抢分秘籍02 导数的综合应用（7大题型+2大易错）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

抢分秘籍02 导数的综合应用 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】利用导数研究函数的单调性 【题型二】 利用导数研究函数的极值 【题型三】 利用导数研究函数的最值 【题型四】 利用导数证明不等式 【题型五】利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题 【题型六】利用导数研究函数的零点与方程的根 【题型七】导数中的极值偏移问题 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程 易错点二：对极值点的含义理解不清 1.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题． 2.利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题． 3.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.多以解答题的形式压轴出现，难度较大． 1.理解导数的几何意义，并学会求曲线在某一点处的切线方程。 2.针对导数与不等式证明、恒成立问题等综合性较强的题型进行专项训练。 3.学会构造函数，通过研究新函数的单调性和极值来解决这些问题。 【题型一】利用导数研究函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 3．（2025·上海闵行·二模）定义的区间长度为．若且关于的不等式的解集的区间长度之和为，则当取最大值时，实数的值为 ． 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，函数． (1)若，求的单调区间； (2)是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (3)已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 5．（24-25高三上·上海·期中）给定函数，设，若存在实数，使得在区问上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”． (1)判断是否存在“正弦单调区间”，并说明理由； (2)若，证明：对任意的非零实数，的“正弦单调值”为定值； (3)若，当变化时，求的“正弦单调值”的最大值，以及的“正弦单调值”取最大值时实数的取值集合． 6．（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 7．（2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【题型二】利用导数研究函数的极值 1.函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2.函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 4.根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：求解后验证根的合理性． 1．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（    ） A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 2．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（   ）. A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 4．（24-25高三上·上海·期中）设.若是函数的极大值点，则 . 5．（2025·上海·模拟预测）设为常数，，若，且函数在区间上恰有一个极小值点，无极大值点，则的值为 . 6．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 7．（2025·上海崇明·二模）已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 8．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 9．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数． (1)当、时，求曲线在点处的切线方程； (2)设是的两个极值点，是的一个零点，且，．证明：存在实数，使得按某种顺序排列后构成等差数列，并求． 10．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 11．（24-25高三下·上海虹口·期中）对于定义在上的函数和，，设. (1)若，，求； (2)若，，，求实数的取值范围； (3)已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 12．（2025·上海·模拟预测）设定义域为的函数，对于，定义. (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”的充要条件是“”. 13．（24-25高三上·上海·期中）函数的导函数为，令，称是的特征函数.若对一切恒成立，则称函数是上的绝对增函数. (1)已知，判断函数是否是上的绝对增函数，并说明理由； (2)已知，函数是上的绝对增函数，求的值； (3)函数是上的绝对增函数，其特征函数在上有唯一的零点，求证：是函数的极值点. 【题型三】利用导数研究函数的最值 1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2.求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3.求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 1．（22-23高三上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是(    ). A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 2．（24-25高三·上海·课堂例题）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 3．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 4．（2025·上海金山·二模）如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 .（结果精确到） 5．（24-25高三下·上海虹口·期中）记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 7．（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 8．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数和，其中，，. (1)若，求函数的图象的对称中心并说明理由. (2)定义， 即为.若存在正整数，使得对一切均成立，求证：只能为 . (3)若函数和的图象在上有三个不同的交点，求的取值范围. 9．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”；若仅满足则称为函数与的一个“点”. (1)证明：函数与不存在“点”，但存在“点”； (2)若函数与存在“点”，求实数的值； (3)已知，其中实数且．若使函数与区间内存在三个“点”，求实数的取值范围． 11．（24-25高三下·上海·阶段练习）设定义域为的函数，对于，定义. (1)若，求； (2)若，是否存在a，使得是一段闭区间？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若对任意，，其中，均是上的恒正函数.证明：“对任意成立”的充要条件是“任取，均有且”. 【题型四】利用导数证明不等式 利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 1．（24-25高三上·上海·期中）定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. (1)已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； (3)若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)在第（1）题的条件下，求函数的单调区间和极值； (3)当时，求证；对任意的，且，有． 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)若，存在两个极值点，，证明：． 4．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）设函数 . (1)求函数 在 处的切线方程； (2)当 时，求函数 的单调区间和极大值； (3)证明: 不等式 . 6．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数a的值； (3)已知，有.若，，求证：. 【题型五】利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题 1.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 2.“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有 对于某一区间I (1)∀x1，x2∈I，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max. (2)∀x1∈I1，∃x2∈I2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min. (3)∃x1∈I1，∀x2∈I2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ． 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. (1)若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； (2)若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； (3)已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 5．（2025·上海普陀·二模）已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 6．（24-25高三下·上海静安·期中）若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； (3)试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，若曲线在处的切线恰好是直线，求和的值； (2)当，时，关于的方程有正实数根，求的取值范围： (3)当时，关于x的不等式对于任意恒成立（其中），当取得最大值时，求的最小值． 8．（24-25高三上·上海·期中）已知实数，设. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若，已知函数，的值域为，求实数的取值范围； (3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围. 【题型六】利用导数研究函数的零点与方程的根 1.求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 ①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题． ②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质． ③结合图象求解． 2.已知零点求参数的取值范围 ①结合图象与单调性，分析函数的极值点． ②依据零点确定极值的范围． ③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 1．（2025·上海徐汇·二模）已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）若直线上点P可以作曲线的两条切线，则点P横坐标的取值范围是 . 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 ． 6.（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 . 7．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 8．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． (1)若，求集合； (2)若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； (3)若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 9．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 10．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若，求证：对任意，都有； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的奇偶性. (2)当时，求函数经过点的切线方程； (3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数. 13．（24-25高三上·上海·期中）已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，.求证：当时，. 【题型七】导数中的极值偏移问题 极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>(<)2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2>(<)x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 1．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 3．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 4．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数，，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：. 易错点一：混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程 1.曲线过点的切线方程是（ ） 2.已知函数，则曲线经过点的切线方程是 . 易错点二：对极值点的含义理解不清 3.已知函数在处取得极值0，则（ ） 4.若是函数的极值点，则的值为（ ） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抢分秘籍02 导数的综合应用 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】利用导数研究函数的单调性 【题型二】 利用导数研究函数的极值 【题型三】 利用导数研究函数的最值 【题型四】 利用导数证明不等式 【题型五】利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题 【题型六】利用导数研究函数的零点与方程的根 【题型七】导数中的极值偏移问题 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程 易错点二：对极值点的含义理解不清 1.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题． 2.利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题． 3.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.多以解答题的形式压轴出现，难度较大． 1.理解导数的几何意义，并学会求曲线在某一点处的切线方程。 2.针对导数与不等式证明、恒成立问题等综合性较强的题型进行专项训练。 3.学会构造函数，通过研究新函数的单调性和极值来解决这些问题。 【题型一】利用导数研究函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】在定义域上存在单调递减区间，即在上有解，进而求的范围. 【详解】法一：， 由题意可知在上有解，即有正实数解， 当时，显然满足要求， 当时，只需满足，即， 综上：的取值范围为. 故答案为：. 法二：， 由题意可知在上有解， 即在上有解，即在上有解， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数与导函数图象之间的关系 【分析】由偶函数得到函数的另一个零点，由图像写出和对应的区间，再写出和对应区间，由不等式转换为不等式组，求出的取值范围. 【详解】函数是偶函数，∴ ∴由图可知： 当时，，∴时，， 当时，，∴时，， 当时，；当时，， ∵，∴或， 即或， ∴或. 故答案为：. 3．（2025·上海闵行·二模）定义的区间长度为．若且关于的不等式的解集的区间长度之和为，则当取最大值时，实数的值为 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先由图象平移的性质得到区间长度与原题一致，再构造函数，利用导数分析单调性，利用对称性仅考虑即可，然后等于，大于和小于三种情况讨论，结合三次韦达定理求解. 【详解】由题意，为向右平移得到，即区间长度与原题一致， 不妨设，易得或， 即在和上单调递增，在上单调递减， 由关于对称，仅考虑即可，当分类讨论： 当时， 易得，即； 当时， ； 当时， 如下图， 不妨设的三个跟分别为， 不妨设的三个跟分别为， 由三次韦达定理可得 ， 综上，当且仅当时，. 故答案为：. 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，函数． (1)若，求的单调区间； (2)是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (3)已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 【答案】(1)单调增区间：；单调减区间： (2)存在， (3)证明见解析 【知识点】函数与方程的综合应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）对函数进行求导，利用导数求出函数的单调性即可； （2）对函数进行求导，由有最大值，知且在上单调递增，在上单调递减，从而可得．再利用导数求出的最大值，从而可求出a的值； （3）利用导数可证得，当时，，当时，，通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标，从而得证. 【详解】（1），则函数， ，令，则 ； 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 所以函数的单调增区间：；单调减区间：； （2）函数，则， 由（1）可知，的单调性为：在上单调递减，在上单调递增. 要使有最大值，则， 所以． ，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以．所以，则． 令，， 此函数在上单调递减，且，所以． （3）证明：由的单调性，可知． 又当时，知，从而． ． 设，，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即当时，， 所以当时，， 当时，． 为了体现代数证明的严谨性，下面通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标． 如果，那么由（*）知，从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 如果，那么由（**）知， 从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 由上可知，要证，即证， 则，又，成立，证毕． 【点睛】总结点睛：利用导数研究函数的单调性，通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标是解题关键. 5．（24-25高三上·上海·期中）给定函数，设，若存在实数，使得在区问上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”． (1)判断是否存在“正弦单调区间”，并说明理由； (2)若，证明：对任意的非零实数，的“正弦单调值”为定值； (3)若，当变化时，求的“正弦单调值”的最大值，以及的“正弦单调值”取最大值时实数的取值集合． 【答案】(1)不存在；理由见解析 (2)证明见解析 (3)； 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、三角函数新定义、求cosx型三角函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由为偶函数可知不存在“正弦单调区间”； （2）由，利用辅助角公式化简，利用整体角意识求解单调增区间可得； （3）求出当时，的单调区间，求出的“正弦单调值”为，再讨论其他情况下的“正弦单调值”都小于即可. 【详解】（1）当时，， 此时为偶函数，又在上递减，在上递增. 故不存在闭区间，使得在上严格单调， 即不存在“正弦单调区间”. （2）当时，， 则，其中， 要使存在“正弦单调区间”， 则包含原点在内的单调区间应为严格递增区间. 又. ①当时，其中辅助角， 不妨设，由， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； ②当时，其中辅助角， 不妨设，由， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； 综上所述，的“正弦单调值”为定值. （3）当时，， ，其中. ①当时，，此时为偶函数， 则在包含的任意区间上，不可能是严格单调函数， 即不存在“正弦单调区间”； ②当时，由，要使存在“正弦单调区间”， 则需要满足在上严格单调递增，即， 当时，， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； 当时，， 当时，则， 由零点存在性定理可知，存在，使； 当时，， 则由零点存在性定理可知，存在，使. 当时，. 令，得， 其中. 如图，在同一直角坐标系中分别作函数的图象， 由图可知为函数在内的唯一零点，且为异号零点； 为函数在内的唯一零点，且为异号零点， 又由，得， 则， 令，故有，则. 由图可知， 当时，，此时. 故当时，，， 则， 在上单调递增； 当时，； 当时，，， 则，在上单调递增； 故可得当时，，在上单调递增； 又为异号零点，故，且； 因此有，故此时， 所以，当时，的“正弦单调值”小于. 当时，同理可得如下结论（如图）： 为函数在内的唯一零点，且为异号零点； 为函数在内的唯一零点，且为异号零点. 且由，得，， 同理可知， 且可得当时，，在上单调递增； 又为异号零点，故，且； 因此有，故此时， 所以，当时，的“正弦单调值”小于. ③当时，由，要使存在“正弦单调区间”， 则需要满足在上单调递减，即， 各类情况与时同理可得. 综上所述，当变化时，的“正弦单调值”的最大值为， 故的“正弦单调值”取最大值时实数的取值集合为． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是借助函数在处的导数值的符号确定函数“正弦单调区间”的单调性，再转化为求解的范围，从而确定的最大值；二是借助函数图象交点情况，找到函数在附近的两个异号零点，证明. 6．（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 (3) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义、充要条件的证明、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）取，，满足要求； （2）先得到任意，成立，①成立，再证明出充分性和必要性，得到结论； （3）求导得到的单调性和最值，分，和三种情况，得到实数的最大值. 【详解】（1）取，， 此时，， 故函数是的“函数”，“点”为； （2）为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 函数为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 显然对任意，成立，①成立， 充分性，若， 不妨设，此时，②成立， 故②成立，所以函数为的‘函数’，充分性成立； 必要性，若函数为的‘函数’， 则存在，使得， 由于对任意，成立，故， 故，所以，充分性成立； 故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）定义域为R， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 又，取，， 满足且， 为的“函数”，此时， 当时，取， 故当为在处的切线方程时，才满足要求， ，故切线方程为， 令得， 由于，设，， 所以在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 当时，结合图象，可知单调递减且下凸， 对任意的，无法做到恒成立， 综上，实数的最大值为. 7．（2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)； (3)，. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、函数新定义、简单复合函数的导数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断. （2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解. （3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可. 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. （2）函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. （3）当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 【题型二】利用导数研究函数的极值 1.函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2.函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 4.根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：求解后验证根的合理性． 1．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（    ） A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项. 【详解】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误； 对于B，由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确； 对于C，由图象知在某个上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误； 对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用图象判断导数的正负，再由此确定函数的单调性. 2．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值求参数 【分析】先证明，再证明存在符合条件的使得. 【详解】由于，故是方程的两个不同的正数根. 所以，，且判别式，即，结合知. 那么 ， 而利用即可得到 ， 设，则当时，所以在上递增，故对有. 从而由有，故，即，所以. 这就得到. 而当时，； 当时，. 所以由零点存在定理知，一定存在，使得. 此时. 当或时，；当时，. 所以在和上递增，在上递减. 从而，的确分别是的极大值点和极小值点，满足条件. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断极值点. 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】根据已知条件，对函数求导，利用导函数研究函数的单调性，即可求解. 【详解】由，可得， 令，解得：，， 令，解得：或，所以在，上单调递增； 令，解得：，所以在上单调递减； 故函数的极大值点为； 故答案为： 4．（24-25高三上·上海·期中）设.若是函数的极大值点，则 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】先对函数求导，再结合函数极大值点导数值为0建立关于a的关系式，最后结合极大值的定义，讨论最终a的取值. 【详解】由题意得，， 因为是函数的极大值点， 所以有， 解得或. 又当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极小值点，不符题意； 而当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极大值点. 故答案为：. 5．（2025·上海·模拟预测）设为常数，，若，且函数在区间上恰有一个极小值点，无极大值点，则的值为 . 【答案】11 【知识点】正弦函数图象的应用、根据极值点求参数 【分析】由条件得到为函数位于递减区间上的零点，求出，，结合，求出，得到答案. 【详解】在区间上恰有一个极小值点，无极大值点，， 故为函数位于递减区间上的零点， 故，解得，， ，解得， 故，，只有当时，满足要求， 故. 故答案为：11. 6．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据极值求参数、分段函数的值域或最值、求已知函数的极值 【分析】利用指数函数的单调性可求得当时函数的值域，再利用导数求当时的极大值，使的极大值大于等于1即可求解. 【详解】当时，的值域为， 函数的值域为， 当时，是的值域的子集， 又，令，或(舍去)， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值， 故的值域为， ，. 故答案为：. 7．（2025·上海崇明·二模）已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数极值的辨析 【分析】分析分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围. 【详解】∵二次函数开口向下，是极大值， 一次函数，当时，函数时单调函数，没有极值点， 要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和， 又∵函数在上单调递减，∴在上递增. ∴，∴. 故答案为： 8．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值点求参数、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 由，则， 令，解得， 所以函数在上的单调递减区间为； （2）由，则， 因为函数在区间上有且只有两个极大值点， 所以，解得， 即实数的取值范围. 9．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数． (1)当、时，求曲线在点处的切线方程； (2)设是的两个极值点，是的一个零点，且，．证明：存在实数，使得按某种顺序排列后构成等差数列，并求． 【答案】(1)； (2)证明见解析，． 【知识点】判断等差数列、求函数的零点、求已知函数的极值点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的极值点及零点，再取分析判断即得. 【详解】（1）当，时，，求导得， 则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）函数，求导得， 由，得，显然是的两个变号零点， 因此函数的两个极值点为，，不妨令，， 由，，且是的零点，于是，显然， 而，则令， 此时，，，依次成等差数列，所以存在实数满足题意，且． 10．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 【答案】(1)； (2)7或15. 【知识点】函数极值点的辨析、根据极值点求参数、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）把代入，求出时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域. （2）由已知可得，再利用给定区间及极值情况求出范围即可得解. 【详解】（1）当时，，由，得， 则，， 所以函数的值域是. （2）由，得，解得， 当时，而，则， 又函数在内有极小值，无极大值，则， 解得，于是或 ，解得或， 当时，，又，无解； 当时，，又，则； 当时，，又，则； 当时，，又，无解， 所以的值是7或15. 11．（24-25高三下·上海虹口·期中）对于定义在上的函数和，，设. (1)若，，求； (2)若，，，求实数的取值范围； (3)已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】求已知函数的极值、函数新定义、求指数函数在区间内的值域 【分析】（1），分析出其在上的值域即可； （2）利用导数求得当时取得极小值，再分和讨论即可； （3）充分性利用函数单调性即可证明，必要性先证明是严格增函数．再利用反证法证明即可. 【详解】（1）记， 函数上的值域为，即． （2）设在上的最小值． . 当时，严格增；当时，严格减； 当时，严格增．当时取得极小值． 当时，舍去． 当时，． 综上，． （3）（充分性）若是严格增函数， 则的最小值为，而， 故对任意，都有，即与是相同函数． 故是严格增函数，所以严格增函数，故对任意的零点个数有限． （必要性）对任意，都有，故的值域为， 即在上的最小值为． 先证是严格增函数． 对任意，函数和的最小值分别为和， 则由最小值的定义，，故函数是增函数． 假设存在，使得，则对任意，均有， 从而方程的解有无限多个，与条件＂对任意，函数零点个数均有限＂矛盾． 故假设不成立，从而是严格增函数． 再证对任意，函数的最小值为． 假设存在使得，取，则的最小值为． 由于严格增，知．而，故，矛盾． 所以假设不成立，对任意，函数的最小值为． 另证：再证对任意，函数的最小值为． ．假设，则由在上的最小值为， 存在使得，故在上的最小值为． 取，则在上的最小值为， 故．但由为严格增函数，知，矛盾． 所以假设不成立，所以． 即对任意，函数的最小值为． 而对任意的值域为，故． 于是与是相同函数，所以是严格增函数． 12．（2025·上海·模拟预测）设定义域为的函数，对于，定义. (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”的充要条件是“”. 【答案】(1) (2)存在满足条件的，且，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义、函数极值的辨析 【分析】（1）根据题设有，化简并解一元二次不等式求； （2）构造，对其求导并讨论，研究是否为一段闭区间，确定存在性，进而得参数范围； （3）从充分、必要性两方面判断“函数是上的严格增函数”与“”的推出关系，即可证结论. 【详解】（1）由题设，将化简得， 解得，故； （2）存在满足条件的，且，理由如下： 因为，代入定义整理得：， 设，则， 令，得，或， 当时，必存在，（设）； 根据的关系，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此是函数的极大值点，故当时，是一段闭区间， 即，解得， 因此， 特别地，当时，， 故仍是一段闭区间，故. 当时，当且仅当时，， 列表可得： 单调递减 极小值 单调递增 所以是函数的极小值点，且取得最小值， 当时，是一段闭区间，即，解得， 由此得. 综上所述，存在满足条件的，且； （3）假设，若，则，因此矛盾，故， 先证必要性：因为函数是上的严格增函数且， 当时，；当时，， 因此， 因此必要性得证； 再证充分性： 引理：对任意，当满足时，，已知， 假设，设，任取，则， 因为函数是严格增函数，所以，即， 所以，由此，因此考虑构造， 当，则，而， 函数是严格减函数，，故矛盾，即， 下面证明函数在上为严格增函数： 任取，若，联立上式可得 ， 而，又因为是严格减函数， 则.由于， 所以，故. 同理，可证函数在上为严格增函数， 且，故函数在上为严格增函数，因此充分性得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，问题化求证“函数是上的严格增函数”与“”互为充要关系. 13．（24-25高三上·上海·期中）函数的导函数为，令，称是的特征函数.若对一切恒成立，则称函数是上的绝对增函数. (1)已知，判断函数是否是上的绝对增函数，并说明理由； (2)已知，函数是上的绝对增函数，求的值； (3)函数是上的绝对增函数，其特征函数在上有唯一的零点，求证：是函数的极值点. 【答案】(1)函数是上的绝对增函数，理由见详解 (2) (3)证明见详解 【知识点】解正弦不等式、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点、函数新定义 【分析】（1）求导，根据绝对增函数的定义分析判断即可； （2）求导，根据题意可得在内恒成立，结合正弦函数性质分析求解； （3）利用反证法，先证在上有唯一的零点，在结合导数与单调性之间的关系证明结果即可. 【详解】（1）函数是上的绝对增函数，理由如下： 因为，则，可得， 且，则，可得， 所以函数是上的绝对增函数. （2）因为，则， 可得， 若函数是上的绝对增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 因为，则， 令，解得， 可得，所以. （3）显然，均在上连续不断， 若函数是上的绝对增函数，则恒成立， 又因为函数在上有唯一的零点， 可知函数，均在上至多有一个零点，且必有一个函数有零点， 先证：在上有唯一的零点， 假设在上没有零点，则在上有唯一的零点， 可知（或）恒成立， 不妨设恒成立，则恒成立， 可知在上单调递增， 当是，，两者相矛盾； 所以假设不成立，即在上有唯一的零点； 再证：是函数的极值点， 假设不是函数的极值点， 则存在，使得，且在上为单调函数， 不妨设在上单调递增， 当时，， 可知在上单调递减，且，则； 当时，， 可知在上单调递增，且，则； 两者相矛盾，假设不成立，所以是函数的极值点. 【点睛】关键点点睛：对于（3）利用反证思想证明问题，对于直接说明比较麻烦时，可以利用反证思想说明问题. 【题型三】利用导数研究函数的最值 1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2.求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3.求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 1．（22-23高三上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是(    ). A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 【答案】B 【知识点】函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断． 【详解】如图为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象： 对于选项A：极大值极小值，故A错误； 对于选项B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正确； 如图所示，函数f(x)在区间[a，b]上的极大值，而不是最大大值，故C错误；同时，最大值不是极大值，故D也错误． 故选：B. 2．（24-25高三·上海·课堂例题）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为3求出，进而根据单调性可得其最小值. 【详解】由，得， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 故当时，取得最大值，即，此时， 当，，当时， 故最小值为. 故选：A. 3．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数、根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合题意可得且，即可求解. 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 故答案为： 4．（2025·上海金山·二模）如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 .（结果精确到） 【答案】 【知识点】三角函数在生活中的应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题设有，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值. 【详解】由题意，， 设，则， 在中，得， 则， 由于，解得， 则，解得， 令，，则. 令，则， 令，则，函数单调递增； 令，则，函数单调递减； 所以， 所以， 即人行步道的最短距离为. 故答案为：. 5．（24-25高三下·上海虹口·期中）记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、集合新定义 【分析】分析可知，集合中的元素只需满足能被整除即可，设，则需取以为间隔的等间隔分布的实数，可知区间中最多只能找到三个值，即求的最大值，利用导数求出函数的最大值为，则任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由于， 所以，被除余数为， 因此，集合中的元素只需满足能被整除即可， 设，从而可得, 即需取以为间隔的等间隔分布的实数， 不论实数和正整数如何选取，区间中最多只能找到三个值， 考虑到任意性，考虑区间长度最长的情况，即求的最大值， 设，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，， 因此，问题的要求是在任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值， 而的取值是以为间隔的，故临界情况是：长度为的区间刚好对应个间隔，    因此，只需，解得. 故答案为：. 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是和； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）根据（1）的单调性，计算端点值和极值，根据最小值求实数的值. 【详解】（1），令，得或， 如图，的变化关系如下表， 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； （2）根据（1）的结果，得到如下表， 4 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 如表可知，的最小值为，得. 7．（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数新定义、根据函数零点的个数求参数范围、导数的运算法则 【分析】（1）求出导数，再利用“超导函数”定义判断即可. （2）求出的导数，作差变形，利用“超导函数”定义推理判断符号即得. （3）构造函数，利用“超导函数”定义确定单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数值集合，结合已知求出范围. 【详解】（1）函数，求导得，则， 所以是“超导函数”. （2）函数，求导得， 则， 由函数与都是“超导函数”，得， 由对任意，都有，，得， 因此，即， 所以函数是“超导函数”. （3）由函数是“超导函数”，得对任意，， 令，求导得，函数在上单调递增，且， 由，得，即， 因此，即，令， 由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为， 因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以的取值范围或. 8．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数和，其中，，. (1)若，求函数的图象的对称中心并说明理由. (2)定义， 即为.若存在正整数，使得对一切均成立，求证：只能为 . (3)若函数和的图象在上有三个不同的交点，求的取值范围. 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、函数周期性的应用 【分析】（1）由函数的对称中心的求法和正弦函数的诱导公式可得； （2）求导后利用穷举法得到不等式组，再求解即可； （3）先将问题转化为曲线和直线有三个不同的交点，然后求导分析的单调性和极值，数形结合求出即可； 【详解】（1）猜函数的图象的对称中心为 在图象上任取点，关于的对称点为， 因为，所以即点也在函数的图象上. 所以，为所求. （2），  ，  ，， ，，， 从第三项起，每隔四项重复出现，且连续四项均为不同函数. 若要符合题意，唯有，于是恒成立， 所以且是唯一可能的值. 总之，存在，使对一切正整数均成立，只可能为. （3）原问题等价于：方程在上有三个不同的解， 等价于：曲线和直线有三个不同的交点. ，由，得， 如下列表 … … … 极值所成数列，正负交替且绝对值单调递减，极限为，横轴为渐近线.另一方面，当时， 综上，如图所示，    于是或，解得或为所求. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是能够将图象交点问题转化成两函数交点问题，再利用单调性和极值分析. 9．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 【答案】(1)，几何意义是函数在点处切线的斜率是； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】导数定义中极限的简单计算、函数单调性、极值与最值的综合应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据极限的计算方法求值，并理解导数的几何意义； （2）分离参数得，设，利用利用导数分析函数的单调性，求其值域即可； （3）结合（2）中的结论，先得到，进一步类推，即可证明结论. 【详解】（1）因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. （2）变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. （3）由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”；若仅满足则称为函数与的一个“点”. (1)证明：函数与不存在“点”，但存在“点”； (2)若函数与存在“点”，求实数的值； (3)已知，其中实数且．若使函数与区间内存在三个“点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】导数新定义、函数新定义、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）结合“点”与“点”定义，分别令两函数相等及两函数的导函数相等并解出即可得； （2）由“点”定义，得到两函数相等及两函数的导函数相等的方程组，并解出即可得； （3）构造函数，结合导数，分及研究其单调性，结合指数与对数的运算与“点”定义，可得时符合要求，其余情况不符合要求. 【详解】（1）令，可得，解得或， 对函数有，对函数，有， 令，解得， 故、是函数与的“点”， 但函数与不存在“点”，即得证； （2）对函数，有，对函数，有， 由函数函数与存在“点”， 则方程组有解，即有，即， 则； （3），， 则有题意可得满足，且的有三个， 令，则， 当，则，当，则， 令，， 令，则，即， 当时，， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故， 不妨令，则，令， 则，则，即，故， 则，故，，则； 故当时， ，则在上有两个零点， 设这两个零点为，且， 当时，，则，故单调递增； 当时，，则，故单调递减； 当时，，则，故单调递增； 则，即，即， 则， 令，则， 当时，，故单调递减 当时，，故单调递增， 由且，故，则， 故，故， 又时，单调递减，故， 即的极大值， 令，则为减函数，又，， 故存在，，由，关于直线对称， 故必有一个交点落在上，使得， ，又，则， ， 故，又为减函数，故， 又时，单调递减，故，即的极小值， 且时，，时，， 故在上有三个零点，即方程有三个解； 当时，，则在上单调递增， 在上只有一个零点， 则在上最多只有两个零点，不符合题意； 当时，，， 又有两个零点，是的两个极值点， 由极值均不为，故无解； 综上：当时，函数与区间内存在三个“点”. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于正确结合定义，通过构造函数，结合导数研究研究其单调性，重点在于时得到，从而可分及其它情况进行讨论. 11．（24-25高三下·上海·阶段练习）设定义域为的函数，对于，定义. (1)若，求； (2)若，是否存在a，使得是一段闭区间？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若对任意，，其中，均是上的恒正函数.证明：“对任意成立”的充要条件是“任取，均有且”. 【答案】(1) (2)存在，. (3)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、函数新定义、充要条件的证明、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据题得到不等式，化简并解一元二次不等式求得； （2）根据新定义构造函数，利用导数研究不同情况下的单调性，结合图象，利用数形结合思想研究是否为一段闭区间，确定存在性，进而得参数范围； （3）利用对称性，结合新定义的意义，证明必要性；利用反证法，构造适当推出矛盾,证得充分性. 【详解】（1）由题设，将化简得， 解得，故. （2）因为，代入定义得：， 构造函数， 求导得. 当即时，存在，, 所以当、时，， 进一步，列表可得： 0 0 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此是函数的极大值点，时，, 故当且仅当时，是一段闭区间，因此， 特别地，当时，，故仍是一段闭区间，故. 当时，当且仅当时，. 同理，是函数的极小值点，且取得最小值，同样时，, 所以当且仅当时，是一段闭区间，由此得， 综上所述，存在满足条件的a，且. （3）对任意，，其中、均是上的恒正函数. 必要性： 因为对任意成立，所以， 即与成对出现在集合中，故. 当时，，从而， 所以且. 充分性： 不妨设，取满足（*）, 则， 而，，所以， 则，即，与（*）矛盾. 同理可证时也矛盾. 所以对任意，都有，得证. 【点睛】关键点点睛：小问（3）关键点： 首要的要分清条件和结论，明确必要性和充分性指的是从谁推谁； 其次，在必要性的证明中利用对称性得到与成对出现在集合中，得出，进而进行证明是关键； 最后，在证明充分性的过程中使用反证法，并构造合适的推出矛盾是关键. 【题型四】利用导数证明不等式 利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 1．（24-25高三上·上海·期中）定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. (1)已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； (3)若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 【答案】(1)函数是区间上的“平均值函数”， 不是区间上的“平均值函数”，理由见解析 (2)或或或. (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、函数新定义 【分析】（1）利用“平均值函数”的定义计算即可判断； （2）由平均值函数的定义可得，可求所有满足条件的整数数对； （3）所证不等式可变形为，利用换元法，令，可证结论. 【详解】（1）（1）函数是区间上的“平均值函数”， 不是区间上的“平均值函数”，理由如下： 由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”； ，即， 所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”； （2）因为是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点， 所以， 即，显然不成立， 所以，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 又所求的为整数对，故或或或. （3）由题意可得，则所证不等式为， 需证，令，则不等式为， 则不等式等价于， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 即，即. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)在第（1）题的条件下，求函数的单调区间和极值； (3)当时，求证；对任意的，且，有． 【答案】(1) (2)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值； (3)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程； （2）根据导数和函数单调性极值的关系求解即可； （3）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】（1）当时，，故， ，，切点为， 曲线在点处的切线方程为，即； （2），， ， 令，解得， 当，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值； 故函数的单调减区间为，单调增区间为，极小值为，无极大值； （3）证明：由，得， 对任意的，且，令， 则 ①， 令，， 当时，， 在单调递增， 当时，，即， ，，， ， 即②， 由（2）可知，当时，，即， 故③， 由①②③可得， 当时，任意的，且，有. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间和极值，证明不等式.解题关键是不等式的变形，一是去分母，二是引入参数，这是关键所在，这样可把不等式的证明分解为：，，后者用导数进行证明，前者直接因式分解可得，然后由不等式的性质放缩，恰好利用（2）的结论得证. 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)若，存在两个极值点，，证明：． 【答案】(1), (2) (3)证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数求得的单调递减区间. （2）由在区间恒成立分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. （3）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. 【详解】（1）当时，， ∴，解得， 则函数的单调递减区间为． （2）∵，又在区间上单调递减， ∴在上恒成立，即在上恒成立， ∴在上恒成立，设，则， 当时，，∴单调递增，∴， ∴，即实数a的取值范围是； （3）由（2）知：，满足，∴， 不妨设，则， ∴， 则证，即证， 即证，也即证成立， 设函数，则， ∴在单调递减，又， ∴当时，， ∴，即． 4．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 【答案】(1)，固着点 (2) (3)，证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义、利用导数证明不等式、解余弦不等式 【分析】（1）根据题设定义得，进而有，即可求解； （2）根据条件得到在区间上恒成立，从而有，即可求解； （3）法一，根据题设得到在上有唯一的解，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得的单调性，进而可得， 再构造函数，利用其单调性，即可求解；法二，前同法一，得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求其单调区间，利用单调性，即可求解. 【详解】（1）由题得，所以， 因为，所以，解得， 所以，固着点. （2）由题得，则， 所以，因为是上的严格增函数， 所以在区间上恒成立， 由，得到，所以， 所以，因此的最大值是. （3）（方法一）由题得，， 所以， 因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解， 记，则，所以在是严格减函数， 从而，又当时，，故的值域是， 所以，即， 记，则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为，所以，所以  ① 又， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故，从而  ② 由①②可知，，即， 又是的严格减函数，所以，故. （方法二） 由题得，，所以， 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 求导得， 当时，，是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 当时， （ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数， 所以，所以方程（*）无解； （ⅱ）当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增， 又，，当时，， 所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围， 因为是的唯一解，所以， 又，令， 则，所以是上的严格减函数， 所以，即， 又当时，，所以， 又在上有唯一的零点，则， 综上，，此时. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）设函数 . (1)求函数 在 处的切线方程； (2)当 时，求函数 的单调区间和极大值； (3)证明: 不等式 . 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导可得，根据导数的几何意义分析求解； （2）利用导数分析单调性和极值即可； （3）对函数，利用导数可证，结合（2）可得，令，，结合累加法分析证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，， 则， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）当 时，求函数 ，定义域， ，令， 所以当时，，为单调递增函数；当时，，为单调递减函数， 极大值为. （3）由（1）可知：的定义域为，， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减； 则，即， 可得， 由（2）可得，即， 所以， 取得：， 令， 则， 可得， 又因为， 则 ， 可得，即， 所以. 6．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数a的值； (3)已知，有.若，，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）先证明出，设，得到，命题等价于对任意，都有，放缩得到，取，得，故，再取，得，所以； （3）当时，在上递增，结合条件得到，时，由放缩法得，证明出结论. 【详解】（1）由于，故. 所以，， 所以所求的切线经过，且斜率为1，故其方程为. （2）设，则， 从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增， 这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设， 则. 当时，的取值范围是， 所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对， 有， 取，得，故. 再取，得， 所以. 另一方面，若，则对任意都有， 满足条件.综合以上两个方面，知a的值是2. （3）由. 可知，当时，在上递增， 已知，有 当时，放缩法得： . 综上，.若，，. 【题型五】利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题 1.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 2.“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有 对于某一区间I (1)∀x1，x2∈I，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max. (2)∀x1∈I1，∃x2∈I2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min. (3)∃x1∈I1，∀x2∈I2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导并判断函数的单调性，可画出的图象，由过定点，要使不等式有且仅有两个整数解，只需，求解即可. 【详解】由题意得，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，；当时，； ，，， 且时，，作出函数的图象，如图所示： 直线过定点，要使不等式有且仅有一个整数， 只需 解得， 故答案为:.    2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】参变分离，构造新函数，求其最小值即可. 【详解】因为在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为， 因为，所以，而，即， 所以在上，单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即， 设， 对任意实数且 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. (1)若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； (2)若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； (3)已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 【答案】(1)具有“2性质”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【详解】（1）具有“2性质”，理由如下： 因为，所以， 所以， 所以恒成立，所以具有“2性质”； （2）因为，所以， 因为函数在上具有“1性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以， 因为函数在上具有“2性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 要证对任意的，当时，都有恒成立， 不妨设，则，则， 即证恒成立， 即恒成立， 令，， 即存在，使得在上为增函数， 即存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意，当时，不等式恒成立. 5．（2025·上海普陀·二模）已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 【答案】(1)有2个元素，理由见解析 (2)， (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、交集的概念及运算 【分析】（1）求的解即可得到答案. （2）根据两曲线的位置关系，先求的值，再结合导数的几何意义求曲线的切线方程. （3）先把问题转化成恒成立，再求函数的最小值即可. 【详解】（1）由. 当时，； 当时，. 所以有2个元素. （2）将代入圆， 由相切. 此时，， 又，所以，所以， 切线方程，即. （3）对于任意的，皆有成立，即函数的图象与圆系：无交点，所以恒成立. 因为，，所以，. 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，且. 由. 当时，设，则，所以在上单调递增， 所以. 即当时，； 又，所以. 所以. 设，，则， 所以在上单调递增，所以. 由. 综上，实数的取值范围为： 6．（24-25高三下·上海静安·期中）若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； (3)试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；（答案不唯一，满足的均可） (2)证明见解析 (3)存在， 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论. 【详解】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)当时，若曲线在处的切线恰好是直线，求和的值； (2)当，时，关于的方程有正实数根，求的取值范围： (3)当时，关于x的不等式对于任意恒成立（其中），当取得最大值时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）利用导数求得在处的切线方程，通过对比系数求得. （2）由分离，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. （3）由恒成立的不等式得到恒成立，利用构造函数法，结合导数来求得的最大值，进而求得的最小值，并利用构造函数法，结合导数来判断的最小值符合题意. 【详解】（1）当时，，所以，由， 得曲线在处的切线方程为，即， 由题意，． （2）当，时，， 由题意，方程在上有解，即在上有解， 令，则，由得， 在上严格递增，所以： 当时，，所以严格递减， 当时，，所以严格递增， 所以，又时，， 所以的值域为，所以的取值范围为． （3）当时，， 由题意，对于任意恒成立， 即：（*）恒成立， 那么，恒成立，所以恒成立， 令，则在上恒成立， 所以在上严格递增，所以， 从而，即的最大值为1， 时，取代入（*）式，得，所以， 所以在上恒成立，得，即的最小值为1， 当时，记， 则， 设， 因为在上严格递增，所以， 所以在上严格递增，所以， 所以在上严格递增，所以， 从而对于任意恒成立， 综上，的最小值为1． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理， 8．（24-25高三上·上海·期中）已知实数，设. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若，已知函数，的值域为，求实数的取值范围； (3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）利用求函数在某点处的切线的方法求解即可； （2）根据题意得到函数的单调性与极值，然后求出的解，然后判断实数的取值范围即可； （3）先判断函数的单调性和零点，然后再分类讨论即可. 【详解】（1）由题得，所以， 所以， 所以在点的切线方程为； （2）由题得， 所以， 令，解得或， 当时，，此时在单调递减； 当时，，此时在单调递增； 当时，，此时在单调递减； ， 当时，解，得 即 因为在单调递减，在单调递增，在单调递减， 所以要使函数，的值域为 此时. （3）由题可知，， 令，解得或， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 所以有极小值，有极大值 令，解得或， 所以有当，，当，， 因为对于任意的，总存在，使得 不成立， 故，即 由题可知，对于任意的，总存在，使得， 不妨令集合，则有， 当，即时，有，此时在单调递减， 所以， 显然不成立； 当，即，此时有， ，在单调递减， 所以， ，故， 综上所述， . 【点睛】关键点点睛：设，对于任意的，总存在，使得等价于. 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数研究双变量问题、函数奇偶性的定义与判断、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，即可判断； （2）首先根据极值点的定义求，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，再利用函数的图象，结合函数有3个零点求参数的取值范围； （3）首先根据函数的的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数在递减；在递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解. 【详解】（1）当时，，满足为偶函数； 当时，，且为非奇非偶函数. （2）函数在处有极值， 可得，解得， 所以 当时，递减；当或时，递增， 可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为， 的方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是. （3）在递减，可得时，， ，即为， 即 即为 即对任意且时恒成立. 所以在递减；在递增. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， 在上单调递增，即，则. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， ，当时等号成立，则，则. 综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第3问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解. 【题型六】利用导数研究函数的零点与方程的根 1.求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 ①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题． ②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质． ③结合图象求解． 2.已知零点求参数的取值范围 ①结合图象与单调性，分析函数的极值点． ②依据零点确定极值的范围． ③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 1．（2025·上海徐汇·二模）已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据若对应的的取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候即可判断A，根据若对应的根的个数为2，2，3即可判断C，根据若对应的根的个数为3，3，3即可判断D. 【详解】由题意可得，若对应的的取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候， 的取值只要2个，若对应的根的个数为1，1，2， 则符合要求的集合的个数为，A有可能； 若对应的根的个数为2，2，3， 则符合要求的隹合的个数为，C有可能； 若对应的根的个数为3，3，3， 则符合要求的集合的个数为，D有可能. 故选：B. 2．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】先利用导数研究函数的性质，确定方程的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围． 【详解】， 时，，当时，，递减，时，，递增， 时，，时，，是极小值， 时，，在上是增函数， 时，，时，，且， 作出函数的大致图象，如图，    由图象知时，无实解，时，有一解，时，有两解，时，有三解， 方程有四解， 则方程有两解且， 记， 则，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查用导数研究方程根的问题，解题方法是把函数的性质与二次方程根的分布知识结合起来求解，即利用导数研究函数的性质得出方程的解的情况，再利用二次方程根的分布知识求解，这对于把作为一个整体，方程是关于这个整体的二次方程可适用． 3．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、函数奇偶性的定义与判断、简单复合函数的导数、利用导数研究方程的根 【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证是否成立即可得出结果.根据指数的运算法则计算可判断选项A；根据二倍角正弦公式和三角函数的有界性可判断选项B；解出方程的根可判断选项C；根据题意令，整理得 ，分正负分析，并结合放缩法可知此方程无解，从而否定D. 【详解】对于选项A：因为函数的导函数为，所以，故选项A错误； 对于选项B：因为函数的导函数为， 所以， 而， 所以，，故选项B错误； 对于选项C：因为函数的导函数为， 所以. 令，解得：，， 即存在实数，使得成立， 所以函数具有性质，故选项C正确； 对于选项D：因为函数的导函数为， 所以. 令，显然，化简得：. 下面证明方程（*）无解. 当时，，方程（*）无解 当时，， 而： 令，， 则， 所以单调递减. 又因为，所以，即， 所以. 综上，方程(*)无解. 所以不存在实数，使得成立，故选项D错误. 故选：C. 4．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）若直线上点P可以作曲线的两条切线，则点P横坐标的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点 【分析】先求出过点的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线与曲线有两个交点,借助导数研究单调性和最值，结合图像可解. 【详解】曲线即曲线， 在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 设点，则，即. 令，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以． 由题意知，直线与曲线有两个交点，则， 当时，且当t无穷靠近0,无穷接近0， 当时，恒成立， 大致图象如下：    故. 故答案为：. 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究方程的根、利用导数研究函数的零点 【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围. 【详解】切点设为，其中 有三个不同的解 即有三个不同的解 设 ，该函数有三个不同零点, ， 令，则或， 令，则或， 令，则， 所以：函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在和处取得极值， 要想函数有三个不同零点， 则，即 所以： 故答案为： 6.（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据和的符号，将分为三个区间，，，并得到对应的不同的表达式，当时，无解；当时，有唯一解，通过分离常数得到，借助导数得到在上的值域，即可得到的取值范围；当时，将转化成关于的二次函数在上恰有两解的问题，即可求出的取值范围. 【详解】①当时， 所以，， ， 解得，不符合题意，所以在上无解. ②当时，， 所以，，， 令，所以， 即 令，所以， 所以，所以在单调递增， 所以，即. 此时在上有唯一解； ③当时，， 因为函数恰有三个零点， 所以在上有两解， 即在上有两解， 即在上有两解. 令 所以，即 解得， 综上①②③，所以的取值范围是. 故答案为：. 7．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 【答案】(1)点具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）设，然后写出经过的切线方程，将代入求解，即可判断； （2）设，然后写出经过的切线方程，按是否在分类讨论，代入切线方程，得到关于的方程，证明其有解即可； （3）设，然后写出经过的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可. 【详解】（1）点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； （2）证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； （3）证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 8．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． (1)若，求集合； (2)若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； (3)若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据函数的单调性解不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由已知求得，解不等式即可求解； （2）的解集为，进而得方程有重根及，据此求解即可． （3）记，必要性，则有，由题意可得的单调性，可得结论；充分性，时，结合已知可得函数在处取得极大值，进而可得结论. 【详解】（1）因为，所以， 由，得，解得，所以． （2）存在实数k，m使得集合，则的解集为， 即的解集为， 所以方程有重根及． 因此恒成立，故有， 则是二次方程的两个不相等的实数解， 所以，所以实数b的取值范围是． （3）记，则，在上严格递减， ①若直线l是曲线在点处的切线， 则有，所以． 故时，，所以函数在是是s上严格递减，； 时，，所以函数在上严格递增，； 所以的解集为，集合是单元素集合； ②若集合是单元素集合，故时，， 而函数的图象是一条连续曲线，所以． 则在的附近其他自变量对应的函数值都小于， 故函数在处取得极大值，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，直线l是曲线在点处的切线． 综上，“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【点睛】关键点点睛：第二问，关键在于得到方程有两个二重根，进而得到恒成立，从而可求解. 9．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析， 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由题可得切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）由函数经过点可得，然后由单调性可完成证明； （3）通过导数研究性质可得与大致图象，从而可得关于的表达式，然后可完成证明，并能指出实数的取值范围 【详解】（1）时，，， ，，则曲线在点处的切线方程为： ； （2）证明：因函数经过点，则 .令，. 令；， 则在上递减，在上递增，则， 故由，可得. 则此时，，.令， 则在上递增， 注意到，结合在上递增， 则. 得在递减，在上递增，则. 即函数经过点时函数有且仅有一个零点1； （3）证明：，其中. ，令， 则，则在上递增. 注意到，， 则，使，结合在上递增. 则. 得在递减，在上递增， 则的极小值为 令，则 得在上单调递减， 故. 注意到，， 则，使； 令，在上递增， 则， 即； 令，. ， 则在递增，在上递减， 则. 则， 又，. 则，使. 则可得大致图象如下， 图象则相当于对图象做翻折变换，可得大致图象如下. 方程恰有三个不同的实数根，则直线与图象有3个交点， 由图可得时满足题意. 则对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根， 注意到 则时满足题意 令， 则，则在上递减， 则，. 则的范围为： 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常用零点存在性定理结合单调性进行分析，也可利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题. 10．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】（1）判断点的位置，求出过此点的切线方程，结合“类点”的定义判断即可. （2）求出过点的切线方程，并代入的坐标并结合“类点”的定义求出值，验证即可得解. （3）假定存在，并设出点的坐标，由过点的切线方程建立等式，分离参数构造函数，利用导数探讨方程根的情况导出矛盾得证. 【详解】（1）函数，，点在上，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 由切线过，得，,解得或， 因此切线方程为，所以点为的“类点”. （2）函数，求导得，设切点为， 切线方程为，即， 切线过，则， 依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为， ， 因此，则，，则， 当时，，不过， 所以的值为2. （3）假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为， 求导得，设切点为，切线方程为， 即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解， 设，则，由，得或， 当时，，函数是上的严格减函数， 当时，为上的严格增函数， 函数的极小值，极大值，又， 当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解， 当时，在上，其余情况下在外，则， 设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为， 则，由， 得，则有， 由，得异号，不妨设， 由均值不等式知，， 则，与矛盾，即不存在， 所以轴上不存在的“类点”. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若，求证：对任意，都有； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)证明见解析； (3)或 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导之后，讨论单调性，再根据题设条件列式即可求解; （2）先判定的单调性，再结合（1）的结论放缩即可； （3）研究的单调性，极值的符号，再结合零点存在性定理的推论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增，无极小值； 当时，令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值为，即． 综上，． （2），． ∵， ∴，即在上单调递减． ∴． 由（1）知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）． ∴，即． （3）． 当时，，在上单调递增，至多有一个零点． 当时，． 令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为． 设，． 令，；令，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以的最大值为． 当时，，只有一个零点； 当时，，又，． 所以有两个零点； 当时，， 由①知，当时，对，恒成立，又， 所以有两个零点； 综上：或 【点睛】方法点睛：用导数处理含参函数零点问题应从三方面入手，一是研究函数的单调性，二是极值（或最值）的符号，三是如果在区间端点处无定义或端点是无穷大趋向于端点时的变化趋势，此时通常要结合零点存在性定理来说明零点的个数 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的奇偶性. (2)当时，求函数经过点的切线方程； (3)若函数在处有极值，根据实数的不同取值，讨论关于的方程的实根的个数. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】（1）根据二次函数的对称性，分和两种情况讨论即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点代入求出切点，即可得解； （3）由题意可得，求出，再利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的图象，结合图象讨论即可得解. 【详解】（1）函数为二次函数，是轴对称图形，且对称轴为， 当时，函数的图象关于对称，所以函数为偶函数， 当时，函数为非奇非偶函数； （2）当时，，则， 设切点为， 则切线的斜率， 所以切线方程为， 又因为切线过点， 所以， 化简得，解得， 切线方程为，即； （3），则， 因为函数在处有极值， 所以，解得， 则， 令，则或，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 所以，所以 ， 当时，，当时，， 如图，作出函数的大致图象，    由图可知，当或时，方程有个实数根； 当或时，方程有个实数根； 当时，方程有个实数根. 13．（24-25高三上·上海·期中）已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，.求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究方程的根、利用导数证明不等式 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）求导后，令，根据导函数有两个零点可构造不等式求得的范围，结合韦达定理可将表示为关于的函数，结合的范围可证得结论； （3）根据的正负可得单调性，从而确定当时，；根据的单调性可推导证得由此可得结论. 【详解】（1）当时，，则，， 又，所求切线方程为：，即. （2）由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则，原方程可化为，且和是方程的两根， ，解得：，，， ， ，在上单调递减，， 即. （3），定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，，， 以此类推，当时，； ，， 在上单调递减，当时，， 即，，， 即，. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式的问题，第二问证明的关键是能够将所证极值之和转化为关于变量的函数的形式，从而利用的范围来进行求解；第三问证明的关键是能够根据函数单调性和递推关系，得到的范围，进而利用单调性来进行推导. 【题型七】导数中的极值偏移问题 极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>(<)2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2>(<)x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 1．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求； （3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得. 【详解】（1）当时，，则，则， 又，则切线方程为，即； （2），令， 则，当时，有， 故在上单调递增，即在上单调递增， 则， 当时，，则在上单调递增， 有，满足要求； 当时，则，又， 则必存在，使，即， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则 ，令， 则， 则在上单调递减，则， 即，故此时不符合题意，故舍去， 综上所述，； （3）由（2）得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数存在两个极值点，则，即， 则有，要证，即证， 又，，在上单调递增， 即只需证，又， 即只需证， 令 ，， 则 ， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到、的范围，从而结合函数单调性，将证明转化为证明，从而可构造相应函数，利用导数研究其单调性. 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、导数中的极值偏移问题、求已知函数的极值点 【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 3．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)的取值范围为；证明见解析. 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用定义及导数的计算法则计算即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【详解】（1）是，理由如下： 根据条件易知， 又，可得， 显然，符合“双中值函数”定义， 即函数是上的“双中值函数”； （2）①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，且时，,时，， 所以，所以，即的取值范围为； ②证明：不妨设， 则，，即，． 要证，可证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 4．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数，，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）先求导，利用导数可得切线斜率，由点斜式方程可得； （2）利用导数讨论单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数a的取值范围； （3）构造差函数，证明极值点偏移问题. 【详解】（1）定义域为，， 所以切线斜率为， 又，所以切线方程为，即. （2）， 定义域为，， ①当时，有恒成立，在上单调递增， 函数不可能有两个零点； ②当时，由，解得，由，解得， 故函数在上递增，在上递减． 因为， 故， 设，， 则，当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，故在处取得极大值，也是最大值，，所以，故， 即 ， 取，则. 因此，要使函数且两个零点，只需， 即，化简，得， 令，因为， 所以函数在上是单调递增函数， 又，故不等式的解为， 因此，使求实数a的取值范围是：. （3）因为，所以， 根据（2）的结果，不妨设，则只需证明， 因为在时单调递增，且，， 于是只需证明， 因为，所以即证， 记，， ， 所以在单调递增，则， 即证得，原命题得证. 【点睛】关键点睛：极值点偏移问题，可以通过构造差函数进行解决，也可以变多元为多元求解，利用对数平均不等式也能解决，选择哪种方案，需要结合函数特点进行选择. 易错点一：混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程 1.曲线过点的切线方程是（ ） 特别提醒：曲线在某点处的切线方程明确了“某点”是切点，此时切线只有唯一一条，而过某点的切线是指切线经过“某点”，此时“某点”可能是切点，也可能不是切点，这样的切线可能是多条，所以涉及过某点的切线的问题时，需要判断"某点”是否为切点. 【解析】由题意可得点不在曲线上，设切点为，因为，所以所求切线的斜率所以.因为点是切点，所以，所以，即.设，明显在上单调递增，且，所以有唯一解，则所求切线的斜率，故所求切线方程为，即故选. 2.已知函数，则曲线经过点的切线方程是 . 特别提醒：求曲线的切线方程时要注意“过某点的切线”与“在某点处的切线”的差异，在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条；过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 【解析】设切点为，由题知，所以切线的斜率，所以切线方程为.因为切线过点，（注：点不一定是切点），所以，即，解得或，所以斜率或，又切线过点，得切线方程为或. 易错点二：对极值点的含义理解不清 3.已知函数在处取得极值0，则（ ） 特别提醒：利用导函数分析函数的极值时，要注意的是使导函数值为0的的值不一定是极值点，极值点是使导函数值为0，且左、右导函数值异号的的值，本题的易错点在于令时，方程组有两组解，一定要注意检验和的值是否能使在处取得极值. 【解析】根据题意，，解得或，当，时，在上单调递增，无极值点，故舍去.当时，当和时，，单调递增；当时，，单调递减，故在处有极小值，满足条件.综上，故选 【答案】 4.若是函数的极值点，则的值为（ ） 特别提醒：定义域上的可导函数在处取得极值的充要条件是，并且在附近两侧异号，若“左负右正"，则为极小值点，若“左正右负”，则为极大值点. 本题易错的地方是求出的值后，没有通过单调性来验证是否为函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 【解析】，则，由题意可知，即，解得或. 当时，，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，，函数在上单调递增，没有极值点，故选. 【答案】 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$