第9章 9.3.1 平面向量基本定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

9.3.1　平面向量基本定理 [学习目标]　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 导语 物理上，我们已经学过力的合成与分解，结合平行四边形法则，合力可以分解成不同的分力.力从本质上来讲也是向量，那么是不是所有的向量都可以进行分解？如何进行向量的分解呢？我们今天就来学习平面向量基本定理，学完后我们就可以找到答案. 一、平面向量基本定理 问题1　如图，光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 提示　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2. 问题2　如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量. 提示　=e1，=λ1e1，=e2，=λ2e2，=a=+=λ1e1+λ2e2. 问题3　问题2中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示　分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1+μ2e2的形式，那么λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0，由此式可推出λ1-μ1，λ2-μ2全为0(假设λ1-μ1，λ2-μ2不全为0，不妨假设λ1-μ1≠0，则e1=-e2.由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1=μ1，λ2=μ2，因此，分解方法是唯一的. 问题4　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ 提示　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示. 知识梳理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底：我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底. 3.向量的正交分解 平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，我们称λ1e1+λ2e2为向量a的分解.当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解. 注意点： (1)组成基底的两向量不共线. (2)基底的选取不唯一. 问题5　平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系吗？ 提示　由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的.因此平面向量基本定理是向量共线定理的推广，它们都是向量分解“唯一性”定理. 例1　(1)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A.e1，e2 B.e1+e2，3e1+3e2 C.e1，5e2 D.e1，e1+e2 答案　B 解析　B中，3e1+3e2=3(e1+e2)， ∴e1+e2与3e1+3e2共线， ∴e1+e2，3e1+3e2不可作为基底； A，C，D中各组向量均可作为基底. (2)(多选)如果e1，e2是平面α内的一组基底，λ，μ是实数，下列说法正确的是(　　) A.若λ，μ满足λe1+μe2=0，则λ=μ=0 B.对于平面α内任意一个向量 a，使得 a=λe1+μe2成立的实数λ，μ有无数对 C.线性组合λe1+μe2可以表示平面α内的所有向量 D.当λ，μ取不同的值时，向量λe1+μe2可能表示同一向量 答案　AC 解析　A正确，若λ≠0，则e1=-e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可知μ=0； B不正确，由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定； C正确，平面α内的任一向量 a可表示成λe1+μe2的形式，反之也成立； D不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1+μe2便唯一确定. 反思感悟　(1)判断两个向量是否能构成基底，主要是依据向量共线定理确定两向量是否共线.因为零向量与任意向量都是共线向量，所以基底中的两个向量一定不能有零向量. (2)根据平面向量基本定理，平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示. 跟踪训练1　(1)如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　B 解析　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为一组基底，与不共线，可作为一组基底. (2)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a=-3e1-e2与b=e1-λe2共线，则λ等于(　　) A. B.- C.-3 D.3 答案　B 解析　因为a与b共线， 所以存在μ∈R，使得a=μb， 即-3e1-e2=μ(e1-λe2). 故μ=-3，-λμ=-1，解得λ=-. 二、用基底表示向量 例2　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设=a，=b，试用基底a，b表示，. 解　因为DC∥AB，AB=2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以===b. =++ =--+ =-×b-a+b=b-a. 延伸探究　本例中，若设BC的中点为G，则=　　　　.(用a，b的线性组合表示)  答案　a+b 解析　=++ =-b+a+b=a-b， 所以=+=+ =b+a-b=a+b. 反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)由平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一组基底都可以表示该平面内的任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. 跟踪训练2　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用基底a，b表示，. 解　方法一　由题意知，===a，===b. 所以=+=-=a-b， =+=a+b. 方法二　设=x，=y， 则==y， 又 所以 解得 即=a-b，=a+b. 三、平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 解　设=e1，=e2， 则=+=-3e2-e1， =+=2e1+e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得 =λ=-λe1-3λe2， =μ=2μe1+μe2. 故=+=- =(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而=+=2e1+3e2， 由平面向量基本定理， 得解得 ∴=，=， ∴AP∶PM=4∶1，BP∶PN=3∶2. 反思感悟　若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再利用待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得. 跟踪训练3　已知在△ABC中，点D在BC边上，且=4=r+s，则3r+s等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图所示， =-， =-， ∵=4， ∴-=4(-)， ∴=+， ∴=- =-. 又=r+s， ∴r=，s=-， ∴3r+s=3×-=. 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)用基底表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：数形结合法，待定系数法. 3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量. 1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面内的基底的是(　　) A.e1-e2，e2-e1 B.2e1-e2，e1-e2 C.2e2-3e1，6e1-4e2 D.e1+e2，e1-e2 答案　D 解析　选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底. 2.在△ABC中，=c，=b，若点D满足=2，以b，c作为基底，则等于(　　) A.b+c B.c-b C.b-c D.b+c 答案　A 解析　∵=2， ∴-=2(-)， ∴-c=2(b-)， ∴=b+c. 3.已知向量a，b不共线，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是(　　) A.{a+b，2a+b} B.{2a-b，-2a+b} C.{3a，a+2b} D.{a-b，3a-2b} 答案　B 解析　因为向量a，b不共线，对于A选项，设a+b，2a+b共线， 则2a+b=λ(a+b)，λ∈R， 可得出无解， 所以a+b，2a+b不共线，故A中的向量能作平面向量的一组基底， 同理可知C，D选项中的向量也可以作平面向量的基底， 对于B选项，因为2a-b=-(-2a+b)， 所以(2a-b)∥(-2a+b)， 所以{2a-b，-2a+b}不能作平面向量的基底. 4. 如图，在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=　　　　.  答案　 解析　设=a，=b， 则=a+b，=a+b， 又∵=a+b，∴=+)， 即λ=μ=，∴λ+μ=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为该平面内的一组基底的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　C 解析　与不共线，故与可作为基底. 2. 如图，在△ABC中，=a，=b，=4，以a，b作为基底，则等于(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a-b 答案　C 解析　=+=+ =+-)=a+b. 3.在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，e1=，e2=，若=xe1+ye2，则x+y的值为(　　) A.7 B.8 C.4 D.12 答案　B 解析　如图，=+ =3e1+5e2， 又=xe1+ye2，∴x=3，y=5， 即x+y=8. 4.设D为△ABC所在平面内一点，=-+，若=λ(λ∈R)，则λ等于(　　) A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案　D 解析　∵=-+ =-++， ∴-=-)， 即=， ∴=3=-3， ∴λ=-3. 5. 如图，已知=a，=b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示为(　　) A.(4a+5b) B.(9a+7b) C.(2a+b) D.(3a+b) 答案　A 解析　=+， =+=+ =+ =. 而=b-a， 所以=b-a， 所以=+=a+ =a+b=(4a+5b). 6.(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下说法(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，其中正确的是(　　) A.给定向量b，总存在向量c，使a=b+c B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a=λb+μc C.给定单位向量b和正数λ，总存在单位向量c和实数μ，使a=λb+μc D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a=λb+μc 答案　ABC 解析　利用向量加法的三角形法则，易得A正确； 利用平面向量基本定理，易得B正确； 根据向量加法的三角形法则，总存在单位向量c和μ，满足a=λb+μc成立，故C正确； 由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边)， 即|λb|+|μc|=λ+μ>|a|，而给定的λ和μ不一定满足此条件，所以D错误. 7.(5分)已知e1，e2不共线，a=e1+2e2，b=2e1+λe2，要使{a，b}能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为　　　　.  答案　(-∞，4)∪(4，+∞) 解析　若{a，b}能作为平面内一组基底，则a与b不共线.又a=e1+2e2，b=2e1+λe2，故由a≠kb(k∈R)，得λ≠4. 8.(5分)如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7=5，=4，EF交AC于点K，=λ，则实数λ的值为　　　　.  答案　- 解析　因为=λ=-λ =-+)， 所以=-. 又E，F，K三点共线，所以-=1， 解得λ=-. 9.(10分)如图，在▱ABCD中，=a，=b，E，F分别是AB，BC的中点，=，试以a，b为基底表示向量与. 解　=+=+=+ =a+b. =++=-++ =-a+b+a=-a+b. 10.(12分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底；(6分) (2)以a，b为基底表示向量c=3e1-e2.(6分) (1)证明　假设a=λb(λ∈R)， 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1，e2不共线，得 方程无解，所以λ不存在. 故a与b不共线，可以作为一组基底. (2)解　设c=ma+nb(m，n∈R)， 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以解得 所以c=2a+b. 11.已知非零向量，不共线，且2=x+y，若=λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　) A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 答案　A 解析　由=λ得-=λ(-)， 即=(1+λ)-λ， 即2=2(1+λ)-2λ， 因为，不共线， 所以所以x+y-2=0. 12.点M是△ABC所在平面内的一点，且满足=+，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，分别在，上取点E，F， 使=，=， 在上取点G， 使=，则EG∥AC，FG∥AE， ∴=+=，∴M与G重合， ∴==. 13. 如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，=a，=b，则等于(　　) A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 答案　D 解析　连接CD，OD(图略)， ∵点C，D是半圆弧的两个三等分点， ∴==， ∴∠CAD=∠DAB=∠CDA=30°， ∴CD∥AB. ∵OA=OD，∠ADO=∠DAO=30°， ∴∠CAD=∠ADO=30°， ∴AC∥OD， ∴四边形ACDO为平行四边形， ∴=+. ∵==a，=b， ∴=a+b. 14.(5分)已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，=y，=x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则=　　　　.  答案　 解析　=-=x-y， 由∥，可设=λ， 即x-y=λ(-) =λ=-+λ， 所以则=. 15.(5分)如图，已知M为△ABC所在平面内的一点，且=+n，若点M在△ABC的内部(不含边界)，则实数n的取值范围为　　　　.  答案　 解析　如图，在线段AB上取点D，在线段BC上取点E，使AD=AB，CE=CB， 因为=+n=+n，DE∥AC， 所以点M的轨迹为线段DE(不包含端点)，因为=，所以实数n的取值范围为. 16.(12分)如图，在▱ABCD中，=a，=b，=，=. (1)试用向量a，b来表示，；(4分) (2)AM交DN于点O，求AO∶OM的值.(8分) 解　(1)因为==a， 所以=-=a-b. 因为===b， 所以=+=a+b. (2)因为A，O，M三点共线， 所以∥， 设=λ， 则=-=λ-=λ-b =λa+b. 因为D，O，N三点共线， 所以∥，存在实数μ使=μ， 则λa+b=μ. 由于向量a，b不共线， 则解得 所以=，=， 所以AO∶OM=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 <<< 9.3.1 平面向量基本定理 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 学习目标 导 语 物理上，我们已经学过力的合成与分解，结合平行四边形法则，合力可以分解成不同的分力.力从本质上来讲也是向量，那么是不是所有的向量都可以进行分解？如何进行向量的分解呢？我们今天就来学习平面向量基本定理，学完后我们就可以找到答案. 一、平面向量基本定理 二、用基底表示向量 课时对点练 三、平面向量基本定理的应用 随堂演练 内容索引 平面向量基本定理 一 如图，光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 问题1 提示　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2. 提示　=e1，=λ1e1，=e2，=λ2e2， =a=+=λ1e1+λ2e2. 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 问题2 请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量. 问题2中的分解方法是否唯一？为什么？ 问题3 提示　分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1+μ2e2的形式，那么λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0，由此式可推出λ1-μ1，λ2-μ2全为0(假设λ1-μ1，λ2-μ2不全为0，不妨假设λ1-μ1≠0，则e1=-e2.由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1=μ1，λ2=μ2，因此，分解方法是唯一的. 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ 问题4 提示　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示. 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个　　 　的向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底：我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底. 3.向量的正交分解 平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a= 的形式，我们称λ1e1+λ2e2为向量a的　　　.当e1，e2所在直线互相　　　时，这种分解也称为向量a的　　　　　. 不共线 任一 有且只有一对 λ1e1+λ2e2 分解 垂直 正交分解 知识梳理 (1)组成基底的两向量不共线. (2)基底的选取不唯一. 注 意 点 <<< 11 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系吗？ 问题5 提示　由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的.因此平面向量基本定理是向量共线定理的推广，它们都是向量分解“唯一性”定理. (1)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是 A.e1，e2 B.e1+e2，3e1+3e2 C.e1，5e2 D.e1，e1+e2 例 1 B中，3e1+3e2=3(e1+e2)， ∴e1+e2与3e1+3e2共线， ∴e1+e2，3e1+3e2不可作为基底； A，C，D中各组向量均可作为基底. √ 13 (2)(多选)如果e1，e2是平面α内的一组基底，λ，μ是实数，下列说法正确的是 A.若λ，μ满足λe1+μe2=0，则λ=μ=0 B.对于平面α内任意一个向量 a，使得 a=λe1+μe2成立的实数λ，μ有无数对 C.线性组合λe1+μe2可以表示平面α内的所有向量 D.当λ，μ取不同的值时，向量λe1+μe2可能表示同一向量 √ √ 14 A正确，若λ≠0，则e1=-e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可知μ=0； B不正确，由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定； C正确，平面α内的任一向量 a可表示成λe1+μe2的形式，反之也成立； D不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1+μe2便唯一确定. 15 反 思 感 悟 (1)判断两个向量是否能构成基底，主要是依据向量共线定理确定两向量是否共线.因为零向量与任意向量都是共线向量，所以基底中的两个向量一定不能有零向量. (2)根据平面向量基本定理，平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示. 16 　(1)如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是 A.， B.， C.， D.， 跟踪训练 1 √ 17 由题中图形可知不共线，可作为一组基底. 18 (2)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a=-3e1-e2与b=e1-λe2共线，则λ等于 A. B.- C.-3 D.3 √ 19 因为a与b共线， 所以存在μ∈R，使得a=μb， 即-3e1-e2=μ(e1-λe2). 故μ=-3，-λμ=-1，解得λ=-. 20 二 用基底表示向量 　 如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设=a，=b，试用基底a，b表示，. 例 2 22 因为DC∥AB，AB=2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以===b. =++ =--+ =-×b-a+b=b-a. 23 　　　　 本例中，若设BC的中点为G，则=　　　　.(用a，b的线性组合表示)  延伸探究 a+b =++ =-b+a+b=a-b， 所以=+=+ =b+a-b=a+b. 24 (1)由平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一组基底都可以表示该平面内的任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. 平面向量基本定理的作用以及注意点 反 思 感 悟 　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用基底a，b表示，. 跟踪训练 2 26 方法一　由题意知，===a，===b. 所以=+=-=a-b， =+=a+b. 方法二　设=x，=y， 则==y， 27 又 所以解得 即=a-b，=a+b. 28 平面向量基本定理的应用 三 已知，如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 例 3 30 设=e1，=e2， 则=+=-3e2-e1，=+=2e1+e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得 =λ=-λe1-3λe2， =μ=2μe1+μe2. 故=+=- =(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 31 而=+=2e1+3e2， 由平面向量基本定理， 得 ∴==， ∴AP∶PM=4∶1，BP∶PN=3∶2. 32 反 思 感 悟 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再利用待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得. 　已知在△ABC中，点D在BC边上，且=4=r+s，则3r+s等于 A. B. C. D. 跟踪训练 3 √ 34 如图所示， =-，=-， ∵=4， ∴-=4(-)， ∴=+， ∴=- =-. 35 又=r+s， ∴r=，s=-， ∴3r+s=3×-=. 36 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)用基底表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：数形结合法，待定系数法. 3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面内的基底的是 A.e1-e2，e2-e1 B.2e1-e2，e1-e2 C.2e2-3e1，6e1-4e2 D.e1+e2，e1-e2 √ 选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底. 2.在△ABC中，=c，=b，若点D满足=2，以b，c作为基底，则等于 A.b+c B.c-b C.b-c D.b+c √ 1 2 3 4 1 2 3 4 ∵=2， ∴-=2(-)， ∴-c=2(b-)， ∴=b+c. 3.已知向量a，b不共线，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是 A.{a+b，2a+b} B.{2a-b，-2a+b} C.{3a，a+2b} D.{a-b，3a-2b} √ 1 2 3 4 因为向量a，b不共线，对于A选项，设a+b，2a+b共线， 则2a+b=λ(a+b)，λ∈R， 可得出无解， 所以a+b，2a+b不共线，故A中的向量能作平面向量的一组基底， 同理可知C，D选项中的向量也可以作平面向量的基底， 对于B选项，因为2a-b=-(-2a+b)， 所以(2a-b)∥(-2a+b)， 所以{2a-b，-2a+b}不能作平面向量的基底. 1 2 3 4 4. 如图，在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中 点，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=　 .  1 2 3 4 设=a，=b， 则=a+b，=a+b， 又∵=a+b，∴=+)， 即λ=μ=，∴λ+μ=. 课时对点练 五 45 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C B D A ABC (-∞，4)∪(4，+∞) 题号 8 11 12 　13 　14 　15 答案 - A B D 　 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. =a+b. =- =-a+b+a=-a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)假设a=λb(λ∈R)， 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1，e2不共线，得 方程无解，所以λ不存在. 故a与b不共线，可以作为一组基底. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)设c=ma+nb(m，n∈R)， 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以 所以c=2a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)因为a， 所以a-b. 因为b， 所以=a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)因为A，O，M三点共线， 所以∥， 设， 则 =λ-b =λa+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 因为D，O，N三点共线，所以∥ ， 则λa+b=μ. 由于向量a，b不共线， 则 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 所以， 所以AO∶OM=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为该平面内的一组基底的是 A.与 B.与 C.与 D.与 √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 可作为基底. 2.如图，在△ABC中，=a，=b，=4，以a，b作为基底，则等于 A.a+b B.a+b C.a+b D.a-b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ =+=+ =+-)=a+b. 11 12 13 14 15 16 答案 3.在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，e1=，e2=，若=xe1+ye2，则x+y的值为 A.7 B.8 C.4 D.12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，=+ =3e1+5e2， 又=xe1+ye2，∴x=3，y=5， 即x+y=8. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.设D为△ABC所在平面内一点，=-+，若=λ(λ∈R)，则λ等于 A.2 B.3 C.-2 D.-3 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵=-+ =-++， ∴-=-)， 即=， ∴=3=-3， ∴λ=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图，已知=a，=b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示为 A.(4a+5b) B.(9a+7b) C.(2a+b) D.(3a+b) 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 =+， =+=+ =+=. 而=b-a， 所以=b-a，所以=+=a+ =a+b=(4a+5b). 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下说法(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，其中正确的是 A.给定向量b，总存在向量c，使a=b+c B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a=λb+μc C.给定单位向量b和正数λ，总存在单位向量c和实数μ，使a=λb+μc D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a=λb+μc √ √ √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 利用向量加法的三角形法则，易得A正确； 利用平面向量基本定理，易得B正确； 根据向量加法的三角形法则，总存在单位向量c和μ，满足a=λb+μc成立，故C正确； 由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边)， 即|λb|+|μc|=λ+μ>|a|，而给定的λ和μ不一定满足此条件，所以D错误. 11 12 13 14 15 16 答案 7.已知e1，e2不共线，a=e1+2e2，b=2e1+λe2，要使{a，b}能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为　　　 .  若{a，b}能作为平面内一组基底，则a与b不共线. 又a=e1+2e2，b=2e1+λe2，故由a≠kb(k∈R)，得λ≠4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (-∞，4)∪(4，+∞) 11 12 13 14 15 16 答案 8.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7=5，= 4，EF交AC于点K，=λ，则实数λ的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为=λ=-λ =-+)， 所以=-. 又E，F，K三点共线，所以-=1， 解得λ=-. 11 12 13 14 15 16 答案 9.如图，在▱ABCD中，=a，=b，E，F分别是AB，BC的中点，=，试以a，b为基底表示向量与. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 =+=+=+ =a+b. =++=-++ =-a+b+a=-a+b. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底； 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 假设a=λb(λ∈R)， 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1，e2不共线，得 方程无解，所以λ不存在. 故a与b不共线，可以作为一组基底. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)以a，b为基底表示向量c=3e1-e2. 设c=ma+nb(m，n∈R)， 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以 所以c=2a+b. 11 12 13 14 15 16 答案 11.已知非零向量，不共线，且2=x+y，若=λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是 A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由=λ-=λ(-)， 即=(1+λ)-λ， 即2=2(1+λ)-2λ， 因为不共线， 所以所以x+y-2=0. 12.点M是△ABC所在平面内的一点，且满足=+，则△ABM与△ABC的面积之比为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，分别在上取点E，F， 使==， 在上取点G， 使=，则EG∥AC，FG∥AE， ∴=+=，∴M与G重合， ∴==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13. 如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，=a，=b，则等于 A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b √ 连接CD，OD(图略)， ∵点C，D是半圆弧的两个三等分点， ∴==， ∴∠CAD=∠DAB=∠CDA=30°， ∴CD∥AB. ∵OA=OD，∠ADO=∠DAO=30°， ∴∠CAD=∠ADO=30°， ∴AC∥OD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∴四边形ACDO为平行四边形， ∴=+. ∵==a，=b， ∴=a+b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，=y，=x，其 中x，y∈R，且均不为0.若∥，则=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 =-=x-y， 由∥=λ， 即x-y=λ(-) =λ=-+λ， 所以=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 15.如图，已知M为△ABC所在平面内的一点，且=+n，若点M 在△ABC的内部(不含边界)，则实数n的取值范围为　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，在线段AB上取点D，在线段BC上取点E，使AD=AB，CE=CB， 因为=+n=+n，DE∥AC， 所以点M的轨迹为线段DE(不包含端点)， 因为=，所以实数n的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.如图，在▱ABCD中，=a，=b，=，=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)试用向量a，b来表示，； 因为==a， 所以=-=a-b. 因为===b， 所以=+=a+b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)AM交DN于点O，求AO∶OM的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为A，O，M三点共线， 所以∥， 设=λ， 则=-=λ-=λ-b =λa+b. 因为D，O，N三点共线， 所以∥，存在实数μ使=μ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 则λa+b=μ. 由于向量a，b不共线， 则 所以==， 所以AO∶OM=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 第一章 <<< $$