第13章 13.3.1 空间图形的表面积-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

13.3.1 第13章 <<< 空间图形的表面积 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法. 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题. 3.培养空间想象能力和思维能力. 学习目标 前面我们已经学习了简单空间图形(柱、锥、台、球)的有关概念和结构特征，这节课我们将学习简单空间图形的表面积，表面积是指空间图形表面的面积，怎样计算简单空间图形的表面积呢？ 导 语 一、多面体的侧面积和表面积 二、旋转体的侧面积和表面积 课时对点练 三、简单组合体的表面积 随堂演练 内容索引 多面体的侧面积和表面积 一 提示　 我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，多面体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的展开图是什么样子的？ 问题1 1.几种特殊的多面体 (1)直棱柱：侧棱和底面 的棱柱. (2)正棱柱：底面为 的直棱柱. (3)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是_________，那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形. (4)正棱台：正棱锥被 所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台. 垂直 正多边形 底面中心 平行于底面的平面 知识梳理 2.几种特殊的多面体的表面积 多面体 图形 表面积公式 直棱柱   S直棱柱侧= (c为直棱柱的底面周 长，h为直棱柱的高). S表=S侧+2S底 正棱锥   S正棱锥侧=ch'(c为正棱锥的底面周长，h'为斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)). S表=S侧+S底 ch 多面体 图形 表面积公式 正棱台   S正棱台侧=(c+c')h'(c'，c分别为正棱台的上、下底面的周长，h'为斜高). S表=S侧+S上底+S下底 (1)正棱台的侧面积公式可类比梯形的面积公式记忆. (2)一般的棱柱、棱锥和棱台，求侧面积时要注意柱体、锥体、台体的几何特征，应分别计算出各个侧面的面积，再求和，必要时要展开. 注 意 点 <<< 10 正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b). (1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； 例 1 11 如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高. 由题意知∠C1CO=45°， CE=CO-EO=CO-C1O1=(b-a). 在Rt△C1CE中，C1E=CE=(b-a)， 又在Rt△CEF中，EF=CE·sin 45°=(b-a)， ∴C1F===(b-a). ∴S侧=(4a+4b)×(b-a)=(b2-a2). 12 (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. ∵S侧=S底，S底=a2+b2， ∴4·(a+b)·h斜=a2+b2， ∴h斜=. 又由(1)得EF=， ∴h==. 13 若正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长. 延伸探究 14 如图，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x+10)cm， 在Rt△E1FE中， EF==5(cm). ∵E1F=12 cm， ∴斜高E1E==13(cm). ∴S侧=4×(x+x+10)×13=52(x+5)， S表=52(x+5)+x2+(x+10)2 =2x2+72x+360. 15 ∵S表=512 cm2， ∴2x2+72x+360=512， 解得x=-38(舍去)或x=2. ∴x+10=12. ∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm，12 cm. 16 (1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长、高、斜高、侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用. (2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数. (3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到. 反 思 感 悟 17 　已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积. 跟踪训练 1 18 如图，设PO=3，PE是斜高， ∵S侧=2S底， ∴4××BC×PE=2BC2， ∴BC=PE. 在Rt△POE中，PO=3，OE=BC=PE， ∴9+=PE2， ∴PE=2. 19 ∴S底=BC2=PE2=(2)2=12， S侧=2S底=2×12=24， ∴S表=S底+S侧=12+24=36. 20 二 旋转体的侧面积和表面积 提示　圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线)，如图所示.设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧=2πrl，S圆柱表=2πr(r+l). 如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？ 问题2 22 提示　圆锥的侧面展开图是一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，如图所示.侧面展开图扇形的面积为×2πrl=πrl，所以S圆锥侧=πrl，S圆锥表=πr(r+l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长. 如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？ 问题3 23 提示　圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图可得=，解得x=l，S扇环=S大扇形-S小扇形=(x+l)×2πR-x·2πr=π[(R-r)x+Rl]=π(r+R)l，所以S圆台侧=π(r+R)l，S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2). 如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？ 问题4 24 圆柱、圆锥、圆台的表面积 旋转体 图形 表面积公式 圆柱   底面积：S底=_____， 侧面积：S侧=cl=_____， 表面积：S表=________ 圆锥   底面积：S底=____， 侧面积：S侧=cl=____， 表面积：S表=_______ 2πr2 2πrl 2πr(r+l) πr2 πrl πr(r+l) 知识梳理 25 旋转体 图形 表面积公式 圆台   上底面面积：S上底=_____，下底面面积： S下底=____，侧面积：S侧=(c+c')l=_______， 表面积：S表=_____________ πr'2 πr2 π(r+r')l π(r'2+r2+r'l+rl) 26 (1)圆锥的侧面积公式可类比三角形的面积公式来记. (2)圆台的侧面积公式可类比梯形的面积公式来记. 注 意 点 <<< 27 　如图，△ABC的三边长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积. 例 2 28 在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5知， AC2+BC2=AB2， 所以AC⊥BC， 那么△ABC以AC所在直线为轴旋转一周所得旋转体是一个圆锥，且底面半径r=BC=4，母线l=AB=5. 所以S表=πr(r+l)=π×4×(4+5)=36π. 29 如图，本例若改为以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积. 延伸探究 30 在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5知， AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC. 所以CD=，记为r=， 那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是 两个同底的圆锥，且底面半径r=， 母线长分别是AC=3，BC=4， 所以S表=πr·(AC+BC)=π××(3+4)=π. 所以旋转体的表面积是π. 31 反 思 感 悟 (1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底面半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面. (2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积. (3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用. 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是　　　　 cm2.(结果中保留π)  跟踪训练 2 1 100π 33 如图所示， 设圆台的上底面周长为c cm，上、下底面半径分别为r1，r2， 因为扇环的圆心角是180°， 故c=π×SA=2π×10，所以SA=20(cm). 同理可得SB=40(cm). 所以AB=SB-SA=20(cm)， 所以S表=S侧+S上+S下=π(r1+r2)×AB+π+π =π(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2). 故圆台的表面积为1 100π cm2. 34 简单组合体的表面积 三 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m2，π取3.14) 例 3 36 上部分圆锥体的母线长为 m， 其侧面积为S1=π××(m2). 下部分圆柱体的侧面积为S2=π×5×1.8(m2). ∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为 S=S1+S2=π××+π×5×1.8≈50.03(m2). 37 反 思 感 悟 (1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简单空间图形组成，然后再根据条件求各个空间图形的基本量，注意方程思想的应用. (2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种空间图形，哪些面计算在内，哪些面在实际中没有. 　如图所示的空间图形是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后空间图形的表面积是多少？(π取3.14) 跟踪训练 3 39 因为正方体的棱长为4 cm，而洞深只有1 cm，所以正方体没有被挖透，这样一来挖洞后所得空间图形的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积，这个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm. 正方体的表面积为4×4×6=96(cm2)， 圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)， 则挖洞后空间图形的表面积约为 96+6.28=102.28(cm2). 40 1.知识清单： (1)柱体、锥体、台体的侧面积和表面积. (2)组合体的表面积. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：平面图形与空间图形的切换不清楚. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.棱长均为1的三棱锥的表面积S为 A.3 B.2 C. D.4 √ S=4×××1=. 1 2 3 4 2.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于 A.6 B.6π C.3π D.6π √ ∵圆台的母线长为=， ∴S圆台侧=π(1+2)×=3π. 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A.12π B.12π C.8π D.10π 1 2 3 4 √ 因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2 ×π×()2+2π××2=12π. 1 2 3 4 4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为　　 　cm2.  112或72 设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm， 则 解得 ∴S侧=4×4×7=112(cm2)或S侧=4×6×3=72(cm2). 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B AB C A 2∶1 π 题号 11 12 13 14 　15 答案 D B A 36 　20　224π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图所示，所得几何体的表面积为S=S底+S柱侧+S锥侧 =π()2+2π·×+π·×3 =(3+6+3)π(cm2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 如图，设O，O1分别是两底面的中心， 则OO1是高，E，E1分别是其所在边的中点， 则EE1是斜高，过E1作E1F⊥OE于F. 在Rt△E1FE中， EE1== ==20(mm). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ∴S正棱台侧=4××(440+80)×20≈279 968(mm2). 故制造该下料斗约需铁板279 968 mm2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h'. 过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE， 则SE⊥AB，SE=h'. ∵S侧=2S底， ∴3×a×h'=a2×2， ∴a=h'. ∵SO⊥OE，∴在Rt△SEO中，SO2+OE2=SE2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∴32+=h'2， ∴h'=2，∴a=h'=6. ∴S底=a2=×62=9，S侧=2S底=18， ∴S表=S侧+S底=18+9=27. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为 A.π B.2π C.3π D.4π √ 设圆锥的母线长为l，则l==2， 所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π. 答案 2.已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为 A.6 B.12 C.24 D.48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 正四棱锥的斜高h'==4， S侧=4××6×4=48. 答案 3.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π， ∴r2=4，∴r=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64π cm2，36π cm2. 4.(多选)以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为 A.64π cm2 B.36π cm2 C.54π cm2 D.48π cm2 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为 A.81π B.100π C.168π D.169π √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R， 则它的母线长为l===5r=10， 所以r=2，R=8. 故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π， S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为 A.160 B.80 C.100 D.120 √ 设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，所以=152-52，=92-52. 又+=4a2，即152-52+92-52=4a2， 所以a=8，所以S侧=ch=4×8×5=160. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S圆柱=2·π·+2π··a=πa2， S圆锥=π·+π··a=πa2， ∴S圆柱∶S圆锥=2∶1. 7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为　　　 .  2∶1 答案 8.如果圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 π 设圆锥底面半径为r，母线长为l， 则πrl+πr2=3πr2，得l=2r， 所以侧面展开得到的扇形半径为2r，弧长为2πr， 所以扇形的圆心角为=π. 答案 9.在底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，所得几何体的表面积为S=S底+S柱侧+S锥侧 =π()2+2π·×+π·×3 =(3+6+3)π(cm2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，粉碎机的下料斗是正四棱台形，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算制造该下料斗所需的铁板的面积(厚度不计，参考数据：≈13.46). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设O，O1分别是两底面的中心， 则OO1是高，E，E1分别是其所在边的中点， 则EE1是斜高，过E1作E1F⊥OE于F. 在Rt△E1FE中，EE1= == =20(mm). ∴S正棱台侧=4××(440+80)×20≈279 968(mm2). 故制造该下料斗约需铁板279 968 mm2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.设圆柱的一个底面面积为S，若其侧面展开图为一个正方形，则这个圆柱的侧面积为 A.πS B.2πS C.3πS D.4πS √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆柱的底面半径为r，则有πr2=S， 所以r=， 所以底面圆的周长为2π， 又因为展开图为正方形， 所以这个圆柱的侧面积为=4πS. 答案 12.如图，已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，则正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积的比值是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D-A1BC1的棱 长为，表面积为4×××sin 60°=2， ∴正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积的比值是. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是 A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，PA，PB，PC两两垂直且PA=PB=PC， △ABC为等边三角形，AB=a， ∴PA=PB=PC=a， ∴表面积为×a2+××3=a2+a2=a2. 答案 14.有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1， ∴S表=2×22+4×[22+()2+12]=36. ∴该空间图形的表面积为36. 答案 15.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为　　 cm，表面积等于　　 　cm2.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 20 224π 答案 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积 S圆=πl2. 又圆锥的侧面积S圆锥侧=πrl=8πl. ∵圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周， ∴πl2=2.5×8πl， ∴l=20(cm). 圆锥的表面积S表=S圆锥侧+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO=3，求此正三棱锥的表面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h'. 过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE， 则SE⊥AB，SE=h'. ∵S侧=2S底， ∴3×a×h'=a2×2， ∴a=h'. ∵SO⊥OE， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴在Rt△SEO中，SO2+OE2=SE2， ∴32+=h'2， ∴h'=2，∴a=h'=6. ∴S底=a2=×62=9，S侧=2S底=18， ∴S表=S侧+S底=18+9=27. 答案 第一章 <<< $$ 13.3.1　空间图形的表面积 [学习目标]　1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力. 导语 前面我们已经学习了简单空间图形(柱、锥、台、球)的有关概念和结构特征，这节课我们将学习简单空间图形的表面积，表面积是指空间图形表面的面积，怎样计算简单空间图形的表面积呢？ 一、多面体的侧面积和表面积 问题1　我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，多面体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的展开图是什么样子的？ 提示　 知识梳理 1.几种特殊的多面体 (1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱. (2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱. (3)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形. (4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台. 2.几种特殊的多面体的表面积 多面体 图形 表面积公式 直棱柱 S直棱柱侧=ch(c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高). S表=S侧+2S底 正棱锥 S正棱锥侧=ch'(c为正棱锥的底面周长，h'为斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)). S表=S侧+S底 正棱台 S正棱台侧=(c+c')h'(c'，c分别为正棱台的上、下底面的周长，h'为斜高). S表=S侧+S上底+S下底 注意点： (1)正棱台的侧面积公式可类比梯形的面积公式记忆. (2)一般的棱柱、棱锥和棱台，求侧面积时要注意柱体、锥体、台体的几何特征，应分别计算出各个侧面的面积，再求和，必要时要展开. 例1　正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b). (1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. 解　(1)如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高. 由题意知∠C1CO=45°， CE=CO-EO=CO-C1O1=(b-a). 在Rt△C1CE中，C1E=CE=(b-a)， 又在Rt△CEF中，EF=CE·sin 45°=(b-a)， ∴C1F= ==(b-a). ∴S侧=(4a+4b)×(b-a)=(b2-a2). (2)∵S侧=S底，S底=a2+b2， ∴4·(a+b)·h斜=a2+b2， ∴h斜=. 又由(1)得EF=， ∴h==. 延伸探究　若正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长. 解　如图，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x+10)cm， 在Rt△E1FE中， EF==5(cm). ∵E1F=12 cm， ∴斜高E1E==13(cm). ∴S侧=4×(x+x+10)×13=52(x+5)， S表=52(x+5)+x2+(x+10)2 =2x2+72x+360. ∵S表=512 cm2， ∴2x2+72x+360=512， 解得x=-38(舍去)或x=2. ∴x+10=12. ∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm，12 cm. 反思感悟　(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长、高、斜高、侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用. (2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数. (3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到. 跟踪训练1　已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积. 解　如图，设PO=3，PE是斜高， ∵S侧=2S底， ∴4××BC×PE=2BC2， ∴BC=PE. 在Rt△POE中，PO=3，OE=BC=PE， ∴9+=PE2， ∴PE=2. ∴S底=BC2=PE2=(2)2=12， S侧=2S底=2×12=24， ∴S表=S底+S侧=12+24=36. 二、旋转体的侧面积和表面积 问题2　如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？ 提示　圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线)，如图所示.设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧=2πrl，S圆柱表=2πr(r+l). 问题3　如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？ 提示　圆锥的侧面展开图是一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，如图所示.侧面展开图扇形的面积为×2πrl=πrl，所以S圆锥侧=πrl，S圆锥表=πr(r+l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长. 问题4　如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？ 提示　圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图可得=，解得x=l，S扇环=S大扇形-S小扇形=(x+l)×2πR-x·2πr=π[(R-r)x+Rl]=π(r+R)l，所以S圆台侧=π(r+R)l，S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2). 知识梳理 圆柱、圆锥、圆台的表面积 旋转体 图形 表面积公式 圆柱 底面积：S底=2πr2， 侧面积：S侧=cl=2πrl， 表面积：S表=2πr(r+l) 圆锥 底面积：S底=πr2， 侧面积：S侧=cl=πrl， 表面积：S表=πr(r+l) 圆台 上底面面积：S上底=πr'2，下底面面积：S下底=πr2，侧面积：S侧=(c+c')l=π(r+r')l， 表面积：S表=π(r'2+r2+r'l+rl) 注意点： (1)圆锥的侧面积公式可类比三角形的面积公式来记. (2)圆台的侧面积公式可类比梯形的面积公式来记. 例2　如图，△ABC的三边长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积. 解　在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5知，AC2+BC2=AB2， 所以AC⊥BC， 那么△ABC以AC所在直线为轴旋转一周所得旋转体是一个圆锥，且底面半径r=BC=4，母线l=AB=5. 所以S表=πr(r+l)=π×4×(4+5)=36π. 延伸探究　如图，本例若改为以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积. 解　在△ABC中， 由AC=3，BC=4，AB=5知， AC2+BC2=AB2， 所以AC⊥BC. 所以CD=，记为r=， 那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r=， 母线长分别是AC=3，BC=4， 所以S表=πr·(AC+BC)=π××(3+4) =π. 所以旋转体的表面积是π. 反思感悟　(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底面半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面. (2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积. (3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用. 跟踪训练2　圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是　　　　 cm2.(结果中保留π)  答案　1 100π 解析　如图所示， 设圆台的上底面周长为c cm，上、下底面半径分别为r1，r2， 因为扇环的圆心角是180°， 故c=π×SA=2π×10， 所以SA=20(cm). 同理可得SB=40(cm). 所以AB=SB-SA=20(cm)， 所以S表=S侧+S上+S下 =π(r1+r2)×AB+π+π =π(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2). 故圆台的表面积为1 100π cm2. 三、简单组合体的表面积 例3　牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m2，π取3.14) 解　上部分圆锥体的母线长为 m， 其侧面积为S1=π××(m2). 下部分圆柱体的侧面积为S2=π×5×1.8(m2). ∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为 S=S1+S2=π××+π×5×1.8≈50.03(m2). 反思感悟　(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简单空间图形组成，然后再根据条件求各个空间图形的基本量，注意方程思想的应用. (2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种空间图形，哪些面计算在内，哪些面在实际中没有. 跟踪训练3　如图所示的空间图形是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后空间图形的表面积是多少？(π取3.14) 解　因为正方体的棱长为4 cm，而洞深只有1 cm，所以正方体没有被挖透，这样一来挖洞后所得空间图形的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积，这个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm. 正方体的表面积为4×4×6=96(cm2)， 圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)， 则挖洞后空间图形的表面积约为 96+6.28=102.28(cm2). 1.知识清单： (1)柱体、锥体、台体的侧面积和表面积. (2)组合体的表面积. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：平面图形与空间图形的切换不清楚. 1.棱长均为1的三棱锥的表面积S为(　　) A.3 B.2 C. D.4 答案　C 解析　S=4×××1=. 2.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于(　　) A.6 B.6π C.3π D.6π 答案　C 解析　∵圆台的母线长为=， ∴S圆台侧=π(1+2)×=3π. 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A.12π B.12π C.8π D.10π 答案　B 解析　因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2+2π××2=12π. 4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为　　　　cm2.  答案　112或72 解析　设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm， 则 解得或 ∴S侧=4×4×7=112(cm2)或S侧=4×6×3 =72(cm2). 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 答案　C 解析　设圆锥的母线长为l，则l==2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π. 2.已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 答案　D 解析　正四棱锥的斜高h'==4， S侧=4××6×4=48. 3.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm 答案　B 解析　S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π， ∴r2=4，∴r=2. 4.(多选)以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(　　) A.64π cm2 B.36π cm2 C.54π cm2 D.48π cm2 答案　AB 解析　分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64π cm2，36π cm2. 5.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　) A.81π B.100π C.168π D.169π 答案　C 解析　圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为 l= ==5r=10， 所以r=2，R=8. 故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π， S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π. 6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为(　　) A.160 B.80 C.100 D.120 答案　A 解析　设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，所以=152-52，=92-52. 又+=4a2，即152-52+92-52=4a2， 所以a=8，所以S侧=ch=4×8×5=160. 7.(5分)一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为　　　　.  答案　2∶1 解析　S圆柱=2·π·+2π··a=πa2， S圆锥=π·+π··a=πa2， ∴S圆柱∶S圆锥=2∶1. 8.(5分)如果圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为　　　　　　　　.  答案　π 解析　设圆锥底面半径为r，母线长为l， 则πrl+πr2=3πr2，得l=2r， 所以侧面展开得到的扇形半径为2r，弧长为2πr， 所以扇形的圆心角为=π. 9.(10分)在底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积. 解　如图所示，所得几何体的表面积为S=S底+S柱侧+S锥侧 =π()2+2π·×+π·×3 =(3+6+3)π(cm2). 10.(12分)如图，粉碎机的下料斗是正四棱台形，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算制造该下料斗所需的铁板的面积(厚度不计，参考数据：≈13.46). 解　如图，设O，O1分别是两底面的中心， 则OO1是高，E，E1分别是其所在边的中点，则EE1是斜高，过E1作E1F⊥OE于F. 在Rt△E1FE中，EE1= == =20(mm). ∴S正棱台侧=4××(440+80)×20 ≈279 968(mm2). 故制造该下料斗约需铁板279 968 mm2. 11.设圆柱的一个底面面积为S，若其侧面展开图为一个正方形，则这个圆柱的侧面积为(　　) A.πS B.2πS C.3πS D.4πS 答案　D 解析　设圆柱的底面半径为r，则有πr2=S， 所以r=， 所以底面圆的周长为2π， 又因为展开图为正方形， 所以这个圆柱的侧面积为=4πS. 12.如图，已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，则正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积的比值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D-A1BC1的棱长为，表面积为4×××sin 60°=2， ∴正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积的比值是. 13.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　A 解析　如图，PA，PB，PC两两垂直且PA=PB=PC， △ABC为等边三角形，AB=a， ∴PA=PB=PC=a， ∴表面积为×a2+××3 =a2+a2=a2. 14.(5分)有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为　　　　.  答案　36 解析　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1， ∴S表=2×22+4×[22+()2+12]=36. ∴该空间图形的表面积为36. 15.(5分)把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为　　　cm，表面积等于　　　cm2.  答案　20　224π 解析　设圆锥的母线长为l，底面半径为r，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积 S圆=πl2. 又圆锥的侧面积S圆锥侧=πrl=8πl. ∵圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周， ∴πl2=2.5×8πl， ∴l=20(cm). 圆锥的表面积S表=S圆锥侧+S底 =π×8×20+π×82=224π(cm2). 16.(12分)如图，已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO=3，求此正三棱锥的表面积. 解　如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h'. 过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE， 则SE⊥AB，SE=h'. ∵S侧=2S底， ∴3×a×h'=a2×2， ∴a=h'. ∵SO⊥OE， ∴在Rt△SEO中，SO2+OE2=SE2， ∴32+=h'2， ∴h'=2，∴a=h'=6. ∴S底=a2=×62=9，S侧=2S底=18， ∴S表=S侧+S底=18+9=27. 学科网（北京）股份有限公司 $$