第9章 9.3.2 第1课时 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

9.3.2　向量坐标表示与运算 第1课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 [学习目标]　1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算. 导语 我们知道，在平面直角坐标系内，任意一点P都可以用有序实数对(x，y)来表示，而点P唯一对应着以原点O为起点，P为终点的向量，那么，平面内的任意一个向量a也能用一对有序实数来表示吗？ 一、向量的坐标表示 问题1　如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用i，j表示成什么？a的坐标如何表示？ 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a=xi+yj.a=(x，y). 知识梳理 1.向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a=xi+yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a=(x，y).特殊向量的坐标i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0). 2.点的坐标与向量坐标的区别和联系 区别 表示形式不同 向量a=(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a=(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 注意点： (1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，与向量的具体位置无关. (2)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a=(x，y). 例1　已知O是坐标原点，点A在第二象限，||=6，∠xOA=150°，向量的坐标为　　　　.  答案　(-3，3) 解析　设点A(x，y)， 则x=||cos 150°=6cos 150°=-3， y=||sin 150°=6sin 150°=3， 即A(-3，3)，所以=(-3，3). 反思感悟　求点和向量坐标的方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. (2)求一个向量的坐标，可以把向量起点放在坐标原点，则向量终点的坐标即为该向量的坐标. 跟踪训练1　在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出a，b，c的坐标. 解　设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)， 则a1=|a|cos 45°=2×=， a2=|a|sin 45°=2×=； b1=|b|cos 120°=3×=-， b2=|b|sin 120°=3×=； c1=|c|cos(-30°)=4×=2， c2=|c|sin(-30°)=4×=-2. 因此a=(，)，b=，c=(2，-2). 二、向量线性运算的坐标表示 问题2　已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b，λa的坐标吗？ 提示　a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1). 问题3　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示　=-=(x2，y2)-(x1，y1) =(x2-x1，y2-y1). 知识梳理 1.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)和实数λ 数学公式 文字语言表述 向量加法 a+b=(x1+x2，y1+y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a-b=(x1-x2，y1-y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 向量数乘 λa=(λx1，λy1) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，)，这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标. 注意点： (1)相应坐标相加减. (2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. 例2　(1)已知a=(-1，2)，b=(2，1)，求： ①2a+3b；②a-3b；③a-b. 解　①2a+3b=2(-1，2)+3(2，1) =(-2，4)+(6，3)=(4，7). ②a-3b=(-1，2)-3(2，1) =(-1，2)-(6，3)=(-7，-1). ③a-b=(-1，2)-(2，1) =-=. (2)已知点M(5，-6)和向量a=(1，-2)，若=-3a，则点N的坐标为　　　　.  答案　(2，0) 解析　=-3a=-3(1，-2)=(-3，6). 设N(x，y)，则=(x-5，y+6)=(-3，6). 所以解得 所以N(2，0). 反思感悟　向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 跟踪训练2　(1)已知向量a=(5，2)，b=(-4，-3)，若c满足3a-2b+c=0，则c等于(　　) A.(-23，-12) B.(23，12) C.(7，0) D.(-7，0) 答案　A 解析　∵3a-2b+c=0， ∴c=-3a+2b=-3(5，2)+2(-4，-3) =(-23，-12). (2)已知M(3，-2)，N(-5，-1)，=，则P点的坐标为　　　　.  答案　 解析　设P(x，y)， ∴=(x-3，y+2)， 又=(-8，1)， 故由=， 得∴ ∴P. 三、向量坐标运算的应用 例3　直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使=λ(λ≠-1)，λ叫作点P分有向线段所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P分有向线段所成的比为λ(λ≠-1)，求点P的坐标. 解　设P(x，y). 则=(x-x1，y-y1)，=(x2-x，y2-y)， 由=λ， 得(x-x1，y-y1)=λ(x2-x，y2-y)， 于是 因为λ≠-1， 所以 所以点P的坐标为. 延伸探究　如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且=2，求点G的坐标. 解　∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为， ∵=2， ∴=2， 设G点坐标为(x，y)，由本例结论可得 x==， y==， 即点G的坐标为. 反思感悟　坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等. (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 跟踪训练3　已知点P1(2，-1)，点P2(-1，3)，点P在线段P1P2上，且||=||，则点P的坐标为　　　　.  答案　 解析　设点P的坐标为(x，y)， ∵点P在线段P1P2上， ∴由||=||， 可得=. 又∵=(x-2，y+1)，=(-1-x，3-y)， ∴解得 ∴点P的坐标为. 1.知识清单： (1)向量的坐标表示. (2)向量加、减、数乘运算的坐标表示. (3)向量坐标运算的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：混淆点的坐标与向量的坐标致错. 1.已知=(-2，4)，则下列说法正确的是(　　) A.点A的坐标是(-2，4) B.点B的坐标是(-2，4) C.当点B是坐标原点时，点A的坐标是(-2，4) D.当点A是坐标原点时，点B的坐标是(-2，4) 答案　D 解析　由任一向量的坐标的定义可知，当A是坐标原点时，点B的坐标是(-2，4). 2.已知a=(1，1)，b=(1，-1)，则a-b等于(　　) A.(-1，2) B.(1，-2) C.(-1，-2) D.(1，2) 答案　A 解析　a-b=(1，1)-(1，-1) = =(-1，2). 3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且=2，则顶点D的坐标为(　　) A. B. C.(3，2) D.(1，3) 答案　A 解析　设D点坐标为(x，y)，则=(4，3)， =(x，y-2)， 由=2，得 解得∴D. 4.已知点O(0，0)，向量=(3，3)，=(6，-3)，点P是线段AB的三等分点且靠近点B，则点P的坐标为　　　　.  答案　(5，-1) 解析　由已知得=2.由有向线段定比分点坐标公式知λ=2. 则点P的坐标为=(5，-1). 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知点A(1，1)，B(2，4)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是(　　) A.(2，0) B.(3，3) C.(1，3) D.(3，4) 答案　C 解析　∵点A(1，1)，B(2，4)， ∴=， 将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化， ∴==. 2.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若=4i+2j，=3i+4j，则2+的坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为=，=， 所以2+=. 3.(多选)下面说法中正确的有(　　) A.相等向量的对应坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应 答案　ABD 解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A，B，D都正确. 4.已知两点A(2，1)，B(-2，3)，且=，则点C的坐标为(　　) A.(0，2) B.(0，-2) C.(2，0) D.(-2，0) 答案　A 解析　设C(x，y)，则=(x-2，y-1)， 又=(-4，2)，=， ∴∴∴C(0，2). 5.若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c等于(　　) A.3a-b B.3a+b C.-a+3b D.a+3b 答案　A 解析　设c=xa+yb， 则解得∴c=3a-b. 6.如果将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　　) A. B. C.(-1，) D. 答案　D 解析　如图所示，设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x，y)，则x=||·cos(120°+30°)=-，y=||sin(120°+30°)=，由此可知B点坐标为，故的坐标是. 7.(5分)已知点A(-3，-2)，B(5，6)，则=　　　　，线段AB的中点坐标为　　　　.  答案　(-8，-8)　(1，2) 解析　=(-3，-2)-(5，6)=(-8，-8)， 线段AB的中点坐标为，即(1，2). 8.(5分)设m=(a，b)，n=(c，d)，规定向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd，ad+bc).已知p=(1，2)，p⊗q=(-4，-3)，则q=　　　　　　.  答案　(-2，1) 解析　设q=(x，y)， 则p⊗q=(x-2y，y+2x)=(-4，-3)， 所以解得则q=(-2，1). 9.(10分)已知点A(-1，2)，B(2，8)及=，=-，求点C，D和的坐标. 解　设点C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意可得=(x1+1，y1-2)，=(3，6)， =(-1-x2，2-y2)，=(-3，-6). ∵=，=-， ∴(x1+1，y1-2)=(3，6)=(1，2)， (-1-x2，2-y2)=-(-3，-6)=(1，2)， 则有和 解得和 ∴点C，D的坐标分别为(0，4)和(-2，0)， ∴=(-2，-4). 10.(11分)已知点A(2，3)，B(5，4)，=(5λ，7λ).若=+(λ∈R)，试求λ为何值时： (1)点P在第一、三象限的角平分线上；(5分) (2)点P在第三象限内.(6分) 解　设点P的坐标为(x，y)， 则=(x，y)-(2，3)=(x-2，y-3)， +=(5，4)-(2，3)+(5λ，7λ) =(3，1)+(5λ，7λ)=(3+5λ，1+7λ). ∵=+，且与不共线， ∴解得 (1)若点P在第一、三象限的角平分线上， 则5+5λ=4+7λ， ∴λ=. (2)若点P在第三象限内，则 ∴λ<-1. 11.已知两点A(4，1)，B(7，-3)，||=5，则与向量同向的单位向量是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为与同向的单位向量为， 又=(7，-3)-(4，1)=(3，-4)，||=5， 所以=. 12.(多选)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，则第四点的坐标可能为(　　) A.(2，2) B.(4，6) C.(-6，0) D.(4，-6) 答案　ABC 解析　设第四点的坐标为D(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由=(1，2)，=(3-x，4-y)，且=，得D(2，2). 当平行四边形为ACDB时， 由=(1，2)，=(x-3，y-4)， 且=，得D(4，6). 当平行四边形为ACBD时， 由=(5，3)，=(-1-x，3-y)， 且=，得D(-6，0). 故第四点的坐标为(2，2)或(4，6)或(-6，0). 13.若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取{i，j}作为基底，设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　向量a对应的坐标为(x2+x+1，-x2+x-1). ∵x2+x+1=+>0，-x2+x-1=--<0， ∴向量a对应的坐标位于第四象限. 14.(5分)已知A，B(1，4)，=(sin α，cos β)，α，β∈，则α+β=　　　　.  答案　或- 解析　由题意得==(sin α，cos β)， ∴sin α=-，cos β=. 又∵α，β∈， ∴α=-，β=或-， ∴α+β=或-. 15.已知集合M={a|a=(1，2)+λ(3，4)，λ∈R}，N={a|a=(-2，-2)+μ(4，5)，μ∈R}，则M∩N等于(　　) A.{(1，1)} B.{(1，2)，(-2，-2)} C.{(-2，-2)} D.⌀ 答案　C 解析　易知a∈M∩N，则存在λ和μ使得(1，2)+λ(3，4)=(-2，-2)+μ(4，5)， 即(3，4)=(4μ-3λ，5μ-4λ). ∴解得 ∴a=(-2，-2).∴M∩N={(-2，-2)}. 16.(12分)已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及=+t. (1)当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(6分) (2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由.(6分) 解　(1)=+t=(1，2)+t(3，3) =(1+3t，2+3t)， 若点P在x轴上，则2+3t=0，∴t=-. 若点P在y轴上，则1+3t=0，∴t=-. 若点P在第二象限，则 ∴-<t<-. (2)=(1，2)，=-=(3-3t，3-3t). 若四边形OABP为平行四边形， 则=， ∴该方程组无解. 故四边形OABP不能为平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 <<< 第1课时 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 1 1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算. 学习目标 导 语 我们知道，在平面直角坐标系内，任意一点P都可以用有序实数对(x，y)来表示，而点P唯一对应着以原点O为起点，P为终点的向量，那么，平面内的任意一个向量a也能用一对有序实数来表示吗？ 一、向量的坐标表示 二、向量线性运算的坐标表示 课时对点练 三、向量坐标运算的应用 随堂演练 内容索引 4 向量的坐标表示 一 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用i，j表示成什么？a的坐标如何表示？ 问题1 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a=xi+yj.a=(x，y). 1.向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个　　　　　 i，j作为基底.对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a=xi+yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a= 　　　.特殊向量的坐标i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0). 单位向量 (x，y) 知识梳理 2.点的坐标与向量坐标的区别和联系 区别 表示形式不同 向量a=(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a=(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 知识梳理 (1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，与向量的具体位置无关. (2)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a=(x，y). 注 意 点 <<< 9 　　　已知O是坐标原点，点A在第二象限，||=6，∠xOA=150°，向量的坐标为　　　　　　.  例 1 (-3，3) 设点A(x，y)， 则x=||cos 150°=6cos 150°=-3， y=||sin 150°=6sin 150°=3， 即A(-3，3)，所以=(-3，3). 10 反 思 感 悟 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. (2)求一个向量的坐标，可以把向量起点放在坐标原点，则向量终点的坐标即为该向量的坐标. 求点和向量坐标的方法 11 　在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出a，b，c的坐标. 跟踪训练 1 12 设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)， 则a1=|a|cos 45°=2×=， a2=|a|sin 45°=2×=； b1=|b|cos 120°=3×=-， b2=|b|sin 120°=3×=； c1=|c|cos(-30°)=4×=2， 13 c2=|c|sin(-30°)=4×=-2. 因此a=()，b=，c=(2，-2). 14 二 向量线性运算的坐标表示 提示　a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1). 已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b，λa的坐标吗？ 问题2 提示　=-=(x2，y2)-(x1，y1) =(x2-x1，y2-y1). 如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 问题3 1.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)和实数λ   数学公式 文字语言表述 向量加法 a+b=(x1+x2，y1+y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a-b=(x1-x2，y1-y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 向量数乘 λa=__________ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 (λx1，λy1) 知识梳理 18 2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，)，这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标. 知识梳理 19 (1)相应坐标相加减. (2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. 注 意 点 <<< 20 　 (1)已知a=(-1，2)，b=(2，1)，求： ①2a+3b； 例 2 2a+3b=2(-1，2)+3(2，1) =(-2，4)+(6，3)=(4，7). ②a-3b； a-3b=(-1，2)-3(2，1) =(-1，2)-(6，3)=(-7，-1). 21 ③a-b. a-b=(-1，2)-(2，1) =-=. 22 (2)已知点M(5，-6)和向量a=(1，-2)，若=-3a，则点N的坐标为　　　　.  (2，0) =-3a=-3(1，-2)=(-3，6). 设N(x，y)，则=(x-5，y+6)=(-3，6). 所以 所以N(2，0). 23 反 思 感 悟 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 向量坐标运算的方法 　(1)已知向量a=(5，2)，b=(-4，-3)，若c满足3a-2b+c=0，则c等于 A.(-23，-12) B.(23，12) C.(7，0) D.(-7，0) 跟踪训练 2 √ ∵3a-2b+c=0， ∴c=-3a+2b=-3(5，2)+2(-4，-3) =(-23，-12). 25 (2)已知M(3，-2)，N(-5，-1)，=，则P点的坐标为　 　　　.  26 设P(x，y)， ∴=(x-3，y+2)， 又=(-8，1)， 故由=， 得∴ ∴P. 27 向量坐标运算的应用 三 已知，直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使=λ(λ≠-1)，λ叫作点P分有向线段所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P分有向线段所成的比为λ(λ≠-1)，求点P的坐标. 例 3 29 设P(x，y). 则=(x-x1，y-y1)，=(x2-x，y2-y)， 由=λ，得(x-x1，y-y1)=λ(x2-x，y2-y)， 于是 因为λ≠-1，所以 所以点P的坐标为. 30 　　　　如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且=2，求点G的坐标. 延伸探究 31 ∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为， ∵=2， ∴=2， 设G点坐标为(x，y)，由本例结论可得 x==，y==， 即点G的坐标为. 32 反 思 感 悟 (1)条件：相等向量的对应坐标相等. (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 坐标形式下向量相等的条件及其应用 　已知点P1(2，-1)，点P2(-1，3)，点P在线段P1P2上，且||= ||，则点P的坐标为　　　　.  跟踪训练 3 34 设点P的坐标为(x，y)， ∵点P在线段P1P2上， ∴由||=||，可得=. 又∵=(x-2，y+1)，=(-1-x，3-y)， ∴ ∴点P的坐标为. 35 1.知识清单： (1)向量的坐标表示. (2)向量加、减、数乘运算的坐标表示. (3)向量坐标运算的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：混淆点的坐标与向量的坐标致错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知=(-2，4)，则下列说法正确的是 A.点A的坐标是(-2，4) B.点B的坐标是(-2，4) C.当点B是坐标原点时，点A的坐标是(-2，4) D.当点A是坐标原点时，点B的坐标是(-2，4) √ 由任一向量的坐标的定义可知，当A是坐标原点时，点B的坐标是(-2，4). 2.已知a=(1，1)，b=(1，-1)，则a-b等于 A.(-1，2) B.(1，-2) C.(-1，-2) D.(1，2) √ 1 2 3 4 a-b=(1，1)-(1，-1) = =(-1，2). 3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且= 2，则顶点D的坐标为 A. B. C.(3，2) D.(1，3) √ 1 2 3 4 设D点坐标为(x，y)，则=(4，3)，=(x，y-2)， 由=2 解得∴D. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.已知点O(0，0)，向量=(3，3)，=(6，-3)，点P是线段AB的三等分点且靠近点B，则点P的坐标为　　　　.  由已知得=2. 由有向线段定比分点坐标公式知λ=2. 则点P的坐标为=(5，-1). (5，-1) 课时对点练 五 43 答案 题号 1 2 3 4 5 6 　7 答案 C D ABD A A D (-8，-8)　(1，2) 题号 8 11 12 　13 14 　15 答案 (-2，1) A ABC 　D 　C 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 设点C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意可得=(-1-x2，2-y2)， =(-3，-6). ∵， ∴(x1+1，y1-2)=(3，6)=(1，2)，(-1-x2，2-y2)=-(-3，-6)=(1，2)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 则有 解得 ∴点C，D的坐标分别为(0，4)和(-2，0)， ∴=(-2，-4). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 设点P的坐标为(x，y)， 则=(x，y)-(2，3)=(x-2，y-3)， =(5，4)-(2，3)+(5λ，7λ) =(3，1)+(5λ，7λ)=(3+5λ，1+7λ). ∵不共线， ∴ (1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5+5λ=4+7λ，∴λ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)若点P在第三象限内， 则∴λ<-1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1) =(1，2)+t(3，3) =(1+3t，2+3t)， 若点P在x轴上，则2+3t=0，∴t=-. 若点P在y轴上，则1+3t=0，∴t=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 若点P在第二象限，则 ∴-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2) =(3-3t，3-3t). 若四边形OABP为平行四边形， 则， ∴该方程组无解. 故四边形OABP不能为平行四边形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.已知点A(1，1)，B(2，4)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是 A.(2，0) B.(3，3) C.(1，3) D.(3，4) √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵点A(1，1)，B(2，4)， ∴=， 将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化， ∴==. 11 12 13 14 15 16 答案 2.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若=4i+2j，=3i+4j，则2+的坐标是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 11 12 13 14 15 16 答案 因为==， 所以2+=. 3.(多选)下面说法中正确的有 A.相等向量的对应坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一 　对应 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A，B，D都正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.已知两点A(2，1)，B(-2，3)，且=，则点C的坐标为 A.(0，2) B.(0，-2) C.(2，0) D.(-2，0) √ 设C(x，y)，则=(x-2，y-1)， 又=(-4，2)，=， ∴∴∴C(0，2). 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c等于 A.3a-b B.3a+b C.-a+3b D.a+3b √ 11 12 13 14 15 16 答案 设c=xa+yb， 则∴c=3a-b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.如果将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是 A. B. C.(-1，) D. √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图所示，设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x，y)， 则x=||·cos(120°+30°)=-，y=||sin(120°+30°)=，由此可知B点坐标为. 11 12 13 14 15 16 答案 7.已知点A(-3，-2)，B(5，6)，则=　　　　，线段AB的中点坐标为　　　　.  =(-3，-2)-(5，6)=(-8，-8)， 线段AB的中点坐标为，即(1，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (-8，-8) 11 12 13 14 15 16 答案 (1，2) 8.设m=(a，b)，n=(c，d)，规定向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd，ad+bc).已知p=(1，2)，p⊗q=(-4，-3)，则q=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设q=(x，y)， 则p⊗q=(x-2y，y+2x)=(-4，-3)， 所以则q=(-2，1). 11 12 13 14 15 16 答案 (-2，1) 9.已知点A(-1，2)，B(2，8)及=，=-，求点C，D和的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设点C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意可得=(x1+1，y1-2)，=(3，6)， =(-1-x2，2-y2)，=(-3，-6). ∵==-， ∴(x1+1，y1-2)=(3，6)=(1，2)， (-1-x2，2-y2)=-(-3，-6)=(1，2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 则有 解得 ∴点C，D的坐标分别为(0，4)和(-2，0)， ∴=(-2，-4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知点A(2，3)，B(5，4)，=(5λ，7λ).若=+(λ∈R)，试求λ为何值时： (1)点P在第一、三象限的角平分线上； 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设点P的坐标为(x，y)， 则=(x，y)-(2，3)=(x-2，y-3)， +=(5，4)-(2，3)+(5λ，7λ) =(3，1)+(5λ，7λ)=(3+5λ，1+7λ). ∵=+不共线， ∴ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若点P在第一、三象限的角平分线上， 则5+5λ=4+7λ， ∴λ=. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)点P在第三象限内. 11 12 13 14 15 16 答案 若点P在第三象限内，则 ∴λ<-1. 11.已知两点A(4，1)，B(7，-3)，||=5，则与向量同向的单位向量是 A. B. C. D. √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为与， 又=(7，-3)-(4，1)=(3，-4)，||=5， 所以=. 12.(多选)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，则第四点的坐标可能为 A.(2，2) B.(4，6) C.(-6，0) D.(4，-6) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 设第四点的坐标为D(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由=(1，2)，=(3-x，4-y)，且=，得D(2，2). 当平行四边形为ACDB时， 由=(1，2)，=(x-3，y-4)， 且=，得D(4，6). 当平行四边形为ACBD时， 由=(5，3)，=(-1-x，3-y)， 且=，得D(-6，0). 故第四点的坐标为(2，2)或(4，6)或(-6，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取{i，j}作为基底，设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于 A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 向量a对应的坐标为(x2+x+1，-x2+x-1). ∵x2+x+1=+>0，-x2+x-1=--<0， ∴向量a对应的坐标位于第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.已知A，B(1，4)，=(sin α，cos β)，α，β∈，则 α+β=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 或- 由题意得==(sin α，cos β)， ∴sin α=-，cos β=. 又∵α，β∈， ∴α=-，β=或-， ∴α+β=或-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 15.已知集合M={a|a=(1，2)+λ(3，4)，λ∈R}，N={a|a=(-2，-2)+μ(4，5)，μ∈R}，则M∩N等于 A.{(1，1)} B.{(1，2)，(-2，-2)} C.{(-2，-2)} D.∅ √ 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 易知a∈M∩N，则存在λ和μ使得(1，2)+λ(3，4)=(-2，-2)+μ(4，5)， 即(3，4)=(4μ-3λ，5μ-4λ). ∴ ∴a=(-2，-2).∴M∩N={(-2，-2)}. 16.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及=+t. (1)当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 =+t=(1，2)+t(3，3) =(1+3t，2+3t)， 若点P在x轴上，则2+3t=0，∴t=-. 若点P在y轴上，则1+3t=0，∴t=-. 若点P在第二象限，则 ∴-<t<-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 =(1，2)，=-=(3-3t，3-3t). 若四边形OABP为平行四边形， 则=， ∴该方程组无解. 故四边形OABP不能为平行四边形. 第一章 <<< $$