第13章 13.2.3 第2课时 直线与平面垂直的判定定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

第13章 <<< 第2课时 直线与平面垂直的判定定理 1.了解空间中直线与平面的垂直关系. 2.归纳出直线与平面垂直的判定定理并会用定理判定线面垂直. 3.会求直线与平面所成的角. 学习目标 导 语 学校操场上的旗杆与地面是垂直的，将书打开直立在水平桌面上，书脊与桌面垂直，这些都给我们以直线与平面垂直的直观感受，那么直线与平面垂直是怎么定义的呢？怎样判断一条直线与一个平面是否垂直呢？这正是本节课要解决的问题. 内容索引 一、直线与平面垂直的定义 二、直线与平面垂直的判定定理 课时对点练 三、直线与平面所成的角 随堂演练 直线与平面垂直的定义 一 观察圆锥SO(如图)，可以直观地看出，轴SO垂直于圆锥的底面，那么，轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？ 问题1 提示　由于圆锥SO是由Rt△SOC绕直角边SO旋转一周形成的，因此SO与底面内的每一条半径都垂直，从而SO垂直于底面内的所有直线. 定义 如果直线a与平面α内的　　　　　　直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直 记法 ________ 有关概念 直线a叫作平面α的 　　，平面α叫作直线a的　　　，垂线和平面的交点称为_____ 图示   画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 任意一条 a⊥α 垂线 垂面 垂足 知识梳理 (1)“任意一条直线”与“所有直线”是同一意思.但不可说成“无数条”. (2)由定义可知，若直线与平面垂直，则直线和平面内的任意一条直线都垂直. 注 意 点 <<< 8 　 (多选)下列命题中，不正确的是 A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 例 1 √ √ √ 9 当直线l与平面α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，故A不正确； 当直线l与平面α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，故B不正确，C正确； 若直线l在平面α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D不正确. 10 反 思 感 悟 对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”的说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α C.若l⊥m，且m∥α，则l⊥α D.若l∥α，m∥α，则l∥m 跟踪训练 1 √ 12 对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直； 对于B，因为l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确； 对于C，l⊂α或l∥α或l与α相交； 对于D，l，m还可能相交或异面. 13 二 直线与平面垂直的判定定理 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折 痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 (BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕 AD与桌面垂直吗？为什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 问题2 提示　折痕AD与桌面不垂直，因为AD与BD，CD都不垂直.当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的 　　　　　垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 若a⊥m， 　　，　　　　　，m⊂α，n⊂α，则a⊥α 图形语言   两条相交直线 a⊥n m∩n=A 知识梳理 (1)定理中有五个条件，应用时缺一不可. (2)该定理实现了“线面垂直”问题向“线线垂直”问题的转化. 注 意 点 <<< 17 　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 例 2 18 ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， 又AA1⊥平面ABCD， ∴AA1⊥BD且AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面AA1O， ∴BD⊥平面AA1O， ∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)， 则A1O=，OM=，A1M=3， 19 ∴A1O2+OM2=A1M2，∴A1O⊥OM， 又OM∩BD=O，BD，OM⊂平面MBD， ∴A1O⊥平面MBD. 20 反 思 感 悟 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法： a∥b，a⊥α⇒b⊥α. 证明线面垂直的方法 　如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，N为垂足. 跟踪训练 2 (1)求证：AN⊥平面PBM； 22 ∵AB为☉O的直径， ∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM=A，PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM=M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. 23 (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 24 由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ=A， AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ. 25 直线与平面所成的角 三 在图中所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B，A1C，A1D相对于平面ABCD的倾斜程度相同吗？ 问题3 提示　不相同，倾斜程度与线段A1B，A1C，A1D与平面ABCD所成的角有关. 当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察并思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？ 问题4 提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角. 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面　　　，但不和这个平面　　　，这条直线叫作这个平面的斜线，如图中________   斜足 斜线与平面的 　　，如图中_____ 斜线段 斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段，如图中_________ 相交 垂直 直线PQ 交点 点Q 线段PQ 知识梳理 有关概念 对应图形 射影 如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，　　　　　　就是斜线段PQ在平面α内的射影   线段P1Q 知识梳理 有关概念 对应图形 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，如图中__________ 规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是_______；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是________ 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则_____________ ∠PQP1 直角 0°角 0°≤θ≤90° 知识梳理 　 　　在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； 例 3 ∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角. 在Rt△A1AB中，∠BAA1=90°，AB=AA1， ∴∠AA1B=45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. 32 (2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小. 33 如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO， ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，B1D1∩BB1=B1，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角， 设正方体的棱长为1， 则A1B=，A1O=， 又∵∠A1OB=90°， ∴sin∠A1BO==， 34 又∵∠A1BO为锐角， ∴∠A1BO=30°. ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 35 反 思 感 悟 (1)求直线和平面所成的角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. (2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口. 　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则 AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为　　　.  跟踪训练 3 37 连接A1C1(图略)， 则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角. 因为AB=BC=2， 所以A1C1=AC=2， 又AA1=1， 所以AC1=3， 所以sin∠AC1A1==. 38 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的定义. (2)直线与平面垂直的判定定理. (3)直线与平面所成的角. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：忽略判定定理中，平面内找两条直线必须是相交直线. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若l⊥AB，l⊥BC，则 A.l∥AC B.l⊥AC C.l与AC相交 D.l与AC异面 √ ∵l⊥AB，l⊥BC，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC， ∴l⊥平面ABC. 又AC⊂平面ABC， ∴l⊥AC. 2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能 A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 √ 1 2 3 4 若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾. ∴直线l与m不可能平行. 1 2 3 4 3.如图所示，若斜线段AB是它在平面α内的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是 A.60° B.45° C.30° D.120° √ ∠ABO即斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB=2BO， 所以cos∠ABO=，即∠ABO=60°. 1 2 3 4 4. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角的大小为　　　　.  45° 1 2 3 4 因为PA⊥平面ABC， 所以斜线PB在平面ABC内的射影为AB， 所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角. 在△PAB中，∠BAP=90°，PA=AB， 所以∠PBA=45°， 即直线PB与平面ABC所成的角为45°. 课时对点练 五 46 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B A C B 30° 60° 题号 11 12 13 14 　15 答案 BD A A A1C1⊥B1C1(或∠A1C1B1=90°，答案不唯一) ABC 9. 取CD的中点G，连接EG，FG，如图所示. ∵E，F分别为AD，BC的中点，∴EG　 BD. 又∵AC=BD， ∴FG=EG=AC. 在△EFG中，∵EG2+FG2=AC2=EF2， ∴EG⊥FG，∴BD⊥AC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. ∵∠BDC=90°，∴BD⊥CD. 又∵AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD， ∴BD⊥平面ACD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE， ∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE=D， ∴AC⊥平面BDE. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)设AC∩BD=O，连接EO，如图所示. ∵AC⊥平面BDE， ∴EO是直线AE在平面BDE内的射影， ∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角. 在Rt△EAD中，EA=， ∴在Rt△EOA中，sin∠AEO=， ∴∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成的角为30°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图. ∵N是PC的中点， ∴NE∥DC，且NE=DC， 又∵DC∥AB，且DC=AB，AM=AB， ∴AM∥CD，且AM=CD， ∴NE∥AM，且NE=AM， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∴四边形AMNE是平行四边形， ∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)当α=45°时，MN⊥平面PCD，证明如下： ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA=45°， ∴AP=AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 又∵CD⊥AD，PA∩AD=A， PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN. 又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.已知m，n是异面直线，m⊂α，n∥α，直线l⊥m，l⊥n，则 A.l⊥α B.l∥α C.l与α斜交 D.l⊂α √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示，在直线m上取一点A，过直线n和直线外的一点A确定一个平面β， 设α∩β=a，因为n∥α，且n⊂β，可得n∥a， 因为l⊥n，所以l⊥a， 又因为l⊥m，且a∩m=A，a，m⊂平面α，所以l⊥α. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 A.平面DD1C1C B.平面A1DB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1=A1， A1D，A1B1⊂平面A1DB1， ∴AD1⊥平面A1DB1. 3.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 取BC的中点E，连接DE，AE(图略)，则DE⊥平面ABC，故DE⊥AE，∠DAE即为AD与平面ABC所成的角，设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为1，则DE=，AE=，所以tan ∠DAE=，所以∠DAE=30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知空间四边形ABCD的四条边相等，则它的两对角线AC，BD的位置关系是 A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，取BD的中点O， 连接AO，CO， 则BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩OC=O， AO，OC⊂平面AOC， ∴BD⊥平面AOC， ∴BD⊥AC， 又BD与AC异面，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA=θ1，∠PBC=θ2，∠ABC=θ3.则下列关系一定成立的是 A.cos θ1cos θ2=cos θ3 B.cos θ1cos θ3=cos θ2 C.sin θ1sin θ2=sin θ3 D.sin θ1sin θ3=sin θ2 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC， 又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC， 又PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC， 所以cos θ1=，cos θ2=，cos θ3=. 则有cos θ1cos θ3=cos θ2. 7.在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥平面ABCD，PA=1，则PC与平面ABCD所成角的大小是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 30° 连接AC(图略)，由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角. 在Rt△ABC中， ∵AB=1，BC=， ∴AC===. 在Rt△PAC中， ∵tan∠PCA===， ∴∠PCA=30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.如图，在四面体SABC中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBC=60°，则BC与平面SAB所成的角为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意知SC⊥SA，SC⊥SB， 又∵SA∩SB=S，SA，SB⊂平面SAB， ∴SC⊥平面SAB. ∴∠SBC是BC与平面SAB所成的角. ∵∠SBC=60°， ∴BC与平面SAB所成的角为60°. 11 12 13 14 15 16 答案 9.如图，在四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=AC，∠BDC=90°，求证：BD⊥平面ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 取CD的中点G，连接EG，FG，如图所示. ∵E，F分别为AD，BC的中点， ∴EG　 AC，FG　 BD. 又∵AC=BD， ∴FG=EG=AC. 在△EFG中，∵EG2+FG2=AC2=EF2， ∴EG⊥FG，∴BD⊥AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵∠BDC=90°，∴BD⊥CD. 又∵AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD， ∴BD⊥平面ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE=DA=2. (1)求证：AC⊥平面BDE； 11 12 13 14 15 16 答案 ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE， ∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE=D， ∴AC⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)求AE与平面BDE所成角的大小. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设AC∩BD=O，连接EO，如图所示. ∵AC⊥平面BDE， ∴EO是直线AE在平面BDE内的射影， ∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角. 在Rt△EAD中，EA==2， 又AO=， ∴在Rt△EOA中，sin∠AEO==， ∴∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成的角为30°. 11.(多选)给出下列条件(l为直线，α为平面)，其中能够推出l⊥α的有 A.l垂直于α内一五边形的两条边 B.l垂直于α内三条不都平行的直线 C.l垂直于α内无数条直线 D.l垂直于α内正六边形的三条边 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直，A，C都有可能垂直的是平行直线，不能推出l⊥α； 显然B，D能够推出l⊥α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.在四面体P-ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的 A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP， 则PO⊥平面ABC， 连接OA，OB，OC， ∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC， 又PA=PB=PC， ∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC， 则OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心. 13.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AC，若AB∶BB1= ∶1，则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为 A.45° B.60° C.30° D.75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 取BC的中点D，连接AD，B1D， ∵AD⊥BC，且AD⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BB1C1C， ∴AD⊥平面BB1C1C， ∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角. 设AB=，则AA1=1，AD=，AB1=， ∴sin∠AB1D==，∴∠AB1D=45°. 即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件 　 　 　　时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 A1C1⊥B1C1(或∠A1C1B1=90°，答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示，连接B1C， 由BC=CC1，可得BC1⊥B1C， 因此，要证AB1⊥BC1， 则只要证明BC1⊥平面AB1C， 即只要证明AC⊥BC1即可， 由直三棱柱可知，只要证明AC⊥BC即可. 因为A1C1∥AC，B1C1∥BC， 故只要证明A1C1⊥B1C1即可. (或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1=90°等) 15.(多选)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是 A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD， SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD， ∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确； 对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD， ∴AB∥平面SCD，故B正确； 对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确. 16.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)求证：MN∥平面PAD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 取PD的中点E，连接NE，AE，如图. ∵N是PC的中点， ∴NE∥DC，且NE=DC， 又∵DC∥AB，且DC=AB，AM=AB， ∴AM∥CD，且AM=CD， ∴NE∥AM，且NE=AM， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∴四边形AMNE是平行四边形， ∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当α=45°时，MN⊥平面PCD，证明如下： ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA=45°，∴AP=AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 又∵CD⊥AD，PA∩AD=A， PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN. 又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 第一章 <<< $$ 第2课时　直线与平面垂直的判定定理 [学习目标]　1.了解空间中直线与平面的垂直关系.2.归纳出直线与平面垂直的判定定理并会用定理判定线面垂直.3.会求直线与平面所成的角. 导语 学校操场上的旗杆与地面是垂直的，将书打开直立在水平桌面上，书脊与桌面垂直，这些都给我们以直线与平面垂直的直观感受，那么直线与平面垂直是怎么定义的呢？怎样判断一条直线与一个平面是否垂直呢？这正是本节课要解决的问题. 一、直线与平面垂直的定义 问题1　观察圆锥SO(如图)，可以直观地看出，轴SO垂直于圆锥的底面，那么，轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？ 提示　由于圆锥SO是由Rt△SOC绕直角边SO旋转一周形成的，因此SO与底面内的每一条半径都垂直，从而SO垂直于底面内的所有直线. 知识梳理 定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直 记法 a⊥α 有关概念 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 注意点： (1)“任意一条直线”与“所有直线”是同一意思.但不可说成“无数条”. (2)由定义可知，若直线与平面垂直，则直线和平面内的任意一条直线都垂直. 例1　(多选)下列命题中，不正确的是(　　) A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 答案　ABD 解析　当直线l与平面α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，故A不正确；当直线l与平面α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，故B不正确，C正确；若直线l在平面α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D不正确. 反思感悟　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”的说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事. 跟踪训练1　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α C.若l⊥m，且m∥α，则l⊥α D.若l∥α，m∥α，则l∥m 答案　B 解析　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，l⊂α或l∥α或l与α相交；对于D，l，m还可能相交或异面. 二、直线与平面垂直的判定定理 问题2　如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？为什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 提示　折痕AD与桌面不垂直，因为AD与BD，CD都不垂直.当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直. 知识梳理 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 若a⊥m，a⊥n，m∩n=A，m⊂α，n⊂α，则a⊥α 图形语言 注意点： (1)定理中有五个条件，应用时缺一不可. (2)该定理实现了“线面垂直”问题向“线线垂直”问题的转化. 例2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 证明　∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， 又AA1⊥平面ABCD， ∴AA1⊥BD且AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面AA1O， ∴BD⊥平面AA1O， ∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)， 则A1O=，OM=，A1M=3， ∴A1O2+OM2=A1M2，∴A1O⊥OM， 又OM∩BD=O，BD，OM⊂平面MBD， ∴A1O⊥平面MBD. 反思感悟　证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法： a∥b，a⊥α⇒b⊥α. 跟踪训练2　如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明　(1)∵AB为☉O的直径， ∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM=A，PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM=M， BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ=A， AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ. 三、直线与平面所成的角 问题3　在图中所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B，A1C，A1D相对于平面ABCD的倾斜程度相同吗？ 提示　不相同，倾斜程度与线段A1B，A1C，A1D与平面ABCD所成的角有关. 问题4　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察并思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？ 提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角. 知识梳理 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，如图中直线PQ 斜足 斜线与平面的交点，如图中点Q 斜线段 斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段，如图中线段PQ 射影 如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，如图中∠PQP1 规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 例3　在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； (2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小. 解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角. 在Rt△A1AB中，∠BAA1=90°，AB=AA1， ∴∠AA1B=45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO， ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，B1D1∩BB1=B1，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角， 设正方体的棱长为1， 则A1B=，A1O=， 又∵∠A1OB=90°， ∴sin∠A1BO==， 又∵∠A1BO为锐角， ∴∠A1BO=30°. ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 反思感悟　(1)求直线和平面所成的角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. (2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口. 跟踪训练3　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为　　　　.  答案　 解析　连接A1C1(图略)， 则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角. 因为AB=BC=2， 所以A1C1=AC=2， 又AA1=1， 所以AC1=3， 所以sin∠AC1A1==. 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的定义. (2)直线与平面垂直的判定定理. (3)直线与平面所成的角. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：忽略判定定理中，平面内找两条直线必须是相交直线. 1.若l⊥AB，l⊥BC，则(　　) A.l∥AC B.l⊥AC C.l与AC相交 D.l与AC异面 答案　B 解析　∵l⊥AB，l⊥BC，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC， ∴l⊥平面ABC. 又AC⊂平面ABC， ∴l⊥AC. 2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 答案　A 解析　若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾. ∴直线l与m不可能平行. 3. 如图所示，若斜线段AB是它在平面α内的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　) A.60° B.45° C.30° D.120° 答案　A 解析　∠ABO即斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB=2BO， 所以cos∠ABO=，即∠ABO=60°. 4. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角的大小为　　　　.  答案　45° 解析　因为PA⊥平面ABC， 所以斜线PB在平面ABC内的射影为AB， 所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角. 在△PAB中，∠BAP=90°，PA=AB， 所以∠PBA=45°， 即直线PB与平面ABC所成的角为45°. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知m，n是异面直线，m⊂α，n∥α，直线l⊥m，l⊥n，则(　　) A.l⊥α B.l∥α C.l与α斜交 D.l⊂α 答案　A 解析　如图所示，在直线m上取一点A，过直线n和直线外的一点A确定一个平面β， 设α∩β=a，因为n∥α，且n⊂β，可得n∥a， 因为l⊥n，所以l⊥a， 又因为l⊥m，且a∩m=A，a，m⊂平面α，所以l⊥α. 2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　) A.平面DD1C1C B.平面A1DB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB 答案　B 解析　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1=A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1， ∴AD1⊥平面A1DB1. 3. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 答案　B 解析　易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形. 4. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　A 解析　取BC的中点E，连接DE，AE(图略)，则DE⊥平面ABC，故DE⊥AE，∠DAE即为AD与平面ABC所成的角，设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为1，则DE=，AE=，所以tan ∠DAE=，所以∠DAE=30°. 5.已知空间四边形ABCD的四条边相等，则它的两对角线AC，BD的位置关系是(　　) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 答案　C 解析　如图，取BD的中点O， 连接AO，CO， 则BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩OC=O，AO，OC⊂平面AOC， ∴BD⊥平面AOC， ∴BD⊥AC， 又BD与AC异面，故选C. 6. 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA=θ1，∠PBC=θ2，∠ABC=θ3.则下列关系一定成立的是(　　) A.cos θ1cos θ2=cos θ3 B.cos θ1cos θ3=cos θ2 C.sin θ1sin θ2=sin θ3 D.sin θ1sin θ3=sin θ2 答案　B 解析　因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC， 又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC， 又PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC， 所以cos θ1=，cos θ2=，cos θ3=. 则有cos θ1cos θ3=cos θ2. 7.(5分)在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥平面ABCD，PA=1，则PC与平面ABCD所成角的大小是　　　　.  答案　30° 解析　连接AC(图略)，由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角. 在Rt△ABC中， ∵AB=1，BC=， ∴AC===. 在Rt△PAC中， ∵tan∠PCA===， ∴∠PCA=30°. 8.(5分)如图，在四面体SABC中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBC=60°，则BC与平面SAB所成的角为　　　　.  答案　60° 解析　由题意知SC⊥SA，SC⊥SB， 又∵SA∩SB=S，SA，SB⊂平面SAB， ∴SC⊥平面SAB. ∴∠SBC是BC与平面SAB所成的角. ∵∠SBC=60°， ∴BC与平面SAB所成的角为60°. 9.(10分)如图，在四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=AC，∠BDC=90°，求证：BD⊥平面ACD. 证明　取CD的中点G，连接EG，FG，如图所示. ∵E，F分别为AD，BC的中点， ∴EGAC，FGBD. 又∵AC=BD， ∴FG=EG=AC. 在△EFG中，∵EG2+FG2=AC2=EF2， ∴EG⊥FG，∴BD⊥AC. ∵∠BDC=90°，∴BD⊥CD. 又∵AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD， ∴BD⊥平面ACD. 10.(11分)如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE=DA=2. (1)求证：AC⊥平面BDE；(4分) (2)求AE与平面BDE所成角的大小.(7分) (1)证明　∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE， ∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE=D， ∴AC⊥平面BDE. (2)解　设AC∩BD=O，连接EO，如图所示. ∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE内的射影， ∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角. 在Rt△EAD中，EA==2， 又AO=， ∴在Rt△EOA中，sin∠AEO==， ∴∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成的角为30°. 11.(多选)给出下列条件(l为直线，α为平面)，其中能够推出l⊥α的有(　　) A.l垂直于α内一五边形的两条边 B.l垂直于α内三条不都平行的直线 C.l垂直于α内无数条直线 D.l垂直于α内正六边形的三条边 答案　BD 解析　如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直，A，C都有可能垂直的是平行直线，不能推出l⊥α；显然B，D能够推出l⊥α. 12.在四面体P-ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 答案　A 解析　如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC， 连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC， 又PA=PB=PC， ∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC， 则OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心. 13. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AC，若AB∶BB1=∶1，则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为(　　) A.45° B.60° C.30° D.75° 答案　A 解析　取BC的中点D，连接AD，B1D， ∵AD⊥BC，且AD⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BB1C1C， ∴AD⊥平面BB1C1C， ∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角. 设AB=，则AA1=1，AD=，AB1=， ∴sin∠AB1D==，∴∠AB1D=45°. 即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°. 14.(5分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件　　　　时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)  答案　A1C1⊥B1C1(或∠A1C1B1=90°，答案不唯一) 解析　如图所示，连接B1C， 由BC=CC1，可得BC1⊥B1C， 因此，要证AB1⊥BC1， 则只要证明BC1⊥平面AB1C， 即只要证明AC⊥BC1即可， 由直三棱柱可知，只要证明AC⊥BC即可. 因为A1C1∥AC，B1C1∥BC， 故只要证明A1C1⊥B1C1即可. (或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1=90°等) 15.(多选)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 答案　ABC 解析　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD， ∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确； 对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD， ∴AB∥平面SCD，故B正确； 对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确. 16.(12分)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD；(6分) (2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD？(6分) (1)证明　取PD的中点E，连接NE，AE，如图. ∵N是PC的中点， ∴NE∥DC，且NE=DC， 又∵DC∥AB，且DC=AB，AM=AB， ∴AM∥CD，且AM=CD， ∴NE∥AM，且NE=AM， ∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)解　当α=45°时，MN⊥平面PCD，证明如下： ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA=45°，∴AP=AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD，PA∩AD=A， PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN. 又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$