第1章 1.1 向量-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

[学习目标]　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 导语　小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地(速度的大小为10 n mile/h).如果仅仅给出指令：“由A地航行15 n mile”，显然小船不一定能到达B地.像位移、速度等既有大小又有方向的量，在数学中，我们能否对这些量进行抽象，形成一种新的量呢？ 一、向量的基本要素 问题1　我们从一支笔、一棵树、一本书中抽象出只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对“位移”“速度”进行抽象，它们的共同特征是什么？ 提示　既有大小又有方向. 问题2　你还能举出具有这种特征的量吗？ 提示　力、加速度等. 问题3　我们知道数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，那么我们用什么表示这样既有大小又有方向的量呢？ 提示　带有箭头的线段. 知识梳理 1.有向线段 (1)定义：质点从位置A运动到位置B，位置的改变称为位移.位移只刻画起点A与终点B的位置的差别.如图，从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B，其位移就都是相同的，都用带箭头的线段表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B，与质点实际运动的路线无关.像这样具有方向的线段，称为有向线段. (2)长度：位移的大小就是A到B的直线距离，记作|AB|，也就是有向线段的长度，也记作||. 2.向量 (1)定义：像位移这样既有大小又有方向的量，在数学中称为向量. (2)向量的表示. ①用有向线段表示. ②用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示，如向量a，b，F，，，. ③用有向线段的起点与终点字母表示. (3)向量的模 向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a|. 注意点： (1)书写向量时要带箭头. (2)向量可以用有向线段来表示，但向量不是有向线段，也不能说有向线段是向量. (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小. 例1　(多选)下列说法错误的是(　　) A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 答案　ABC 解析　A项，向量不能比较大小，不正确； B项，同向的向量也不能比较大小，不正确； C项，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确； D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确. 反思感悟　有关向量概念问题的解决方法 (1)向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，但向量的模(长度)是一个数量，可以比较大小. (2)解决此类问题的关键是突出向量的核心——方向和长度. 跟踪训练1　下列说法正确的是(　　) A.身高是一个向量 B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 C.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D.物理学中的摩擦力是向量 答案　D 解析　A中的身高，C中的温度都是数量，不是向量，故AC错误；B中平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，也不是向量，故B错误；D中的物理学中的摩擦力既有大小，又有方向，是向量，故D正确. 二、利用向量的几何表示画出向量 例2　某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量，，； (2)求的模. 解　(1)作出向量，，，如图所示. (2)由题意，得△BCD是直角三角形，其中∠BDC=90°，BC=10米，CD=10米， 所以BD=10米. △ABD是直角三角形，其中∠ABD=90°，AB=5米，BD=10米， 所以AD==5(米). 所以||=5米. 反思感悟　用有向线段表示向量的步骤 跟踪训练2　已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地. (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解　(1)由题意，作出向量，，，，如图所示. (2)依题意知，△ABC为正三角形， 所以AC=2 000 km. 又因为∠ACD=45°，CD=1 000 km， 所以△ACD为等腰直角三角形， 则AD=1 000 km，∠CAD=45°， 所以D地在A地的东南方向， 距A地1 000 km. 三、向量的相等 知识梳理 1.相等向量：方向相同、长度相等的向量称为相等向量. 2.相反向量：长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b=-a. 3.零向量：如果向量a的大小|a|=0，就称a是零向量，记作0. 规定：所有的零向量相等. 注意点： (1)零向量的方向是任意的. (2)0与0不同，前者是向量，后者是数量. 例3　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b B.若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反 C.对于任意|a|=|b|，且a与b的方向相同，则a=b D.所有的零向量都相等 答案　CD 解析　A不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小； B不正确，由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向； C正确，|a|=|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得a=b；D显然正确. (2)如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点.在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： ①找出与相等的向量； ②分别找出与，，相反的向量. 解　①与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，. ②与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，. 反思感悟　寻找相反向量与相等向量的步骤 第一步：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量； 第二步：确定与已知向量方向相同的向量即为相等向量，方向相反的向量即为相反向量. 跟踪训练3　如图，在矩形AFDC中，AC=2AF，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 解　(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有，. (2)，与方向相同，且长度相等，所以与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 1.知识清单： (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念：零向量、相等向量、相反向量. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区： (1)0与0不同. (2)零向量的方向具有任意性，不是没有方向.约定所有的零向量都相等. 1.(多选)下列物理量中，不是向量的是(　　) A.质量　B.速度　C.力　D.路程 答案　AD 解析　因为速度、力既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程只有大小，没有方向，所以它们不是向量. 2.如图，在圆O中，向量，，是(　　) A.有相同起点的向量 B.相反向量 C.模相等的向量 D.相等向量 答案　C 解析　由图可知，三向量起点不同，不共线，但长度相等. 3.(多选)下列说法正确的是(　　) A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的长度为0 C.相等向量的方向相同 D.同向的两个向量可以比较大小 答案　BC 解析　零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；相等的向量方向一定相同，故C正确；长度有大小，方向没有大小，不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误. 4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||=　　　　. 答案　 解析　因为正方形的对角线长为2， 所以||=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.下列各量中是向量的为(　　) A.海拔　B.压强　C.重力　D.温度 答案　C 解析　向量是既有大小，又有方向的量，因为海拔、压强、温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向，所以重力是向量. 2.(多选)下列说法错误的是(　　) A.若|a|=|b|，则a=±b B.长度相等的向量是相等向量 C.零向量的方向是任意的 D.方向相反的向量是相反向量 答案　ABD 解析　当|a|=|b|时，由于a，b的方向不一定相同，故a=±b未必成立，故A错误；长度相等的向量方向未必相同，故B错误；零向量的方向是任意的，故C正确；方向相反的向量长度未必相等，故D错误. 3.如图，在▱ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是(　　) A.和 　　　　B.和 C.和 　　　　D.和 答案　B 解析　和方向相同且长度相等，是相等向量，故可以用同一条有向线段表示. 4.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　) A.= B.||=|| C.> D.< 答案　B 解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等. 5.若||=||且=，则四边形ABCD的形状为(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形 答案　B 解析　∵=，∴||=||且BA∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又||=||，∴四边形ABCD为菱形. 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是(　　) A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与不相等 答案　ABC 解析　由于=，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确；而在Rt△AOD中，∵∠ADO=30°，∴||=||，故||=||，故C正确；由于=，因此与是相等的，故D错误. 7.(5分)已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，则||=　　　　.  答案　2 解析　连接AC(图略)，由题意知AC⊥BD，且∠ABD=30°.设AC，BD交于点O，在Rt△ABO中，||=||cos 30°=2×=， ∴||=2||=2. 8.(5分)已知四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与向量相等的向量为　　　　.  答案　， 解析　∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形， ∴ABED，ABDC， 从而=，=， ∴=. 故与向量相等的向量为，. 9.(10分)在方格纸(每个小方格的边长为1)中，画出下列向量. (1)=2，点A在点O的正东方向；(3分) (2)=2，点B在点O的北偏东45°方向；(3分) (3)求出||的值.(4分) 解　依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示. (3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以||=2. 10.(10分)如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量；(3分) (2)写出的相反向量；(3分) (3)写出与模相等的向量.(4分) 解　(1)=，=. (2)的相反向量有，. (3)与模相等的向量有，，，，，，. 11.(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　) A.||=|| B.||=|| C.= D.=- 答案　ABD 解析　由向量的有关概念，结合图形可知C不正确. 12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°，||=2，则||等于(　　) A.1　B.　C.　D.2 答案　A 解析　如图，连接AC，由||=||，得∠ABC=∠OCB=30°，又∠ACB=90°， 则||=||=×2=1. 13.(5分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有　　　　对.  答案　2 解析　已知CD∥AB，则△OCD∽△OAB，所以=，所以=. 因为MN∥AB，所以=，=， 所以=，所以OM=ON. 又M，O，N三点共线， 所以=，=，故相等向量有2对. 14.(5分)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点，则||=　　　　km，||=　　　　km.  答案　100　200 解析　如图所示，汽车从点A出发，经过B点，到达C点，最后停在D点，易知||=||=100 km，||=200 km，又在四边形ABCD中，=，所以四边形ABCD为平行四边形，所以||=||=200 km. 15.记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，O是该正六边形的中心，设点集S=｛A1，A2，A3，A4，A5，A6，O｝，向量集T=｛|M，N∈S且M，N不重合｝.则这个集合T中元素的个数为(　　) A.18　B.24　C.36　D.42 答案　A 解析　如图，图形中长度为1的向量一定与，，中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个， 长度为2的向量是与，，相等或相反的向量，这样的向量有6个， 长度为的向量是与，，相等或相反的向量，这样的向量也有6个.所以共有18个. 16.(12分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||=. (1)画出所有的向量；(5分) (2)求||的最大值与最小值.(7分) 解　(1)画出所有的向量，如图所示. (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值=. ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值=. 所以||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.1 第1章 <<< 向量 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 学习目标 小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地(速度的大小为10 n mile/h).如果仅仅给出指令：“由A地航行15 n mile”，显然小船不一定能到达B地.像位移、速度等既有大小又有方向的量，在数学中，我们能否对这些量进行抽象，形成一种新的量呢？ 导 语 一、向量的基本要素 二、利用向量的几何表示画出向量 课时对点练 三、向量的相等 随堂演练 内容索引 向量的基本要素 一 提示　既有大小又有方向. 我们从一支笔、一棵树、一本书中抽象出只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对“位移”“速度”进行抽象，它们的共同特征是什么？ 问题1 提示　力、加速度等. 你还能举出具有这种特征的量吗？ 问题2 提示　带有箭头的线段. 我们知道数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，那么我们用什么表示这样既有大小又有方向的量呢？ 问题3 1.有向线段 (1)定义：质点从位置A运动到位置B，位置的改变称 为位移.位移只刻画起点A与终点B的位置的差别.如图， 从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B，其位移就都是相同的，都用带箭头的线段表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B，与质点实际运动的路线无关.像这样具有方向的线段，称为 . (2)长度：位移的大小就是A到B的直线距离，记作 ，也就是有向线段的 ，也记作||. 有向线段 长度 |AB| 知识梳理 2.向量 (1)定义：像位移这样既有 又有 的量，在数学中称为向量. (2)向量的表示. ①用有向线段表示. ②用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示， 如向量a，b，F，，，. ③用有向线段的起点与终点字母表示. (3)向量的模 向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的 ，记作 . 方向 大小 模 |a| 知识梳理 (1)书写向量时要带箭头. (2)向量可以用有向线段来表示，但向量不是有向线段，也不能说有向线段是向量. (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小. 注 意 点 <<< 11 (多选)下列说法错误的是 A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 例 1 √ √ √ 12 A项，向量不能比较大小，不正确； B项，同向的向量也不能比较大小，不正确； C项，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确； D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确. 13 (1)向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，但向量的模(长度)是一个数量，可以比较大小. (2)解决此类问题的关键是突出向量的核心——方向和长度. 有关向量概念问题的解决方法 反 思 感 悟 14 A中的身高，C中的温度都是数量，不是向量，故AC错误； B中平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，也不是向量，故B错误； D中的物理学中的摩擦力既有大小，又有方向，是向量，故D正确. 　下列说法正确的是 A.身高是一个向量 B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 C.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D.物理学中的摩擦力是向量 跟踪训练 1 √ 15 二 利用向量的几何表示画出向量 　某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量，，； 例 2 作出向量，如图所示. 17 (2)求的模. 由题意，得△BCD是直角三角形，其中∠BDC=90°，BC=10米，CD=10米， 所以BD=10米. △ABD是直角三角形，其中∠ABD=90°，AB=5米，BD=10米， 所以AD==5(米). 所以||=5米. 18 反 思 感 悟 用有向线段表示向量的步骤 　已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地. (1)作出向量，，，； 跟踪训练 2 由题意，作出向量， 如图所示. 20 (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 依题意知，△ABC为正三角形， 所以AC=2 000 km. 又因为∠ACD=45°，CD=1 000 km， 所以△ACD为等腰直角三角形， 则AD=1 000 km，∠CAD=45°， 所以D地在A地的东南方向， 距A地1 000 km. 21 向量的相等 三 1.相等向量：方向 、 相等的向量称为相等向量. 2.相反向量：长度 、方向 的向量a，b称为相反向量，记作 . 3.零向量：如果向量a的大小|a|=0，就称a是零向量，记作 . 规定：所有的零向量 . 相同 长度 相等 相反 b=-a 0 相等 知识梳理 23 (1)零向量的方向是任意的. (2)0与0不同，前者是向量，后者是数量. 注 意 点 <<< 24 (1)(多选)下列命题中，正确的是 A.若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b B.若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反 C.对于任意|a|=|b|，且a与b的方向相同，则a=b D.所有的零向量都相等 例 3 √ √ 25 A不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小； B不正确，由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向； C正确，|a|=|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得a=b； D显然正确. 26 (2)如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点.在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的 所有有向线段表示的向量中： ①找出与相等的向量； . 27 ②分别找出与，，相反的向量. 与； 与； 与. 28 第一步：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量； 第二步：确定与已知向量方向相同的向量即为相等向量，方向相反的向量即为相反向量. 寻找相反向量与相等向量的步骤 反 思 感 悟 29 如图，在矩形AFDC中，AC=2AF，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)分别找出与，相反的向量； 跟踪训练 3 与. 30 (2)分别找出与，相等的向量. . 同理，与. 31 1.知识清单： (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念：零向量、相等向量、相反向量. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区： (1)0与0不同. (2)零向量的方向具有任意性，不是没有方向.约定所有的零向量都相等. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)下列物理量中，不是向量的是 A.质量　 B.速度　 C.力　 D.路程 因为速度、力既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程只有大小，没有方向，所以它们不是向量. √ 1 2 3 4 √ 2.如图，在圆O中，向量，，是 A.有相同起点的向量 B.相反向量 C.模相等的向量 D.相等向量 由图可知，三向量起点不同，不共线，但长度相等. √ 1 2 3 4 3.(多选)下列说法正确的是 A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的长度为0 C.相等向量的方向相同 D.同向的两个向量可以比较大小 零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确； 相等的向量方向一定相同，故C正确； 长度有大小，方向没有大小，不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误. √ 1 2 3 4 √ 4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||=　　　　. 因为正方形的对角线长为2， 所以||=. 1 2 3 4 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C ABD B B B ABC 2 题号 11 12 13 14 15 答案 ABD A 2 100　200 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示. (3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以||=2. 9. (1)=，=. (2)的相反向量有，. (3)与模相等的向量有，，，，，，. 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)画出所有的向量，如图所示. (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值=. ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值=. 所以||的最大值为，最小值为. 16. 1.下列各量中是向量的为 A.海拔　 B.压强　 C.重力　 D.温度 向量是既有大小，又有方向的量，因为海拔、压强、温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向，所以重力是向量. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.(多选)下列说法错误的是 A.若|a|=|b|，则a=±b B.长度相等的向量是相等向量 C.零向量的方向是任意的 D.方向相反的向量是相反向量 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 当|a|=|b|时，由于a，b的方向不一定相同，故a=±b未必成立，故A错误； 长度相等的向量方向未必相同，故B错误； 零向量的方向是任意的，故C正确； 方向相反的向量长度未必相等，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.如图，在▱ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是 A.和 　　　　B.和 C.和 　　　　D.和 方向相同且长度相等，是相等向量，故可以用同一条有向线段表示. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是 A.= B.||=|| C.> D.< ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.若||=||且=，则四边形ABCD的形状为 A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形 ∵=，∴||=||且BA∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又||=||，∴四边形ABCD为菱形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是 A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与不相等 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于= ，故A，B正确； 而在Rt△AOD中，∵∠ADO=30°，∴||=||，故||=||，故C正确； 由于=是相等的，故D错误. 答案 7.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，则||=　　　　.  连接AC(图略)，由题意知AC⊥BD，且∠ABD=30°.设AC，BD交于点O，在Rt△ABO中，||=||cos 30°=2×=， ∴||=2||=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 8.已知四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与向量相等的向量为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ， ∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形， ∴AB ED，AB DC， 从而==， ∴=. 故与向量. 答案 9.在方格纸(每个小方格的边长为1)中，画出下列向量. (1)=2，点A在点O的正东方向； (2)=2，点B在点O的北偏东45°方向； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图 所示. 答案 (3)求出||的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以||=2. 答案 10.如图，O为正方形ABCD对角线的交点， 四边形OAED，OCFB都是正方形.在图中 所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ==. 答案 (2)写出的相反向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . 答案 (3)写出与模相等的向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 与. 答案 11.(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是 A.||=|| B.||=|| C.= D.=- 由向量的有关概念，结合图形可知C不正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 答案 12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为 半圆上一点，且∠OCB=30°，||=2，则||等于 A.1　 B.　 C.　 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接AC，由||=||， 得∠ABC=∠OCB=30°， 又∠ACB=90°， 则||=||=×2=1. 答案 13.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有　 　对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知CD∥AB，则△OCD∽△OAB，所以==. 因为MN∥AB，所以==， 所以=，所以OM=ON. 又M，O，N三点共线， 所以==，故相等向量有2对. 答案 14.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点，则||=　　　　km，||=　　　　km.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 100 200 如图所示，汽车从点A出发，经过B点，到达C点，最后停在D点，易知||=||=100 km，||=200 km，又在四边形ABCD中，=，所以四边形ABCD为平行四边形，所以||=||=200 km. 答案 拓广探究 15.记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，O是该正六边形的中心，设点集S=｛A1，A2，A3，A4，A5，A6，O｝，向量集T=｛|M，N∈S且M，N不重合｝.则这个集合T中元素的个数为 A.18 　B.24　 C.36　 D.42 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，图形中长度为1的向量一定与中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个， 长度为2的向量是与相等或 相反的向量，这样的向量有6个， 长度为相等或相反的向量，这样的向量也有6个.所以共有18个. 答案 16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||=. (1)画出所有的向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出所有的向量，如图所示. 答案 (2)求||的最大值与最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值=. ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值=. 所以||的最大值为. 答案 第一章 <<< $$