章末检测试卷一(第6章 空间向量与立体几何)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

章末检测试卷一(第6章)［时间：120分钟　分值：150分］ 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，++-等于 (　　) A.　B.　C.　D. 答案　A 解析　++-=+=． 2．已知a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于 (　　) A.1　B.2　C.3　D.4 答案　A 解析　若向量a，b，c共面，则c=xa+yb，其中x，y∈R，即(1，3，λ)=(2x，-x，3x)+(-y，4y，-2y)=(2x-y，-x+4y，3x-2y)， 则解得 3．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=a，=b，=c，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，则用a，b，c表示向量的结果是 (　　) A.a+b+c B.a+b+c C.a-b-c D.a+b-c 答案　D 解析　由题意可得，=-=-+)．∵=a+b，=b+c，∴=a+b-c． 4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·=0，·=0，·=0，M为BC中点，则△AMD的形状为 (　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 答案　C 解析　∵M为BC中点，∴=+)． ∴·=+)· =·+·=0． ∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形． 5．已知空间向量a=(1，n，2)，b=(-2，1，2)，若2a-b与b垂直，则|a|等于 (　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　因为a=(1，n，2)，b=(-2，1，2)， 所以2a-b=(4，2n-1，2)． 因为2a-b与b垂直， 所以(2a-b)·b=0，所以-8+2n-1+4=0， 解得n=，所以a=， 所以|a|==． 6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是 (　　) A.(1，-2，4) B.(-4，1，-2) C.(2，-2，1) D.(1，2，-2) 答案　B 解析　设正方体的棱长为2， 则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)， 所以=(0，2，1)，=(-1，0，2)． 设向量n=(x，y，z)是平面AEF的法向量， 则取y=1，得x=-4，z=-2，则n=(-4，1，-2)是平面AEF的一个法向量．结合其他选项，检验可知只有B选项是平面AEF的法向量． 7．如图，AB=AC=BD=1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为 (　　) A.1　B.2　C.　D. 答案　C 解析　||2=|++|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1+0+0+2×1×1×cos 120°=2． ∴||=． 8．如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD=CD，AB=AD，CD=2AD，M是BC的中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为α，则sin α的最大值为 (　　) A.　B.　C.　D. 答案　A 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DA=2，则D(0，0，0)，S(0，0，4)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，M(1，3，0)，所以=(2，0，-4)．设=λ(0≤λ≤1)，则N(2λ，0，4-4λ)，则=(2λ-1，-3，4-4λ)．平面SAD的一个法向量为=(0，4，0)， 所以sin α==． 因为0≤λ≤1，所以当λ=，即SN=9NA时， sin α取得最大值为． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．空间四个点O，A，B，C，｛，，｝为空间的一个基底，则下列说法正确的是 (　　) A.O，A，B，C四点不共线 B.O，A，B，C四点共面，但不共线 C.O，A，B，C四点中任意三点不共线 D.O，A，B，C四点不共面 答案　ACD 解析　若O，A，B，C四点共面，则，，共面，则｛，，｝不可能为空间的一个基底，故A，D正确，B不正确；若O，A，B，C中有三点共线，则四点一定共面，故C正确． 10．如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1-AE-D的平面角为α，则 (　　) A.DF⊥平面AED1 B.d= C.sin θ= D.cos α= 答案　BCD 解析　以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)， 则A(0，0，0)，E(2，1，0)，D(0，2，0)，D1(0，2，2)， A1(0，0，2)，F(2，0，1)， ∴=(2，1，0)，=(0，2，2)，=(2，-1，0)，=(2，-2，1)． 设平面AED1的法向量为m=(x，y，z)， 则由 得 令x=1，则y=-2，z=2， 故m=(1，-2，2)． ∵=(2，-2，1)，不存在λ使m=λ， 即与m不共线， ∴DF与平面AED1不垂直，故A错误； 又∵=(0，0，2)， ∴d===，故B正确； 又=(2，-1，0)． ∴sin θ=|cos〈，m〉|= =，故C正确； 又=(0，0，2)为平面AED的一个法向量， 由图知α为锐角， ∴cos α===，故D正确． 11．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是 (　　) A.a　B.a　C.2a　D.a 答案　AC 解析　以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D， B1(0，0，3a)，C(0，a，0)． 设点E的坐标为(a，0，z)(0≤z≤3a)， 则=， =(a，-a，z)，=(a，0，z-3a)． 由CE⊥平面B1DE，得CE⊥DE，CE⊥B1E， 故 即 解得z=a或z=2a，即AE=a或2a． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知点B(1，0，0)，C'(1，1，1)，D'(0，1，1)，若点E的坐标为(-2，1，m)，且点B，C'，D'，E四点共面，则实数m的值为　　　　．  答案　1 解析　∵B(1，0，0)，C'(1，1，1)，D'(0，1，1)， E(-2，1，m)， ∴=(0，1，1)，=(-1，1，1)，=(-3，1，m)， 根据空间向量基本定理，存在实数x，y， 使得=x+y， 则有 解得m=1． 13．如图，四面体ABCD中，E，F分别为AB，DC上的点，且AE=BE，CF=2DF，若∠ADB=∠BDC=∠ADC=60°，且||=4，||=3，||=3，则||=　　　　．  答案　 解析　如图所示，连接DE，设=a，=b，=c， 因为=+， =-=-， =+)， 所以=a+b-c． ||2==a2+b2+c2+a·b-a·c-b·c=×42+×32+×32+×4×3×-×4×3×-×3×3×=，所以 ||=． 14．已知在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为　　　　．  答案　 解析　设上、下底面中心分别为O1，O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD，AC，OO1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 因为AB=2，A1B1=1， 所以AC=BD=2，A1C1=B1D1=． 因为平面BDD1B1⊥平面ABCD， 所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角， 故∠B1BO=60°． 设棱台高为h，则tan 60°=，h=， 所以A(0，-，0)，D1， B1，C(0，，0)， 所以=， =， 故cos〈，〉==， 故异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为． 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15．(13分)已知空间内三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；(6分) (2)若向量a与向量，都垂直，且|a|=，求向量a的坐标．(7分) 解　(1)∵=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)， ∴cos∠BAC===， 又∵∠BAC∈(0，π)， ∴∠BAC=， ∴S=||||sin =7． (2)设a=(x，y，z)， 由a⊥，得-2x-y+3z=0， 由a⊥，得x-3y+2z=0， 由|a|=，得x2+y2+z2=3， ∴x=y=z=1或x=y=z=-1． ∴a=(1，1，1)或a=(-1，-1，-1)． 16．(15分)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边BC和AC的中点，PA=2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点． (1)求证：AE∥平面PFQ；(6分) (2)求AE与平面PFQ间的距离．(9分) (1)证明　∵F是AC的中点，Q是CE的中点， ∴FQ∥AE，又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ， ∴AE∥平面PFQ． (2)解　如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系． ∵AP=2，AB=BC=AC=4，又E，F分别是BC，AC的中点， ∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2)． 由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离． 设平面PFQ的法向量为n=(x，y，z)， 则∴ 又=(0，2，-2)， =， ∴∴ 令y=1，则x=-，z=1， ∴平面PFQ的一个法向量为n=(-，1，1)． 又=(0，2，0)， ∴所求距离d==． ∴AE与平面PFQ间的距离为． 17．(15分)如图所示，已知点P在正方体ABCD-A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDA=60°． (1)求DP与CC'所成角的大小；(8分) (2)求DP与平面AA'D'D所成角的大小．(7分) 解　(1)如图所示，以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA=1． 则=(1，0，0)，=(0，0，1)． 连接BD，B'D'． 在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H． 设=(m，m，1)(m>0)， 由已知得〈·〉=60°， 由·=||||cos〈，〉， 可得2m=． 解得m=，所以=． 因为cos〈，〉==， 所以〈，〉=45°， 即DP与CC'所成的角为45°． (2)由题意得，平面AA'D'D的一个法向量是 =(0，1，0)， 因为cos〈，〉 ==， 所以〈，〉=60°， 可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°． 18．(17分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1`中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1． (1)求证：CD=C1D；(5分) (2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；(6分) (3)求点C到平面B1DP的距离．(6分) (1)证明　如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)． 设C1D=x，则D(0，1，x)，∵AC∥PC1， ∴==．∴P． ∴=(1，0，1)，=(0，1，x)， =． 设平面BDA1的法向量为n1=(a，b，c)， 则 令c=-1，则n1=(1，x，-1)．∵PB1∥平面BDA1，∴n1·=1×(-1)+x·+(-1)×0=0．解得x=．故CD=C1D． (2)解　由(1)知，平面BDA1的一个法向量n1=． 又n2=(1，0，0)为平面AA1D的一个法向量，且cos〈n1，n2〉===， 由图可得二面角A-A1D-B的平面角为锐角， 故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为． (3)解　由(1)知=(1，-2，0)， =． 设平面B1DP的法向量为n3=(a1，b1，c1)， 则 令c1=1，可得n3=．又=， ∴点C到平面B1DP的距离d==． 19．(17分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E为CD的中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE)． (1)证明：平面POB⊥平面ABCE；(7分) (2)若PB=，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．(10分) (1)证明　在梯形ABCD中，连接BE(图略)， ∵AD=AB=BC=2，CD=4，E为中点， ∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE， ∴OB⊥AE，OD⊥AE， 即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP=O， OB⊂平面POB，OP⊂平面POB， ∴AE⊥平面POB． 又AE⊂平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE． (2)解　由(1)可知四边形ABED为菱形， ∴AD=DE=2， 在等腰梯形ABCD中，AE=BC=2， ∴△PAE为正三角形，∴OP=，同理OB=， ∵PB=，∴OP2+OB2=PB2，∴OP⊥OB． 由(1)可知OP⊥AE，OB⊥AE， 以O为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 则P(0，0，)，A(-1，0，0)，B(0，，0)，C(2，，0)，E(1，0，0)，∴=(1，0，)， =(0，，-)， =(2，，-)，=(2，0，0)， 设=λ(0<λ<1)， =+=+λ=(1，λ，-λ)， 设平面AEQ的一个法向量为n=(x，y，z)， 则即 取y=1，得x=0，z=， ∴n=， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，θ∈， 则sin θ=|cos〈，n〉|==， 即=， 化简得4λ2-4λ+1=0，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． ∵PB=，∴PQ=PB=， 此时==． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 <<< 章末检测试卷一(第6章) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、单项选择题 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，++-等于 A.　 B.　 C.　 D. ++-=+=. √ 13 14 15 16 17 18 19 2.已知a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于 A.1　 B.2 　 C.3　 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若向量a，b，c共面，则c=xa+yb，其中x，y∈R，即(1，3，λ)=(2x，-x，3x)+(-y，4y，-2y)=(2x-y，-x+4y，3x-2y)， 则解得 √ 17 18 19 3.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=a，=b，=c，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，则用a，b，c表示向量的结果是  A.a+b+c B.a+b+c C.a-b-c D.a+b-c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，=-=-+).∵=a+b，=b+c，∴=a+b-c. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·=0，·=0，·=0，M为BC中点，则△AMD的形状为 A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵M为BC中点，∴=+). ∴·=+)· =·+·=0. ∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知空间向量a=(1，n，2)，b=(-2，1，2)，若2a-b与b垂直，则|a|等于 A.　 B.　 C.　 D. √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a=(1，n，2)，b=(-2，1，2)， 所以2a-b=(4，2n-1，2). 因为2a-b与b垂直， 所以(2a-b)·b=0，所以-8+2n-1+4=0， 解得n=，所以a=， 所以|a|==. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是   A.(1，-2，4) B.(-4，1，-2) C.(2，-2，1) D.(1，2，-2) √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正方体的棱长为2， 则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)， 所以=(0，2，1)，=(-1，0，2). 设向量n=(x，y，z)是平面AEF的法向量， 则取y=1，得x=-4，z=-2，则n=(-4，1，-2)是平面AEF的一个法向量.结合其他选项，检验可知只有B选项是平面AEF的法向量. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，AB=AC=BD=1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为 A.1　 B.2　 C.　 D. ||2=|++|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1+0+0+2×1×1×cos 120°=2. ∴||=. √ 17 18 19 8.如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD=CD，AB=AD，CD=2AD，M是BC的中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为α，则sin α的最大值为 A.　 B.　 C.　 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DA=2，则D(0，0，0)，S(0，0，4)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，M(1，3，0)，所以=(2，0，-4).设=λ(0≤λ≤1)，则N(2λ，0，4-4λ)，则=(2λ-1，-3，4-4λ).平面SAD的一个法向量为=(0，4，0)， 所以sin α==. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为0≤λ≤1，所以当λ=，即SN=9NA时， sin α取得最大值为. 17 18 19 二、多项选择题 9.空间四个点O，A，B，C，｛，，｝为空间的一个基底，则下列说法正确的是 A.O，A，B，C四点不共线 B.O，A，B，C四点共面，但不共线 C.O，A，B，C四点中任意三点不共线 D.O，A，B，C四点不共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若O，A，B，C四点共面，则，，共面，则｛，，｝不可能为空间的一个基底，故A，D正确，B不正确； 若O，A，B，C中有三点共线，则四点一定共面，故C正确. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1-AE-D的平面角为α，则  A.DF⊥平面AED1 B.d= C.sin θ= D.cos α= √ √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的 正方向，建立空间直角坐标系(图略)， 则A(0，0，0)，E(2，1，0)，D(0，2，0)，D1(0，2，2)， A1(0，0，2)，F(2，0，1)， ∴=(2，1，0)，=(0，2，2)，=(2，-1，0)，=(2，-2，1). 设平面AED1的法向量为m=(x，y，z)， 则由 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得 令x=1，则y=-2，z=2， 故m=(1，-2，2). ∵=(2，-2，1)，不存在λ使m=λ， 即与m不共线， ∴DF与平面AED1不垂直，故A错误； 又∵=(0，0，2)， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴d===，故B正确； 又=(2，-1，0). ∴sin θ=|cos〈，m〉|==，故C正确； 又=(0，0，2)为平面AED的一个法向量， 由图知α为锐角， ∴cos α===，故D正确. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是 A.a　 B.a　 C.2a　 D.a √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D，B1(0，0，3a)，C(0，a，0). 设点E的坐标为(a，0，z)(0≤z≤3a)， 则=， =(a，-a，z)，=(a，0，z-3a). 由CE⊥平面B1DE，得CE⊥DE，CE⊥B1E， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故 即 解得z=a或z=2a，即AE=a或2a. 17 18 19 三、填空题 12.已知点B(1，0，0)，C'(1，1，1)，D'(0，1，1)，若点E的坐标为(-2，1，m)，且点B，C'，D'，E四点共面，则实数m的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵B(1，0，0)，C'(1，1，1)，D'(0，1，1)， E(-2，1，m)， ∴=(0，1，1)，=(-1，1，1)，=(-3，1，m)， 根据空间向量基本定理，存在实数x，y， 使得=x+y， 则有 解得m=1. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，四面体ABCD中，E，F分别为AB，DC上的点，且AE=BE，CF= 2DF，若∠ADB=∠BDC=∠ADC=60°，且||=4，||=3，||=3，则||=　　　　.  17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接DE，设=a，=b，=c， 因为=+， =-=-， =+)， 所以=a+b-c. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ||2==a2+b2+c2+a·b-a·c-b·c=×42+×32+×32+×4×3×-×4×3×-×3×3×=，所以 ||=. 17 18 19 14.已知在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设上、下底面中心分别为O1，O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD，AC，OO1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 因为AB=2，A1B1=1， 所以AC=BD=2，A1C1=B1D1=. 因为平面BDD1B1⊥平面ABCD， 所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角， 故∠B1BO=60°. 设棱台高为h，则tan 60°=，h=， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以A(0，-，0)，D1，B1， C(0，，0)， 所以=， =， 故cos〈，〉==， 故异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为. 17 18 19 四、解答题 15.已知空间内三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5). (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)， ∴cos∠BAC===， 又∵∠BAC∈(0，π)， ∴∠BAC=， ∴S=||||sin =7. 17 18 19 (2)若向量a与向量，都垂直，且|a|=，求向量a的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a=(x，y，z)， 由a⊥，得-2x-y+3z=0， 由a⊥，得x-3y+2z=0， 由|a|=，得x2+y2+z2=3， ∴x=y=z=1或x=y=z=-1. ∴a=(1，1，1)或a=(-1，-1，-1). 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边BC和AC的中点，PA=2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点. (1)求证：AE∥平面PFQ； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵F是AC的中点，Q是CE的中点， ∴FQ∥AE，又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ， ∴AE∥平面PFQ. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求AE与平面PFQ间的距离. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系. ∵AP=2，AB=BC=AC=4，又E，F分别是BC，AC的中点， ∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2). 由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面PFQ的法向量为n=(x，y，z)， 则∴ 又=(0，2，-2)， =， ∴∴ 令y=1，则x=-，z=1， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴平面PFQ的一个法向量为n=(-，1，1). 又=(0，2，0)， ∴所求距离d==. ∴AE与平面PFQ间的距离为. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.如图所示，已知点P在正方体ABCD-A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDA=60°. (1)求DP与CC'所成角的大小； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA=1. 则=(1，0，0)，=(0，0，1).连接BD，B'D'. 在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H. 设=(m，m，1)(m>0)， 由已知得〈·〉=60°， 由·=||||cos〈，〉， 可得2m=. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得m=，所以=. 因为cos〈，〉==， 所以〈，〉=45°， 即DP与CC'所成的角为45°. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求DP与平面AA'D'D所成角的大小. 由题意得，平面AA'D'D的一个法向量是=(0，1，0)， 因为cos〈，〉 ==， 所以〈，〉=60°，可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1`中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1. (1)求证：CD=C1D； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1). 设C1D=x，则D(0，1，x)，∵AC∥PC1， ∴==.∴P. ∴=(1，0，1)，=(0，1，x)， =. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面BDA1的法向量为n1=(a，b，c)， 则 令c=-1，则n1=(1，x，-1).∵PB1∥平面BDA1， ∴n1·=1×(-1)+x·+(-1)×0=0.解得x=.故CD=C1D. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； 由(1)知，平面BDA1的一个法向量n1=. 又n2=(1，0，0)为平面AA1D的一个法向量，且cos〈n1，n2〉===， 由图可得二面角A-A1D-B的平面角为锐角， 故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求点C到平面B1DP的距离. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知=(1，-2，0)， =. 设平面B1DP的法向量为n3=(a1，b1，c1)， 则 令c1=1，可得n3=.又=， ∴点C到平面B1DP的距离d==. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E为CD的中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE). (1)证明：平面POB⊥平面ABCE； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在梯形ABCD中，连接BE(图略)， ∵AD=AB=BC=2，CD=4，E为中点， ∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE， ∴OB⊥AE，OD⊥AE， 即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP=O， OB⊂平面POB，OP⊂平面POB， ∴AE⊥平面POB. 又AE⊂平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若PB=，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)可知四边形ABED为菱形， ∴AD=DE=2， 在等腰梯形ABCD中，AE=BC=2， ∴△PAE为正三角形，∴OP=，同理OB=， ∵PB=，∴OP2+OB2=PB2，∴OP⊥OB. 由(1)可知OP⊥AE，OB⊥AE， 以O为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则P(0，0，)，A(-1，0，0)，B(0，，0)，C(2，，0)，E(1，0，0)，∴=(1，0，)， =(0，，-)， =(2，，-)，=(2，0，0)， 设=λ(0<λ<1)， =+=+λ=(1，λ，-λ)， 设平面AEQ的一个法向量为n=(x，y，z)， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则即 取y=1，得x=0，z=， ∴n=， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，θ∈， 则sin θ=|cos〈，n〉|==，即=， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 化简得4λ2-4λ+1=0，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为. ∵PB=，∴PQ=PB=， 此时==. 17 18 19 第一章 <<< $$