章末检测试卷三(第8章 概率)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

章末检测试卷三(第8章)［时间：120分钟　分值：150分］ 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.若X的概率分布为 X 0 1 P 0.5 a 则D(X)等于 (　　) A.0.8 B.0.25 C.0.4 D.0.2 答案　B 解析　由0.5+a=1，得a=0.5， ∴E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5， D(X)=(0-0.5)2×0.5+(1-0.5)2×0.5=0.25. 2.设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y=2X-1，则P(Y<6)的值为 (　　) A.0.3 B.0.5 C.0.1 D.0.2 答案　A 解析　由Y=2X-1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)=P(X<3.5)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.3. 3.某工厂为了监控转产产品的质量，测得某批n件产品的正品率为98%，现从中任意有放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率为 (　　) A.0.998 816 B.0.999 6 C.0.057 624 D.0.001 184 答案　A 解析　∵某批n件产品的正品率为98%， ∴所求概率为P=0.983+×0.982×0.02=0.998 816. 4.一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明的得分大于6分的概率是 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，P(X=7)==；P(X=8)==，所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=. 5.设随机变量X~N(μ，σ2)，且P(X<1)=，P(X>2)=p，则P(0≤X<1)的值为 (　　) A.p B.1-p C.1-2p D.-p 答案　D 解析　由正态密度曲线的对称性知P(X<1)=， 故μ=1，即正态密度曲线关于直线x=1对称， 于是P(X<0)=P(X>2)， 所以P(0≤X<1)=P(X<1)-P(X<0) =P(X<1)-P(X>2)=-p. 6.某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X(单位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示： 年降水 量X X<100 100≤ X<200 200≤ X<300 X≥300 工期延 误天数Y 0 5 15 30 概率P 0.4 0.2 0.1 0.3 在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为 (　　) A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.2 答案　B 解析　设事件A为“年降水量X至少是100”，事件B为“工期延误小于30天”， 则P(B|A)===0.5. 7.已知随机变量ξ的概率分布如下，则D(ξ)的取值范围是 ξ 2 0 -2 P -a +b (　　) A. B.［0，3］ C. D. 答案　D 解析　由概率分布可知 解得a=b，-≤a≤， E(ξ)=2×-2×=-2b， D(ξ)=(2+2b)2×+(0+2b)2×+(-2+2b)2×=-4a2+4a+2=-4+3，其图象的对称轴为直线a=，则D(ξ)在上单调递增， 当a=-时，D(ξ)=， 当a=时，D(ξ)=3， 所以≤D(ξ)≤3. 8.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　令Ai表示“第一次任取3个球使用时，取出i个新球(i=0，1，2，3)”，B表示“第二次取出的球都是新球”，则有P(A0)==， P(A1)==，P(A2)==， P(A3)==，根据全概率公式，第二次取出的球都是新球的概率为 P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =×+×+×+× =. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名学生参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记事件A为“男生甲被选中”，事件B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是 (　　) A.P(A)= B.P(B)= C.P(AB)= D.P(B|A)= 答案　ACD 解析　由题意，得P(A)==， P(AB)==，P(B)=1-=， 由条件概率公式可得P(B|A)==.故A，C，D正确，B错误. 10.“世界杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其正态密度函数为f(x)=，x∈(-∞，+∞)，则下列说法正确的是 (　　) (附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997) A.该地水稻的平均株高为100 cm B.该地水稻株高的方差为10 C.随机测量一株水稻，其株高在120 cm及以上的概率比株高在70 cm及以下的概率大 D.随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)内的概率一样大 答案　AC 解析　由题意可得，μ=100，σ=10， ∴该地水稻的平均株高为100 cm，故A正确； 该地水稻株高的标准差σ=10，方差为100，故B错误； 设水稻株高为X， 则P(X≥120)=［1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)］ ≈×(1-0.954)=0.023， P(X≤70)=［1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)］ ≈×(1-0.997)=0.001 5， ∴随机测量一株水稻，其株高在120 cm及以上的概率比株高在70 cm及以下的概率大，故C正确； P(80<X<90)=［P(μ-2σ<X<μ+2σ)-P(μ-σ<X<μ+σ)］ ≈×(0.954-0.683)=0.135 5， P(100<X<110)=［P(μ-σ<X<μ+σ)］ ≈×0.683=0.341 5. ∴随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)内的概率不一样大，故D错误. 11.某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元.小王购买一套价格2 400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买了一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为X(元)，则下列说法正确的是 (　　) A.X的可能取值为2 450，1 450，450 ，-550 B.P(X=2 450)= C.P(X=-550)= D.E(X)=1 850 答案　ACD 解析　根据题意知，X的可能取值为2 450，1 450，450，-550，且P(X=2 450)==， P(X=1 450)=×=， P(X=450)=×=， P(X=-550)==， ∴E(X)=2 450×+1 450×+450×+(-550)×=1 850. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.抽样调查表明，某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布，平均成绩为500分.已知P(400<ξ<450)=0.3，则P(550<ξ<600)=　　　　.  答案　0.3 解析　由图可以看出P(550<ξ<600) =P(400<ξ<450)=0.3. 13.一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止.若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X的均值E(X)=　　　　.  答案　1.89 解析　由题意知，X的可能取值是0，1，2，对应的概率分别为P(X=2)=0.9，P(X=1)=0.1×0.9=0.09，P(X=0)=0.13+0.12×0.9=0.01，由此可得均值E(X)=2×0.9+1×0.09+0×0.01=1.89. 14.(2024·天津)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为　　　　；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为　　　　.  答案　　 解析　方法一　(列举法) 从五个活动中选三个的情况有： ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种， 其中甲选到A有6种情况： ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， 则甲选到A的概率为=； 乙选A活动有6种情况： ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， 其中再选择B活动有3种情况： ABC，ABD，ABE， 故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为=. 方法二　设选到A为事件M， 选到B为事件N， 则甲选到A的概率为P(M)==； 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 P(N|M)===. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？ 解　设事件Bi为“任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品”，i=1，2，3，4，事件A为“任取一件产品，抽到合格品”，则 P(A)= =［1-P(|Bi)］ =0.15×(1-0.05)+0.20×(1-0.04)+0.30×(1-0.03)+0.35×(1-0.02) =0.15×0.95+0.20×0.96+0.30×0.97+0.35×0.98=0.968 5. 16.(15分)摇奖器中有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金(元)为这些小球上记号之和，如果参加此次摇奖，求获得所有可能奖金数及相应的概率. 解　设此次摇奖的奖金数额为X元， 当摇出的3个小球均标有数字2时，X=6； 当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，X=9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X=12. 所以所有奖金数有6，9，12. 所以P(X=6)==， P(X=9)==， P(X=12)==. 17.(15分)某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况： 分数段 ［0，7) ［7，8) ［8，9) ［9，10］ 食堂个数 1 3 8 3 (1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；(6分) (2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的概率分布及均值.(9分) 解　(1)设“至多有1个大学食堂的评分不低于9分”为事件A， 则P(A)==. 所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为. (2)任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为=， 故X~B，X的可能取值为0，1，2，3， 所以P(X=0)=×=， P(X=1)=××=， P(X=2)=××=， P(X=3)=×=， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 故E(X)=3×=. 18.(17分)某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)若该校高二年级有1 500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；(3分) (2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X，求X的概率分布与均值E(X)；(7分) (3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度为506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y，试判断均值E(Y)与(2)中的E(X)的大小.(7分) 解　(1)1 500×(0.003 75+0.001+0.000 25)×80=600(人)， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600. (2)从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为(0.005+0.003 75+0.001+0.000 25)×80=0.8， 则X~B(3，0.8)，X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X=0)=×0.23=0.008， P(X=1)=×0.8×0.22=0.096， P(X=2)=×0.82×0.2=0.384， P(X=3)=×0.83=0.512， 则其概率分布为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 其均值E(X)=3×0.8=2.4. (3)E(X)=E(Y)，理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8， Y的所有可能取值为1，2，3， P(Y=1)===， P(Y=2)===， P(Y=3)===， 则E(Y)=1×+2×+3×=2.4， 故E(X)=E(Y). 19.(17分)2023年3月学校举办了春季科技体育节，其中女排赛事共有12个班级参赛，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA-V200W.已知这种球的质量指标ξ(单位：g)服从正态分布N(270，52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分，第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为P(0<P<1). (1)令η=，则η~N(0，1)，且Φ(a)=P(η≤a).求Φ(-2)，并证明：Φ(-2)+Φ(2)=1；(5分) (2)第10轮比赛中，记1班排球队3∶1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p0，并以p0作为p的值，解决下列问题. ①在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X，求X的概率分布；(6分) ②已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多).若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.(6分) 参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997. 解　(1)Φ(-2)=P(η≤-2)≈0.5-=0.5-0.477=0.023. 因为Φ(-2)=P(η≤-2)，根据正态曲线对称性，Φ(-2)=P(η≤-2)=P(η≥2)， 又因为Φ(2)=P(η≤2)=1-P(η>2)， 所以Φ(-2)+Φ(2)=1. (2)f(p)=p3(1-p)=3p3(1-p)， f'(p)=3p2(3-4p). 令f'(p)=0，得p=. 当p∈时，f'(p)>0，则f(p)在上单调递增； 当p∈时，f'(p)<0，则f(p)在上单调递减. 所以f(p)的最大值点p0=，从而p=. ①X的可能取值为0，1，2，3. P(X=0)=(1-p)3+p(1-p)3=， P(X=1)=p2(1-p)3=， P(X=2)=p2(1-p)2p=， P(X=3)=p3+p2(1-p)p=， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P ②若X=3，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，即11轮过后的总积分是28分，29>28，所以1班如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P(X=3)=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 <<< 章末检测试卷三(第8章) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、单项选择题 1.若X的概率分布为 X 0 1 P 0.5 a 则D(X)等于 A.0.8 B.0.25 C.0.4 D.0.2 √ 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由0.5+a=1，得a=0.5， ∴E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5， D(X)=(0-0.5)2×0.5+(1-0.5)2×0.5=0.25. 17 18 19 13 14 15 16 2.设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y=2X-1，则P(Y<6)的值为 A.0.3 B.0.5 C.0.1 D.0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由Y=2X-1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)=P(X<3.5)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.3. √ 17 18 19 3.某工厂为了监控转产产品的质量，测得某批n件产品的正品率为98%，现从中任意有放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率为 A.0.998 816 B.0.999 6 C.0.057 624 D.0.001 184 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵某批n件产品的正品率为98%， ∴所求概率为P=0.983+×0.982×0.02=0.998 816. √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明的得分大于6分的概率是 A. B. C. D. 记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，P(X=7)==；P(X=8)==，所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=. √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设随机变量X~N(μ，σ2)，且P(X<1)=，P(X>2)=p，则P(0≤X<1)的值为 A.p B.1-p C.1-2p D.-p √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正态密度曲线的对称性知P(X<1)=， 故μ=1，即正态密度曲线关于直线x=1对称， 于是P(X<0)=P(X>2)， 所以P(0≤X<1)=P(X<1)-P(X<0) =P(X<1)-P(X>2)=-p. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X(单位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示： 在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为 A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.2 年降水量X X<100 100≤X<200 200≤X<300 X≥300 工期延 误天数Y 0 5 15 30 概率P 0.4 0.2 0.1 0.3 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A为“年降水量X至少是100”，事件B为“工期延误小于30天”， 则P(B|A)===0.5. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知随机变量ξ的概率分布如下，则D(ξ)的取值范围是 ξ 2 0 -2 P -a +b A. B.［0，3］ C. D. √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由概率分布可知 解得a=b，-≤a≤， E(ξ)=2×-2×=-2b， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D(ξ)=(2+2b)2×+(0+2b)2×+(-2+2b)2×=-4a2+4a+2= -4+3，其图象的对称轴为直线a=，则D(ξ)在上单调递增， 当a=-时，D(ξ)=， 当a=时，D(ξ)=3， 所以≤D(ξ)≤3. 17 18 19 8.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令Ai表示“第一次任取3个球使用时，取出i个新球(i=0，1，2，3)”，B表示“第二次取出的球都是新球”，则有P(A0)==， P(A1)==，P(A2)==， P(A3)==，根据全概率公式，第二次取出的球都是新球的概率为 P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =×+×+×+×=. 17 18 19 二、多项选择题 9.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名学生参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记事件A为“男生甲被选中”，事件B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是 A.P(A)= B.P(B)= C.P(AB)= D.P(B|A)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得P(A)==， P(AB)==，P(B)=1-=， 由条件概率公式可得P(B|A)==.故A，C，D正确，B错误. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.“世界杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其正态密度函数为f(x)=，x∈(-∞，+∞)，则下列说法正确的是 (附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997) 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.该地水稻的平均株高为100 cm B.该地水稻株高的方差为10 C.随机测量一株水稻，其株高在120 cm及以上的概率比株高在70 cm及以 下的概率大 D.随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)内的 概率一样大 √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，μ=100，σ=10， ∴该地水稻的平均株高为100 cm，故A正确； 该地水稻株高的标准差σ=10，方差为100，故B错误； 设水稻株高为X， 则P(X≥120)=［1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)］ ≈×(1-0.954)=0.023， P(X≤70)=［1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)］ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ≈×(1-0.997)=0.001 5， ∴随机测量一株水稻，其株高在120 cm及以上的概率比株高在70 cm及以下的概率大，故C正确； P(80<X<90)=［P(μ-2σ<X<μ+2σ)-P(μ-σ<X<μ+σ)］ ≈×(0.954-0.683)=0.135 5， P(100<X<110)=［P(μ-σ<X<μ+σ)］ ≈×0.683=0.341 5. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)内的概率不一样大，故D错误. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元.小王购买一套价格2 400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买了一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为X(元)，则下列说法正确的是 A.X的可能取值为2 450，1 450，450 ，-550 B.P(X=2 450)= C.P(X=-550)= D.E(X)=1 850 √ √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意知，X的可能取值为2 450，1 450，450，-550，且P(X=2 450) ==， P(X=1 450)=×=， P(X=450)=×=， P(X=-550)==， ∴E(X)=2 450×+1 450×+450×+(-550)×=1 850. 17 18 19 三、填空题 12.抽样调查表明，某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布，平均成绩为500分.已知P(400<ξ<450)=0.3，则P(550<ξ<600)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.3 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可以看出P(550<ξ<600) =P(400<ξ<450)=0.3. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止.若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X的均值E(X)=　　　.  1.89 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，X的可能取值是0，1，2，对应的概率分别为P(X=2)=0.9，P(X=1)=0.1×0.9=0.09，P(X=0)=0.13+0.12×0.9=0.01，由此可得均值E(X)=2×0.9+1×0.09+0×0.01=1.89. 17 18 19 14.(2024·天津)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为　　；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(列举法) 从五个活动中选三个的情况有： ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种， 其中甲选到A有6种情况： ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， 则甲选到A的概率为=； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 乙选A活动有6种情况： ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， 其中再选择B活动有3种情况： ABC，ABD，ABE， 故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为=. 方法二　设选到A为事件M， 选到B为事件N， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则甲选到A的概率为P(M)==； 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 P(N|M)===. 17 18 19 四、解答题 15.某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件Bi为“任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品”，i=1，2，3，4，事件A为“任取一件产品，抽到合格品”，则 P(A)= =［1-P(|Bi)］ =0.15×(1-0.05)+0.20×(1-0.04)+0.30×(1-0.03)+0.35×(1-0.02) =0.15×0.95+0.20×0.96+0.30×0.97+0.35×0.98=0.968 5. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.摇奖器中有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金(元)为这些小球上记号之和，如果参加此次摇奖，求获得所有可能奖金数及相应的概率. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设此次摇奖的奖金数额为X元， 当摇出的3个小球均标有数字2时，X=6； 当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，X=9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X=12. 所以所有奖金数有6，9，12. 所以P(X=6)==， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P(X=9)==， P(X=12)==. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况： 分数段 ［0，7) ［7，8) ［8，9) ［9，10］ 食堂个数 1 3 8 3 (1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“至多有1个大学食堂的评分不低于9分”为事件A， 则P(A)==. 所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的概率分布及均值. 分数段 ［0，7) ［7，8) ［8，9) ［9，10］ 食堂个数 1 3 8 3 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为=， 故X~B，X的可能取值为0，1，2，3， 所以P(X=0)=×=， P(X=1)=××=， P(X=2)=××=， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P(X=3)=×=， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 故E(X)=3×=. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)若该校高二年级有1 500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 500×(0.003 75+0.001+0.000 25)×80=600(人)， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X，求X的概率分布与均值E(X)； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为(0.005+0.003 75+0.001+0.000 25)×80=0.8， 则X~B(3，0.8)，X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X=0)=×0.23=0.008， P(X=1)=×0.8×0.22=0.096， P(X=2)=×0.82×0.2=0.384， P(X=3)=×0.83=0.512， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则其概率分布为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 其均值E(X)=3×0.8=2.4. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度为506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y，试判断均值E(Y)与(2)中的E(X)的大小. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 E(X)=E(Y)，理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8， Y的所有可能取值为1，2，3， P(Y=1)===， P(Y=2)===， P(Y=3)===， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则E(Y)=1×+2×+3×=2.4， 故E(X)=E(Y). 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19.2023年3月学校举办了春季科技体育节，其中女排赛事共有12个班级参赛，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA-V200W.已知这种球的质量指标ξ(单位：g)服从正态分布N(270，52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分，第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为P(0<P<1). (1)令η=，则η~N(0，1)，且Φ(a)=P(η≤a).求Φ(-2)，并证明：Φ(-2)+Φ(2)=1； 参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Φ(-2)=P(η≤-2)≈0.5-=0.5-0.477=0.023. 因为Φ(-2)=P(η≤-2)，根据正态曲线对称性，Φ(-2)=P(η≤-2)=P(η≥2)， 又因为Φ(2)=P(η≤2)=1-P(η>2)， 所以Φ(-2)+Φ(2)=1. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)第10轮比赛中，记1班排球队3∶1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p0，并以p0作为p的值，解决下列问题. ①在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X，求X的概率分布； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(p)=p3(1-p)=3p3(1-p)， f'(p)=3p2(3-4p). 令f'(p)=0，得p=. 当p∈时，f'(p)>0，则f(p)在上单调递增； 当p∈时，f'(p)<0，则f(p)在上单调递减. 所以f(p)的最大值点p0=，从而p=. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X的可能取值为0，1，2，3. P(X=0)=(1-p)3+p(1-p)3=， P(X=1)=p2(1-p)3=， P(X=2)=p2(1-p)2p=， P(X=3)=p3+p2(1-p)p=， 所以X的概率分布为 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X 0 1 2 3 P 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多).若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若X=3，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，即11轮过后的总积分是28分，29>28，所以1班如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P(X=3)=. 17 18 19 第一章 <<< $$