第9章 9.2.3 第1课时 向量的数量积(一)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

9.2.3　向量的数量积 第1课时　向量的数量积(一) [学习目标]　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积. 导语 我们已学习了向量的线性运算：加法和减法以及数乘，它们运算的结果还是一个向量，今天我们研究向量与向量能否“相乘”呢？ 一、向量的数量积 问题1　一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？功是力F和位移s的乘积吗？ 提示　如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W=|F|·|s|·cos θ.功是一个数量，它由力和位移两个向量所确定，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关，是一种新的运算. 知识梳理 1.向量数量积 定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos θ.  规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ=求得. 3.平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a∥b时，a·b= 特别地，a·a=|a|2或|a|=. (4)|a·b|≤|a||b|. 注意点： (1)0·a=0. (2)a·b结果为数量，符号由夹角的余弦值决定. (3)数量积a·b也称为“内积”或“点积”，中间的点不能省略，也不能写为“×”. 例1　已知正△ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解　(1)∵与的夹角为60°， ∴·=||||cos 60°=1×1×=. (2)∵与的夹角为120°， ∴·=||||cos 120° =1×1×=-. (3)∵与的夹角为60°， ∴·=||||cos 60°=1×1×=. 反思感悟　定义法求平面向量的数量积 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ. 运用此方法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是找夹角时两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 跟踪训练1　(1)若|a|=3，|b|=4，a，b的夹角为135°，则a·b等于(　　) A.-3 B.-6 C.6 D.2 答案　B 解析　a·b=|a||b|cos 135°=3×4× =-6. (2)已知向量|a|=10，|b|=12，且a·b=-60，则向量a与b的夹角为(　　) A.60° B.120° C.135° D.150° 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ， 则cos θ===-， 又0°≤θ≤180°， ∴θ=120°. 二、投影向量 问题2　若a，b是两个非零向量，=a，=b，如图，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，记，能否用a，b表示呢？ 提示　能.与共线，其方向与模可由a，b的模及夹角确定. 知识梳理 1.定义：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. 2.向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos θ). 3.向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. 注意点： (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. (2)a与b平行时，a在b上的投影向量是其本身；a⊥b时，a在b上的投影向量为0. 例2　已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量. 解　(1)a·b=|a||b|cos θ=5×4× =-10. (2)a在b上的投影向量为 (|a|cos θ)=5×cos 120°×b=-b. 延伸探究　本例(2)改为求b在a上的投影向量. 解　∵|a|=5， ∴=a， ∴b在a上的投影向量为 (|b|cos θ)·=4cos 120°×a=-a. 反思感悟　投影向量的求法 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定. 跟踪训练2　(1)已知|a|=12，|b|=8，a·b=24，求a在b上的投影向量. 解　∵cos θ===， ∴a在b上的投影向量为 (|a|cos θ)=12××b=b. (2)已知|a|=1，|b|=，且a⊥(a+b)，则向量a在b方向上的投影向量为(　　) A.-b B.b C.b D.-b 答案　D 解析　设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由a⊥(a+b)， 则a·(a+b)=a2+a·b=12+1××cos θ=0， 可得cos θ=-，则|a|cos θ=-， 又|b|=， 所以向量a在b方向上的投影向量为 (|a|cos θ)·=-b. 1.知识清单： (1)向量的数量积. (2)投影向量. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：在计算向量夹角大小时两向量要共起点. 1.在等腰Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=，则·的值等于(　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 答案　B 解析　·=||||cos∠ABC=2××cos 45°=2. 2.下列命题中正确的为(　　) A.若|a|=|b|，则a=b B.若a·b=b·c，且b≠0，则a=c C.若|a|=2，|b|=4，且a与b的夹角为，则a在b方向上的投影向量为b D.若a∥b，则一定存在实数λ，使得b=λa 答案　C 解析　对于A，向量的模相等不能推出向量相等，故A错误； 对于B，当|a|=2，|c|=2，〈a，b〉=， 〈c，b〉=时，a·b=2|b|cos =|b|=c·b =2|b|cos =|b|， 此时a与c不相等，故B错误； 对于C，a在b方向上的投影向量为 |a|cos ·=b，故C正确； 对于D，当a=0，b为非零向量时，a∥b，但不存在实数λ，使得b=λa，故D错误. 3.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是(　　) A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b=0 D.|a|= 答案　AB 解析　a·b=0，则a⊥b或a=0或b=0， 所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2， 所以|a|=，所以D正确. 4.在△ABC中，已知=a，=b，当a·b<0时，△ABC的形状为　　　　.(填“锐角三角形”“直角三角形”“钝角三角形”)  答案　钝角三角形 解析　因为a·b<0，所以a·b=||||cos A<0. 所以cos A<0， 即∠A为钝角， 故△ABC为钝角三角形. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.若|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为120°，则a·b等于(　　) A.6 B.6 C.-6 D.-6 答案　C 解析　a·b=|a||b|cos 120°=3×4×=-6. 2.在△ABC中，AB=5，BC=2，∠B=60°，则·的值为(　　) A.5 B.5 C.-5 D.-5 答案　D 解析　∵AB=5，BC=2，∠B=60°， ∴·=5×2×cos(180°-60°)=10× =-5. 3.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是(　　) A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案　C 解析　由=，得四边形ABCD为平行四边形，由·=0，得AB⊥BC， 所以四边形ABCD是矩形. 4.(多选)若|a|=1，|b|=2，则|a·b|的值可能是(　　) A.0 B. C.2 D.3 答案　ABC 解析　由向量的数量积性质|a·b|≤|a|·|b|=2，可知ABC正确. 5.已知|b|=3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　) A.3 B. C.2 D. 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ， ∵(|a|cos θ)=b， ∴(|a|cos θ)=， ∴|a|cos θ=， ∴a·b=|a||b|cos θ=3×=. 6.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　) A.若a与b是两个单位向量，则a2=b2 B.|a·b|=|a||b| C.λ(a+b)=λa+λb D.|a·b|≤|a||b| 答案　ACD 解析　选项B中，|a·b|=||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误. 7.(5分)如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，则·的值是　　　　.  答案　-1 解析　方法一　· =||||cos(180°-∠B)=-||||cos B =-||||=-||2=-1. 方法二　||=1，即为单位向量，·=-·=-||||cos B，而||·cos B=||，所以·=-||2=-1. 8.(5分)已知在△ABC中，AB=AC=4，·=8，则△ABC的形状是　　　　　　　　.  答案　等边三角形 解析　·=||||cos∠BAC， 即8=4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC=. 因为0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC=60°. 又AB=AC，故△ABC是等边三角形. 9.(10分)已知|a|=3，|b|=5，设a，b的夹角为θ，当θ分别等于60°，135°时，求a在b上的投影向量，并图示其意义. 解　当θ=60°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)·=3cos 60°·=b； 当θ=135°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)=3cos 135°·=-b，如图，表示a，表示b，过点A作所在直线的垂线，垂足为A1，则即为a在b上的投影向量. 10.(10分)在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求： (1)·；(3分) (2)在方向上的投影向量；(3分) (3)在方向上的投影向量.(4分) 解　∵AC2+BC2=AB2. ∴△ABC为直角三角形，且C=90°. ∴cos A==，cos B==. (1)·=-·=-5×4×=-16. (2)在方向上的投影向量为||cos〈，〉·=3××=. (3)在方向上的投影向量为||cos〈，〉·=5××=-. 11.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是(　　) A.cos θ>0⇔e1·e2>0 B.若e1∥e2，则e1·e2=1 C.若e1∥e2，则e1·e2=-1 D.|e1·e2|≤1 答案　AD 解析　∵e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ， ∴若cos θ>0，则e1·e2>0； 若e1·e2>0，则必有cos θ>0，故A正确； e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2=1；当e1，e2反向时，e1·e2=-1，故B，C错误； |e1·e2|≤|e1||e2|=1，故D正确. 12.已知平面上三点A，B，C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于(　　) A.-7 B.7 C.25 D.-25 答案　D 解析　由题意知∠ABC=90°， ∴原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A) =-20cos C-15cos A =-20×-15×=-16-9=-25. 13.定义：|a×b|=|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-6，则|a×b|等于(　　) A.8 B.-8 C.8或-8 D.6 答案　A 解析　cos θ===-， ∵θ∈[0，π]，∴sin θ=.∴|a×b|=2×5×=8. 14.(5分)如图，AB是圆C的弦，设=a，=b，则向量在向量上的投影向量为　　　　　.(用a或b表示)  答案　 解析　如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接CB，则向量在向量上的投影向量为.因为CA=CB，所以D是AB的中点， 所以==. 15.(5分)已知△ABC的面积S满足≤S≤3，·=6，与的夹角为θ，则θ的取值范围为　　　　　　.  答案　 解析　因为·=||||cos θ=6>0， 所以cos θ>0，所以θ为锐角. 如图，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D， 则||=||sin θ. 由题意知， ·=||||cos θ=6， ① S=||||=||||sin θ. ② 由②÷①得=tan θ，即3tan θ=S. 因为≤S≤3，所以≤3tan θ≤3， 即≤tan θ≤1. 又因为θ∈， 所以θ的取值范围为. 16.(12分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；(5分) (2)求·的取值范围.(7分) 解　(1)由已知可得=， 连接BM，AM(图略)，易知四边形OAMB是菱形，则=+， 所以=-=-(+) =--. (2)易知△MBD≌△MOC，故∠MCO与∠MDO互补， 所以∠DOC与∠DMC互补，故∠DMC=60°， 且||=||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=， 则·=××cos 60°=. 当MC与MO或MA重合时，MC最大， 此时MC=1， 则·=1×1×cos 60°=. 所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 <<< 第1课时 向量的数量积(一) 1 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量. 3.会计算平面向量的数量积. 学习目标 导 语 我们已学习了向量的线性运算：加法和减法以及数乘，它们运算的结果还是一个向量，今天我们研究向量与向量能否“相乘”呢？ 一、向量的数量积 二、投影向量 课时对点练 随堂演练 内容索引 4 向量的数量积 一 一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？功是力F和位移s的乘积吗？ 问题1 提示　如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W=|F|·|s|·cos θ.功是一个数量，它由力和位移两个向量所确定，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关，是一种新的运算. 1.向量数量积 定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量__________叫作向量a和b的数量积，记作 ，即a·b=　　　　　.  规定：零向量与任一向量的数量积为　　. 2.两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ=　　　求得. |a||b|cos θ a·b |a||b|cos θ 0 知识梳理 3.平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a∥b时，a·b= 特别地，a·a=|a|2或|a|=. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识梳理 (1)0·a=0. (2)a·b结果为数量，符号由夹角的余弦值决定. (3)数量积a·b也称为“内积”或“点积”，中间的点不能省略，也不能写为“×”. 注 意 点 <<< 9 　　　已知正△ABC的边长为1，求： (1)·； 例 1 ∵的夹角为60°， ∴·=||||cos 60°=1×1×=. 10 (2)·； ∵的夹角为120°， ∴·=||||cos 120° =1×1×=-. 11 (3)·. ∵的夹角为60°， ∴·=||||cos 60°=1×1×=. 12 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ. 运用此方法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是找夹角时两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 定义法求平面向量的数量积 反 思 感 悟 13 　(1)若|a|=3，|b|=4，a，b的夹角为135°，则a·b等于 A.-3 B.-6 C.6 D.2 跟踪训练 1 √ a·b=|a||b|cos 135°=3×4×=-6. 14 (2)已知向量|a|=10，|b|=12，且a·b=-60，则向量a与b的夹角为 A.60° B.120° C.135° D.150° √ 设a与b的夹角为θ， 则cos θ===-， 又0°≤θ≤180°， ∴θ=120°. 15 二 投影向量 提示　能.与共线，其方向与模可由a，b的模及夹角确定. 若a，b是两个非零向量，=a，=b，如图，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，记，能否用a，b表示呢？ 问题2 1.定义：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b　　　，向量称为向量a在向量b上的　　　　　. 投影 投影向量 知识梳理 18 2.向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos θ). 3.向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. 知识梳理 19 (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. (2)a与b平行时，a在b上的投影向量是其本身；a⊥b时，a在b上的投影向量为0. 注 意 点 <<< 20 　已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°. (1)求a·b； 例 2 a·b=|a||b|cos θ=5×4×=-10. (2)求a在b上的投影向量. a在b上的投影向量为 (|a|cos θ)=5×cos 120°×b=-b. 21 　　　　 本例(2)改为求b在a上的投影向量. 延伸探究 ∵|a|=5， ∴=a， ∴b在a上的投影向量为 (|b|cos θ)·=4cos 120°×a=-a. 22 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定. 投影向量的求法 反 思 感 悟 　(1)已知|a|=12，|b|=8，a·b=24，求a在b上的投影向量. 跟踪训练 2 ∵cos θ===， ∴a在b上的投影向量为(|a|cos θ)=12××b=b. 24 (2)已知|a|=1，|b|=，且a⊥(a+b)，则向量a在b方向上的投影向量为 A.-b B.b C.b D.-b √ 25 设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由a⊥(a+b)， 则a·(a+b)=a2+a·b=12+1××cos θ=0， 可得cos θ=-，则|a|cos θ=-， 又|b|=， 所以向量a在b方向上的投影向量为(|a|cos θ)·=-b. 26 1.知识清单： (1)向量的数量积. (2)投影向量. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：在计算向量夹角大小时两向量要共起点. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.在等腰Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=，则·的值等于 A.-2 B.2 C.-2 D.2 √ ·=||||cos∠ABC=2××cos 45°=2. 2.下列命题中正确的为 A.若|a|=|b|，则a=b B.若a·b=b·c，且b≠0，则a=c C.若|a|=2，|b|=4，且a与b的夹角为，则a在b方向上的投影向量为b D.若a∥b，则一定存在实数λ，使得b=λa √ 1 2 3 4 1 2 3 4 对于A，向量的模相等不能推出向量相等，故A错误； 对于B，当|a|=2，|c|=2，〈a，b〉=， 〈c，b〉=时，a·b=2|b|cos =|b|=c·b =2|b|cos =|b|， 此时a与c不相等，故B错误； 对于C，a在b方向上的投影向量为|a|cos ·=b，故C正确； 对于D，当a=0，b为非零向量时，a∥b，但不存在实数λ，使得b=λa，故D错误. 3.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是 A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b=0 D.|a|= √ 1 2 3 4 √ a·b=0，则a⊥b或a=0或b=0， 所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2， 所以|a|=，所以D正确. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.在△ABC中，已知=a，=b，当a·b<0时，△ABC的形状为______ ________.(填“锐角三角形”“直角三角形”“钝角三角形”)  钝角 三角形 因为a·b<0，所以a·b=||||cos A<0. 所以cos A<0， 即∠A为钝角， 故△ABC为钝角三角形. 课时对点练 四 35 答案 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D C ABC B ACD -1 题号 8 11 12 13 14 15 答案 等边三角形 AD D A 9. 当θ=60°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)·b； 当θ=135°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 b，如图，表示a，表示b，过点A作 即为a在b上的投影向量. 10. ∵AC2+BC2=AB2. ∴△ABC为直角三角形，且C=90°. ∴cos A=. (1)=-5×4×=-16. (2)方向上的投影向量为 |. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (3)方向上的投影向量为 |. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由已知可得， 连接BM，AM(图略)，易知四边形OAMB是菱形，则， 所以. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)易知△MBD≌△MOC，故∠MCO与∠MDO互补， 所以∠DOC与∠DMC互补，故∠DMC=60°， 且||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=， 则. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 当MC与MO或MA重合时，MC最大， 此时MC=1， 则. 所以. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.若|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为120°，则a·b等于 A.6 B.6 C.-6 D.-6 √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 a·b=|a||b|cos 120°=3×4×=-6. 2.在△ABC中，AB=5，BC=2，∠B=60°，则·的值为 A.5 B.5 C.-5 D.-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ ∵AB=5，BC=2，∠B=60°， ∴·=5×2×cos(180°-60°)=10×=-5. 11 12 13 14 15 16 答案 3.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是 A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由=，得四边形ABCD为平行四边形，由·=0，得AB⊥BC， 所以四边形ABCD是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(多选)若|a|=1，|b|=2，则|a·b|的值可能是 A.0 B. C.2 D.3 √ 由向量的数量积性质|a·b|≤|a|·|b|=2，可知ABC正确. 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知|b|=3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为 A.3 B. C.2 D. √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设a与b的夹角为θ， ∵(|a|cos θ)=b， ∴(|a|cos θ)=， ∴|a|cos θ=， ∴a·b=|a||b|cos θ=3×=. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是 A.若a与b是两个单位向量，则a2=b2 B.|a·b|=|a||b| C.λ(a+b)=λa+λb D.|a·b|≤|a||b| √ √ √ 11 12 13 14 15 16 答案 选项B中，|a·b|=||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误. 7.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，则·的值是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 11 12 13 14 15 16 答案 方法一　· =||||cos(180°-∠B)=-||||cos B =-||||=-||2=-1. 方法二　||=1，即·=-·=-||||cos B，而||·cos B=||，所以·=-||2=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.已知在△ABC中，AB=AC=4，·=8，则△ABC的形状是　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ·=||||cos∠BAC， 即8=4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC=. 因为0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC=60°. 又AB=AC，故△ABC是等边三角形. 11 12 13 14 15 16 答案 等边三角形 9.已知|a|=3，|b|=5，设a，b的夹角为θ，当θ分别等于60°，135°时，求a在b上的投影向量，并图示其意义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当θ=60°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)·=3cos 60°·=b； 当θ=135°时，a在b上的投影向量为(|a|cos θ)=3cos 135°·=-b，如图，表示a，表示b，过点A作所在直线的垂线，垂足为A1，则即为a在b上的投影向量. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求： (1)·； 11 12 13 14 15 16 答案 ∵AC2+BC2=AB2. ∴△ABC为直角三角形，且C=90°. ∴cos A==，cos B==. ·=-·=-5×4×=-16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)在方向上的投影向量； 11 12 13 14 15 16 答案 方向上的投影向量为||cos〈〉·=3××= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)在方向上的投影向量. 11 12 13 14 15 16 答案 方向上的投影向量为||cos〈〉·=5×× =-. 11.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是 A.cos θ>0⇔e1·e2>0 B.若e1∥e2，则e1·e2=1 C.若e1∥e2，则e1·e2=-1 D.|e1·e2|≤1 √ 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ， ∴若cos θ>0，则e1·e2>0； 若e1·e2>0，则必有cos θ>0，故A正确； e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2=1；当e1，e2反向时，e1·e2=-1，故B，C错误； |e1·e2|≤|e1||e2|=1，故D正确. 12.已知平面上三点A，B，C满足||=3，||=4，||=5，则·+ ·+·的值等于 A.-7 B.7 C.25 D.-25 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意知∠ABC=90°， ∴原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A) =-20cos C-15cos A =-20×-15×=-16-9=-25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.定义：|a×b|=|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-6，则|a×b|等于 A.8 B.-8 C.8或-8 D.6 √ cos θ===-， ∵θ∈[0，π]，∴sin θ=.∴|a×b|=2×5×=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.如图，AB是圆C的弦，设=a，=b，则向量在向量上的投影 向量为　　.(用a或b表示)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接CB，则向量. 因为CA=CB，所以D是AB的中点， 所以==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 15.已知△ABC的面积S满足≤S≤3，·=6，与的夹角为θ， 则θ的取值范围为　　　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为·=||||cos θ=6>0， 所以cos θ>0，所以θ为锐角. 如图，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D， 则||=||sin θ. 由题意知， ·=||||cos θ=6， ① S=||||=||||sin θ. ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由②÷①得=tan θ，即3tan θ=S. 因为≤S≤3，所以≤3tan θ≤3， 即≤tan θ≤1. 又因为θ∈， 所以θ的取值范围为. 16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由已知可得=， 连接BM，AM(图略)，易知四边形OAMB是菱形， 则=+， 所以=-=-(+) =--. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)求·的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 易知△MBD≌△MOC，故∠MCO与∠MDO互补， 所以∠DOC与∠DMC互补，故∠DMC=60°， 且||=||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=， 则·=××cos 60°=. 当MC与MO或MA重合时，MC最大， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 此时MC=1， 则·=1×1×cos 60°=. 所以·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 第一章 <<< $$