第6章 6.2.1 空间向量基本定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（苏教版2019）

第6章 <<< 6.2.1 空间向量基本定理 1.掌握空间向量基本定理及其推论. 2.会选择适当的基底表示任何一个空间向量. 学习目标 我们学过的平面向量基本定理可以概括为给出一个二维的基底，可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，即给出一个三维的基底，可以生成空间中的所有向量. 导 语 一、空间向量基本定理及其推论 二、用基底表示向量 课时对点练 三、空间向量基本定理的应用 随堂演练 内容索引 一 空间向量基本定理及其推论 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p=，p 能否用i，j，k表示呢？ 问题1 提示　如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则=+. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得=zk， 从而=+zk. 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组(x，y)，使得=xi+yj. 从而p==+zk=xi+yj+zk. 你能证明问题1中(x，y，z)的唯一性吗？ 问题2 提示　用反证法：假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x'，y'，z')，使得p=x'i+y'j+z'k，则x'i+y'j+z'k=xi+yj+zk. 不妨设x'≠x，则(x'-x)i=(y-y')j+(z-z')k. 两边同除以(x'-x)，得i=j+k. 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的. 1.空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在 的有序实数组(x，y，z)，使 . 唯一 p=xe1+ye2+ze3 知识梳理 2.基底的有关概念 基底 e1，e2，e3 垂直 单位向量 ｛i，j，k｝ 定义 在空间向量基本定理中，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把｛e1，e2，e3｝称为空间的一个 ， 叫作基向量 正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相 ，那么这个基底叫作正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是 时，称这个基底为单位正交基底，通常用_________ 表示 知识梳理 3.空间向量基本定理的推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得= . x+y+z 知识梳理 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同. (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 注 意 点 <<< 12 　　　已知｛e1，e2，e3｝是空间的一个基底，且=e1+2e2-e3，=-3e1+e2 +2e3，=e1+e2-e3，试判断｛，，｝能否作为空间的一个基底. 例 1 13 假设，，共面. 则存在实数λ，μ使得=λ+μ， ∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴｛，，｝可以作为空间的一个基底. 14 判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底. 反 思 感 悟 15 　　　　　(多选)设x=a+b，y=b+c，z=c+a，且｛a，b，c｝是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间的一个基底的向量组有 A.｛a，b，x｝ B.｛x，y，z｝ C.｛b，c，z｝ D.｛x，y，a+b+c｝ 跟踪训练 1 √ √ √ 16 如图所示，令a=， b=，c=， 则x=，y=，z=， a+b+c=，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a+b+c也不共面. 17 二 用基底表示向量 　　　(课本例1)　如图，在正方体OADB-CA'D'B'中，点E是AB与OD的交点，M是OD'与CE的交点，试分别用向量，，表示向量和. 例 2 因为=+， 所以=+=++. 由△OME∽△D'MC，可得=. 又OE=D'C，则OM=D'M=OD'， 所以==++. 19 　　　如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)； 例 2 ∵P是C1D1的中点， ∴=++=a++ =a+c+=a+b+c. 20 (2)； ∵N是BC的中点， ∴=++=-a+b+ =-a+b+=-a+b+c. 21 (3). ∵M是AA1的中点， ∴=+=+ =-a+=a+b+c. 22 1.本例的条件不变，试用a，b，c表示向量. 因为P，N分别是D1C1，BC的中点， 所以=++=+(-)+=-a+b-c. 延伸探究 23 2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且=”，其他条件不变，如何表示？ =+=++ =a+c+b. 24 反 思 感 悟 (1)若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量的数乘运算. (2)若未给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 用基底表示向量的方法 　　　　　如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设=a，=b，=c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，. 跟踪训练 2 26 如图，连接BO， 则= =+) =++) =(c-b-a) =-a-b+c. 27 =+=-a+ =-a++)=-a-b+c. =+=+++) =-a+c+(-c+b)=-a+b+c. ===a. 28 三 空间向量基本定理的应用 　　　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. 例 3 (1)求AC1的长； 30 设=a，=b，=c， 则|a|=|b|=|c|=1， 〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60°， 所以a·b=b·c=c·a=. ||2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) =1+1+1+2×=6， 所以||=，即AC1的长为. 31 (2)求BD1与AC所成角的余弦值. 32 =b+c-a，=a+b， 所以||=，||=， ·=(b+c-a)·(a+b) =b2-a2+a·c+b·c=1. 所以cos〈，〉==. 所以BD1与AC所成角的余弦值为. 33 反 思 感 悟 (1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行. (2)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉=，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况. (3)求距离的方法 求两点间距离或某线段的长，一般转化为对应向量的模长. 　　　　　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1. 跟踪训练 3 35 设=a，=b，=c， 则=+=+) =+) =+-) =(-a+b+c)， =+=+=a+b. 36 所以·=(-a+b+c)·(a+b) =(|b|2-|a|2)=0， 所以⊥，即EF⊥AB1. 37 1.知识清单： (1)空间向量基本定理及其推论. (2)基底的概念以及判断. (3)用基底表示向量. (4)空间向量基本定理的应用. 2.方法归纳：类比法、转化化归. 3.常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错. 课堂小结 38 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间的一个基底的是 A.｛，，｝ B.｛，，｝ C.｛，，｝ D.｛，，｝ √ 由题意知，，，不共面， 可以作为空间的一个基底. 2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，若=a，=b，=c，则等于 A.a+b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 1 2 3 4 =++=--+=-a+b-c. √ 3.若｛a，b，c｝是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa+yb+zc=0，则x，y，z满足的条件是　　　　.  1 2 3 4 由于｛a，b，c｝是空间的一个基底，所以当xa+yb+zc=0时，x=y=z=0. x=y=z=0 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E，FG所成角的大小为　　　　.  1 2 3 4 1 2 3 4 设=2a，=2b，=c， 这三个向量不共面且两两垂直，故｛a，b，c｝为空间的一个单位正交基底. =++=-2a+c+a=-a+c， =++=a+b+c， 从而·=(-a+c)·(a+b+c)=-a2+c2=0， 所以⊥，即A1E⊥FG， 所以异面直线A1E，FG所成角的大小为. 课时对点练 五 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：｛a，b，c｝为空间的一个基底，则p是q的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 当非零向量a，b，c不共面时，｛a，b，c｝可以当基底，否则不能当基底，当｛a，b，c｝为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p q，q⇒p，即p是q的必要且不充分条件. √ 2.(多选)已知｛a，b，c｝是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是 A.｛a，a-2b，2a+b｝ B.｛b，b+c，b-c｝ C.｛2a-3b，a+b，a-b｝ D.｛a+b，b-c，c+2a｝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面. √ √ √ 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若=3i，=2j，=5k，则等于 A.i+j+k B.i+j+k C.3i+2j+5k D.3i+2j-5k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =++=++=3i+2j+5k. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若=a，=c，=b，则下列向量与相等的是 A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =+=++) =++)=c+(-a+b)=-a+b+c. 5.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE=BB1，DF=DD1.若=x+y+z，则x+y+z等于 A.-1　 B.0　 C.　 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=-=+-(+)=+--=-++，所以x=-1，y=1，z=，所以x+y+z=. 6.(多选)若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，则满足下列哪一关系(O是空间任一点)时，｛，，｝不能作为空间的一个基底 A.=++ B.≠+ C.=++ D.=2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若｛，，｝为空间的一个基底，则M，A，B，C四点不共面.选项A中，因为++=1，所以点M，A，B，C共面； 选项B中，≠+，但可能存在实数λ，μ使得=λ+μ，所以点M，A，B，C可能共面； 选项D中，四点M，A，B，C显然共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则=　　　　　　　　.  ++) ∵2=2+2+2=(+)+(+)+(+)=++，∴=++). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若=λ与=++同时成立，则实数λ的值为　　.  56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =+=+λ=++) =+-+-) =(1-λ)++ =++， 所以1-λ=，=， 解得λ=. 57 9.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 求证：AB⊥AC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=a，=b，=c， 则=+=b+c. 所以·=a·(b+c)=a·b+a·c， 因为AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°， 所以a·b=0，a·c=0， 所以·=0，故AB⊥AC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=a，=b，=c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点. (1)用基底｛a，b，c｝表示向量，，； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =+=+-=a-b+c. =++=-a+b+c. =+=a+(b+c) =a+b+c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)化简++，并在图中标出化简结果表示的向量. ++=+(+) =+=+=. 如图，连接DA1，则即为所求. 11.已知四面体O-ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则(x，y，z)为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点， =+)=-2+)， ==-2+)， ∵=3=3(-)，∴==+) = =++.∴x=，y=，z=. 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则||等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记=a，=b，=c， 因为AB=AD=1，PA=2， 所以|a|=|b|=1，|c|=2. 又因为AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°， 所以a·b=0，a·c=b·c=2×1×cos 60°=1. 易得=(-a+b+c)， 所以||2=(-a+b+c)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =［a2+b2+c2+2×(-a·b-a·c+b·c)］ =×［12+12+22+2×(0-1+1)］ =，所以||=. 13.如图，已知空间四边形ABCD中，=a-2c，=5a+6b-8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则=　　　　.(用向量a，b，c表示)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3a+3b-5c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设G为BC的中点，连接EG，FG(图略)， 则=+=+ =(a-2c)+(5a+6b-8c) =3a+3b-5c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知a，b，c是空间中不共面的向量，若=2a-b+c，=a+2b-c，=-a+mb+nc.若A，B，C，D四点共面，则mn的最大值为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A，B，C，D四点共面，则=x+y(x，y∈R)， 则-a+mb+nc=x(2a-b+c)+y(a+2b-c)， 有 解得3m+5n=-1， 所以mn=m·=-=-+，　 所以当m=-时，mn取到最大值. 15.如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1 =1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=a，=b，=c， 则〈a，b〉=120°，c⊥a，c⊥b， 因为=+=-a+c， =+=b+c， 所以cos〈，〉=== ===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若=m，=n，=t，求证：++为定值，并求出该定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).由题意，可令｛，，｝为空间的一个基底，==+) =+× =+× =+-)+-) =++. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得=λ+μ， 即-=λ(-)+μ(-)， ∴=(1-λ-μ)+λ+μ =(1-λ-μ)m+λn+μt， 由空间向量基本定理，知=(1-λ-μ)m，=λn，=μt， ∴++=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4，为定值. 第一章 <<< $$ 6.2.1　空间向量基本定理 ［学习目标］　1．掌握空间向量基本定理及其推论．2．会选择适当的基底表示任何一个空间向量． 导语 我们学过的平面向量基本定理可以概括为给出一个二维的基底，可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，即给出一个三维的基底，可以生成空间中的所有向量． 一、空间向量基本定理及其推论 问题1　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p=，p 能否用i，j，k表示呢？ 提示　如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则=+． 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得=zk，从而=+zk． 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组(x，y)，使得=xi+yj． 从而p==+zk=xi+yj+zk． 问题2　你能证明问题1中(x，y，z)的唯一性吗？ 提示　用反证法：假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x'，y'，z')，使得p=x'i+y'j+z'k，则x'i+y'j+z'k=xi+yj+zk． 不妨设x'≠x，则(x'-x)i=(y-y')j+(z-z')k． 两边同除以(x'-x)，得i=j+k． 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的． 知识梳理 1．空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p=xe1+ye2+ze3． 2．基底的有关概念 定义 在空间向量基本定理中，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示．我们把｛e1，e2，e3｝称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量 正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用｛i，j，k｝表示 3．空间向量基本定理的推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得=x+y+z． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 例1　已知｛e1，e2，e3｝是空间的一个基底，且=e1+2e2-e3，=-3e1+e2+2e3，=e1+e2-e3，试判断｛，，｝能否作为空间的一个基底． 解　假设，，共面． 则存在实数λ，μ使得=λ+μ， ∴e1+2e2-e3 =λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3) =(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴｛，，｝可以作为空间的一个基底． 反思感悟　判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． 跟踪训练1　(多选)设x=a+b，y=b+c，z=c+a，且｛a，b，c｝是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间的一个基底的向量组有 (　　) A.｛a，b，x｝ B.｛x，y，z｝ C.｛b，c，z｝ D.｛x，y，a+b+c｝ 答案　BCD 解析　如图所示，令a=， b=，c=， 则x=，y=，z=， a+b+c=，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a+b+c也不共面． 二、用基底表示向量 例2　(课本例1)　如图，在正方体OADB-CA'D'B'中，点E是AB与OD的交点，M是OD'与CE的交点，试分别用向量，，表示向量和. 解　因为=+， 所以=+=++. 由△OME∽△D'MC，可得=. 又OE=D'C，则OM=D'M=OD'， 所以==++. 例2　如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3)． 解　(1)∵P是C1D1的中点， ∴=++=a++ =a+c+=a+b+c． (2)∵N是BC的中点， ∴=++=-a+b+ =-a+b+=-a+b+c． (3)∵M是AA1的中点， ∴=+=+ =-a+=a+b+c． 延伸探究 1．本例的条件不变，试用a，b，c表示向量． 解　因为P，N分别是D1C1，BC的中点， 所以=++=+(-)+=-a+b-c． 2．若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且=”，其他条件不变，如何表示？ 解　=+=++ =a+c+b． 反思感悟　用基底表示向量的方法 (1)若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量的数乘运算． (2)若未给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 跟踪训练2　如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设=a，=b，=c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，． 解　如图，连接BO， 则= =+) =++) =(c-b-a) =-a-b+c． =+=-a+ =-a++)=-a-b+c． =+=+++) =-a+c+(-c+b)=-a+b+c． ===a． 三、空间向量基本定理的应用 例3　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°． (1)求AC1的长； (2)求BD1与AC所成角的余弦值． 解　(1)设=a，=b，=c， 则|a|=|b|=|c|=1， 〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60°， 所以a·b=b·c=c·a=． ||2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) =1+1+1+2×=6， 所以||=，即AC1的长为． (2)=b+c-a，=a+b， 所以||=，||=， ·=(b+c-a)·(a+b) =b2-a2+a·c+b·c=1． 所以cos〈，〉==． 所以BD1与AC所成角的余弦值为． 反思感悟　(1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． (2)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉=，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． (3)求距离的方法 求两点间距离或某线段的长，一般转化为对应向量的模长． 跟踪训练3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1． 证明　设=a，=b，=c， 则=+=+) =+) =+-) =(-a+b+c)， =+=+=a+b． 所以·=(-a+b+c)·(a+b) =(|b|2-|a|2)=0， 所以⊥，即EF⊥AB1． 1．知识清单： (1)空间向量基本定理及其推论． (2)基底的概念以及判断． (3)用基底表示向量． (4)空间向量基本定理的应用． 2．方法归纳：类比法、转化化归． 3．常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错． 1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间的一个基底的是 (　　) A.｛，，｝ B.｛，，｝ C.｛，，｝ D.｛，，｝ 答案　C 解析　由题意知，，，不共面， 可以作为空间的一个基底． 2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，若=a，=b，=c，则等于 (　　) A.a+b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 答案　D 解析　=++=--+=-a+b-c． 3．若｛a，b，c｝是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa+yb+zc=0，则x，y，z满足的条件是　　　　．  答案　x=y=z=0 解析　由于｛a，b，c｝是空间的一个基底，所以当xa+yb+zc=0时，x=y=z=0． 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E，FG所成角的大小为　　　　．  答案　 解析　设=2a，=2b，=c， 这三个向量不共面且两两垂直，故｛a，b，c｝为空间的一个单位正交基底． =++=-2a+c+a=-a+c， =++=a+b+c， 从而·=(-a+c)·(a+b+c)=-a2+c2=0， 所以⊥，即A1E⊥FG， 所以异面直线A1E，FG所成角的大小为． 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：｛a，b，c｝为空间的一个基底，则p是q的 (　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　当非零向量a，b，c不共面时，｛a，b，c｝可以当基底，否则不能当基底，当｛a，b，c｝为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q⇒p，即p是q的必要且不充分条件． 2．(多选)已知｛a，b，c｝是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是 (　　) A.｛a，a-2b，2a+b｝ B.｛b，b+c，b-c｝ C.｛2a-3b，a+b，a-b｝ D.｛a+b，b-c，c+2a｝ 答案　ABC 解析　只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面． 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若=3i，=2j，=5k，则等于 (　　) A．i+j+k B．i+j+k C．3i+2j+5k D．3i+2j-5k 答案　C 解析　=++=++=3i+2j+5k． 4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若=a，=c，=b，则下列向量与相等的是 (　　) A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c 答案　A 解析　=+=++)=++)=c+(-a+b)=-a+b+c． 5．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE=BB1，DF=DD1．若=x+y+z，则x+y+z等于 (　　) A.-1　B.0　C.　D.1 答案　C 解析　因为=-=+-(+)=+--=-++，所以x=-1，y=1，z=，所以x+y+z=． 6．(多选)若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，则满足下列哪一关系(O是空间任一点)时，｛，，｝不能作为空间的一个基底 (　　) A.=++ B.≠+ C.=++ D.=2- 答案　ABD 解析　若｛，，｝为空间的一个基底，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为++=1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，≠+，但可能存在实数λ，μ使得=λ+μ，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面． 7．(5分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则=　　　　　　　　．  答案　++) 解析　∵2=2+2+2=(+)+(+)+(+)=++，∴=++)． 8．(5分)如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若=λ与=++同时成立，则实数λ的值为　　　　．  答案　 解析　=+=+λ =++) =+-+-) =(1-λ)++ =++， 所以1-λ=，=， 解得λ=． 9．(10分)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°． 求证：AB⊥AC1． 证明　设=a，=b，=c， 则=+=b+c． 所以·=a·(b+c)=a·b+a·c， 因为AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°， 所以a·b=0，a·c=0， 所以·=0，故AB⊥AC1． 10．(11分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=a，=b，=c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点． (1)用基底｛a，b，c｝表示向量，，；(6分) (2)化简++，并在图中标出化简结果表示的向量．(5分) 解　(1)=+=+-=a-b+c． =++=-a+b+c． =+=a+(b+c) =a+b+c． (2)++=+(+) =+=+=． 如图，连接DA1，则即为所求． 11．已知四面体O-ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则(x，y，z)为 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点， =+) =-2+)， ==-2+)， ∵=3=3(-)， ∴==+) = =++．∴x=，y=，z=． 12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．若M是PC的中点，则||等于 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　记=a，=b，=c， 因为AB=AD=1，PA=2， 所以|a|=|b|=1，|c|=2． 又因为AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°， 所以a·b=0，a·c=b·c=2×1×cos 60°=1． 易得=(-a+b+c)， 所以||2=(-a+b+c)2 =［a2+b2+c2+2×(-a·b-a·c+b·c)］ =×［12+12+22+2×(0-1+1)］ =，所以||=． 13．(5分)如图，已知空间四边形ABCD中，=a-2c，=5a+6b-8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则=　　　　．(用向量a，b，c表示)  答案　3a+3b-5c 解析　设G为BC的中点，连接EG，FG(图略)， 则=+=+ =(a-2c)+(5a+6b-8c) =3a+3b-5c． 14．(5分)已知a，b，c是空间中不共面的向量，若=2a-b+c，=a+2b-c，=-a+mb+nc．若A，B，C，D四点共面，则mn的最大值为　　　　　　．  答案　 解析　因为A，B，C，D四点共面，则=x+y(x，y∈R)， 则-a+mb+nc=x(2a-b+c)+y(a+2b-c)， 有 解得3m+5n=-1， 所以mn=m·=-=-+，　 所以当m=-时，mn取到最大值． 15．(5分)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°， AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　　　　．  答案　 解析　设=a，=b，=c， 则〈a，b〉=120°，c⊥a，c⊥b， 因为=+=-a+c， =+=b+c， 所以cos〈，〉= = = ===． 16．(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若=m，=n，=t，求证：++为定值，并求出该定值． 解　连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)．由题意，可令｛，，｝为空间的一个基底，==+) =+× =+× =+-)+-) =++． ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得=λ+μ， 即-=λ(-)+μ(-)， ∴=(1-λ-μ)+λ+μ =(1-λ-μ)m+λn+μt， 由空间向量基本定理，知=(1-λ-μ)m，=λn，=μt， ∴++=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$