第9章 9.3.3 向量平行的坐标表示-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

第9章 <<< 9.3.3 向量平行的坐标表示 1.理解用坐标表示的向量平行的条件. 2.能根据向量的坐标判断向量是否共线. 3.掌握三点共线的判断方法. 学习目标 导 语 向量及其运算的坐标表示，使我们能用代数方法研究几何问题，前面已学习了两个互相垂直的向量的坐标之间的关系，这节课我们研究两个平行向量的坐标之间有怎样的关系. 内容索引 一、向量平行的坐标表示 二、由向量平行(共线)求参数的值 随堂演练 三、三点共线问题 四、向量共线的综合应用 课时对点练 向量平行的坐标表示 一 提示　设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)且a≠0，由b=λa得消去λ得x1y2-x2y1=0. 向量a，b共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b=λa(a≠0)，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？ 问题1 1.向量平行的坐标表示 一般地，设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔ 　　　　　　. 2.若=λ，则P，P1，P2三点共线. (1)当λ∈(0，+∞)时，P位于线段P1P2的内部，特别地，当λ=1时，P为线段P1P2的中点. (2)当λ∈(-∞，-1)时，P在线段P1P2的延长线上. (3)当λ∈(-1，0)时，P在线段P1P2的反向延长线上. x1y2-x2y1=0 知识梳理 (1)当a=0时，由于0与任意向量平行，故x1y2-x2y1=0恒成立. (2)x1y2-x2y1=0⇔x1y2=x2y1，所以可用口诀“外项积=内项积”来记忆. 注 意 点 <<< 8 　　 (多选)下列判断正确的是 A.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且a∥b，则= B.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且x1y1-x2y2=0，则a∥b C.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且x1y2-x2y1=0，则a∥b D.向量a=(1，2)与向量b=(4，8)共线 例 1 对于选项A，当y1y2=0时，不成立； 由向量平行的坐标表示知C，D正确，B错误. √ √ 9 反 思 感 悟 向量共线的判定方法 10 　已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 跟踪训练 1 因为=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-(-1)，5-(-1))=(3，6)， 且2×6-3×4=0， 所以∥， 即共线. 又=， 所以的方向相同. 11 二 由向量平行(共线)求参数的值 　已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向. 例 2 13 ka+b=k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)，a-3b=(1，2)-3(-3，2)=(10，-4)， ∵ka+b与a-3b平行， ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0， 解得k=-. 此时ka+b= ==-(a-3b)， ∴当k=-时，ka+b与a-3b平行，并且反向. 14 反 思 感 悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解. (2)已知a=(x，1)，b=(4，x)，a与b共线且方向相同，求x. ∵a=(x，1)，b=(4，x)，a∥b， ∴x2-4=0， 解得x=2或x=-2. 当x=2时，a=(2，1)，b=(4，2)，a与b共线且方向相同； 当x=-2时，a=(-2，1)，b=(4，-2)，a与b共线且方向相反. ∴x=2. 16 三点共线问题 三 若A，B，C三点在一条直线上，则=λ，即∥.反之，若∥，能否说明A，B，C三点共线呢？ 问题2 提示　能.∥说明与方向相同或相反，，又有公共点A，故可以说明A，B，C三点共线. 　　　已知，已知A(1，-3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线. 例 3 ==，=(9-1，1+3)=(8，4)， ∵7×4-×8=0， ∴∥， 又有公共点A， ∴A，B，C三点共线. 19 反 思 感 悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点. (2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线. 　(1)若点A(-2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a=　　　　.  跟踪训练 3 =(5，4)，=(4，a)， 因为A，B，C三点共线， 所以∥， 故5a-16=0，所以a=. 21 (2)已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，-6)，B(-5，2)，若点C的横坐标为6，则点C的纵坐标为 A.-13 B.-9 C.9 D.13 √ 22 由题意，设点C的坐标为(6，y)， 则=(-8，8)，=(3，y+6)， 因为A，B，C三点共线， 所以∥， 即-8(y+6)-3×8=0， 解得y=-9. 23 向量共线的综合应用 四 　　　如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 例 4 25 方法一　设=t =t(4，4)=(4t，4t)， 则=-=(4t，4t)-(4，0)=(4t-4，4t)， =-=(2，6)-(4，0)=(-2，6). 由共线，得(4t-4)×6=4t×(-2)， 解得t=. ∴=(4t，4t)=(3，3). ∴点P的坐标为(3，3). 26 方法二　设P(x，y)， 则=(x，y)，=(4，4). ∵共线， ∴4x-4y=0. ① 又=(x-2，y-6)，=(2，-6)， 且向量共线， ∴-6(x-2)=2(y-6). ② 解①②组成的方程组，得x=3，y=3， ∴点P的坐标为(3，3). 27 反 思 感 悟 在平面直角坐标系中，求解直线或线段的交点问题，利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快. 　在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，=，=，AD与BC交于点M，求点M的坐标. 跟踪训练 4 29 因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， 所以=(0，5)，=(4，3). 又==， 所以点C，同理点D. 设点M的坐标为(x，y)， 由题意知A，M，D三点共线， 所以共线. 30 而=(x，y-5)，=， 所以-x-2(y-5)=0，即7x+4y=20. 由题意知C，M，B三点共线，所以共线. 而==， 所以x-4=0， 即7x-16y=-20. 31 解 所以点M的坐标为. 32 1.知识清单： (1)向量共线的判定. (2)由向量平行求参数的值. (3)三点共线问题. 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.(多选)下列各组向量中，共线的是 A.a=(-1，2)，b=(-2，4) B.a=(-3，2)，b=(6，-4) C.a=，b=(10，5) D.a=(0，-1)，b=(3，1) √ √ 利用平面向量共线的坐标表示可知，AB满足题意. 2.已知向量a=(2，-1)，b=(x-1，2)，若a∥b，则实数x的值为 A.2 B.-2 C.3 D.-3 √ 1 2 3 4 因为a∥b， 所以2×2-(-1)×(x-1)=0， 解得x=-3. 3.与a=(3，4)平行的单位向量为 A. B.或 C.或 D. √ 1 2 3 4 设与a平行的单位向量为e=(x，y)， 则∴ 所以与a平行的单位向量为. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.已知=(k，2)，=(1，2k)，=(1-k，-1)，且相异三点A，B，C共 线，则实数k=　 　.  - 1 2 3 4 由题知，=-=(1-k，2k-2)， =-=(1-2k，-3). 因为相异三点A，B，C共线，所以∥， 则-3×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0， 解得k=-或k=1，当k=1时，=，点A与点B重合，不符合题意，故k=-. 课时对点练 六 41 答案 题号 1 2 3 4 5 6 　7 答案 C B B ABD C CD 题号 8 11 12 　13 　14 　15 答案 3或-1　2或2 D ABC 　B [-6，1] 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. ma+4b=(2m，3m)+(-4，8) =(2m-4，3m+8)， a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1)， 因为ma+4b与a-2b共线， 所以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0， 解得m=-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 当m=-2时，ma+4b=(-8，2)， 所以 ma+4b=-2(a-2b)， 所以ma+4b与a-2b方向相反. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 由题意得=(4，0). 由B，P，D三点共线可设=(5λ，4λ). 又∵=(5λ-4，4λ)， 由 ， ∴点P的坐标为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 建立如图所示的平面直角坐标系. 不妨设正方形ABCD的边长为1， 则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1). 设E(x，y)，y>0， 于是=(x-1，y-1). ∵∥ ， ∴1×y-(x-1)×1=0，∴y=x-1. ① 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∵AC=OC=CE，∴， ∴(x-1)2+(y-1)2=2. ② 由y>0，联立①②解得 即E. ∴AE=OE=+1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 设F(t，0)，则=(1-t，1)， . ∵F，C，E三点共线，∴. ∴(1-t)××1=0， 解得t=-1-. ∴AF=OF=1+，∴AF=AE. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.已知向量a=，b=，则a与b A.垂直 B.平行且同向 C.平行且反向 D.不垂直也不平行 √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 ∵向量a=，b=， ∴a=-3b， ∴a与b平行且反向. 2.已知向量a=(3，5)，b=(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于 A. B. C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 由a∥b，得5cos α-3sin α=0， 则=，即tan α=. 11 12 13 14 15 16 答案 3.已知向量=(2，3)，=(1，t-3)，∥，则t等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 =+=(2，3)+(1，t-3)=(3，t)， 又由∥，则2t=9，解得t=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(多选)在下列向量组中，不能把向量a=(-3，7)表示出来的是 A.e1=(0，1)，e2=(0，-2) B.e1=(1，5)，e2=(-2，-10) C.e1=(-5，3)，e2=(-2，1) D.e1=(7，8)，e2=(-7，-8) √ 因为A，B，D中都是两个共线向量，而C中两向量不共线，故C可以把向量a=(-3，7)表示出来. 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若(ma+nb)∥(a-2b)，则等于 A.-2 B.2 C.- D. √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 向量a=(2，3)，b=(-1，2)， ma+nb=(2m-n，3m+2n)，a-2b=(4，-1)， 由(ma+nb)∥(a-2b)， 可得12m+8n=n-2m，则=-. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)已知向量a=(1，-2)，|b|=4|a|，a∥b，则b可能是 A.(4，8) B.(-3，6) C.(4，-8) D.(-4，8) √ √ 11 12 13 14 15 16 答案 由a∥b可排除A； 由|b|=4|a|可排除B； 由(4，-8)=4(1，-2)，(-4，8)=-4(1，-2)可知C，D符合题意. 7.与向量a=(12，5)平行的单位向量是　 　　　.  设所求单位向量为b=(x，y)， 则∴ 故b=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 或 11 12 13 14 15 16 答案 8.已知平面向量a=(1，x)，b=(2x+3，-x)，x∈R，若a⊥b，则x=　　　　；若a∥b，则|a-b|=　　　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3或-1 若a⊥b，则1×(2x+3)-x2=0， ∴x=3或x=-1； 若a∥b，则x(2x+3)+x=0， ∴x=0或x=-2. 当x=0时，a-b=(-2，0)，|a-b|=2. 当x=-2时，a-b=(2，-4)，|a-b|=2. 11 12 13 14 15 16 答案 2或2 9.已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+4b与a-2b共线，求m的值，并判断ma+4b与a-2b是同向还是反向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ma+4b=(2m，3m)+(-4，8)=(2m-4，3m+8)， a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1)， 因为ma+4b与a-2b共线， 所以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0， 解得m=-2. 当m=-2时，ma+4b=(-8，2)， 所以 ma+4b=-2(a-2b)， 所以ma+4b与a-2b方向相反. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意得=(5，4)，=(-3，6)，=(4，0). 由B，P，D三点共线可设=λ=(5λ，4λ). 又∵=-=(5λ-4，4λ)， 由共线得，(5λ-4)×6+12λ=0， 解得λ=，∴==， ∴点P的坐标为. 11 12 13 14 15 16 答案 11.已知=(-2，1)，=(0，2)，若∥且⊥，则点C的坐标是 A.(2，6) B.(-2，-6) C.(2，-6) D.(-2，6) √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设点C(x，y)，则=(x+2，y-1)，=(x，y-2)，=(2，1). 由∥可得x+2=0，① 由⊥可得2x+y-2=0，② 由①②得x=-2，y=6，故C(-2，6). 12.(多选)已知向量a=(x，3)，b=(-3，x)，则下列叙述中不正确的是 A.存在实数x，使a∥b B.存在实数x，使(a+b)∥a C.存在实数x，m，使(ma+b)∥a D.存在实数x，m，使(ma+b)∥b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 A不正确，若a∥b，则x2+9=0，方程无实根； B不正确，若(a+b)∥a， 则3(x-3)-x(x+3)=0，方程无实根； C不正确，若(ma+b)∥a， 则3(mx-3)-x(3m+x)=0，方程无实根； D正确，可令m=0， 则ma+b=b，无论x为何值，都有b∥b. 13.=(3，-4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m)，若点A，B，C不能构成三角形，则实数m的值为 A.- B. C.-2 D.-1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意知=-=(3，1)， =-=(2-m，1-m)， 因为点A，B，C不能构成三角形， 所以A，B，C三点共线，即∥， 所以3(1-m)-(2-m)=0， 解得m=. 14.设=(-2，4)，=(-a，2)，=(b，0)，a>0，b>0，若A，B，C三 点共线，则+的最小值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意得=-=(-a+2，-2)，=-=(b+2，-4). 又∥， 所以-4(-a+2)=-2(b+2)，整理得2a+b=2， 所以+=(2a+b) ==， 当且仅当b=a时，等号成立， 即+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 15.设向量a=(λ+2，λ2-cos2α)，b=，其中λ，m，α为实数，若a=2b，则的取值范围为　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 [-6，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由a=2b，知 ∴ 又cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1 =-(sin α-1)2+2， ∴-2≤cos2α+2sin α≤2， ∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 即≤m≤2， ∵==2-， ∴-6≤2-≤1， ∴的取值范围为[-6，1]. 16.已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 建立如图所示的平面直角坐标系. 不妨设正方形ABCD的边长为1， 则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1). 设E(x，y)，y>0， 于是=(1，1)，=(x-1，y)，=(x-1，y-1). ∵∥， ∴1×y-(x-1)×1=0，∴y=x-1. ① ∵AC=OC=CE，∴||2=||2， ∴(x-1)2+(y-1)2=2. ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由y>0，联立①②解得 即E. ∴AE=OE==+1. 设F(t，0)，则=(1-t，1)，=. ∵F，C，E三点共线，∴∥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∴(1-t)×-×1=0， 解得t=-1-. ∴AF=OF=1+，∴AF=AE. 第一章 <<< $$ 9.3.3　向量平行的坐标表示 [学习目标]　1.理解用坐标表示的向量平行的条件.2.能根据向量的坐标判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法. 导语 向量及其运算的坐标表示，使我们能用代数方法研究几何问题，前面已学习了两个互相垂直的向量的坐标之间的关系，这节课我们研究两个平行向量的坐标之间有怎样的关系. 一、向量平行的坐标表示 问题1　向量a，b共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b=λa(a≠0)，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？ 提示　设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)且a≠0，由b=λa得消去λ得x1y2-x2y1=0. 知识梳理 1.向量平行的坐标表示 一般地，设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 2.若=λ，则P，P1，P2三点共线. (1)当λ∈(0，+∞)时，P位于线段P1P2的内部，特别地，当λ=1时，P为线段P1P2的中点. (2)当λ∈(-∞，-1)时，P在线段P1P2的延长线上. (3)当λ∈(-1，0)时，P在线段P1P2的反向延长线上. 注意点： (1)当a=0时，由于0与任意向量平行，故x1y2-x2y1=0恒成立. (2)x1y2-x2y1=0⇔x1y2=x2y1，所以可用口诀“外项积=内项积”来记忆. 例1　(多选)下列判断正确的是(　　) A.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且a∥b，则= B.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且x1y1-x2y2=0，则a∥b C.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且x1y2-x2y1=0，则a∥b D.向量a=(1，2)与向量b=(4，8)共线 答案　CD 解析　对于选项A，当y1y2=0时，不成立； 由向量平行的坐标表示知C，D正确，B错误. 反思感悟　向量共线的判定方法 跟踪训练1　已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解　因为=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)， =(2-(-1)，5-(-1))=(3，6)， 且2×6-3×4=0， 所以∥， 即与共线. 又=， 所以与的方向相同. 二、由向量平行(共线)求参数的值 例2　已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向. 解　ka+b=k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)， a-3b=(1，2)-3(-3，2)=(10，-4)， ∵ka+b与a-3b平行， ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0， 解得k=-. 此时ka+b= ==-(a-3b)， ∴当k=-时，ka+b与a-3b平行，并且反向. 反思感悟　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解. 跟踪训练2　(1)已知向量a=(1，2)，b=(λ，1)，(a+2b)∥(2a-2b)，求λ的值； (2)已知a=(x，1)，b=(4，x)，a与b共线且方向相同，求x. 解　(1)a+2b=(1，2)+2(λ，1)=(1+2λ，4)， 2a-2b=2(1，2)-2(λ，1)=(2-2λ，2)， 由(a+2b)∥(2a-2b)， 可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0， 解得λ=. (2)∵a=(x，1)，b=(4，x)，a∥b， ∴x2-4=0， 解得x=2或x=-2. 当x=2时，a=(2，1)，b=(4，2)，a与b共线且方向相同； 当x=-2时，a=(-2，1)，b=(4，-2)，a与b共线且方向相反.∴x=2. 三、三点共线问题 问题2　若A，B，C三点在一条直线上，则=λ，即∥.反之，若∥，能否说明A，B，C三点共线呢？ 提示　能.∥说明与方向相同或相反，，又有公共点A，故可以说明A，B，C三点共线. 例3　已知A(1，-3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线. 证明　==， =(9-1，1+3)=(8，4)， ∵7×4-×8=0， ∴∥， 又，有公共点A， ∴A，B，C三点共线. 反思感悟　(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点. (2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线. 跟踪训练3　(1)若点A(-2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a=　　　　.  答案　 解析　=(5，4)，=(4，a)， 因为A，B，C三点共线， 所以∥， 故5a-16=0，所以a=. (2)已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，-6)，B(-5，2)，若点C的横坐标为6，则点C的纵坐标为(　　) A.-13 B.-9 C.9 D.13 答案　B 解析　由题意，设点C的坐标为(6，y)， 则=(-8，8)，=(3，y+6)， 因为A，B，C三点共线， 所以∥， 即-8(y+6)-3×8=0， 解得y=-9. 四、向量共线的综合应用 例4　如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 解　方法一　设=t =t(4，4)=(4t，4t)， 则=-=(4t，4t)-(4，0)=(4t-4，4t)， =-=(2，6)-(4，0)=(-2，6). 由，共线，得(4t-4)×6=4t×(-2)， 解得t=. ∴=(4t，4t)=(3，3). ∴点P的坐标为(3，3). 方法二　设P(x，y)， 则=(x，y)，=(4，4). ∵，共线， ∴4x-4y=0. ① 又=(x-2，y-6)，=(2，-6)， 且向量，共线， ∴-6(x-2)=2(y-6). ② 解①②组成的方程组，得x=3，y=3， ∴点P的坐标为(3，3). 反思感悟　在平面直角坐标系中，求解直线或线段的交点问题，利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快. 跟踪训练4　在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，=，=，AD与BC交于点M，求点M的坐标. 解　因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， 所以=(0，5)，=(4，3). 又==， 所以点C，同理点D. 设点M的坐标为(x，y)， 由题意知A，M，D三点共线， 所以与共线. 而=(x，y-5)，=， 所以-x-2(y-5)=0，即7x+4y=20. 由题意知C，M，B三点共线，所以与共线. 而=，=， 所以x-4=0， 即7x-16y=-20. 解得 所以点M的坐标为. 1.知识清单： (1)向量共线的判定. (2)由向量平行求参数的值. (3)三点共线问题. 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 1.(多选)下列各组向量中，共线的是(　　) A.a=(-1，2)，b=(-2，4) B.a=(-3，2)，b=(6，-4) C.a=，b=(10，5) D.a=(0，-1)，b=(3，1) 答案　AB 解析　利用平面向量共线的坐标表示可知，AB满足题意. 2.已知向量a=(2，-1)，b=(x-1，2)，若a∥b，则实数x的值为(　　) A.2 B.-2 C.3 D.-3 答案　D 解析　因为a∥b， 所以2×2-(-1)×(x-1)=0， 解得x=-3. 3.与a=(3，4)平行的单位向量为(　　) A. B.或 C.或 D. 答案　C 解析　设与a平行的单位向量为e=(x，y)， 则∴或 所以与a平行的单位向量为或. 4.已知=(k，2)，=(1，2k)，=(1-k，-1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k=　　　　.  答案　- 解析　由题知，=-=(1-k，2k-2)， =-=(1-2k，-3). 因为相异三点A，B，C共线，所以∥， 则-3×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0， 解得k=-或k=1，当k=1时，=，点A与点B重合，不符合题意，故k=-. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知向量a=，b=，则a与b(　　) A.垂直 B.平行且同向 C.平行且反向 D.不垂直也不平行 答案　C 解析　∵向量a=，b=， ∴a=-3b， ∴a与b平行且反向. 2.已知向量a=(3，5)，b=(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　由a∥b，得5cos α-3sin α=0， 则=，即tan α=. 3.已知向量=(2，3)，=(1，t-3)，∥，则t等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　=+=(2，3)+(1，t-3)=(3，t)， 又由∥，则2t=9，解得t=. 4.(多选)在下列向量组中，不能把向量a=(-3，7)表示出来的是(　　) A.e1=(0，1)，e2=(0，-2) B.e1=(1，5)，e2=(-2，-10) C.e1=(-5，3)，e2=(-2，1) D.e1=(7，8)，e2=(-7，-8) 答案　ABD 解析　因为A，B，D中都是两个共线向量，而C中两向量不共线，故C可以把向量a=(-3，7)表示出来. 5.已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若(ma+nb)∥(a-2b)，则等于(　　) A.-2 B.2 C.- D. 答案　C 解析　向量a=(2，3)，b=(-1，2)， ma+nb=(2m-n，3m+2n)，a-2b=(4，-1)， 由(ma+nb)∥(a-2b)， 可得12m+8n=n-2m，则=-. 6.(多选)已知向量a=(1，-2)，|b|=4|a|，a∥b，则b可能是(　　) A.(4，8) B.(-3，6) C.(4，-8) D.(-4，8) 答案　CD 解析　由a∥b可排除A；由|b|=4|a|可排除B；由(4，-8)=4(1，-2)，(-4，8)=-4(1，-2)可知C，D符合题意. 7.(5分)与向量a=(12，5)平行的单位向量是　　　　.  答案　或 解析　设所求单位向量为b=(x，y)， 则∴或 故b=或. 8.(5分)已知平面向量a=(1，x)，b=(2x+3，-x)，x∈R，若a⊥b，则x=　　　　；若a∥b，则|a-b|=　　　　.  答案　3或-1　2或2 解析　若a⊥b，则1×(2x+3)-x2=0， ∴x=3或x=-1； 若a∥b，则x(2x+3)+x=0， ∴x=0或x=-2. 当x=0时，a-b=(-2，0)，|a-b|=2. 当x=-2时，a-b=(2，-4)，|a-b|=2. 9.(10分)已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+4b与a-2b共线，求m的值，并判断ma+4b与a-2b是同向还是反向. 解　ma+4b=(2m，3m)+(-4，8) =(2m-4，3m+8)， a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1)， 因为ma+4b与a-2b共线， 所以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0， 解得m=-2. 当m=-2时，ma+4b=(-8，2)， 所以 ma+4b=-2(a-2b)， 所以ma+4b与a-2b方向相反. 10.(10分)如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标. 解　由题意得=(5，4)，=(-3，6)，=(4，0). 由B，P，D三点共线可设=λ=(5λ，4λ). 又∵=-=(5λ-4，4λ)， 由与共线得，(5λ-4)×6+12λ=0， 解得λ=，∴==， ∴点P的坐标为. 11.已知=(-2，1)，=(0，2)，若∥且⊥，则点C的坐标是(　　) A.(2，6) B.(-2，-6) C.(2，-6) D.(-2，6) 答案　D 解析　设点C(x，y)，则=(x+2，y-1)，=(x，y-2)，=(2，1). 由∥可得x+2=0， ① 由⊥可得2x+y-2=0， ② 由①②得x=-2，y=6，故C(-2，6). 12.(多选)已知向量a=(x，3)，b=(-3，x)，则下列叙述中不正确的是(　　) A.存在实数x，使a∥b B.存在实数x，使(a+b)∥a C.存在实数x，m，使(ma+b)∥a D.存在实数x，m，使(ma+b)∥b 答案　ABC 解析　A不正确，若a∥b，则x2+9=0，方程无实根； B不正确，若(a+b)∥a， 则3(x-3)-x(x+3)=0，方程无实根； C不正确，若(ma+b)∥a， 则3(mx-3)-x(3m+x)=0，方程无实根； D正确，可令m=0， 则ma+b=b，无论x为何值，都有b∥b. 13.=(3，-4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m)，若点A，B，C不能构成三角形，则实数m的值为(　　) A.- B. C.-2 D.-1 答案　B 解析　由题意知=-=(3，1)， =-=(2-m，1-m)， 因为点A，B，C不能构成三角形， 所以A，B，C三点共线，即∥， 所以3(1-m)-(2-m)=0， 解得m=. 14.(5分)设=(-2，4)，=(-a，2)，=(b，0)，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为　　　　.  答案　 解析　由题意得=-=(-a+2，-2)，=-=(b+2，-4). 又∥， 所以-4(-a+2)=-2(b+2)，整理得2a+b=2， 所以+=(2a+b) =≥=， 当且仅当b=a时，等号成立， 即+的最小值为. 15.(5分)设向量a=(λ+2，λ2-cos2α)，b=，其中λ，m，α为实数，若a=2b，则的取值范围为　　　　.  答案　[-6，1] 解析　由a=2b，知 ∴ 又cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1 =-(sin α-1)2+2， ∴-2≤cos2α+2sin α≤2， ∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， 即解得≤m≤2， ∵==2-， ∴-6≤2-≤1， ∴的取值范围为[-6，1]. 16.(12分)已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE. 证明　建立如图所示的平面直角坐标系. 不妨设正方形ABCD的边长为1， 则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1). 设E(x，y)，y>0， 于是=(1，1)，=(x-1，y)，=(x-1，y-1). ∵∥， ∴1×y-(x-1)×1=0，∴y=x-1. ① ∵AC=OC=CE，∴||2=||2， ∴(x-1)2+(y-1)2=2. ② 由y>0，联立①②解得 即E. ∴AE=OE==+1. 设F(t，0)，则=(1-t，1)， =. ∵F，C，E三点共线，∴∥. ∴(1-t)×-×1=0， 解得t=-1-. ∴AF=OF=1+，∴AF=AE. 学科网（北京）股份有限公司 $$