第7章 7.1 第1课时 分类计数原理与分步计数原理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

第1课时　分类计数原理与分步计数原理 ［学习目标］　1.了解分类计数原理与分步计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 导语 日常生活、生产中，计数的问题大量存在，如学校举行班级篮球赛，在确定赛制后，体育组老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红黄绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号…如果问题中数量较少，通过列举一个个的数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，能否设计巧妙的“数法”以提高效率呢？ 一、分类计数原理 某志愿者从B地赶赴A地为游客提供导游服务.假如当天适合他出行的航班有6个，高铁有14列. 问题1　该志愿者从B地到A地的方案可分几类？ 提示　两类，即乘飞机、坐高铁. 问题2　这几类方案中各有几种方法？ 提示　第1类方案(乘飞机)有6种方法，第2类方案(坐高铁)有14种方法. 问题3　该志愿者从B地到A地共有多少种不同的方法？ 提示　共有6+14=20(种)不同的方法. 知识梳理 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 注意点： 理解分类计数原理的关键点 (1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②怎样才算完成这件事；③完成这件事可以有哪些方案. (2)独立性：①完成这件事的n类方案是相互独立的；②每一类方案中的方法都可以单独完成这件事，不需要用到其他的方法. (3)分类：这是利用分类计数原理解题的关键，①分类必须明确标准，一般地，分类标准不同，分类的结果也不同；②每一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的；③每一类中的任意两种方法也不相同. 例1　某校高三共有三个班，各班人数如下表： 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解　(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案. 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法. 根据分类计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50+60+55=165(种)不同的选法. (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案. 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法. 根据分类计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30+30+20=80(种)不同的选法. 反思感悟　(1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”. (2)利用分类计数原理计数时的解题流程 ①分类：将完成这件事的方法分成若干类； ②计数：求出每一类的方法数； ③结论：将每一类的方法数相加得出结果. 跟踪训练1　设集合A=｛1，2，3，4｝，m，n∈A，则方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆有　　　　个.  答案　6 解析　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n. 当m=4时，n=1，2，3； 当m=3时，n=1，2； 当m=2时，n=1， 即所求的椭圆共有3+2+1=6(个). 二、分步计数原理 若这名志愿者从B地赶赴A地赛区为游客提供导游服务，但需在C地中转，假如当天从B地到C地适合他出行的航班有6个，从C地到A地的高铁有8列. 问题4　该志愿者从B地到A地需要经历几个步骤？ 提示　两个，即先乘飞机到C地，再坐高铁到A地. 问题5　完成每一个步骤各有几种方法？ 提示　第1个步骤有6种方法，第2个步骤有8种方法. 问题6　该志愿者从B地到A地共有多少种不同的方法？ 提示　共有6×8=48(种)不同的方法. 知识梳理 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 注意点： 理解分步计数原理的关键点 (1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②要经过几步才能完成这件事. (2)相关性：①完成这件事需要分成若干个步骤；②只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任一步骤，这件事都不可能完成. (3)分步：这是利用分步计数原理解题的关键，①准确确定分步的标准，一般地，分步的标准不同，分成的步骤数也会不同；②要注意各步骤之间必须连续；③各步骤之间既不能重复，也不能遗漏. 例2　一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复) 解　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，所以m1=10； 第2步，有10种拨号方式，所以m2=10； 第3步，有10种拨号方式，所以m3=10； 第4步，有10种拨号方式，所以m4=10. 根据分步计数原理，共可以组成N=10×10×10×10=10 000(个)四位数的号码. 延伸探究　若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？ 解　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，即m1=10； 第2步，去掉第1步拨的数字，有9种拨号方式，即m2=9； 第3步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3=8； 第4步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4=7. 根据分步计数原理，共可以组成N=10×9×8×7=5 040(个)四位数的号码. 反思感悟　利用分步计数原理解题的注意点及解题思路 (1)应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. (2)利用分步计数原理解题的流程 ①分步：将完成这件事的过程分成若干步； ②计数：求出每一步中的方法数； ③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 跟踪训练2　已知集合M=｛-3，-2，-1，0，1，2｝，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M).问： (1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？ (2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？ 解　(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步，确定a的值，共有6种方法； 第二步，确定b的值，也有6种方法. 根据分步计数原理，得到平面上的点的个数是6×6=36. (2)确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步，确定a，由于a<0，所以有3种不同的确定方法； 第二步，确定b，由于b>0，所以有2种不同的确定方法. 根据分步计数原理，得到第二象限点的个数为3×2=6. 三、两个计数原理的简单应用 例3　(课本例1)　某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会. (1)若学生分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？ (2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？ 解　(1)选出1名代表有两类方式： 第一类： 从男生中选出1名代表，有28种不同的选法；第二类： 从女生中选出1名代表，有20种不同的选法.根据分类计数原理，共有不同的选法种数是 28+20=48. (2)选出男、女生代表各1名，可以分成两个步骤完成： 第一步： 选1名男生代表，有28种不同的选法； 第二步： 选1名女生代表，有20种不同的选法. 根据分步计数原理，选出男、女生代表各1名，共有不同的选法种数是28×20=560. 答　选出1名代表有48种不同的选法；选出男、女生代表各1名，有560种不同的选法. 例3　(课本例2)　(1)在图(1)的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？ (2)在图(2)的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？ 解　(1)在题图(1)中，按要求接通电路，只要A中的2只开关或B中的3只开关合上1只即可.根据分类计数原理，共有2+3=5种不同的方法. (2)在题图(2)中，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关；第二步，合上B中的1只开关.根据分步计数原理，共有2×3=6种不同的方法. 答　在题图(1)的电路中，仅合上1只开关接通电路，有5种不同的方法；在题图(2)的电路中，仅合上2只开关接通电路，有6种不同的方法. 例3　(课本例3)　3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本，共有多少种不同的选法？ 解　第一名同学选1本电子书有5种不同的选法，第二、第三名同学各选1本电子书，仍各有5种不同的选法.因此，根据分步计数原理，3名同学每人各选1本电子书的不同选法种数是 5×5×5=125. 答　共有125种不同的选法. 例3　(课本例4)　为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码.在某网站设置的邮箱中， (1)若密码为4位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？ (2)若密码为4~6位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？ 解　(1)设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0~9这10个数字中任取1个，有10种取法.根据分步计数原理，4位密码的个数是10×10×10×10=10 000. (2)设置的密码为4~6位，每位均为0~9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类.其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104，105，106.根据分类计数原理，设置由数字0~9组成的4~6位密码的个数是104+105+106=1 110 000. 答　满足条件的密码的个数分别为10 000和1 110 000. 例3　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解　(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类计数原理，共有5+2+7=14(种)不同的选法. (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有5×2×7=70(种)不同的选法. (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步计数原理知，有5×2=10(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7=35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7=14(种)不同的选法. 所以共有10+35+14=59(种)不同的选法. 反思感悟　使用两个计数原理的原则 使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步计数原理. 跟踪训练3　如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线共有多少条？ 解　从总体上看有三类方法，分别经过AB，AD，AA1，从局部上看第一类又需分两步完成.故第一类：经过AB，有m1=1×2=2(条)；第二类：经过AD，有m2=1×2=2(条)；第三类：经过AA1，有m3=1×2=2(条).根据分类计数原理，从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6(条). 1.知识清单： (1)分类计数原理与分步计数原理的定义. (2)分类计数原理与分步计数原理的简单应用. 2.方法归纳：列举法、分类讨论. 3.常见误区：在分类、分步中出现重复、遗漏导致出错. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么从A地到B地的不同方法数为 (　　) A.1+1+1=3 B.3+4+2=9 C.3×4×2=24 D.以上都不对 答案　B 2.已知x∈｛2，3，7｝，y∈｛-31，-24，4｝，则xy的不同的值的个数是 (　　) A.2　B.3　C.6　D.9 答案　D 解析　x有3种不同的选法，y有3种不同的选法， 则xy共有3×3=9(个)不同的值. 3.某公司员工无偿献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人.从4种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为 (　　) A.1 200　B.600　C.300　D.26 答案　A 解析　分四步： 第一步，选O型血的人有10种选法； 第二步，选A型血的人有5种选法； 第三步，选B型血的人有8种选法； 第四步，选AB型血的人有3种选法. 故共有10×5×8×3=1 200(种)不同的选法. 4.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有　　　　种不同的取法.  答案　48 解析　由分步计数原理知，共有6×8=48(种)不同的取法. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，安排方法共有 (　　) A.8种　B.6种　C.14种　D.48种 答案　C 解析　完成升旗这一任务分两类，由分类计数原理，得安排方法共有8+6=14(种). 2.图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，则不同的取法共有 (　　) A.120种　B.16种　C.64种　D.39种 答案　B 解析　由于书架上有3+5+8=16(本)书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法. 3.在某试验田中，分别对一种作物的用肥，用水量和温度进行实验，用肥有3种选择，用水量有3种选择，温度控制有2种选择，则该试验田应分成 (　　) A.10部分 B.8部分 C.18部分 D.15部分 答案　C 解析　根据分步计数原理，试验田应分成3×3×2=18部分. 4.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有 (　　) A.7种　B.14种　C.21种　D.49种 答案　D 解析　学生进门有3+4=7(种)选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理知，进出门的方案有7×7=49(种). 5.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是 (　　) A.14　B.23　C.48　D.120 答案　C 解析　分两步：第1步，取多面体，有5+3=8(种)不同的取法；第2步，取旋转体，有4+2=6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是8×6=48. 6.(多选)设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是 (　　) A.从东面上山有20种走法 B.从西面上山有27种走法 C.从南面上山有30种走法 D.从北面上山有32种走法 答案　ABD 解析　若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，共有27种走法；若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，共有27种走法；若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，共有32种走法. 7.(5分)如图所示的电路图，从A到B共有　　　　条不同的线路可通电.  答案　8 解析　分三类：第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2×2=4(种)方法，所以总的线路条数N=3+1+4=8. 8.(5分)古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成　　　　组.  答案　60 解析　分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6=30(组)不同的结果；第二类也有30组不同的结果，共可配成30+30=60(组). 9.(10分)有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加. (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？(5分) (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？(5分) 解　(1)选1人，可分3类： 第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法； 第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法； 第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法. 共有3+8+5=16(种)不同的选法. (2)选教师、男同学、女同学各1人，分3步进行： 第1步，选教师，有3种不同的选法； 第2步，选男同学，有8种不同的选法； 第3步，选女同学，有5种不同的选法. 共有3×8×5=120(种)不同的选法. 10.(12分)若直线方程Ax+By=0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？ 解　分两类完成： 第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线为x=0或y=0，共有2条； 第二类：当A，B都不取0时，直线Ax+By=0被确定需分两步完成： 第一步，确定A的值，从1，2，3，5中选一个，共有4种不同的方法； 第二步，确定B的值，共有3种不同的方法. 根据分步计数原理，共确定4×3=12(条)不同的直线. 根据分类计数原理，方程所表示的不同直线有2+12=14(条). 11.某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动，每位同学限报其中一个活动，且小张不能报A活动，则不同的报名方法有 (　　) A.27种　B.36种　C.54种　D.81种 答案　C 解析　小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，由分步计数原理知，共有2×3×3×3=54(种)不同的报名方法. 12.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为 (　　) A.9　B.6　C.18　D.36 答案　D 解析　方法一　=36. 方法二　 个位数为2，十位数为1，共1个； 个位数为3，十位数为2，1，共2个； 依此类推； 个位数为9，十位数为8，7，6，5，4，3，2，1，共8个. 所以所求两位数的个数为1+2+3+4+5+6+7+8=×8=36. 13.满足a，b∈｛-1，0，1，2｝，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为 (　　) A.14　B.13　C.12　D.10 答案　B 解析　由已知得ab≤1. 当a=-1时，b=-1，0，1，2，有4种可能； 当a=0时，b=-1，0，1，2，有4种可能； 当a=1时，b=-1，0，1，有3种可能； 当a=2时，b=-1，0，有2种可能. ∴所求(a，b)的个数为4+4+3+2=13. 14.从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为 (　　) A.2　B.4　C.6　D.8 答案　D 解析　分两类： 第一类，公差大于0，有①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5，共4个等差数列； 第二类，公差小于0，也有4个等差数列，即①3，2，1，②4，3，2，③5，4，3，④5，3，1.根据分类计数原理可知，共有4+4=8(个)不同的等差数列. 15.(5分)已知a∈｛2，4，6，8｝，b∈｛3，5，7，9｝，则能使logab>1的对数值有　　　　个.  答案　9 解析　分四类，当a=2时，b取3，5，7，9四种情况； 当a=4时，b取5，7，9三种情况； 当a=6时，b取7，9两种情况； 当a=8时，b取9一种情况， 所以共有4+3+2+1=10(种)，又log23=log49， 所以对数值有9个. 16.(12分)“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”. 解　“渐升数”由小到大排列，则1在千位，2在百位的“渐升数”有6+5+4+3+2+1=21(个)；1在千位，3在百位，4在十位的“渐升数”有5个；1在千位，3在百位，5在十位的“渐升数”有4个，此时“渐升数”有21+5+4=30(个)，因此按从小到大的顺序排列，第30个“渐升数”必为1 359. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 <<< 第1课时 分类计数原理与分步计数原理 1.了解分类计数原理与分步计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 学习目标 日常生活、生产中，计数的问题大量存在，如学校举行班级篮球赛，在确定赛制后，体育组老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红黄绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号…如果问题中数量较少，通过列举一个个的数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，能否设计巧妙的“数法”以提高效率呢？ 导 语 一、分类计数原理 二、分步计数原理 课时对点练 三、两个计数原理的简单应用 随堂演练 内容索引 一 分类计数原理 某志愿者从B地赶赴A地为游客提供导游服务.假如当天适合他出行的航班有6个，高铁有14列. 该志愿者从B地到A地的方案可分几类？ 问题1 提示　两类，即乘飞机、坐高铁. 这几类方案中各有几种方法？ 问题2 提示　第1类方案(乘飞机)有6种方法，第2类方案(坐高铁)有14种方法. 该志愿者从B地到A地共有多少种不同的方法？ 问题3 提示　共有6+14=20(种)不同的方法. 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法. m1+m2+…+mn 知识梳理 注 意 点 <<< 理解分类计数原理的关键点 (1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②怎样才算完成这件事；③完成这件事可以有哪些方案. (2)独立性：①完成这件事的n类方案是相互独立的；②每一类方案中的方法都可以单独完成这件事，不需要用到其他的方法. (3)分类：这是利用分类计数原理解题的关键，①分类必须明确标准，一般地，分类标准不同，分类的结果也不同；②每一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的；③每一类中的任意两种方法也不相同. 11 　　　某校高三共有三个班，各班人数如下表： 例 1   男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ 12 从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案. 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法. 根据分类计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50+60+55=165(种)不同的选法. 13 (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 14 从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案. 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法. 根据分类计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30+30+20=80(种)不同的选法. 15 (1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”. (2)利用分类计数原理计数时的解题流程 ①分类：将完成这件事的方法分成若干类； ②计数：求出每一类的方法数； ③结论：将每一类的方法数相加得出结果. 反 思 感 悟 16 　　　　　设集合A=｛1，2，3，4｝，m，n∈A，则方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆有　　个.  跟踪训练 1 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n. 当m=4时，n=1，2，3； 当m=3时，n=1，2； 当m=2时，n=1， 即所求的椭圆共有3+2+1=6(个). 6 17 二 分步计数原理 若这名志愿者从B地赶赴A地赛区为游客提供导游服务，但需在C地中转，假如当天从B地到C地适合他出行的航班有6个，从C地到A地的高铁有8列. 19 提示　两个，即先乘飞机到C地，再坐高铁到A地. 该志愿者从B地到A地需要经历几个步骤？ 问题4 提示　第1个步骤有6种方法，第2个步骤有8种方法. 完成每一个步骤各有几种方法？ 问题5 提示　共有6×8=48(种)不同的方法. 该志愿者从B地到A地共有多少种不同的方法？ 问题6 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法. m1×m2×…×mn 知识梳理 理解分步计数原理的关键点 (1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②要经过几步才能完成这件事. (2)相关性：①完成这件事需要分成若干个步骤；②只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任一步骤，这件事都不可能完成. (3)分步：这是利用分步计数原理解题的关键，①准确确定分步的标准，一般地，分步的标准不同，分成的步骤数也会不同；②要注意各步骤之间必须连续；③各步骤之间既不能重复，也不能遗漏. 注 意 点 <<< 24 　　　一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复) 例 2 25 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，所以m1=10； 第2步，有10种拨号方式，所以m2=10； 第3步，有10种拨号方式，所以m3=10； 第4步，有10种拨号方式，所以m4=10. 根据分步计数原理，共可以组成N=10×10×10×10=10 000(个)四位数的号码. 26 若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？ 延伸探究 27 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，即m1=10； 第2步，去掉第1步拨的数字，有9种拨号方式，即m2=9； 第3步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3=8； 第4步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4=7. 根据分步计数原理，共可以组成N=10×9×8×7=5 040(个)四位数的号码. 28 反 思 感 悟 (1)应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. (2)利用分步计数原理解题的流程 ①分步：将完成这件事的过程分成若干步； ②计数：求出每一步中的方法数； ③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 利用分步计数原理解题的注意点及解题思路 　　　　　已知集合M=｛-3，-2，-1，0，1，2｝，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M).问： (1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？ 跟踪训练 2 确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步，确定a的值，共有6种方法； 第二步，确定b的值，也有6种方法. 根据分步计数原理，得到平面上的点的个数是6×6=36. 30 (2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？ 确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步，确定a，由于a<0，所以有3种不同的确定方法； 第二步，确定b，由于b>0，所以有2种不同的确定方法. 根据分步计数原理，得到第二象限点的个数为3×2=6. 31 三 两个计数原理的简单应用 　　　(课本例1)　某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会. (1)若学生分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？ 例 3 选出1名代表有两类方式： 第一类： 从男生中选出1名代表，有28种不同的选法；第二类： 从女生中选出1名代表，有20种不同的选法.根据分类计数原理，共有不同的选法种数是 28+20=48. 33 (2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？ 选出男、女生代表各1名，可以分成两个步骤完成： 第一步： 选1名男生代表，有28种不同的选法； 第二步： 选1名女生代表，有20种不同的选法. 根据分步计数原理，选出男、女生代表各1名，共有不同的选法种数是28×20=560. 答　选出1名代表有48种不同的选法；选出男、女生代表各1名，有560种不同的选法. 34 　　　(课本例2)　(1)在图(1)的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？ 例 3 在题图(1)中，按要求接通电路，只要A中的2只开关或B中的3只开关合上1只即可.根据分类计数原理，共有2+3=5种不同的方法. 答　在题图(1)的电路中，仅合上1只开关接通电路，有5种不同的方法. 35 (2)在图(2)的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？ 在题图(2)中，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关；第二步，合上B中的1只开关.根据分步计数原理，共有2×3=6种不同的方法. 答　在题图(2)的电路中，仅合上2只开关接通电路，有6种不同的方法. 36 　　　 (课本例3)　3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本，共有多少种不同的选法？ 例 3 第一名同学选1本电子书有5种不同的选法，第二、第三名同学各选1本电子书，仍各有5种不同的选法.因此，根据分步计数原理，3名同学每人各选1本电子书的不同选法种数是 5×5×5=125. 答　共有125种不同的选法. 37 　　　 (课本例4)　为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码.在某网站设置的邮箱中， (1)若密码为4位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？ 例 3 设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0~9这10个数字中任取1个，有10种取法.根据分步计数原理，4位密码的个数是10×10×10×10=10 000. 答　满足条件的密码的个数为10 000. 38 (2)若密码为4~6位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？ 设置的密码为4~6位，每位均为0~9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类.其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104，105，106.根据分类计数原理，设置由数字0~9组成的4~6位密码的个数是104+105+106=1 110 000. 答　满足条件的密码的个数为1 110 000. 39 　　　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ 例 3 分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类计数原理，共有5+2+7=14(种)不同的选法. 40 (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ 分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有5×2×7=70(种)不同的选法. 41 (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步计数原理知，有5×2=10(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7=35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7=14(种)不同的选法. 所以共有10+35+14=59(种)不同的选法. 42 反 思 感 悟 使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步计数原理. 使用两个计数原理的原则 　　　　　如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线共有多少条？ 跟踪训练 3 44 从总体上看有三类方法，分别经过AB，AD，AA1，从局部上看第一类又需分两步完成.故第一类：经过AB，有m1=1×2=2(条)；第二类：经过AD，有m2=1×2=2(条)；第三类：经过AA1，有m3=1×2 =2(条).根据分类计数原理，从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6(条). 45 1.知识清单： (1)分类计数原理与分步计数原理的定义. (2)分类计数原理与分步计数原理的简单应用. 2.方法归纳：列举法、分类讨论. 3.常见误区：在分类、分步中出现重复、遗漏导致出错. 课堂小结 46 随堂演练 四 1 2 3 4 1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么从A地到B地的不同方法数为 A.1+1+1=3 B.3+4+2=9 C.3×4×2=24 D.以上都不对 √ 2.已知x∈｛2，3，7｝，y∈｛-31，-24，4｝，则xy的不同的值的个数是 A.2　 B.3　 C.6　 D.9 1 2 3 4 √ x有3种不同的选法，y有3种不同的选法， 则xy共有3×3=9(个)不同的值. 3.某公司员工无偿献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人.从4种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为 A.1 200　 B.600　 C.300　 D.26 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 分四步： 第一步，选O型血的人有10种选法； 第二步，选A型血的人有5种选法； 第三步，选B型血的人有8种选法； 第四步，选AB型血的人有3种选法. 故共有10×5×8×3=1 200(种)不同的选法. 4.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有　　种不同的取法.  1 2 3 4 由分步计数原理知，共有6×8=48(种)不同的取法. 48 课时对点练 五 1.某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，安排方法共有 A.8种　 B.6种　 C.14种　 D.48种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 完成升旗这一任务分两类，由分类计数原理，得安排方法共有8+6=14(种). 2.图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，则不同的取法共有 A.120种　 B.16种　 C.64种　 D.39种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于书架上有3+5+8=16(本)书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法. √ 3.在某试验田中，分别对一种作物的用肥，用水量和温度进行实验，用肥有3种选择，用水量有3种选择，温度控制有2种选择，则该试验田应分成 A.10部分 B.8部分 C.18部分 D.15部分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据分步计数原理，试验田应分成3×3×2=18部分. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有 A.7种　 B.14种　 C.21种　 D.49种 √ 学生进门有3+4=7(种)选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理知，进出门的方案有7×7=49(种). 5.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是 A.14　 B.23　 C.48　 D.120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 分两步：第1步，取多面体，有5+3=8(种)不同的取法；第2步，取旋转体，有4+2=6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是8×6=48. 6.(多选)设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是 A.从东面上山有20种走法 B.从西面上山有27种走法 C.从南面上山有30种走法 D.从北面上山有32种走法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，共有27种走法；若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，共有27种走法；若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，共有32种走法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图所示的电路图，从A到B共有　　条不同的线路可通电.  分三类：第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2×2=4(种)方法，所以总的线路条数N=3+1+4=8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成　　组.  分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6=30(组)不同的结果；第二类也有30组不同的结果，共可配成30+30=60(组). 60 62 9.有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加. (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选1人，可分3类： 第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法； 第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法； 第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法. 共有3+8+5=16(种)不同的选法. (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选教师、男同学、女同学各1人，分3步进行： 第1步，选教师，有3种不同的选法； 第2步，选男同学，有8种不同的选法； 第3步，选女同学，有5种不同的选法. 共有3×8×5=120(种)不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.若直线方程Ax+By=0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分两类完成： 第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线为x=0或y=0，共有2条； 第二类：当A，B都不取0时，直线Ax+By=0被确定需分两步完成： 第一步，确定A的值，从1，2，3，5中选一个，共有4种不同的方法； 第二步，确定B的值，共有3种不同的方法. 根据分步计数原理，共确定4×3=12(条)不同的直线. 根据分类计数原理，方程所表示的不同直线有2+12=14(条). 11.某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动，每位同学限报其中一个活动，且小张不能报A活动，则不同的报名方法有 A.27种　 B.36种　 C.54种　 D.81种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，由分步计数原理知，共有2×3×3×3=54(种)不同的报名方法. 12.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为 A.9　 B.6　 C.18　 D.36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　=36. 方法二　个位数为2，十位数为1，共1个； 个位数为3，十位数为2，1，共2个； 依此类推； 个位数为9，十位数为8，7，6，5，4，3，2，1，共8个. 所以所求两位数的个数为1+2+3+4+5+6+7+8=×8=36. 13.满足a，b∈｛-1，0，1，2｝，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为 A.14　 B.13　 C.12　 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得ab≤1. 当a=-1时，b=-1，0，1，2，有4种可能； 当a=0时，b=-1，0，1，2，有4种可能； 当a=1时，b=-1，0，1，有3种可能； 当a=2时，b=-1，0，有2种可能. ∴所求(a，b)的个数为4+4+3+2=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为 A.2　 B.4　 C.6　 D.8 分两类： 第一类，公差大于0，有①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5，共4个等差数列； 第二类，公差小于0，也有4个等差数列，即①3，2，1，②4，3，2，③5，4，3，④5，3，1.根据分类计数原理可知，共有4+4=8(个)不同的等差数列. √ 15.已知a∈｛2，4，6，8｝，b∈｛3，5，7，9｝，则能使logab>1的对数值有　　个.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分四类，当a=2时，b取3，5，7，9四种情况； 当a=4时，b取5，7，9三种情况； 当a=6时，b取7，9两种情况； 当a=8时，b取9一种情况， 所以共有4+3+2+1=10(种)，又log23=log49， 所以对数值有9个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 “渐升数”由小到大排列，则1在千位，2在百位的“渐升数”有6+5 +4+3+2+1=21(个)；1在千位，3在百位，4在十位的“渐升数”有5个；1在千位，3在百位，5在十位的“渐升数”有4个，此时“渐升数”有21+5+4=30(个)，因此按从小到大的顺序排列，第30个“渐升数”必为1 359. 第一章 <<< $$