第13章 13.2.3 第1课时 直线与平面平行-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

第13章 <<< 第1课时 直线与平面平行 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题. 2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行. 学习目标 导 语 为了美化城市，许多城市实施“景观工程”，对现有平顶房进行“平改坡”，将平顶改成尖顶，并铺上彩色瓦片. 如图，工人们在施工时，是如何确保尖顶屋脊EF与平顶ABCD平行的呢？ 内容索引 一、空间中直线与平面的位置关系 二、直线与平面平行的判定定理 课时对点练 三、直线与平面平行的性质定理 随堂演练 空间中直线与平面的位置关系 一 观察你手中的笔与作业本所在平面，它们可能有多少个公共点？ 问题1 提示　无数个，一个或没有公共点. 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有　　　个公共点 有且只有　　 公共点 公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示       无数 一个 没有 知识梳理 利用公共点的个数可以判断直线与平面的位置关系. 注 意 点 <<< 8 　下列说法中，正确的有 ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例 1 √ 9 ①正确； 如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确； 对于③显然有无数条，所以③错误； 而④，也有可能相交或这条直线在平面内，所以④错误. 10 反 思 感 悟 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决. 另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法. (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 直线与平面位置关系的判断 　已知直线a，b和平面α，下列命题中正确的是 A.若a∥α，b∥α，则a∥b B.若a∥α，b⊂α，则a∥b C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点 D.若a⊄α，则a与α没有公共点 跟踪训练 1 √ 对于A，a与b平行、相交或异面，所以A错误； 对于B，直线a与b可能平行，也可能异面，所以B错误； 对于D，直线a与平面α可能相交，此时只有一个公共点，所以D错误. 12 二 直线与平面平行的判定定理 如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？ 问题2 提示　AB平行于桌面所在平面，在翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内. 若一条直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？ 问题3 提示　不一定，也有可能直线在平面内. 如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？ 问题4 提示　平行或直线在平面内. 文字语言 如果平面外一条直线与　　　　　　　　　　　　，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言   直线与平面平行的判定定理 此平面内的一条直线平行 知识梳理 (1)该定理是证明直线与平面平行的重要依据. (2)定理将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题，应用定理时必须同时具备三个条件：a⊄α，b⊂α，a∥b. 注 意 点 <<< 17 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 例 2 18 连接BC1(图略)， 19 反 思 感 悟 利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等. 　如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且=.求证：MN∥平面SBC. 跟踪训练 2 21 如图，连接AN并延长交BC于点P，连接SP. ⇒= ⇒MN∥平面SBC. 22 直线与平面平行的性质定理 三 如图，将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在直线与桌面平行，观察过书脊的每页纸和桌面的交线与书脊所在直线有何位置关系？ 问题5 提示　平行. 书脊所在直线与桌面上任何直线都平行吗？ 问题6 提示　不一定，平行或异面. 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面 　　，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与__________ 符号语言 l∥α， 　　　　　　　⇒l∥m 图形语言   平行 交线平行 l⊂β，α∩β=m 知识梳理 (1)直线与平面平行的性质定理实现了“线面平行”到“线线平行”的转化. (2)应用定理必须同时具备三个条件，缺一不可. 注 意 点 <<< 26 　 　　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH， 例 3 求证：AP∥GH. 27 如图，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点. 又∵M是PC的中点，∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM. 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM=GH， ∴AP∥GH. 28 反 思 感 悟 线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行. 　如图所示，在空间四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 跟踪训练 3 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ=MN，且AB⊂平面ABC， 所以AB∥MN. 同理AB∥PQ，所以MN∥PQ. 同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. 30 1.知识清单： (1)空间中直线与平面的位置关系. (2)直线与平面平行的判定定理. (3)直线与平面平行的性质定理. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：证明线面平行时，漏写线在面外(内). 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)两条直线a，b满足a∥b，b⊂平面α，则直线a与平面α的位置关系可以是 A.a∥α B.a与α相交 C.a与α不相交 D.a⊂α √ √ √ 1 2 3 4 2.下列命题正确的是 A.如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 B.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 C.如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 √ 1 2 3 4 对于A，不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误； 对于C，一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误； 对于D，直线也可能在平面内，故D错误. 1 2 3 4 3.如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行. 1 2 3 4 4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 √ 1 2 3 4 ∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC， ∴EH∥平面BDC， 又EH⊂平面ABD，且平面ABD∩平面BDC=BD， ∴EH∥BD. 课时对点练 五 39 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C A D B AB 平行　45° 题号 8 11 12 13 14 15 答案 5 A C AD 4 平行四边形 9. 取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略). ∵F为C1D1的中点， ∴OF∥B1C1且OF=B1C1， 又BE∥B1C1，BE=B1C1， ∴OF∥BE且OF=BE， ∴四边形OFEB是平行四边形， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. ∴EF∥BO. ∵EF⊄平面BDD1B1， BO⊂平面BDD1B1， ∴EF∥平面BDD1B1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 直线l∥平面PAC.证明如下： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 若MB∥平面AEF，过点F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF. 因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN， 平面FBMN∩平面AA1C1C=MN， 所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN， 平面FBMN∩平面AEF=FN，所以MB∥FN， 所以四边形BFNM是平行四边形， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 所以MN∥BF，MN=BF. 而EC∥FB，EC=2FB， 所以MN∥EC，MN=EC， 故MN是△ACE的中位线. 所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.如果两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是 A.相交 B.b∥α C.b⊂α D.b∥α或b⊂α √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α. 2.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是 A.直线m与平面α内所有直线平行 B.直线m与平面α内无数条直线平行 C.直线m与平面α没有公共点 D.直线m与平面α内的一条直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于A，本身说法错误； 对于B，当直线m在平面α内时，m与α不平行，但直线m与平面α内无数条直线平行；对于C，能推出m与α平行； 对于D，当直线m在平面α内时，m与α不平行. 3.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面 A.有且只有一个 B.有无数多个 C.有且只有一个或不存在 D.不存在 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 在a上任取一点A， 则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b'， 又∵a∩b'=A，∴a与b'确定一个平面α， 即为过直线a与直线b平行的平面，可知它是唯一的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线中与平面AB1C平行的是 A.DD1 B.A1D1 C.C1D1 D.A1D √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵A1B1　 AB 　CD，∴A1B1　 CD， ∴四边形A1B1CD为平行四边形， ∴A1D∥B1C， 又B1C⊂平面AB1C，A1D⊄平面AB1C， ∴A1D∥平面AB1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.如图所示，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则 A.GH∥SA B.GH∥SD C.GH∥SC D.以上均有可能 √ 11 12 13 14 15 16 答案 ∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD， 平面SBD∩平面SCD=SD，∴GH∥SD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点.则下列结论成立的是 A.OM∥平面PCD B.OM∥平面PDA C.OM∥平面PBA D.OM∥平面PBC √ 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O， 所以O为BD的中点， 在△PBD中，因为M是PB的中点， 所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD， 又PD⊂平面PDA且PD⊂平面PCD，OM⊄平面PDA且OM⊄平面PCD， 所以OM∥平面PDA，且OM∥平面PCD. 因为M∈PB， 所以OM与平面PBA，平面PBC相交. 7.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，M，N分别是线段PA，PC的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 则直线MN与平面ABCD的关系为　　　(填相交、平行或MN⊂平面ABCD)，MN与BC所成角的大小为　　　.  平行 45° 连接AC，如图. 在△PAC中，M，N分别是PA，PC的中点， 所以MN是△PAC的中位线， 所以MN∥AC. 由于MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD. 由于MN∥AC，AC与BC相交，所以MN与BC为异面直线，且∠ACB(或其补角)是异面直线MN与BC所成的角. 由于四边形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，即MN与BC所成角的大小为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且M是AD的中点，AB=4，CD=6，则MN=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5 因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面α=MN，所以AB∥MN， 又点M是AD的中点，AB∥CD， 所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN=5. 9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略). ∵F为C1D1的中点， ∴OF∥B1C1且OF=B1C1， 又BE∥B1C1，BE=B1C1， ∴OF∥BE且OF=BE， ∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO. ∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1， ∴EF∥平面BDD1B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 直线l∥平面PAC.证明如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是 A.平行或重合 B.相交 C.异面 D.平行或异面 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由长方体的性质知，EF∥平面ABCD， ∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD=GH，∴EF∥GH. 又EF∥AB，∴GH∥AB或GH与AB重合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若==，则与平面EFGH平行的直线有 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵=，∴EF∥AB. 又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 同理，由=，可得CD∥平面EFGH. ∴与平面EFGH平行的直线有2条. 13.(多选)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 对于A，如图，连接BC交PN于点D，连接DM，则MD∥AB， 又AB⊄平面MNP，MD⊂平面MNP，得AB∥平面MNP； 对于D，易得AB∥NP， 又AB⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，可得AB∥平面MNP； B，C中得不到AB∥平面MNP. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4+6 由EF∥平面BCC1B1可知，平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1， 平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF+FB+BC1+ C1E=4+6. 15.如图，已知α是一个平面，A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥ α，AC∩α=E，AD∩α=F，BD∩α=H，BC∩α=G，则四边形EFHG的形状是　　　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵AB∥α，平面ABC∩α=EG，AB⊂平面ABC，∴EG∥AB. 同理FH∥AB，∴EG∥FH. 又CD∥α，平面BCD∩α=GH，CD⊂平面BCD， ∴GH∥CD.同理EF∥CD， ∴GH∥EF， ∴四边形EFHG是平行四边形. 16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，M是线段AC上的动点，EC=2FB，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 若MB∥平面AEF，过点F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF. 因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN， 平面FBMN∩平面AA1C1C=MN， 所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN， 平面FBMN∩平面AEF=FN，所以MB∥FN， 所以四边形BFNM是平行四边形， 所以MN∥BF，MN=BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 而EC∥FB，EC=2FB，所以MN∥EC，MN=EC， 故MN是△ACE的中位线. 所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF. 第一章 <<< $$ 13.2.3　直线与平面的位置关系 第1课时　直线与平面平行 [学习目标]　1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行. 导语 为了美化城市，许多城市实施“景观工程”，对现有平顶房进行“平改坡”，将平顶改成尖顶，并铺上彩色瓦片. 如图，工人们在施工时，是如何确保尖顶屋脊EF与平顶ABCD平行的呢？ 一、空间中直线与平面的位置关系 问题1　观察你手中的笔与作业本所在平面，它们可能有多少个公共点？ 提示　无数个，一个或没有公共点. 知识梳理 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示 注意点： 利用公共点的个数可以判断直线与平面的位置关系. 例1　下列说法中，正确的有(　　) ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案　C 解析　①正确；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条，所以③错误；而④，也有可能相交或这条直线在平面内，所以④错误. 反思感悟　直线与平面位置关系的判断 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决. 另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法. (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 跟踪训练1　已知直线a，b和平面α，下列命题中正确的是(　　) A.若a∥α，b∥α，则a∥b B.若a∥α，b⊂α，则a∥b C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点 D.若a⊄α，则a与α没有公共点 答案　C 解析　对于A，a与b平行、相交或异面，所以A错误；对于B，直线a与b可能平行，也可能异面，所以B错误；对于D，直线a与平面α可能相交，此时只有一个公共点，所以D错误. 二、直线与平面平行的判定定理 问题2　如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？ 提示　AB平行于桌面所在平面，在翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内. 问题3　若一条直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？ 提示　不一定，也有可能直线在平面内. 问题4　如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？ 提示　平行或直线在平面内. 知识梳理 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言 注意点： (1)该定理是证明直线与平面平行的重要依据. (2)定理将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题，应用定理时必须同时具备三个条件：a⊄α，b⊂α，a∥b. 例2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 证明　连接BC1(图略)， ⇒EF∥平面AD1G. 反思感悟　利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等. 跟踪训练2　如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且=.求证：MN∥平面SBC. 证明　如图，连接AN并延长交BC于点P，连接SP. ⇒= ⇒MN∥平面SBC. 三、直线与平面平行的性质定理 问题5　如图，将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在直线与桌面平行，观察过书脊的每页纸和桌面的交线与书脊所在直线有何位置关系？ 提示　平行. 问题6　书脊所在直线与桌面上任何直线都平行吗？ 提示　不一定，平行或异面. 知识梳理 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 l∥α，l⊂β，α∩β=m⇒l∥m 图形语言 注意点： (1)直线与平面平行的性质定理实现了“线面平行”到“线线平行”的转化. (2)应用定理必须同时具备三个条件，缺一不可. 例3　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH， 求证：AP∥GH. 证明　如图，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点. 又∵M是PC的中点，∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM. 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM=GH，∴AP∥GH. 反思感悟　线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行. 跟踪训练3　如图所示，在空间四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ=MN，且AB⊂平面ABC， 所以AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ. 同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. 1.知识清单： (1)空间中直线与平面的位置关系. (2)直线与平面平行的判定定理. (3)直线与平面平行的性质定理. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：证明线面平行时，漏写线在面外(内). 1.(多选)两条直线a，b满足a∥b，b⊂平面α，则直线a与平面α的位置关系可以是(　　) A.a∥α B.a与α相交 C.a与α不相交 D.a⊂α 答案　ACD 2.下列命题正确的是(　　) A.如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 B.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 C.如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 答案　B 解析　对于A，不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；对于C，一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误；对于D，直线也可能在平面内，故D错误. 3. 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　D 解析　由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行. 4. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 答案　A 解析　∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC， ∴EH∥平面BDC， 又EH⊂平面ABD，且平面ABD∩平面BDC=BD， ∴EH∥BD. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.如果两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是(　　) A.相交 B.b∥α C.b⊂α D.b∥α或b⊂α 答案　D 解析　由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α. 2.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是(　　) A.直线m与平面α内所有直线平行 B.直线m与平面α内无数条直线平行 C.直线m与平面α没有公共点 D.直线m与平面α内的一条直线平行 答案　C 解析　对于A，本身说法错误；对于B，当直线m在平面α内时，m与α不平行，但直线m与平面α内无数条直线平行；对于C，能推出m与α平行；对于D，当直线m在平面α内时，m与α不平行. 3.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(　　) A.有且只有一个 B.有无数多个 C.有且只有一个或不存在 D.不存在 答案　A 解析　在a上任取一点A， 则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b'， 又∵a∩b'=A，∴a与b'确定一个平面α， 即为过直线a与直线b平行的平面，可知它是唯一的. 4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线中与平面AB1C平行的是(　　) A.DD1 B.A1D1 C.C1D1 D.A1D 答案　D 解析　∵A1B1ABCD，∴A1B1CD， ∴四边形A1B1CD为平行四边形， ∴A1D∥B1C， 又B1C⊂平面AB1C，A1D⊄平面AB1C， ∴A1D∥平面AB1C. 5. 如图所示，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　) A.GH∥SA B.GH∥SD C.GH∥SC D.以上均有可能 答案　B 解析　∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD， 平面SBD∩平面SCD=SD，∴GH∥SD. 6.(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点.则下列结论成立的是(　　) A.OM∥平面PCD B.OM∥平面PDA C.OM∥平面PBA D.OM∥平面PBC 答案　AB 解析　因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O， 所以O为BD的中点， 在△PBD中，因为M是PB的中点， 所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD， 又PD⊂平面PDA且PD⊂平面PCD，OM⊄平面PDA且OM⊄平面PCD， 所以OM∥平面PDA，且OM∥平面PCD. 因为M∈PB， 所以OM与平面PBA，平面PBC相交. 7.(5分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，M，N分别是线段PA，PC的中点. 则直线MN与平面ABCD的关系为　　　　　　(填相交、平行或MN⊂平面ABCD)，MN与BC所成角的大小为　　　　　　.  答案　平行　45° 解析　连接AC，如图. 在△PAC中，M，N分别是PA，PC的中点， 所以MN是△PAC的中位线， 所以MN∥AC. 由于MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD. 由于MN∥AC，AC与BC相交，所以MN与BC为异面直线，且∠ACB(或其补角)是异面直线MN与BC所成的角. 由于四边形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，即MN与BC所成角的大小为45°. 8.(5分)如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且M是AD的中点，AB=4，CD=6，则MN=　　　　.  答案　5 解析　因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面α=MN，所以AB∥MN， 又点M是AD的中点，AB∥CD， 所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN=5. 9.(10分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1. 证明　取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略). ∵F为C1D1的中点， ∴OF∥B1C1且OF=B1C1， 又BE∥B1C1，BE=B1C1， ∴OF∥BE且OF=BE， ∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO. ∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1， ∴EF∥平面BDD1B1. 10.(11分)如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 解　直线l∥平面PAC.证明如下： ⇒l∥平面PAC. 11. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(　　) A.平行或重合 B.相交 C.异面 D.平行或异面 答案　A 解析　由长方体的性质知，EF∥平面ABCD， ∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD=GH，∴EF∥GH. 又EF∥AB，∴GH∥AB或GH与AB重合. 12. 如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若==，则与平面EFGH平行的直线有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 答案　C 解析　∵=，∴EF∥AB. 又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 同理，由=，可得CD∥平面EFGH. ∴与平面EFGH平行的直线有2条. 13.(多选)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形是(　　) 答案　AD 解析　对于A，如图，连接BC交PN于点D，连接DM，则MD∥AB， 又AB⊄平面MNP，MD⊂平面MNP，得AB∥平面MNP； 对于D，易得AB∥NP， 又AB⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，可得AB∥平面MNP； B，C中得不到AB∥平面MNP. 14.(5分)如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为　　　　.  答案　4+6 解析　由EF∥平面BCC1B1可知，平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF+FB+BC1+C1E=4+6. 15.(5分)如图，已知α是一个平面，A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α=E，AD∩α=F，BD∩α=H，BC∩α=G，则四边形EFHG的形状是　　　　　　.  答案　平行四边形 解析　∵AB∥α，平面ABC∩α=EG，AB⊂平面ABC，∴EG∥AB. 同理FH∥AB，∴EG∥FH. 又CD∥α，平面BCD∩α=GH，CD⊂平面BCD， ∴GH∥CD.同理EF∥CD， ∴GH∥EF， ∴四边形EFHG是平行四边形. 16.(12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，M是线段AC上的动点，EC=2FB，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置. 解　若MB∥平面AEF，过点F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF. 因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C=MN， 所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF=FN，所以MB∥FN， 所以四边形BFNM是平行四边形， 所以MN∥BF，MN=BF. 而EC∥FB，EC=2FB，所以MN∥EC，MN=EC， 故MN是△ACE的中位线. 所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$