第24练 空间图形的表面积和体积-【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

第24练　空间图形的表面积和体积 一、选择题 1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　) A.48 B.64 C.16 D.96 答案　B 解析　设正方体的棱长为a，则6a2=96， ∴a=4，故V=a3=43=64. 2.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　) A.2∶3 B.4∶9 C.∶ D.∶ 答案　B 解析　由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9. 3.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　) A. B. C.64π D.128π 答案　A 解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴2r=，即l=r， 由题意得，侧面积S侧=πrl=πr2=16π， ∴r=4， ∴l=4，高h==4. ∴圆锥的体积V=Sh=π×42×4=. 4.若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πrR D.π(R+r)2 答案　C 解析　如图，设球的半径为r1， 则在Rt△CDE中，DE=2r1， CE=R-r，DC=R+r. 由勾股定理得 4=(R+r)2-(R-r)2， 解得r1=. 故球的表面积为S球=4π=4πrR. 5.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) A.π B. C. D. 答案　B 解析　设圆柱的底面半径为r，球的半径为R， 且R=1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形. ∴r==. ∴圆柱的体积为V=πr2h=π×1=. 6.(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 答案　B 解析　设圆锥的底面半径为r， 则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等， 所以2πr×=πr×， 即2=， 故r=3，故圆锥的体积为π×9×=3π. 二、填空题 7.在三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则=　　　　.  答案　 解析　如图，设点C到平面PAB的距离为h， 则点E到平面BAD的距离为h. ∵S△DAB=S△PAB， ∴= ==. 8. 一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h=　　　　.  答案　a 解析　设圆锥形容器的液面的半径为R， 则液体的体积为πR2h， 圆柱形容器内的液体体积为πh. 根据题意，有πR2h=πh， 解得R=a. 再根据圆锥形容器的轴截面与其内所盛液体的轴截面是相似三角形，得=， 所以h=a. 9.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为　　　　.  答案　 解析　平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，∵正方体棱长为1， ∴AC=CD1=AD1=. ∴△ACD1的内切圆半径r=. ∴S=πr2=π×=. 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为　　　　.  答案　 解析　如图所示，设球的半径为R，正四棱锥的底面中心为O'且球心为O， ∵在正四棱锥P-ABCD中， AB=2， ∴AO'=. ∵PO'=4， ∴在Rt△AOO'中，AO2=AO'2+OO'2， ∴R2=()2+(4-R)2，解得R=， ∴该球的表面积为4πR2=4π×=. 三、解答题 11.已知一个三棱台，上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积. 解　如图，在三棱台ABC-A'B'C'中，取上、下底面的中心分别为O'，O，BC，B'C'的中点分别为D，D'，则DD'是梯形BCC'B'的高. 所以S侧=3××(20+30)×DD'=75DD'. 又因为A'B'=20 cm，AB=30 cm， 则上、下底面面积之和为 S上+S下=×(202+302)=325(cm2). 由S侧=S上+S下，得75DD'=325， 所以DD'= cm，O'D'=×20=(cm)， OD=×30=5(cm)， 所以棱台的高h=O'O= ==4(cm). 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V=(S上+S下+) =× =1 900(cm3). 学科网（北京）股份有限公司 $$