第13章 13.2.4 第3课时 面面垂直的性质定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

第3课时 第13章 <<< 面面垂直的性质定理 1.掌握空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化. 2.掌握平面与平面垂直的性质定理. 3.会解决垂直的综合问题. 学习目标 一、平面与平面垂直的性质定理 二、垂直关系的相互转化 课时对点练 三、有关垂直的综合问题 随堂演练 内容索引 平面与平面垂直的性质定理 一 提示　能.在黑板所在平面内作黑板与地面所在平面交线的垂线，这条直线即与地面所在平面垂直. 黑板所在平面与地面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 问题1 提示　不一定，也可能平行，也可能垂直，也可能相交但不垂直. 在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？ 问题2 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面_____ 符号语言 α⊥β，α∩β=l， ， ⇒a⊥β 图形语言   交线 垂直 a⊂α a⊥l 知识梳理 (1)该定理的实质是由面面垂直得线面垂直. (2)面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直. 注 意 点 <<< 7 　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 例 1 8 如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB， AD⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 9 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点 反 思 感 悟 (1)两个平面垂直. (2)直线必须在其中一个平面内. (3)直线必须垂直于它们的交线. 10 　如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到空间图形D-ABC.求证：BC⊥平面ACD. 跟踪训练 1 11 如题图(1)，在梯形ABCD中，AD=CD=2， ∠ADC=90°， 过点C作CE⊥AB，E为垂足(图略)， 则四边形AECD为正方形，∴CE=AE=EB=2， ∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC， 如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC=AC， 又BC⊂平面ABC，且BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACD. 12 二 垂直关系的相互转化 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中能得出a⊥b的是 A.a⊂α，b⊥β，α∥β B.a⊥α，b⊥β，α∥β C.a⊥α，b∥β，α⊥β D.a⊂α，b∥β，α⊥β 例 2 √ 14 若a⊂α，b⊥β，α∥β，则b⊥α，a⊂α， 那么b⊥a，故A正确； 若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b，故B错误； 若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，又b∥β，则a与b有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C错误； 若a⊂α，b∥β，α⊥β，则a与b有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D错误. 15 反 思 感 悟 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下： 用定义证明两个平面垂直的步骤 线线垂直 线面垂直 面面垂直 　若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 跟踪训练 2 √ 由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D； 对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又m'⊂α，则α⊥β，所以C正确. 17 有关垂直的综合问题 三 　如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形. 例 3 19 如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F. ∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC=AC，DF⊂平面ABC， ∴DF⊥平面PAC. ∵PA⊂平面PAC， ∴DF⊥PA. 过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA. ∵DG，DF⊂平面ABC，且DG∩DF=D， ∴PA⊥平面ABC. 20 连接BE并延长交PC于点H. ∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE. 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴PC⊥AE. ∵AE∩BE=E，AE，BE⊂平面ABE， ∴PC⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB. 又PA⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC， ∴PA⊥AB. 21 ∵PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC， ∴AB⊥平面PAC. 又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC， 即△ABC是直角三角形. 22 反 思 感 悟 空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题. 　如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边三角形ADB以AB为轴转动. (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长； 跟踪训练 3 24 如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC=AB， DE⊂平面ADB， 所以DE⊥平面ABC， 又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.由已知可得DE=，EC=1. 在Rt△DEC中，CD==2. 25 (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论. 26 当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当点D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以点C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当点D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因为AC=BC，所以AB⊥CE. 又因为DE，CE⊂平面CDE，DE∩CE=E， 所以AB⊥平面CDE. 由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD. 27 1.知识清单： (1)垂直关系的相互转化. (2)平面与平面垂直的性质定理. (3)有关垂直的综合问题. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：由面面垂直找线面垂直时，未先找交线. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是 A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α √ 根据平面与平面垂直的性质定理判断，已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，应增加条件n⊥m，才能使n⊥β. 1 2 3 4 2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC，AD=CD，则BD与CC1 A.平行 B.共面 C.垂直 D.位置关系不确定 √ 根据题意画出图形，如图所示. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC，AD=CD， ∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥平面AA1C1C. 又CC1⊂平面AA1C1C， ∴BD⊥CC1. 1 2 3 4 3.(多选)以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，下列结论正确的是 A.BD⊥AC B.△ABC是等边三角形 C.三棱锥D-ABC是正三棱锥 D.平面ADB⊥平面ABC 1 2 3 4 √ √ √ 1 2 3 4 由题意知，AD⊥BD，AD⊥CD， 又平面ABD⊥平面ADC， 平面ABD∩平面ADC=AD， BD⊂平面ABD， 所以BD⊥平面ADC， 又因为AC⊂平面ADC，所以BD⊥AC，故A正确； 又因为CD⊂平面ADC，所以BD⊥CD， 设AB=AC=a， 因为AD为等腰直角三角形ABC斜边BC上的高， 1 2 3 4 所以AD=BD=CD=a， 又因为∠BDC=90°，所以BC==a， 所以AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，故BC正确； 取AB的中点E，连接CE，DE，如图， 则DE⊥AB，CE⊥AB，DE=AB=a， CE=a， 因为平面ABD∩平面ABC=AB，DE⊂平面ABD， CE⊂平面ABC，且DE⊥AB，CE⊥AB， 1 2 3 4 所以∠DEC是二面角C-AB-D的平面角， 由余弦定理得cos∠DEC= ==，所以二面角C-AB-D不为90°， 即平面ADB与平面ABC不垂直，故D错误. 1 2 3 4 4.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC， 且∠PAC=90°，PA=1，AB=2，则PB=　　　.  ∵平面PAC⊥平面ABC，PA⊂平面PAC， 平面PAC∩平面ABC=AC，∠PAC=90°， ∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB， ∴PB===. 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B C AD 45° 题号 11 12 13 　14 答案 A C ABD 2或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. (1)∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°， ∴△ABD是正三角形， ∴BG⊥AD. 又平面PAD∩平面ABD=AD， 平面PAD⊥平面ABD，BG⊂平面ABD， ∴BG⊥平面PAD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. (2)由(1)可知BG⊥AD， 又△PAD为正三角形，∴PG⊥AD，BG∩PG=G，BG，PG⊂平面PBG， ∴AD⊥平面PBG， 又PB⊂平面PBG， ∴AD⊥PB. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. (1)在平面ABD内， 因为AB⊥AD，EF⊥AD， 所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. (2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD， BC⊂平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB=B，AB，BC⊂平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. (1)由已知DA=DM，E是AM的中点，∴DE⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，DE⊂平面ADM， ∴DE⊥平面ABCM. ∵DE⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABCM. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. (2)过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由： 在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM=AM，l⊂平面ABCM， ∴l⊥平面ADM. ∵AD⊂平面ADM，∴l⊥AD. 故存在满足题意的直线l. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 1.设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则 A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直 当b=α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β. √ 答案 2.设二面角α-l-β是直二面角，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b与直线l都不垂直，那么 A.a与b可能垂直，但不可能平行 B.a与b可能垂直，也可能平行 C.a与b不可能垂直，但可能平行 D.a与b不可能垂直，也不可能平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当a∥l，b∥l时，a∥b. 若a⊥b，可在a上任取点A，过点A在α内作l的垂线c， 如图，则c⊥β，所以c⊥b. 因为a∩c=A，所以b⊥α，所以b⊥l，这与已知矛盾. 所以a与b不可能垂直. 答案 3.已知直线m，n，平面α，β，m⊂α，n⊂β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥n是α⊥β的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 依题意，由m⊥l，m⊥n，当n∥l时，不能证得m⊥β，从而不能证得α⊥β；当α⊥β，m⊥l时，由已知及面面垂直的性质知m⊥β，而n⊂β，因此m⊥n， 所以m⊥n是α⊥β的必要且不充分条件. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，AD=DB，则 A.PD⊂平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC √ 因为PA=PB，AD=DB，所以PD⊥AB. 又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊂平面PAB， 所以PD⊥平面ABC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.等边△ABC的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达点A'的位置.若平面A'DE⊥平面BCED，则线段A'B的长为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，易知△A'DE是边长为1的等边三角形， 过A'作DE的垂线，垂足为H， 由平面A'DE⊥平面BCED，平面A'DE∩平面BCED=DE， A'H⊥DE， A'H⊂平面A'DE， 则A'H⊥平面BCED，且H为线段DE的中点，A'H=，连接BH，则A'H⊥BH，取BC的中点F，连接FH， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则FH⊥BC，且FH=， 所以BH==， 所以A'B==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(多选)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是 A.CD⊥平面ABD B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面ADC √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由已知得AB⊥AD，CD⊥BD， 又平面ABD⊥平面BDC， 平面ABD∩平面BDC=BD，CD⊂平面BDC， ∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB， 又CD∩AD=D，CD，AD⊂平面ADC， 故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ADC. 答案 7.如图，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC， 且∠PAC=90°，PA=1，AB=2，则PB=　　　.  因为∠PAC=90°， 所以PA⊥AC， 又侧面PAC⊥底面ABC，侧面PAC∩底面ABC=AC，PA⊂侧面PAC， 所以PA⊥底面ABC， 又AB⊂底面ABC，所以PA⊥AB， 所以PB===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 8.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，且AB=AD，则AD与平面BCD所成的角是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45° 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，过点A作AO⊥BD于点O， ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD， AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角. ∵∠BAD=90°，AB=AD， ∴∠ADO=45°. ∴AD与平面BCD所成的角为45°. 答案 9.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证： (1)BG⊥平面PAD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°， ∴△ABD是正三角形， ∴BG⊥AD. 又平面PAD∩平面ABD=AD， 平面PAD⊥平面ABD，BG⊂平面ABD， ∴BG⊥平面PAD. 答案 (2)AD⊥PB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)可知BG⊥AD， 又△PAD为正三角形， ∴PG⊥AD，BG∩PG=G，BG，PG⊂平面PBG， ∴AD⊥平面PBG， 又PB⊂平面PBG， ∴AD⊥PB. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； 在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 所以EF∥AB. 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)AD⊥AC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD=BD， BC⊂平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB=B， AB，BC⊂平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则AB∶A'B'等于 A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 连接A'B，AB'(图略)， 由已知条件可知∠BAB'=， ∠ABA'=， 设AB=2a，则BB'=2asin =a， A'B=2acos =a， ∴在Rt△BB'A'中，得A'B'=a， ∴AB∶A'B'=2∶1. 答案 12.已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且CD=2，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为 A.1 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 如图所示，取CD边的中点为M，连接PM，QM，PQ， P是CE的中点，则PM⊥CD， 又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF= CD，PM⊂平面CDEF， 故PM⊥平面ABCD， 又QM⊂平面ABCD，故PM⊥QM， 在Rt△PMQ中，PM=ED=1，PQ==，要使 PQ最小，则QM最小，因为当QM⊥BD时，QM最小，所以QM的最 小值为BD=×2=，所以PQmin===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.(多选)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，CF= EF=2DF=2，AE=3，EB=4，将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A'D'位置，且平面A'D'FE⊥平面BCFE，连接A'B，D'C，如图2，则 A.BE⊥A'D' B.平面A'EB∥平面D'FC C.多面体A'EBD'FC为三棱台 D.直线A'D'与平面BCFE所成的角为 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为平面A'D'FE⊥平面BCFE， 平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，BE⊥EF， BE⊂平面BCFE， 所以BE⊥平面A'D'FE， 所以BE⊥A'D'，故A正确； 因为A'E∥D'F，A'E⊄平面D'FC，D'F⊂平面D'FC，则A'E∥平面D'FC， 又BE∥CF，BE⊄平面D'FC，CF⊂平面D'FC，则BE∥平面D'FC， 又A'E∩BE=E，A'E，BE⊂平面A'EB， 所以平面A'EB∥平面D'FC，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为==≠， 所以多面体A'EBD'FC不是三棱台，故C错误； 延长A'D'，EF相交于点G， 因为平面A'D'FE⊥平面BCFE，平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，A'E⊂平面A'D'FE，A'E⊥EF， 所以A'E⊥平面BCFE，则∠A'GE为直线A'D'与平面BCFE所成的角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为A'E∥D'F， 所以=， 解得GF=1，GE=3，tan∠A'GE==1， 则∠A'GE=，故D正确. 答案 14.如图，△ABC是正三角形，E，F分别为线段AB，AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCFE，设=λ，当AE⊥CF时，λ的 值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2或 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示，过A作AH⊥EF于H， 由平面AEF⊥平面BCFE，平面AEF∩平面BCFE=EF，AH⊂平面AEF，可得AH⊥平面BCFE， 因为CF⊂平面BCFE，所以AH⊥CF， 又AE⊥CF，AH∩AE=A，AH，AE⊂平面AEF， 故CF⊥平面AEF. 所以CF⊥EF， 由图可得，此时H必与F重合，则∠AFE是直角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以∠AEF=30°， 所以AE=2AF，故λ=2. 又当AE垂直于底面时显然满足题意， 此时有AF=2AE，故此情况下有λ=. 答案 15.如图1，在矩形ABCD中，AD=1，AB=3，M为CD上一点，且CM=2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，E是线段AM的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 (1)求证：平面BDE⊥平面ABCM； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由已知DA=DM，E是AM的中点， ∴DE⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM， 平面ADM∩平面ABCM=AM，DE⊂平面ADM， ∴DE⊥平面ABCM. ∵DE⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABCM. 答案 (2)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD？请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由： 在平面ABCM中，过点B作直线l， 使l⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM=AM，l⊂平面ABCM，∴l⊥平面ADM. ∵AD⊂平面ADM，∴l⊥AD. 故存在满足题意的直线l. 答案 第一章 <<< $$ 第3课时　面面垂直的性质定理 [学习目标]　1.掌握空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.2.掌握平面与平面垂直的性质定理. 3.会解决垂直的综合问题. 一、平面与平面垂直的性质定理 问题1　黑板所在平面与地面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 提示　能.在黑板所在平面内作黑板与地面所在平面交线的垂线，这条直线即与地面所在平面垂直. 问题2　在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？ 提示　不一定，也可能平行，也可能垂直，也可能相交但不垂直. 知识梳理 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 注意点： (1)该定理的实质是由面面垂直得线面垂直. (2)面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直. 例1　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 证明　如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB， AD⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点 (1)两个平面垂直. (2)直线必须在其中一个平面内. (3)直线必须垂直于它们的交线. 跟踪训练1　如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到空间图形D-ABC.求证：BC⊥平面ACD. 证明　如题图(1)，在梯形ABCD中，AD=CD=2，∠ADC=90°，过点C作CE⊥AB，E为垂足(图略)， 则四边形AECD为正方形，∴CE=AE=EB=2， ∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC， 如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC=AC，又BC⊂平面ABC，且BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACD. 二、垂直关系的相互转化 例2　设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中能得出a⊥b的是(　　) A.a⊂α，b⊥β，α∥β B.a⊥α，b⊥β，α∥β C.a⊥α，b∥β，α⊥β D.a⊂α，b∥β，α⊥β 答案　A 解析　若a⊂α，b⊥β，α∥β，则b⊥α，a⊂α， 那么b⊥a，故A正确； 若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b，故B错误； 若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，又b∥β，则a与b有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C错误； 若a⊂α，b∥β，α⊥β，则a与b有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D错误. 反思感悟　空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下： 线线垂直线面垂直面面垂直 跟踪训练2　若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 答案　C 解析　由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又m'⊂α，则α⊥β，所以C正确. 三、有关垂直的综合问题 例3　如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形. 证明　如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F. ∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC=AC，DF⊂平面ABC， ∴DF⊥平面PAC. ∵PA⊂平面PAC， ∴DF⊥PA. 过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA. ∵DG，DF⊂平面ABC，且DG∩DF=D， ∴PA⊥平面ABC. 连接BE并延长交PC于点H. ∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE. 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴PC⊥AE. ∵AE∩BE=E，AE，BE⊂平面ABE， ∴PC⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB. 又PA⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC， ∴PA⊥AB. ∵PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC， ∴AB⊥平面PAC. 又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC， 即△ABC是直角三角形. 反思感悟　空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题. 跟踪训练3　如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边三角形ADB以AB为轴转动. (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长； (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论. 解　(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC=AB， DE⊂平面ADB， 所以DE⊥平面ABC， 又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.由已知可得DE=，EC=1. 在Rt△DEC中，CD==2. (2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当点D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以点C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当点D不在平面ABC内时， 由(1)知AB⊥DE. 又因为AC=BC，所以AB⊥CE. 又因为DE，CE⊂平面CDE，DE∩CE=E， 所以AB⊥平面CDE. 由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD. 1.知识清单： (1)垂直关系的相互转化. (2)平面与平面垂直的性质定理. (3)有关垂直的综合问题. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：由面面垂直找线面垂直时，未先找交线. 1.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　　) A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α 答案　B 解析　根据平面与平面垂直的性质定理判断，已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，应增加条件n⊥m，才能使n⊥β. 2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC，AD=CD，则BD与CC1(　　) A.平行 B.共面 C.垂直 D.位置关系不确定 答案　C 解析　根据题意画出图形，如图所示. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC，AD=CD， ∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥平面AA1C1C. 又CC1⊂平面AA1C1C， ∴BD⊥CC1. 3.(多选)以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，下列结论正确的是(　　) A.BD⊥AC B.△ABC是等边三角形 C.三棱锥D-ABC是正三棱锥 D.平面ADB⊥平面ABC 答案　ABC 解析　由题意知，AD⊥BD，AD⊥CD， 又平面ABD⊥平面ADC， 平面ABD∩平面ADC=AD，BD⊂平面ABD， 所以BD⊥平面ADC， 又因为AC⊂平面ADC，所以BD⊥AC，故A正确； 又因为CD⊂平面ADC，所以BD⊥CD， 设AB=AC=a， 因为AD为等腰直角三角形ABC斜边BC上的高， 所以AD=BD=CD=a， 又因为∠BDC=90°，所以BC==a， 所以AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，故BC正确； 取AB的中点E，连接CE，DE，如图， 则DE⊥AB，CE⊥AB，DE=AB=a， CE=a， 因为平面ABD∩平面ABC=AB，DE⊂平面ABD， CE⊂平面ABC，且DE⊥AB，CE⊥AB， 所以∠DEC是二面角C-AB-D的平面角， 由余弦定理得cos∠DEC===，所以二面角C-AB-D不为90°，即平面ADB与平面ABC不垂直，故D错误. 4.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC=90°，PA=1，AB=2，则PB=　　　　.  答案　 解析　∵平面PAC⊥平面ABC，PA⊂平面PAC， 平面PAC∩平面ABC=AC，∠PAC=90°， ∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB， ∴PB===. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　) A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直 答案　C 解析　当b=α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β. 2.设二面角α-l-β是直二面角，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b与直线l都不垂直，那么(　　) A.a与b可能垂直，但不可能平行 B.a与b可能垂直，也可能平行 C.a与b不可能垂直，但可能平行 D.a与b不可能垂直，也不可能平行 答案　C 解析　当a∥l，b∥l时，a∥b.若a⊥b，可在a上任取点A，过点A在α内作l的垂线c，如图，则c⊥β，所以c⊥b.因为a∩c=A，所以b⊥α，所以b⊥l，这与已知矛盾.所以a与b不可能垂直. 3.已知直线m，n，平面α，β，m⊂α，n⊂β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥n是α⊥β的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　依题意，由m⊥l，m⊥n，当n∥l时，不能证得m⊥β，从而不能证得α⊥β；当α⊥β，m⊥l时，由已知及面面垂直的性质知m⊥β，而n⊂β，因此m⊥n， 所以m⊥n是α⊥β的必要且不充分条件. 4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，AD=DB，则(　　) A.PD⊂平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 答案　B 解析　因为PA=PB，AD=DB，所以PD⊥AB. 又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊂平面PAB， 所以PD⊥平面ABC. 5.等边△ABC的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达点A'的位置.若平面A'DE⊥平面BCED，则线段A'B的长为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，易知△A'DE是边长为1的等边三角形，过A'作DE的垂线，垂足为H， 由平面A'DE⊥平面BCED，平面A'DE∩平面BCED=DE，A'H⊥DE， A'H⊂平面A'DE， 则A'H⊥平面BCED，且H为线段DE的中点，A'H=，连接BH，则A'H⊥BH，取BC的中点F，连接FH， 则FH⊥BC，且FH=， 所以BH==， 所以A'B==. 6.(多选)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是(　　) A.CD⊥平面ABD B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面ADC 答案　AD 解析　由已知得AB⊥AD，CD⊥BD， 又平面ABD⊥平面BDC， 平面ABD∩平面BDC=BD，CD⊂平面BDC， ∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB， 又CD∩AD=D，CD，AD⊂平面ADC， 故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ADC. 7.(5分)如图，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC=90°，PA=1，AB=2，则PB=　　　　　.  答案　 解析　因为∠PAC=90°， 所以PA⊥AC， 又侧面PAC⊥底面ABC，侧面PAC∩底面ABC=AC，PA⊂侧面PAC， 所以PA⊥底面ABC， 又AB⊂底面ABC，所以PA⊥AB， 所以PB===. 8.(5分)在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，且AB=AD，则AD与平面BCD所成的角是　　　　.  答案　45° 解析　如图，过点A作AO⊥BD于点O， ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角. ∵∠BAD=90°，AB=AD， ∴∠ADO=45°. ∴AD与平面BCD所成的角为45°. 9.(12分)如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证： (1)BG⊥平面PAD；(6分) (2)AD⊥PB.(6分) 证明　(1)∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°， ∴△ABD是正三角形， ∴BG⊥AD. 又平面PAD∩平面ABD=AD， 平面PAD⊥平面ABD，BG⊂平面ABD， ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD， 又△PAD为正三角形， ∴PG⊥AD，BG∩PG=G，BG，PG⊂平面PBG， ∴AD⊥平面PBG， 又PB⊂平面PBG， ∴AD⊥PB. 10.(12分)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC；(6分) (2)AD⊥AC.(6分) 证明　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 所以EF∥AB. 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD=BD， BC⊂平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB=B， AB，BC⊂平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 11.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则AB∶A'B'等于(　　) A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3 答案　A 解析　连接A'B，AB'(图略)， 由已知条件可知∠BAB'=， ∠ABA'=， 设AB=2a，则BB'=2asin =a， A'B=2acos =a， ∴在Rt△BB'A'中，得A'B'=a， ∴AB∶A'B'=2∶1. 12.已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且CD=2，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为(　　) A.1 B. C. D. 答案　C 解析　如图所示，取CD边的中点为M，连接PM，QM，PQ，P是CE的中点，则PM⊥CD， 又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，PM⊂平面CDEF， 故PM⊥平面ABCD，又QM⊂平面ABCD，故PM⊥QM， 在Rt△PMQ中，PM=ED=1，PQ==，要使PQ最小，则QM最小，因为当QM⊥BD时，QM最小，所以QM的最小值为BD=×2=，所以PQmin===. 13.(多选)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，CF=EF=2DF=2，AE=3，EB=4，将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A'D'位置，且平面A'D'FE⊥平面BCFE，连接A'B，D'C，如图2，则(　　) A.BE⊥A'D' B.平面A'EB∥平面D'FC C.多面体A'EBD'FC为三棱台 D.直线A'D'与平面BCFE所成的角为 答案　ABD 解析　因为平面A'D'FE⊥平面BCFE， 平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，BE⊥EF，BE⊂平面BCFE， 所以BE⊥平面A'D'FE， 所以BE⊥A'D'，故A正确； 因为A'E∥D'F，A'E⊄平面D'FC，D'F⊂平面D'FC， 则A'E∥平面D'FC， 又BE∥CF，BE⊄平面D'FC，CF⊂平面D'FC， 则BE∥平面D'FC， 又A'E∩BE=E，A'E，BE⊂平面A'EB， 所以平面A'EB∥平面D'FC，故B正确； 因为=，=，则≠， 所以多面体A'EBD'FC不是三棱台，故C错误； 延长A'D'，EF相交于点G， 因为平面A'D'FE⊥平面BCFE，平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，A'E⊂平面A'D'FE，A'E⊥EF， 所以A'E⊥平面BCFE，则∠A'GE为直线A'D'与平面BCFE所成的角. 因为A'E∥D'F， 所以=， 解得GF=1，GE=3，tan∠A'GE==1， 则∠A'GE=，故D正确. 14.(5分)如图，△ABC是正三角形，E，F分别为线段AB，AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCFE，设=λ，当AE⊥CF时，λ的值为　　　　　　.  答案　2或 解析　如图所示，过A作AH⊥EF于H， 由平面AEF⊥平面BCFE，平面AEF∩平面BCFE=EF，AH⊂平面AEF，可得AH⊥平面BCFE， 因为CF⊂平面BCFE， 所以AH⊥CF， 又AE⊥CF，AH∩AE=A，AH，AE⊂平面AEF， 故CF⊥平面AEF. 所以CF⊥EF， 由图可得，此时H必与F重合，则∠AFE是直角. 所以∠AEF=30°， 所以AE=2AF，故λ=2. 又当AE垂直于底面时显然满足题意， 此时有AF=2AE，故此情况下有λ=. 15.(14分)如图1，在矩形ABCD中，AD=1，AB=3，M为CD上一点，且CM=2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，E是线段AM的中点. (1)求证：平面BDE⊥平面ABCM；(6分) (2)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD？请说明理由.(8分) (1)证明　由已知DA=DM，E是AM的中点， ∴DE⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，DE⊂平面ADM， ∴DE⊥平面ABCM. ∵DE⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABCM. (2)解　过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由： 在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM=AM，l⊂平面ABCM， ∴l⊥平面ADM. ∵AD⊂平面ADM，∴l⊥AD. 故存在满足题意的直线l. 学科网（北京）股份有限公司 $$