第7章 7.3 第2课时 组合数的性质及应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

第7章 <<< 第2课时 组合数的性质及应用 1.掌握组合数公式和组合数的性质. 2.能运用组合数的性质进行计算. 3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题. 学习目标 前面我们学习了组合的概念以及组合数公式，但我们用组合数公式计算类似，这样的组合数时，计算量比较大，是不是有便捷的方法呢？ 导 语 一、组合数的性质1 二、组合数的性质2 课时对点练 三、有限制条件的组合问题 随堂演练 内容索引 一 组合数的性质1 假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人.如果从上场队员考虑，有多少种安排方案？如果从不上场队员考虑，有多少种安排方案？这两种方案有什么关系？ 问题1 提示　上场的方案有种，不上场的方案有种；==56. 组合数的性质1：___________. = 知识梳理 (1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想. (2)两边下标相同，上标之和等于下标. 注 意 点 <<< 8 　　　(1)计算：=　　　　，·=　　　　　.  例 1 2 024 ==2 024， ·=·=. 9 (2)(多选)若=(n∈N*)，则n等于 A.4　 B.5　 C.6　 D.7 由题意得，2n-3=n+2或2n-3+n+2=20，即n=5或n=7. √ √ 10 性质“=”的意义及作用 反 思 感 悟 11 　　　　　(1)若=，则等于 A.1　 B.10　 C.11　 D.55 跟踪训练 1 由=，得n=6+5=11，===11. √ 12 (2)若=，则=　　　.  由=， 得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18， 解得n=2或n=8(舍去)， 故=28. 28 13 二 组合数的性质2 提示　一样，=+. 从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有种选法；当体育委员未入选时，有种选法.这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 问题2 组合数的性质2：=__________. + 知识梳理 (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数. (2)体现了“含”与“不含”的分类思想. 注 意 点 <<< 17 　　　(1)已知m≥4，-+等于 A.1 B.m C.m+1 D.0 例 2 √ -+=+-=-=0. 18 (2)++++…+等于 A.　 B.　 C.　 D. ++++…+=+++…+=++…+=…=+==. √ 19 若将本例(2)中式子换成“+++…+”，则其值为多少？ +++…+ =+++…+- =++…+-1 =… =+-1=-1. 延伸探究 20 反 思 感 悟 性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形=-，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用. 　　　　　(1)若-=，则n等于 A.12　 B.13　 C.14　 D.15 跟踪训练 2 =+=， ∴n+1=7+8，n=14. √ 22 (2)+++…+等于 A.　 B.　 C.-1　 D.-1 +++…+=+++…+=++…+=++…+=…=. √ 23 三 有限制条件的组合问题 　　　(课本例4)　在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件，问： (1)一共有多少种不同的抽法？ 例 3 所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即 ==161 700. 25 (2)抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？ 抽出的3件中恰好有1件是不合格品，分2个步骤进行. 第一步，从2件不合格品中抽出1件不合格品，抽法有种；第二步，从98件合格品中抽出2件合格品，抽法种. 根据分步计数原理，抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法种数是 =2×4 753=9 506. 26 (3)抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种？ 27 方法一　抽出的3件中至少有1件是不合格品，包括两种情况：恰好有1件不合格品，恰好有2件不合格品. 由(2)知恰好有1件是不合格品的抽法有种.同理，恰好有2件是不合格品的抽法有种. 根据分类计数原理，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法的种数是 +=9 506+98=9 604. 方法二　抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中全是合格品的抽法种数，即 -=161 700-152 096=9 604. 答　不同的抽法分别有161 700种、9 506种、9 604种. 28 　　　(课本例5)　房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开1盏灯用以照明，有多少种不同的方法？ 例 3 29 方法一　因为开灯照明，与开灯的先后顺序无关，而只与开灯的多少有关，所以可分成开1盏、2盏……5盏灯五种情况. 开1盏灯有种方法，开2盏灯有种方法……5盏灯全开有种方法.根据分类计数原理，不同的开灯方法有++…+=31(种). 方法二　因为对任何1盏电灯都有“开”或“不开”两种处理方法，所以开灯照明这件事可分成对每盏灯逐个处理的5个步骤来进行. 根据分步计数原理，5盏电灯就有2×2×2×2×2=25种处理方法，其中1盏都不开的情况应除外.所以不同的开灯方法有 2×2×2×2×2-1=25-1=31(种). 答　至少开1盏灯用以照明，有31种不同的方法. 30 　　　(课本例6)　高二(1)班有30名男生、20名女生.从50名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、宣传委员、体育委员，共有多少种不同的选法？ 例 3 完成这件事情可分3步进行： 第一步：从30名男生中选3名男生，有种方法； 第二步：从20名女生中选2名女生，有种方法； 第三步：将选出的5名学生进行分工，即全排列，有种方法. 根据分步计数原理，共有=92 568 000种选法. 答　共有92 568 000种不同的选法. 31 　　　(课本例7)　从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13 000的共有多少个？ 例 3 32 方法一　满足条件的五位数有两类： 第一类：万位数大于1，这样的五位数共有8个； 第二类：万位数为1，千位数不小于3，这样的五位数共有7个. 根据分类计数原理，大于13 000的五位数共有 8+7=26 544(个). 方法二　由0，1，2，…，9这10个数字中不同的5个数字组成的五位数共有9个，其中不大于13 000的五位数的万位数都是1，且千位数小于3，这样的数共有2个，所以满足条件的五位数共有9-2=26 544(个). 答　大于13 000的五位数共有26 544个. 33 　　　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； 例 3 第一步：选3名男运动员，有种选法；第二步：选2名女运动员，有种选法，故共有·=120(种)选法. 34 (2)至少有1名女运动员； 方法一　(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类计数原理知共有·+·+·+·=246(种)选法. 方法二　(间接法)不考虑条件，从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种，故“至少有1名女运动员”的选法有-=246(种). 35 (3)既要有队长，又要有女运动员. 当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法；不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，故不选女队长时共有-种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有+-=191(种). 36 反 思 感 悟 (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据. (2)含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以以此作为分类依据，或采用间接法求解. (3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解. 常见的有限制条件的组合问题及解题方法 　　　　　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； 跟踪训练 3 从中任取5人是组合问题，共有=792(种)不同的选法. 38 (2)甲、乙、丙三人必须参加； 甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有=36(种)不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加； 甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有= 126(种)不同的选法. 39 (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. 甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：先从甲、乙、丙中选1人，有种选法，再从另外9人中选4人，有种选法，共有=378(种)不同的选法. 40 1.知识清单： (1)组合数的两个性质及应用. (2)组合数在实际问题中的应用. 2.方法归纳：分类讨论、间接法. 3.常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算时不能构造组合数性质. 课堂小结 41 随堂演练 四 1 2 3 4 1.++等于 A.　 B.　 C.　 D. ++=++=+=，故选D. √ 2.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为 A.120种　 B.84种　 C.52种　 D.48种 1 2 3 4 √ (间接法)-=52(种). 3.+-=　　　　.  1 2 3 4 0 +-=-=-=0. 4.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为　　　.  1 2 3 4 从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有··=96(种). 96 课时对点练 五 1.方程=的解集为 A.4 B.14 C.4或6 D.14或2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知或 解得x=4或x=6. 2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有 A.60种　 B.48种　 C.30种　 D.10种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有种方法，由分步计数原理可得不同的选派方法共有·=30(种). √ 3.+++++等于 A.　 B.　 C.　 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为+=， 所以+++++ =+++++ =++++ =+++ =++ =+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这9个点为顶点的三角形的个数为 A.+ B.(+)(+) C.-9 D.-- √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (直接法)可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成的三角形的个数为；a上取一点，b上取两点，则可构成的三角形的个数为.利用分类计数原理可得以这9个点为顶点的三角形的个数为+. (间接法)从9个点中选3个点共有种选法，其中3点都在直线a或b上有+(种)，则以这9个点为顶点的三角形的个数为--. 5.在平面直角坐标系xOy上，平行直线x=n(n=0，1，2，…，5)与平行直线y=n(n=0，1，2，…，5)组成的图形中，矩形共有 A.25个　 B.36个　 C.100个　 D.225个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为×=15×15=225. 6.等于 A.　 B.101　 C.　 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ====6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.计算++的值为　　　　.  ++=+====126. 126 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有　　　　人.  设男生有n人，则女生有(8-n)人，由题意可得=30，n∈N*，解得n=5或n=6，代入验证，可知女生有2或3人. 2或3 58 9.高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动. (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从余下的34名学生中选取2名， 有=561(种). ∴不同的选法有561种. (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从34名可选学生中选取3名，有种. 或者-==5 984(种). ∴不同的选法有5 984种. (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有=2 100(种). ∴不同的选法有2 100种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 选取2名女生有种， 选取3名女生有种， 共有+=2 100+455=2 555(种). ∴不同的选法有2 555种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 选取3名的总数有，共有-=6 545-455=6 090(种). ∴不同的选法有6 090种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可以分三类： 第一类，两项工作都能胜任的青年被选中且从事英语翻译工作，有种选法； 第二类，两项工作都能胜任的青年被选中且从事德语翻译工作，有种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年未被选中，有种选法. 根据分类计数原理，一共有++=42(种)不同的选法. 11.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 A.28　 B.49　 C.56 　 D.85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 依题意得，满足条件的不同选法的种数为+=49(种). 12.(多选)下列命题正确的是 A.=162 700 B.若=，则n=10或14 C.(+)÷的值为 D.+++…+=7 315 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，===161 700，故A错误； 对于B，若=，则3=17-n，或者3+17-n=n，解得n=10或14，经检验满足题意，故B项正确； 对于C，(+)÷=(+)÷=÷= ÷=，故C项正确； 对于D，+++…+=++…+=+++…+= +===7 315，故D项正确. 13.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备　　　　种不同的素菜.(结果用数值表示)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设餐厅还需准备x种不同的素菜. 由题意，得·≥200，从而有≥20， 即x(x-1)≥40. 又x≥2，x∈N*，所以x的最小值为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成　　　个平行四边形，共有　　　个交点.  第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有=1 260(个).第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有=80(个). 1 260 80 15.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为 A.120　 B.240　 C.360 　D.720 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 先选出3个球有=120(种)方法，不妨设为1，2，3号球，则1，2，3号盒中能放的球为2，3，1或3，1，2两种.这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2=240(种)方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(1)已知k，n为正整数，k≤n，求证：k=n； ∵k=k·==n， ∴k=n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知k，n为正整数，求证：+++…+=； 由+=知， +++…+ =+++…+ =++…+ =++…+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)已知m，n为正整数，n≥2，求证：+++… +<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)可知，当n≥2时，==， 而=<， 故+++…+ <+++…+=， 故+++…+<，其中n≥2. 第一章 <<< $$ 第2课时　组合数的性质及应用 ［学习目标］　1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题. 导语 前面我们学习了组合的概念以及组合数公式，但我们用组合数公式计算类似，这样的组合数时，计算量比较大，是不是有便捷的方法呢？ 一、组合数的性质1 问题1　假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人.如果从上场队员考虑，有多少种安排方案？如果从不上场队员考虑，有多少种安排方案？这两种方案有什么关系？ 提示　上场的方案有种，不上场的方案有种；==56. 知识梳理 组合数的性质1：=. 注意点： (1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想. (2)两边下标相同，上标之和等于下标. 例1　(1)计算：=　　　　，·=　　　　　.  答案　2 024　 解析　==2 024， ·=·=. (2)(多选)若=(n∈N*)，则n等于 (　　) A.4　B.5　C.6　D.7 答案　BD 解析　由题意得，2n-3=n+2或2n-3+n+2=20，即n=5或n=7. 反思感悟　性质“=”的意义及作用 跟踪训练1　(1)若=，则等于 (　　) A.1　B.10　C.11　D.55 答案　C 解析　由=，得n=6+5=11，===11. (2)若=，则=　　　　　　.  答案　28 解析　由=， 得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18， 解得n=2或n=8(舍去)， 故=28. 二、组合数的性质2 问题2　从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有种选法；当体育委员未入选时，有种选法.这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 提示　一样，=+. 知识梳理 组合数的性质2：=+. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数. (2)体现了“含”与“不含”的分类思想. 例2　(1)已知m≥4，-+等于 (　　) A.1 B.m C.m+1 D.0 答案　D 解析　-+=+-=-=0. (2)++++…+等于 (　　) A.　B.　C.　D. 答案　D 解析　++++…+=+++…+=++…+=…=+==. 延伸探究　若将本例(2)中式子换成“+++…+”，则其值为多少？ 解　+++…+ =+++…+- =++…+-1 =… =+-1=-1. 反思感悟　性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形=-，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用. 跟踪训练2　(1)若-=，则n等于 (　　) A.12　B.13　C.14　D.15 答案　C 解析　=+=， ∴n+1=7+8，n=14. (2)+++…+等于 (　　) A.　B.　C.-1　D.-1 答案　B 解析　+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=. 三、有限制条件的组合问题 例3　(课本例4)　在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件，问： (1)一共有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种？ 解　(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即 ==161 700. (2)抽出的3件中恰好有1件是不合格品，分2个步骤进行. 第一步，从2件不合格品中抽出1件不合格品，抽法有种；第二步，从98件合格品中抽出2件合格品，抽法种. 根据分步计数原理，抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法种数是 =2×4 753=9 506. (3)方法一　抽出的3件中至少有1件是不合格品，包括两种情况：恰好有1件不合格品，恰好有2件不合格品. 由(2)知恰好有1件是不合格品的抽法有种.同理，恰好有2件是不合格品的抽法有种. 根据分类计数原理，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法的种数是 +=9 506+98=9 604. 方法二　抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中全是合格品的抽法种数，即 -=161 700-152 096=9 604. 答　不同的抽法分别有161 700种、9 506种、9 604种. 例3　(课本例5)　房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开1盏灯用以照明，有多少种不同的方法？ 解　方法一　因为开灯照明，与开灯的先后顺序无关，而只与开灯的多少有关，所以可分成开1盏、2盏……5盏灯五种情况. 开1盏灯有种方法，开2盏灯有种方法……5盏灯全开有种方法.根据分类计数原理，不同的开灯方法有++…+=31(种). 方法二　因为对任何1盏电灯都有“开”或“不开”两种处理方法，所以开灯照明这件事可分成对每盏灯逐个处理的5个步骤来进行. 根据分步计数原理，5盏电灯就有2×2×2×2×2=25种处理方法，其中1盏都不开的情况应除外.所以不同的开灯方法有 2×2×2×2×2-1=25-1=31(种). 答　至少开1盏灯用以照明，有31种不同的方法. 例3　(课本例6)　高二(1)班有30名男生、20名女生.从50名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、宣传委员、体育委员，共有多少种不同的选法？ 解　完成这件事情可分3步进行： 第一步：从30名男生中选3名男生，有种方法； 第二步：从20名女生中选2名女生，有种方法； 第三步：将选出的5名学生进行分工，即全排列，有种方法. 根据分步计数原理，共有=92 568 000种选法. 答　共有92 568 000种不同的选法. 例3　(课本例7)　从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13 000的共有多少个？ 解　方法一　满足条件的五位数有两类： 第一类：万位数大于1，这样的五位数共有8个； 第二类：万位数为1，千位数不小于3，这样的五位数共有7个. 根据分类计数原理，大于13 000的五位数共有 8+7=26 544(个). 方法二　由0，1，2，…，9这10个数字中不同的5个数字组成的五位数共有9个，其中不大于13 000的五位数的万位数都是1，且千位数小于3，这样的数共有2个，所以满足条件的五位数共有9-2=26 544(个). 答　大于13 000的五位数共有26 544个. 例3　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员. 解　(1)第一步：选3名男运动员，有种选法；第二步：选2名女运动员，有种选法，故共有·=120(种)选法. (2)方法一　(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类计数原理知共有·+·+·+·=246(种)选法. 方法二　(间接法)不考虑条件，从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种，故“至少有1名女运动员”的选法有-=246(种). (3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法；不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，故不选女队长时共有-种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有+-=191(种). 反思感悟　常见的有限制条件的组合问题及解题方法 (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据. (2)含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以以此作为分类依据，或采用间接法求解. (3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解. 跟踪训练3　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. 解　(1)从中任取5人是组合问题，共有=792(种)不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有=36(种)不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有=126(种)不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：先从甲、乙、丙中选1人，有种选法，再从另外9人中选4人，有种选法，共有=378(种)不同的选法. 1.知识清单： (1)组合数的两个性质及应用. (2)组合数在实际问题中的应用. 2.方法归纳：分类讨论、间接法. 3.常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算时不能构造组合数性质. 1.++等于 (　　) A.　B.　C.　D. 答案　D 解析　++=++=+=，故选D. 2.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为 (　　) A.120种　B.84种　C.52种　D.48种 答案　C 解析　(间接法)-=52(种). 3.+-=　　　　.  答案　0 解析　+-=-=-=0. 4.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为　　　.  答案　96 解析　从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有··=96(种). 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.方程=的解集为 (　　) A.4 B.14 C.4或6 D.14或2 答案　C 解析　由题意知或 解得x=4或x=6. 2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有 (　　) A.60种　B.48种　C.30种　D.10种 答案　C 解析　从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有种方法，由分步计数原理可得不同的选派方法共有·=30(种). 3.+++++等于 (　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　因为+=， 所以+++++ =+++++ =++++ =+++ =++ =+=. 4.(多选)已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这9个点为顶点的三角形的个数为 (　　) A.+ B.(+)(+) C.-9 D.-- 答案　AD 解析　(直接法)可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成的三角形的个数为；a上取一点，b上取两点，则可构成的三角形的个数为.利用分类计数原理可得以这9个点为顶点的三角形的个数为+. (间接法)从9个点中选3个点共有种选法，其中3点都在直线a或b上有+(种)，则以这9个点为顶点的三角形的个数为--. 5.在平面直角坐标系xOy上，平行直线x=n(n=0，1，2，…，5)与平行直线y=n(n=0，1，2，…，5)组成的图形中，矩形共有 (　　) A.25个　B.36个　C.100个　D.225个 答案　D 解析　在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为×=15×15=225. 6.等于 (　　) A.　B.101　C.　D.6 答案　D 解析　====6. 7.(5分)计算++的值为　　　　.  答案　126 解析　++=+====126. 8.(5分)男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有　　人.  答案　2或3 解析　设男生有n人，则女生有(8-n)人，由题意可得=30，n∈N*，解得n=5或n=6，代入验证，可知女生有2或3人. 9.(10分)高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动. (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？(2分) (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(2分) (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(2分) (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(2分) (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？(2分) 解　(1)从余下的34名学生中选取2名， 有=561(种). ∴不同的选法有561种. (2)从34名可选学生中选取3名，有种. 或者-==5 984(种). ∴不同的选法有5 984种. (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有=2 100(种). ∴不同的选法有2 100种. (4)选取2名女生有种， 选取3名女生有种， 共有+=2 100+455=2 555(种). ∴不同的选法有2 555种. (5)选取3名的总数有，共有-=6 545-455=6 090(种). ∴不同的选法有6 090种. 10.(11分)现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解　可以分三类： 第一类，两项工作都能胜任的青年被选中且从事英语翻译工作，有种选法； 第二类，两项工作都能胜任的青年被选中且从事德语翻译工作，有种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年未被选中，有种选法. 根据分类计数原理，一共有++=42(种)不同的选法. 11.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 (　　) A.28　B.49　C.56　D.85 答案　B 解析　依题意得，满足条件的不同选法的种数为 +=49(种). 12.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.=162 700 B.若=，则n=10或14 C.(+)÷的值为 D.+++…+=7 315 答案　BCD 解析　对于A，===161 700，故A错误；对于B，若=，则3=17-n，或者3+17-n=n，解得n=10或14，经检验满足题意，故B项正确；对于C，(+)÷=(+)÷=÷=÷=，故C项正确；对于D，+++…+=++…+=+++…+=+===7 315，故D项正确. 13.(5分)某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备　　　　种不同的素菜.(结果用数值表示)  答案　7 解析　设餐厅还需准备x种不同的素菜. 由题意，得·≥200，从而有≥20， 即x(x-1)≥40. 又x≥2，x∈N*，所以x的最小值为7. 14.(5分)在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成　　　　个平行四边形，共有　　　　个交点.  答案　1 260　80 解析　第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有=1 260(个).第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有=80(个). 15.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为 (　　) A.120　B.240　C.360　D.720 答案　B 解析　先选出3个球有=120(种)方法，不妨设为1，2，3号球，则1，2，3号盒中能放的球为2，3，1或3，1，2两种.这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2=240(种)方法. 16.(12分)(1)已知k，n为正整数，k≤n，求证：k=n；(3分) (2)已知k，n为正整数，求证：+++…+=；(4分) (3)已知m，n为正整数，n≥2，求证：+++…+<.(5分) 证明　(1)∵k=k· ==n， ∴k=n. (2)由+=知， +++…+ =+++…+ =++…+ =++…+=. (3)由(1)可知，当n≥2时，==， 而=<， 故+++…+ <+++…+=， 故+++…+<，其中n≥2. 学科网（北京）股份有限公司 $$