第9章 9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

第9章 <<< 第2课时 向量数量积的坐标表示 1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 学习目标 导 语 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 一、向量数量积的坐标表示 二、向量的模 课时对点练 三、向量的夹角与垂直问题 随堂演练 内容索引 向量数量积的坐标表示 一 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，a=(3，2)，b=(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b为多少？ 问题1 提示　由题意知，a=3i+2j，b=2i+j，则a·b=(3i+2j)·(2i+j)=6i2+7i·j+2j2. 由于i2=i·i=1，j2=j·j=1，i·j=0，故a·b=8=3×2+2×1；a·b=x1x2+y1y2. 向量数量积的坐标表示 若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2. 即两个向量的数量积等于　　　　　　　　　　　　. 它们对应坐标的乘积的和 知识梳理 向量数量积的坐标表示适用于任意向量. 注 意 点 <<< 8 　　 (1)已知a=(2，-1)，b=(1，-1)，则(a+2b)·(a-3b)等于 A.10 B.-10 C.3 D.-3 例 1 a+2b=(4，-3)，a-3b=(-1，2)， 所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10. √ 9 (2)如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边CD上，且= 2，则·的值是　 　.  10 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. ∵AB=，BC=2， ∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2). ∵点E在边CD上，且=2， ∴E，∴==， ∴·=-+4=. 11 反 思 感 悟 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2=a·a. ②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. ③(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积. 数量积坐标运算的技巧 12 　(1)向量a=(1，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b)·a等于 A.-1 B.0 C.1 D.2 跟踪训练 1 √ 因为a=(1，-1)，b=(-1，2)， 所以2a+b=2(1，-1)+(-1，2)=(1，0)， 则(2a+b)·a=(1，0)·(1，-1)=1. 13 (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，=2， 则·=　　　.  14 如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系，则 B(2，0)，E(1，2)，C(2，2)，F， ∴=(-1，2)，=. ∴·=2-=. 15 二 向量的模 提示　能，a2=a·a=x2+y2， 所以|a|=. 设向量a=(x，y)，你能由两向量数量积的坐标表示求|a|吗？ 问题2 提示　由A(x1，y1)，B(x2，y2)， =(x1-x2，y1-y2)， =·=(x1-x2)2+(y1-y2)2， 得||=， 即AB=. 对于平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何用向量推导A，B两点间的距离. 问题3 1.向量的模：设a=(x，y)，则|a|=. 2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=. 知识梳理 19 (1)求模时，勿忘记开方. (2)两点间的距离公式也可表示为AB=. 注 意 点 <<< 20 　 已知向量a=(3，5)，b=(-2，1). (1)求a-2b及其模的大小； 例 2 ∵a=(3，5)，b=(-2，1)， ∴a-2b=(3，5)-2(-2，1) =(3+4，5-2)=(7，3)， ∴|a-2b|==. 21 (2)若c=a-(a·b)b，求|c|. ∵a·b=-6+5=-1， ∴c=a+b=(1，6)， ∴|c|==. 22 反 思 感 悟 a·a=a2=|a|2或|a|==. 求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法 　 已知向量a=(2，1)，a·b=10，|a+b|=5，则|b|等于 A. B. C.5 D.25 跟踪训练 2 √ ∵a=(2，1)，∴a2=5， 又|a+b|=5，∴(a+b)2=50， 即a2+2a·b+b2=50， ∴5+2×10+b2=50，∴b2=25，∴|b|=5. 24 向量的夹角与垂直问题 三 向量的夹角 设两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，它们的夹角为θ，由向量数量积 的定义，可得cos θ==________________________. 特别地，a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 知识梳理 26 a⊥b⇔x1x2+y1y2=0的前提条件是a，b均不为零向量. 注 意 点 <<< 27 已知， 已知向量=(-1，3)，=(1，t)，若(-2)⊥. (1)求向量与的夹角θ； 例 3 28 因为=(-1，3)，=(1，t)， 所以-2=(-3，3-2t)， 因为(-2)⊥， 所以(-2)·=(-3)×(-1)+(3-2t)×3=0，解得t=2， 所以·=(-1)×1+3×2=5，||=，||=， 所以cos θ===， 所以θ=45°. 29 (2)求点A到直线OB的距离. 点A到直线OB的距离为 d=||sin∠AOB=×=. 30 反 思 感 悟 (1)求解方法： 由cos θ==直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时，要注意cos θ<0时有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 　(1)已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于 A.2 B. C.0 D.- 跟踪训练 3 √ 32 因为a=(1，)，b=(3，m). 所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m， 又a，b的夹角为， 所以cos ==， 所以+m=， 解得m=. 33 (2)已知a=(-3，2)，b=(-1，0)，若向量λa+b与a-2b垂直，则实数λ的值为 A. B.- C. D.- √ 34 由向量λa+b与a-2b垂直，得 (λa+b)·(a-2b)=0. 因为a=(-3，2)，b=(-1，0)， 所以λa+b=(-3λ-1，2λ)，a-2b=(-1，2)， 所以(λa+b)·(a-2b) =(-3λ-1)×(-1)+2λ×2=0， 即3λ+1+4λ=0， 解得λ=-. 35 1.知识清单： (1)向量数量积的坐标表示. (2)用坐标表示向量的模及夹角. (3)向量垂直的坐标表示. 2.方法归纳：坐标法. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若向量a=(x，2)，b=(-1，3)，a·b=3，则x等于 A.3 B.-3 C. D.- √ a·b=-x+6=3，故x=3. 2.已知a=(-，-1)，b=(1，)，那么a，b的夹角θ等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 cos θ===-， 又因为θ∈[0，π]，所以θ=. 3.已知向量a=(1，n)，b=(-1，n)，若2a-b与b垂直，则|a|等于 A.1 B. C.2 D.4 √ 1 2 3 4 ∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2 =2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0， ∴n2=3，∴|a|==2. 1 2 3 4 4.若平面向量a=(1，-2)与b的夹角是180°，且|b|=3，则b等于 A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) √ 由题意，设b=λa=(λ，-2λ)(λ<0)， 则|b|==|λ|=3， 又λ<0， ∴λ=-3，故b=(-3，6). 课时对点练 五 42 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B AD C B 题号 11 12 13 14 　15 答案 AC D (-∞，-1)∪(-1，1) 　AC 9. (1)∵c=4(1，2)+(2，-2)=(6，6)， ∴b·c=(2，-2)·(6，6)=2×6-2×6=0， ∴(b·c)a=0·a=0. (2)∵a+λb=(1，2)+λ(2，-2) =(1+2λ，2-2λ)， (a+λb)⊥a， ∴(1+2λ)+2(2-2λ)=0， 解得λ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)∵A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4)， ∴=(-3，3)， ∴=1×(-3)+1×3=0， ∴，即AB⊥AD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)∵四边形ABCD为矩形， ∴. 设点C的坐标为(x，y)， 则=(x+1，y-4)， ∴ ∴C点坐标为(0，5). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 则=(-4，2)， ∴. 设的夹角为θ， 则cos θ=， ∴矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)的夹角为θ， 则cos θ=， ∴上的投影向量为 (|). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2))，=(λ-1)， 又∵有公共点B，λ2≠λ， ∴A，B，C三点共线. 当时，λ-1=1， ∴λ=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (3)|+12， ∴当λ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.已知a=(1，2)，b=(4，3)，则(a-b)·b等于 A.-30 B.-15 C.-10 D.5 √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 因为a=(1，2)，b=(4，3)， 所以a-b=(-3，-1)， 所以(a-b)·b=(-3)×4+(-1)×3=-15. 2.已知A(0，-1)，B(0，3)，则||等于 A.2 B. C.4 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 因为A(0，-1)，B(0，3)， 所以=(0，4)， 则||=4. 11 12 13 14 15 16 答案 3.已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则a与b的夹角为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设a，b的夹角为θ， ∵|a|=，|b|=，a·b=5， ∴cos θ===. 又∵θ∈[0，π]， ∴a与b的夹角为. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(多选)设向量a=(2，0)，b=(1，1)，则下列结论正确的是 A.|a|=b2 B.a·b=0 C.a=2b D.(a-b)⊥b √ |a|=b2=2，故A正确； B，C显然错误； ∵a-b=(1，-1)， ∴(a-b)·b=1-1=0，故D正确. 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知点A(-2，-3)，B(19，4)，C(-1，-6)，则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵=(19，4)-(-2，-3)=(21，7)， =(-1，-6)-(-2，-3)=(1，-3)， ∴·=21-21=0， ∴⊥. 则∠A=90°， 又||≠||， ∴△ABC为直角三角形. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为 A. B. C. D. √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵四边形OABC是平行四边形， ∴=，即(4-0，2-0)=(a-2，8-a)， ∴a=6， ∵=(4，2)，=(2，6)， 设向量的夹角为θ， ∴cos θ===， 又θ∈(0，π)， ∴. 11 12 13 14 15 16 答案 7.已知向量=(-2，1)，=(-1，2)，则点B到直线AC的距离为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为=(-2，1)，=(-1，2)， 所以cos〈〉===， 因为向量的夹角的取值范围为[0，π]， 所以sin〈〉=， 所以点B到直线AC的距离为||sin〈〉=×=. 8.设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=　　，|a+b|= 　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由|a+b|2=|a|2+|b|2，得a·b=0， 即m+2=0，解得m=-2. 所以a+b=(-1，3)， 所以|a+b|=. 11 12 13 14 15 16 答案 -2 9.已知向量a=(1，2)，b=(2，-2). (1)设c=4a+b，求(b·c)a； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵c=4(1，2)+(2，-2)=(6，6)， ∴b·c=(2，-2)·(6，6)=2×6-2×6=0， ∴(b·c)a=0·a=0. 11 12 13 14 15 16 答案 (2)若a+λb与a垂直，求λ的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵a+λb=(1，2)+λ(2，-2)=(1+2λ，2-2λ)， (a+λb)⊥a， ∴(1+2λ)+2(2-2λ)=0， 解得λ=. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4)， (1)求证：AB⊥AD； 11 12 13 14 15 16 答案 ∵A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4)， ∴=(1，1)，=(-3，3)， ∴·=1×(-3)+1×3=0， ∴⊥，即AB⊥AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵四边形ABCD为矩形， ∴=. 设点C的坐标为(x，y)， 则=(1，1)，=(x+1，y-4)， ∴ ∴C点坐标为(0，5). 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则=(-2，4)，=(-4，2)， ∴·=8+8=16，||=2，||=2. 设的夹角为θ， 则cos θ===， ∴矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值为. 11 12 13 14 15 16 答案 11.已知向量a=(3，0)，b=(0，1).若a-λb与2a+b共线，则实数λ的值为 A.1 B.-1 C. D.- √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意知，a-λb=(3，-λ)，2a+b=(6，1). ∵a-λb与2a+b共线， ∴设a-λb=μ(2a+b)， 即(3，-λ)=μ(6，1)， 则 12.(多选)已知a=(1，1)，b=(0，-2)，且ka-b与a+b的夹角为120°，则k等于 A.-1+ B.-2 C.-1- D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵ka-b=(k，k+2)，a+b=(1，-1)， ∴|ka-b|=， |a+b|==， (ka-b)·(a+b)=(k，k+2)·(1，-1) =k-k-2=-2， 又ka-b与a+b的夹角为120°， ∴cos 120°=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 即-=， 化简并整理，得k2+2k-2=0， 解得k=-1±. 13.已知向量a=(cos θ，sin θ)，向量b=(3，0)，则|2a-b|的最大值和最小值分别是 A.4，0 B.4，2 C.25，1 D.5，1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 |2a-b|== ==. ∵cos θ∈[-1，1]. ∴13-12cos θ∈[1，25]， ∴|2a-b|∈[1，5]，故选D. 14.已知a=(1，-1)，b=(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为　　 　　.  (-∞，-1)∪(-1，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵a=(1，-1)，b=(λ，1)， ∴|a|=，|b|=，a·b=λ-1. 又∵a，b的夹角α为钝角， ∴ ∴λ<1且λ≠-1. ∴λ的取值范围是(-∞，-1)∪(-1，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 15.(多选)角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(-3，-4)，且tan α=-2，则与的夹角的余弦值为 A.- B. C. D.- √ 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵tan α=-2， ∴可设P(x，-2x)，的夹角为θ， 则cos θ==， 当x>0时，cos θ=， 当x<0时，cos θ=-. 16.已知=(4，0)，=(2，2)，=(1-λ)+λ(λ2≠λ). (1)求·及在上的投影向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ·=8.设的夹角为θ， 则cos θ===， ∴上的投影向量为(||cos θ)·=4××==(1，). (2)证明A，B，C三点共线，且当=时，求λ的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 =-=(-2，2)， =-=(1-λ)-(1-λ) =(λ-1)， 又∵有公共点B，λ2≠λ， ∴A，B，C三点共线. 当=时，λ-1=1， ∴λ=2. (3)求||的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ||2=(1-λ)2+2λ(1-λ)·+λ2=16λ2-16λ+16=16+12， ∴当λ=时，||取得最小值2. 第一章 <<< $$ 第2课时　向量数量积的坐标表示 [学习目标]　1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 导语 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 一、向量数量积的坐标表示 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，a=(3，2)，b=(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b为多少？ 提示　由题意知，a=3i+2j，b=2i+j，则a·b=(3i+2j)·(2i+j)=6i2+7i·j+2j2. 由于i2=i·i=1，j2=j·j=1，i·j=0，故a·b=8=3×2+2×1；a·b=x1x2+y1y2. 知识梳理 向量数量积的坐标表示 若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 注意点： 向量数量积的坐标表示适用于任意向量. 例1　(1)已知a=(2，-1)，b=(1，-1)，则(a+2b)·(a-3b)等于(　　) A.10 B.-10 C.3 D.-3 答案　B 解析　a+2b=(4，-3)，a-3b=(-1，2)， 所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2 =-10. (2)如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边CD上，且=2，则·的值是　　　　.  答案　 解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. ∵AB=，BC=2， ∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2). ∵点E在边CD上，且=2， ∴E， ∴=，=， ∴·=-+4=. 反思感悟　数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2=a·a. ②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. ③(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积. 跟踪训练1　(1)向量a=(1，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b)·a等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　C 解析　因为a=(1，-1)，b=(-1，2)， 所以2a+b=2(1，-1)+(-1，2)=(1，0)， 则(2a+b)·a=(1，0)·(1，-1)=1. (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，=2，则·=　　　　.  答案　 解析　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系，则 B(2，0)，E(1，2)，C(2，2)， F，∴=(-1，2)，=. ∴·=2-=. 二、向量的模 问题2　设向量a=(x，y)，你能由两向量数量积的坐标表示求|a|吗？ 提示　能，a2=a·a=x2+y2， 所以|a|=. 问题3　对于平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何用向量推导A，B两点间的距离. 提示　由A(x1，y1)，B(x2，y2)， =(x1-x2，y1-y2)， =·=(x1-x2)2+(y1-y2)2， 得||=， 即AB=. 知识梳理 1.向量的模：设a=(x，y)，则|a|=. 2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=. 注意点： (1)求模时，勿忘记开方. (2)两点间的距离公式也可表示为AB=. 例2　已知向量a=(3，5)，b=(-2，1). (1)求a-2b及其模的大小； (2)若c=a-(a·b)b，求|c|. 解　(1)∵a=(3，5)，b=(-2，1)， ∴a-2b=(3，5)-2(-2，1) =(3+4，5-2)=(7，3)， ∴|a-2b|==. (2)∵a·b=-6+5=-1， ∴c=a+b=(1，6)， ∴|c|==. 反思感悟　求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法 a·a=a2=|a|2或|a|==. 跟踪训练2　已知向量a=(2，1)，a·b=10，|a+b|=5，则|b|等于(　　) A. B. C.5 D.25 答案　C 解析　∵a=(2，1)，∴a2=5， 又|a+b|=5，∴(a+b)2=50， 即a2+2a·b+b2=50， ∴5+2×10+b2=50，∴b2=25，∴|b|=5. 三、向量的夹角与垂直问题 知识梳理 向量的夹角 设两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义，可得cos θ==. 特别地，a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 注意点： a⊥b⇔x1x2+y1y2=0的前提条件是a，b均不为零向量. 例3　已知向量=(-1，3)，=(1，t)，若(-2)⊥. (1)求向量与的夹角θ； (2)求点A到直线OB的距离. 解　(1)因为=(-1，3)，=(1，t)， 所以-2=(-3，3-2t)， 因为(-2)⊥， 所以(-2)·=(-3)×(-1)+(3-2t)×3=0，解得t=2， 所以·=(-1)×1+3×2=5， ||=，||=， 所以cos θ===， 所以θ=45°. (2)点A到直线OB的距离为 d=||sin∠AOB=×=. 反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法： 由cos θ==直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时，要注意cos θ<0时有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 跟踪训练3　(1)已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A.2 B. C.0 D.- 答案　B 解析　因为a=(1，)，b=(3，m). 所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m， 又a，b的夹角为， 所以cos =，即=， 所以+m=， 解得m=. (2)已知a=(-3，2)，b=(-1，0)，若向量λa+b与a-2b垂直，则实数λ的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　由向量λa+b与a-2b垂直，得 (λa+b)·(a-2b)=0. 因为a=(-3，2)，b=(-1，0)， 所以λa+b=(-3λ-1，2λ)，a-2b=(-1，2)， 所以(λa+b)·(a-2b) =(-3λ-1)×(-1)+2λ×2=0， 即3λ+1+4λ=0， 解得λ=-. 1.知识清单： (1)向量数量积的坐标表示. (2)用坐标表示向量的模及夹角. (3)向量垂直的坐标表示. 2.方法归纳：坐标法. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错. 1.若向量a=(x，2)，b=(-1，3)，a·b=3，则x等于(　　) A.3 B.-3 C. D.- 答案　A 解析　a·b=-x+6=3，故x=3. 2.已知a=(-，-1)，b=(1，)，那么a，b的夹角θ等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　cos θ===-， 又因为θ∈[0，π]，所以θ=. 3.已知向量a=(1，n)，b=(-1，n)，若2a-b与b垂直，则|a|等于(　　) A.1 B. C.2 D.4 答案　C 解析　∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2 =2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0， ∴n2=3，∴|a|==2. 4.若平面向量a=(1，-2)与b的夹角是180°，且|b|=3，则b等于(　　) A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 答案　A 解析　由题意，设b=λa=(λ，-2λ)(λ<0)， 则|b|==|λ|=3， 又λ<0， ∴λ=-3，故b=(-3，6). 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知a=(1，2)，b=(4，3)，则(a-b)·b等于(　　) A.-30 B.-15 C.-10 D.5 答案　B 解析　因为a=(1，2)，b=(4，3)， 所以a-b=(-3，-1)， 所以(a-b)·b=(-3)×4+(-1)×3=-15. 2.已知A(0，-1)，B(0，3)，则||等于(　　) A.2 B. C.4 D.2 答案　C 解析　因为A(0，-1)，B(0，3)， 所以=(0，4)， 则||=4. 3.已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设a，b的夹角为θ， ∵|a|=，|b|=，a·b=5， ∴cos θ===. 又∵θ∈[0，π]， ∴a与b的夹角为. 4.(多选)设向量a=(2，0)，b=(1，1)，则下列结论正确的是(　　) A.|a|=b2 B.a·b=0 C.a=2b D.(a-b)⊥b 答案　AD 解析　|a|=b2=2，故A正确；B，C显然错误； ∵a-b=(1，-1)， ∴(a-b)·b=1-1=0，故D正确. 5.已知点A(-2，-3)，B(19，4)，C(-1，-6)，则△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　∵=(19，4)-(-2，-3)=(21，7)， =(-1，-6)-(-2，-3)=(1，-3)， ∴·=21-21=0， ∴⊥. 则∠A=90°， 又||≠||， ∴△ABC为直角三角形. 6.设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵四边形OABC是平行四边形， ∴=，即(4-0，2-0)=(a-2，8-a)， ∴a=6， ∵=(4，2)，=(2，6)， 设向量与的夹角为θ， ∴cos θ===， 又θ∈(0，π)， ∴与的夹角为. 7.(5分)已知向量=(-2，1)，=(-1，2)，则点B到直线AC的距离为　　　　.  答案　 解析　因为=(-2，1)，=(-1，2)， 所以cos〈，〉===， 因为向量与的夹角的取值范围为[0，π]， 所以sin〈，〉=， 所以点B到直线AC的距离为 ||sin〈，〉=×=. 8.(5分)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=　　　　，|a+b|=　　　　.  答案　-2　 解析　由|a+b|2=|a|2+|b|2，得a·b=0， 即m+2=0，解得m=-2. 所以a+b=(-1，3)， 所以|a+b|=. 9.(10分)已知向量a=(1，2)，b=(2，-2). (1)设c=4a+b，求(b·c)a；(5分) (2)若a+λb与a垂直，求λ的值.(5分) 解　(1)∵c=4(1，2)+(2，-2)=(6，6)， ∴b·c=(2，-2)·(6，6)=2×6-2×6=0， ∴(b·c)a=0·a=0. (2)∵a+λb=(1，2)+λ(2，-2)=(1+2λ，2-2λ)， (a+λb)⊥a， ∴(1+2λ)+2(2-2λ)=0， 解得λ=. 10.(10分)已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4)， (1)求证：AB⊥AD；(4分) (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值.(6分) (1)证明　∵A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4)， ∴=(1，1)，=(-3，3)， ∴·=1×(-3)+1×3=0， ∴⊥，即AB⊥AD. (2)解　∵四边形ABCD为矩形， ∴=. 设点C的坐标为(x，y)， 则=(1，1)，=(x+1，y-4)， ∴解得 ∴C点坐标为(0，5). 则=(-2，4)，=(-4，2)， ∴·=8+8=16，||=2，||=2. 设与的夹角为θ， 则cos θ===， ∴矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值为. 11.已知向量a=(3，0)，b=(0，1).若a-λb与2a+b共线，则实数λ的值为(　　) A.1 B.-1 C. D.- 答案　D 解析　由题意知，a-λb=(3，-λ)，2a+b=(6，1). ∵a-λb与2a+b共线， ∴设a-λb=μ(2a+b)， 即(3，-λ)=μ(6，1)， 则解得 12.(多选)已知a=(1，1)，b=(0，-2)，且ka-b与a+b的夹角为120°，则k等于(　　) A.-1+ B.-2 C.-1- D.1 答案　AC 解析　∵ka-b=(k，k+2)，a+b=(1，-1)， ∴|ka-b|=， |a+b|==， (ka-b)·(a+b)=(k，k+2)·(1，-1) =k-k-2=-2， 又ka-b与a+b的夹角为120°， ∴cos 120°=， 即-=， 化简并整理，得k2+2k-2=0， 解得k=-1±. 13.已知向量a=(cos θ，sin θ)，向量b=(3，0)，则|2a-b|的最大值和最小值分别是(　　) A.4，0 B.4，2 C.25，1 D.5，1 答案　D 解析　|2a-b|== ==. ∵cos θ∈[-1，1]. ∴13-12cos θ∈[1，25]， ∴|2a-b|∈[1，5]，故选D. 14.(5分)已知a=(1，-1)，b=(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为　　　　.  答案　(-∞，-1)∪(-1，1) 解析　∵a=(1，-1)，b=(λ，1)， ∴|a|=，|b|=，a·b=λ-1. 又∵a，b的夹角α为钝角， ∴即 ∴λ<1且λ≠-1. ∴λ的取值范围是(-∞，-1)∪(-1，1). 15.(多选)角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(-3，-4)，且tan α=-2，则与的夹角的余弦值为(　　) A.- B. C. D.- 答案　AC 解析　∵tan α=-2， ∴可设P(x，-2x)，与的夹角为θ， 则cos θ==， 当x>0时，cos θ=， 当x<0时，cos θ=-. 16.(12分)已知=(4，0)，=(2，2)，=(1-λ)+λ(λ2≠λ). (1)求·及在上的投影向量；(4分) (2)证明A，B，C三点共线，且当=时，求λ的值；(4分) (3)求||的最小值.(4分) 解　(1)·=8.设与的夹角为θ， 则cos θ===， ∴在上的投影向量为(||cos θ)·=4××==(1，). (2)=-=(-2，2)， =-=(1-λ)-(1-λ) =(λ-1)， 又∵与有公共点B，λ2≠λ， ∴A，B，C三点共线. 当=时，λ-1=1， ∴λ=2. (3)||2=(1-λ)2+2λ(1-λ)·+λ2=16λ2-16λ+16=16+12， ∴当λ=时，||取得最小值2. 学科网（北京）股份有限公司 $$