-=+=，D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.已知四边形ABCD，O为任意一点，若+=+，那么四边形ABCD的形状是 A.正方形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 由+=+得， -=-，∴=， ∴BA∥CD，且BA=CD， ∴四边形ABCD的形状是平行四边形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.如图，在四边形ABCD中，设=a，=b， =c，则等于 A.a-b+c 　　 B.b-(a+c) C.a+b+c 　　 D.b-a+c =-=+-=-+=a-b+c. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.已知非零向量a与b同向，则a-b A.必与a同向 B.必与b同向 C.可能与a同向、反向也可能是0 D.不可能与b同向 向量a与b同向， 当|a|>|b|时，a-b与a同向； 当|a|<|b|时，a-b与a反向； 当|a|=|b|时，a-b=0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.在边长为1的正三角形ABC中，|-|的值为 A.1 B.2 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，作菱形ABCD， 则|-|=|-|=||=. 答案 6.(多选)下列结果恒为零向量的是 A.-(+) B.-+- C.-+ D.++- A项，-(+)=-=+； B项，-+-=+=0； C项，-+=+=0； D项，++-=+=0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 7.如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则-+=　　　.  因为D是边BC的中点，所以=， 所以-+=+-=-=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 答案 8.如图，在正六边形ABCDEF中，记向量=a， =b，则向量=　　　　.(用a，b表示)  由正六边形的性质知， -=， ∴=b-a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 b-a 答案 9.如图，O为△ABC内一点，=a，=b，=c.求作： (1)b+c-a； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，以为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则=+=b+c， 所以b+c-a=-=. 答案 (2)a-b-c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知，=b+c， 则a-b-c=-=. 答案 10.已知在△OAB中，=a，=b，满足|a|=|b|=|a-b|=2，求|a+b|与△OAB的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得||=||， 以为邻边作平行四边形OACB如图， 且=a+b，=a-b， 由于|a|=|b|=|a-b|， 则OA=OB=BA， ∴△OAB为正三角形，四边形OACB为菱形， ∴|a+b|=||=2×=2， S△OAB=×2×=. 答案 48 11.在平面上有A，B，C三点，设m=+，n=-，若m与n的长度恰好相等，则有 A.A，B，C三点必在一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知A，B，C三点不共线，以为邻边作平行四边形ABCD，则m=+=，n=-=，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角. 答案 12.(多选)已知点O，N在△ABC所在平面内，且||=||=||，++=0，则点O，N分别是△ABC的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为||=||=||， 所以点O到三角形的三个顶点的距离相等， 所以O为△ABC的外心； 由++=0，得+=-=，由中线的性质可知点N在AB边的中线上， 同理可得点N在其他边的中线上， 所以点N为△ABC的重心. 答案 13.若||=5，||=8，则||的取值范围是 A.[3，8]　 B.(3，8)　 C.[3，13]　 D.(3，13) ∵||=|-|且|||-|||≤|-|≤||+||， ∴3≤|-|≤13，∴3≤||≤13. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.已知=a，=b，若||=12，||=5，且∠AOB=90°，则|a-b| =　　　.  ∵||=12，||=5，∠AOB=90°， ∴||2+||2=||2， ∴||=13. ∵=a，=b， ∴a-b=-=， ∴|a-b|=||=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 答案 拓广探究 15.若点O是△ABC的外心，且++=0，则△ABC的内角C等于 A.45°　 B.60°　 C.90°　 D.120° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵++=0， ∴+=， ∴四边形OACB为平行四边形， 又点O是△ABC的外心， ∴||=||=||=||=||， ∴∠ACO=∠BCO=60°， 故∠ACB=120°. 答案 16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，=a， =b，=c，求： (1)|a+b+c|； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得a+b=+=， ∵=c， ∴延长AC到点E， 使||=||，如图所示， 则a+b+c=， 且||=2. ∴|a+b+c|=2. 答案 58 (2)|a-b+c|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作=，连接CF，则+=， 而=-=-=a-b， ∴|a-b+c|=|+|=||且||=2. ∴|a-b+c|=2. 答案 第一章 <<< $$