第9章 9.2.3 第2课时 向量的数量积(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

第2课时　向量的数量积(二) [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 导语 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 一、向量数量积的运算律及性质 问题1　若实数a，b，c，ab=bc(b≠0)，则a=c，对于两个向量a，b，若a·b=b·c是否也可以得出结论a=c？ 提示　不可以.理由如下： 如图，a·b=|a||b|cos β =|b|||， b·c=|b||c|cos α=|b|||. 所以a·b=b·c，但是a≠c. 问题2　结合向量数量积的定义，你能举出几个数量积满足的运算律和运算性质吗？ 提示　如a·b=b·a，λa·b=λ(a·b)， (a+b)2=a2+2a·b+b2， (a+b)·(a-b)=a2-b2等. 知识梳理 1.平面向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b(数乘结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 2.平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2a·b+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a 注意点： (1)(a·b)c≠a(b·c). (2)a·c=b·ca=b. (3)实数中有些公式可“移植”到向量数量积，有些不可以，如(a·b)2不能写为a2·b2. 例1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A. a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 答案　ACD 解析　根据数量积的分配运算A，D正确； ∵[(b·c)·a-(c·a)·b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0， ∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线， ∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形， ∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确. 反思感悟　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处.例如，由a·b=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1　给出下列结论： ①若a·b=a·c，则b=c； ②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2； ③(a+b)2=|a|2+2|a||b|+|b|2. 其中正确的是　　　　.(填序号)  答案　② 解析　由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确. 二、求向量的模和向量的夹角 例2　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=　　　　.  答案　2 解析　方法一　|a+2b|= = ==2. 方法二　(数形结合法)由|a|=|2b|=2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图， 则|a+2b|=||. 又∠AOB=60°， 所以|a+2b|=2. (2)已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)·(a+b)=. ①求|b|； ②当a·b=-时，求向量a与a+2b的夹角θ的值. 解　①因为(a-b)·(a+b)=， 即a2-b2=，即|a|2-|b|2=， 所以|b|2=|a|2-=1-=， 故|b|=. ②因为|a+2b|2=|a|2+4a·b+|2b|2 =1-1+1=1，故|a+2b|=1. 又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=， 所以cos θ==， 又θ∈[0，π]，故θ=. 反思感悟　(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=，勿忘记开方. (2)求向量夹角的基本步骤及注意事项 ①步骤： ②注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值. 跟踪训练2　已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|3a-2b|=，求a，b的夹角. 解　设a与b的夹角为θ， 由题意得(3a-2b)2=7， ∴9|a|2+4|b|2-12a·b=7， 又|a|=|b|=1，∴a·b=， ∴cos θ==， 又θ∈[0，π]，∴θ=， 即a，b的夹角为. 三、与垂直有关的问题 例3　已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm+n)，则实数t的值为(　　) A.4 B.-4 C. D.- 答案　B 解析　由题意知，==， 所以m·n=|n|2=n2， 因为n·(tm+n)=0， 所以tm·n+n2=0， 即tn2+n2=0， 所以t=-4. 反思感悟　解决有关垂直问题时，利用a⊥b⇔a·b=0(a，b为非零向量). 跟踪训练3　已知向量a，b，且|a|=1，|b|=2，(a+2b)⊥(3a-b)，求向量a与b夹角的大小. 解　设a与b的夹角为θ， 由已知得(a+2b)·(3a-b)=3a2+5a·b-2b2 =3+10cos θ-8=0， 所以cos θ=， 又0°≤θ≤180°， 所以θ=60°， 即a与b的夹角为60°. 1.知识清单： (1)向量数量积的运算律. (2)利用数量积求模和夹角. (3)与垂直有关的问题. 2.方法归纳：类比法. 3.常见误区：忽略向量数量积不满足结合律. 1.已知非零向量a，b满足(a+b)⊥(a-b)，则(　　) A.a=b B.|a|=|b| C.a⊥b D.a∥b 答案　B 解析　∵(a+b)⊥(a-b)，∴(a+b)·(a-b)=0， ∴|a|2-|b|2=0，∴|a|=|b|. 2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a-4b的模为(　　) A.2 B.2 C.6 D.12 答案　B 解析　∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2 =22-8×2×1×cos 60°+16×12=12， ∴|a-4b|==2. 3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　B 解析　因为|e1|=|e2|=1，e1·e2=0， 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1. 4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=1，则向量a与a-b的夹角为　　　　.  答案　 解析　|a-b|== ==， 设向量a与a-b的夹角为θ，则 cos θ===， 又θ∈[0，π]，所以θ=， 所以a与a-b的夹角为. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)下面给出的关系式正确的是(　　) A.m(a+b)=ma+mb B.a·b=b·a C.a2=|a|2 D.|a·b|≤a·b 答案　ABC 解析　|a·b|=|a||b||cos θ|≥a·b(θ为a与b的夹角)，故D错，其余选项均正确. 2.已知|b|=1，|c|=2，b与c的夹角为60°，则a(b·c)的化简结果是(　　) A.0 B.a C.b D.c 答案　B 解析　∵b·c=|b||c|cos 60°=1×2×=1， ∴a(b·c)=a. 3.已知平面向量a，b满足a·(a+b)=3且|a|=2，|b|=1，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设向量a与b的夹角为θ. 因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos θ=3， 所以cos θ=-，又因为θ∈[0，π]， 所以θ=，即a与b的夹角为. 4.若|a|=1，|b|=2，c=a+b且c⊥a，则向量a与b的夹角为(　　) A.120° B.60° C.30° D.150° 答案　A 解析　由c⊥a得，a·c=0， 所以a·c=a·(a+b)=0， 即a2+a·b=0，a·b=-a2. 设向量a与b的夹角为θ， 则cos θ===-， 又0°≤θ≤180°， 所以向量a与b的夹角为120°. 5.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　) A. B. C. D.1 答案　B 解析　因为(b-2a)⊥b， 所以(b-2a)·b=0， 即b2=2a·b， 又因为|a|=1，|a+2b|=2， 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4， 从而|b|=. 6.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，则|a|等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.12 答案　C 解析　因为(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2 =|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2 =|a|2-2|a|-96=-72. 所以|a|2-2|a|-24=0. 解得|a|=6或|a|=-4(舍去). 7.(5分)已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且3a+2b与λa-b垂直，则λ=　　　　.  答案　 解析　∵(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0，∴λ=. 8.(5分)△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若=，=，则·=　　　　.  答案　 解析　由题知AC2+BC2=AB2， 所以△ABC为直角三角形，AC⊥CB， ·=(+)· =· =· =· =+·=×42+0=. 9.(10分)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，若c=2a-b，d=a+2b，求： (1)c·d；(5分) (2)|c+2d|.(5分) 解　(1)c·d=(2a-b)·(a+2b) =2a2-2b2+3a·b =2×4-2×1+3×2×1×=9. (2)∵|c+2d|2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b =16×4+9×1+24×2×1×=97， ∴|c+2d|=. 10.(11分)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α=，向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β，求β的余弦值. 解　因为a2=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4 =9-12×+4=9，所以|a|=3， 因为b2=(3e1-e2)2=9-6e1·e2+ =9-6×+1=8，所以|b|=2， 又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2) =9-9e1·e2+2=9-9×+2=8， 所以cos β===. 11.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·=12，则b在a上的投影向量为(　　) A.a B.2b C.a D.2b 答案　A 解析　·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12， 解得|b|=或|b|=-(舍去).故b在a上的投影向量为|b|cos 45°=××=a. 12.(多选)已知正△ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是(　　) A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 答案　CD 解析　由题意，得|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B错误； ∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2 =1+2×1×2×+4=3， ∴|a+b|=，故A错误； ∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×+4=0， ∴(4a+b)⊥b，故C正确； ∵a·b=1×2×=-1，故D正确. 13.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 答案　A 解析　因为(-)·(+-2)=0， 即·(+)=0，又因为=-， 所以(-)·(+)=0， 即||=||，所以△ABC是等腰三角形. 14.(5分)已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a-b)=0，则|b|的取值范围是　　　　.  答案　[0，1] 解析　∵b·(a-b)=a·b-|b|2 =|a||b|cos θ-|b|2=0， ∴|b|=|a|cos θ=cos θ (θ为a与b的夹角)或|b|=0，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1. 15.(5分)已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=λa+b与d=a+2b的夹角为锐角，则λ的取值范围为　　　　.  答案　 解析　c=λa+b与d=a+2b的夹角为锐角，等价于c·d>0，且c与d不能共线且同向. 由c·d>0，得(λa+b)·(a+2b)>0， 即λa2+(2λ+1)a·b+2b2>0， 所以λ+(2λ+1)×1×2×+2×22>0， 解得λ>-3； 若c与d共线且同向时，设c=td， 则λa+b=t(a+2b)=ta+2tb， 因为a与b不共线，所以解得λ=t=， 综上，λ的取值范围为. 16.(12分)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a-b)⊥c；(6分) (2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围.(6分) (1)证明　因为|a|=|b|=|c|=1， 且a，b，c之间的夹角均为120°， 所以(a-b)·c=a·c-b·c =|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0， 所以(a-b)⊥c. (2)解　因为|ka+b+c|>1，所以(ka+b+c)2>1， 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1， 因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-， 所以k2-2k>0，解得k<0或k>2. 所以实数k的取值范围为(-∞，0)∪(2，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 <<< 第2课时 向量的数量积(二) 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 学习目标 导 语 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 一、向量数量积的运算律及性质 二、求向量的模和向量的夹角 课时对点练 三、与垂直有关的问题 随堂演练 内容索引 4 向量数量积的运算律及性质 一 若实数a，b，c，ab=bc(b≠0)，则a=c，对于两个向量a，b，若a·b=b·c是否也可以得出结论a=c？ 问题1 提示　不可以.理由如下： 如图，a·b=|a||b|cos β=|b|||， b·c=|b||c|cos α=|b|||. 所以a·b=b·c，但是a≠c. 提示　如a·b=b·a，λa·b=λ(a·b)， (a+b)2=a2+2a·b+b2， (a+b)·(a-b)=a2-b2等. 结合向量数量积的定义，你能举出几个数量积满足的运算律和运算性质吗？ 问题2 1.平面向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b= (交换律). (2)(λa)·b= 　　　= =λa·b(数乘结合律). (3)(a+b)·c= 　　　　(分配律). b·a λ(a·b) a·(λb) a·c+b·c 知识梳理 2.平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=___________ (a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=_______ (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a a2+2a·b+b2 a2-b2 知识梳理 (1)(a·b)c≠a(b·c). (2)a·c=b·c　 a=b. (3)实数中有些公式可“移植”到向量数量积，有些不可以，如(a·b)2不能写为a2·b2. 注 意 点 <<< 10 (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是 A. a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 例 1 √ √ √ 11 根据数量积的分配运算A，D正确； ∵[(b·c)·a-(c·a)·b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0， ∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线， ∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形， ∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确. 12 反 思 感 悟 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处.例如，由a·b=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律. 13 　给出下列结论： ①若a·b=a·c，则b=c； ②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2； ③(a+b)2=|a|2+2|a||b|+|b|2. 其中正确的是　　　.(填序号)  跟踪训练 1 由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确. ② 14 二 求向量的模和向量的夹角 　 (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=　　　.  例 2 2 16 方法一　|a+2b|= = ==2. 方法二　(数形结合法)由|a|=|2b|=2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图， 则|a+2b|=||. 又∠AOB=60°， 所以|a+2b|=2. 17 (2)已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)·(a+b)=. ①求|b|； 因为(a-b)·(a+b)=， 即a2-b2=，即|a|2-|b|2=， 所以|b|2=|a|2-=1-=， 故|b|=. 18 ②当a·b=-时，求向量a与a+2b的夹角θ的值. 因为|a+2b|2=|a|2+4a·b+|2b|2 =1-1+1=1，故|a+2b|=1. 又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=， 所以cos θ==， 又θ∈[0，π]，故θ=. 19 反 思 感 悟 (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=，勿忘记开方. (2)求向量夹角的基本步骤及注意事项 ①步骤： ②注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值. 　已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|3a-2b|=，求a，b的夹角. 跟踪训练 2 21 设a与b的夹角为θ， 由题意得(3a-2b)2=7， ∴9|a|2+4|b|2-12a·b=7， 又|a|=|b|=1，∴a·b=， ∴cos θ==， 又θ∈[0，π]，∴θ=， 即a，b的夹角为. 22 与垂直有关的问题 三 　　　 已知，已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm+n)，则实数t的值为 A.4 B.-4 C. D.- 例 3 √ 24 由题意知，==， 所以m·n=|n|2=n2， 因为n·(tm+n)=0， 所以tm·n+n2=0， 即tn2+n2=0， 所以t=-4. 25 反 思 感 悟 解决有关垂直问题时，利用a⊥b⇔a·b=0(a，b为非零向量). 　已知向量a，b，且|a|=1，|b|=2，(a+2b)⊥(3a-b)，求向量a与b夹角的大小. 跟踪训练 3 设a与b的夹角为θ， 由已知得(a+2b)·(3a-b)=3a2+5a·b-2b2 =3+10cos θ-8=0， 所以cos θ=， 又0°≤θ≤180°，所以θ=60°， 即a与b的夹角为60°. 27 1.知识清单： (1)向量数量积的运算律. (2)利用数量积求模和夹角. (3)与垂直有关的问题. 2.方法归纳：类比法. 3.常见误区：忽略向量数量积不满足结合律. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知非零向量a，b满足(a+b)⊥(a-b)，则 A.a=b B.|a|=|b| C.a⊥b D.a∥b √ ∵(a+b)⊥(a-b)，∴(a+b)·(a-b)=0， ∴|a|2-|b|2=0，∴|a|=|b|. 1 2 3 4 2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a-4b的模为 A.2 B.2 C.6 D.12 √ ∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2 =22-8×2×1×cos 60°+16×12=12， ∴|a-4b|==2. 3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 1 2 3 4 因为|e1|=|e2|=1，e1·e2=0， 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0 =-1. 1 2 3 4 4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=1，则向量a与a-b的夹角为　　　.  |a-b|====， 设向量a与a-b的夹角为θ，则 cos θ===， 又θ∈[0，π]，所以θ=， 所以a与a-b的夹角为. 课时对点练 五 34 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ABC B C A B C 题号 11 12 13 14 　15 答案 A CD A [0，1] 　 9. (1)c·d=(2a-b)·(a+2b) =2a2-2b2+3a·b =2×4-2×1+3×2×1×=9. (2)∵|c+2d|2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b =16×4+9×1+24×2×1×=97， ∴|c+2d|=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 因为a2=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4 =9-12×+4=9，所以|a|=3， 因为b2=(3e1-e2)2 =9-6e1·e2+ =9-6×+1=8，所以|b|=2， 又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. =9-9e1·e2+2+2=8， 所以cos β=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)因为|a|=|b|=|c|=1， 且a，b，c之间的夹角均为120°， 所以(a-b)·c=a·c-b·c =|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0， 所以(a-b)⊥c. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)因为|ka+b+c|>1， 所以(ka+b+c)2>1， 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1，因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-， 所以k2-2k>0，解得k<0或k>2. 所以实数k的取值范围为(-∞，0)∪(2，+∞). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.(多选)下面给出的关系式正确的是 A.m(a+b)=ma+mb B.a·b=b·a C.a2=|a|2 D.|a·b|≤a·b √ √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 √ |a·b|=|a||b||cos θ|≥a·b(θ为a与b的夹角)，故D错，其余选项均正确. 2.已知|b|=1，|c|=2，b与c的夹角为60°，则a(b·c)的化简结果是 A.0 B.a C.b D.c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ ∵b·c=|b||c|cos 60°=1×2×=1， ∴a(b·c)=a. 11 12 13 14 15 16 答案 3.已知平面向量a，b满足a·(a+b)=3且|a|=2，|b|=1，则向量a与b的夹角为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设向量a与b的夹角为θ. 因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos θ=3， 所以cos θ=-，又因为θ∈[0，π]， 所以θ=，即a与b的夹角为. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.若|a|=1，|b|=2，c=a+b且c⊥a，则向量a与b的夹角为 A.120° B.60° C.30° D.150° √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由c⊥a得，a·c=0， 所以a·c=a·(a+b)=0， 即a2+a·b=0，a·b=-a2. 设向量a与b的夹角为θ， 则cos θ===-， 又0°≤θ≤180°， 所以向量a与b的夹角为120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于 A. B. C. D.1 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为(b-2a)⊥b， 所以(b-2a)·b=0， 即b2=2a·b， 又因为|a|=1，|a+2b|=2， 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4， 从而|b|=. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，则|a|等于 A.2 B.4 C.6 D.12 √ 11 12 13 14 15 16 答案 因为(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2 =|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2 =|a|2-2|a|-96=-72. 所以|a|2-2|a|-24=0. 解得|a|=6或|a|=-4(舍去). 7.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且3a+2b与λa-b垂直，则λ=　　 .  ∵(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0，∴λ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若=，=， 则·=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题知AC2+BC2=AB2， 所以△ABC为直角三角形，AC⊥CB， ·=(+)·=· =· =· =+·=×42+0=. 9.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，若c=2a-b，d=a+2b，求： (1)c·d； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c·d=(2a-b)·(a+2b) =2a2-2b2+3a·b =2×4-2×1+3×2×1×=9. 11 12 13 14 15 16 答案 (2)|c+2d|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵|c+2d|2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b =16×4+9×1+24×2×1×=97， ∴|c+2d|=. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α=，向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β，求β的余弦值. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为a2=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4 =9-12×+4=9，所以|a|=3， 因为b2=(3e1-e2)2=9-6e1·e2+ =9-6×+1=8，所以|b|=2， 又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2) =9-9e1·e2+2=9-9×+2=8， 所以cos β===. 11 12 13 14 15 16 答案 11.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·=12，则b在a上的投影向量为 A.a B.2b C.a D.2b √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12， 解得|b|=或|b|=-(舍去). 故b在a上的投影向量为|b|cos 45°=××=a. 12.(多选)已知正△ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是 A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意，得|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B错误； ∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2 =1+2×1×2×+4=3， ∴|a+b|=，故A错误； ∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×+4=0， ∴(4a+b)⊥b，故C正确； ∵a·b=1×2×=-1，故D正确. 13.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 √ 因为(-)·(+-2)=0， 即·(+)=0，又因为=-， 所以(-)·(+)=0， 即||=||，所以△ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a-b)=0，则|b|的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 [0，1] ∵b·(a-b)=a·b-|b|2 =|a||b|cos θ-|b|2=0， ∴|b|=|a|cos θ=cos θ (θ为a与b的夹角)或|b|=0，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1. 15.已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=λa+b与d=a+2b的夹角为锐角， 则λ的取值范围为　　 　 　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 c=λa+b与d=a+2b的夹角为锐角，等价于c·d>0，且c与d不能共线且同向. 由c·d>0，得(λa+b)·(a+2b)>0， 即λa2+(2λ+1)a·b+2b2>0， 所以λ+(2λ+1)×1×2×+2×22>0， 解得λ>-3； 若c与d共线且同向时，设c=td， 则λa+b=t(a+2b)=ta+2tb， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为a与b不共线，所以解得λ=t=， 综上，λ的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a-b)⊥c； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为|a|=|b|=|c|=1， 且a，b，c之间的夹角均为120°， 所以(a-b)·c=a·c-b·c =|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0， 所以(a-b)⊥c. (2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为|ka+b+c|>1，所以(ka+b+c)2>1， 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1， 因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-， 所以k2-2k>0，解得k<0或k>2. 所以实数k的取值范围为(-∞，0)∪(2，+∞). 第一章 <<< $$