第9章 9.2.1 第2课时 向量的减法运算-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

第9章 <<< 第2课时 向量的减法运算 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量减法的意义. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减综合运算. 学习目标 导 语 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了向量加法的三角形法则和平行四边形法则，这节课我们研究如何进行向量的减法运算. 一、向量的减法及其几何意义 二、向量的加、减法运算 课时对点练 三、向量加、减法的综合应用 随堂演练 内容索引 向量的减法及其几何意义 一 提示　能.由向量加法的三角形法则可知连接BD. +=，故x=. 如图，向量是向量与向量x的和，你能作出向量x吗？ 问题1 提示　类似得到，在向量的运算中，向量减法与向量加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”. 在数的运算中，减法与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”，那么如何进行向量的减法运算呢？ 问题2 提示　如图所示，设=a，=b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有=a+b，=a-b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a+b|=||，|a-b|=||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 若a，b是不共线向量，则|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么？ 问题3 1.向量的减法 定义：若b+x=a，则向量x叫作a与b的差，记为a-b=a+(-b)，因此减去一个向量等于加上这个向量的　　　向量，求两个向量　　的运算，叫作向量的减法. 2. 减法的作图方法：在平面内任取一点O，作=a，=b，因为+=，即b+=a，所以=a-b，如图所示. 相反 差 知识梳理 3.几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 知识梳理 (1)向量减法是向量加法的逆运算，利用相反向量的定义， -=，就可以把减法转化为加法，即a-b=a+(-b). (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. (3)在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”. 注 意 点 <<< 11 　　　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 例 1 12 方法一　如图①，在平面内任取一点O，作=a，=b， 则=a+b，再作=c， 则=a+b-c. 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. 13 反 思 感 悟 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为由减向量终点指向被减向量终点的向量. 求作两个向量的差向量的两种思路 14 　如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c. 跟踪训练 1 15 如图，在平面内任取一点O， 作向量=a，=b， 则向量=a-b， 再作向量=c， 则向量=a-b-c. 16 二 向量的加、减法运算 　 (1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且=，则化简+--的结果为 A.0 B. C. D. 例 2 √ 18 因为=， 所以+=0， 所以+-- =(-)+(-) =+=0. 19 (2)化简：①+--； +-- =(-)+(-) =+=. 20 ②(++)-(--). (++)-(--) =+-+ =+++=0. 21 反 思 感 悟 (1)向量减法运算的常用方法 反 思 感 悟 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用. 　(1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有 A.+ B.- C.- D.- 跟踪训练 2 √ √ 24 (2)化简下列各式： ①-+-； -+- =+- =-=. 25 ②(-)+(-). (-)+(-) =+++ =+(++) =+0=. 26 向量加、减法的综合应用 三 例 3 　　　(1)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量，，. 28 因为四边形ACDE是平行四边形， 所以==c， =-=b-a， =+=b-a+c. 29 　　　　　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量，，. 延伸探究 30 因为四边形ACDE是平行四边形， 所以==c， =-=b-a， 故=+=b-a+c. 31 (2)在四边形ABCD中，=，若|-|=|-|，则四边形ABCD是 A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 √ ∵=， ∴四边形ABCD为平行四边形. 又∵|-|=|-|， ∴||=||， ∴四边形ABCD为矩形. 32 反 思 感 悟 (1)解决用给定向量表示要求向量的问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道. (2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养. 　(1)在四边形ABCD中，设=a，=b，=c，则等于 A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 跟踪训练 3 √ =++=a-b+c. 34 (2)若菱形ABCD的边长为2，则|-+|的长度为　　.  |-+|=|++| =||=2. 2 35 1.知识清单： (1)向量的减法运算. (2)向量减法的几何意义. (3)向量加、减法的综合运用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：忽视向量共起点时才可用向量的减法. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在△ABC中，若=a，=b，则等于 A.a B.a+b C.b-a D.a-b √ =-=a-b. 2.化简-++等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 原式=(+)+(+)=+0 =. 3.已知在四边形ABCD中，-=-，则四边形ABCD一定是 A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 √ 1 2 3 4 由-=-=， 所以四边形ABCD一定是平行四边形. 1 2 3 4 4.向量可以写成：①+；②-；③-；④-.其中正确的是　　　　.(填序号)  ①+=；②-=--=-(+)≠； ③-=；④-=，故①④正确. ①④ 课时对点练 五 42 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D B D BCD 　b-a 13 题号 11 12 13 14 　15 答案 C B BC 　2 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 方法一　先作a-b， 再作a-b-c即可. 如图①所示，以A为起点分别作向量=a，=b.则向量=a-b，再以C为起点作向量=c，则向量即为所求作的向量a-b-c. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 方法二　先作-b，-c， 再作a+(-b)+(-c)，如图②. 作=-b和=-c； (2)作=a，则=a-b-c. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 由向量的平行四边形法则，得=a+b，=a-b. 当a，b满足|a+b|=|a-b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|=|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时，四边形ABCD为正方形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由已知得a+b=， ∵=c， ∴延长AC到点E，使||，如图所示， 则a+b+c=， 且|. ∴|a+b+c|=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)作=c，连接CF，如图所示， 则， ∵=a-b， ∴|a-b+c|=||=2. ∴|a-b+c|=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.如图所示，在▱ABCD中，=a，=b，则用a，b表示向量和分别是 A.a+b和a-b B.a+b和b-a C.a-b和b-a D.b-a和b+a √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 由向量的加法、减法，得 =+=a+b，=-=b-a. 2.化简：--等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ --=++=. 11 12 13 14 15 16 答案 3.下列各式中，恒成立的是 A.= B.a-a=0 C.-= D.-+=0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 选项D中，-+=++=+=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图所示，在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则+-等于 A. B. C. D. √ +-=-=. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.在边长为1的正△ABC中，|-|的值为 A.1 B.2 C. D. √ 11 12 13 14 15 16 答案 如图，作菱形ABCD， 则|-|=|-| =||=2||=2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)下列结果恒为零向量的是 A.+++ B.-+- C.-+ D.++- √ √ √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A项，+++=++=； B项，-+-=+-=-=0； C项，-+=+=0； D项，++-=+=0. 11 12 13 14 15 16 答案 7.如图，在正六边形ABCDEF中，记向量=a，=b，则向量=　 　.(用a，b表示)  由正六边形的性质知，-=， ∴=b-a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 b-a 8.已知=a，=b，||=5，||=12，∠AOB=90°，则|a-b|=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由∠AOB=90°，知△AOB为直角三角形， 故|a-b|=||==13. 11 12 13 14 15 16 答案 13 9.如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一　先作a-b，再作a-b-c即可. 如图①所示，以A为起点分别作向量=a，=b.则向量=a-b，再以C为起点作向量=c，则向量即为所求作的向量a-b-c. 方法二　先作-b，-c，再作a+(-b)+(-c)， 如图②. (1)作=-b和=-c； (2)作=a，则=a-b-c. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图所示，在平行四边形ABCD中，=a，=b，求用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由向量的平行四边形法则，得=a+b，=-=a-b. 当a，b满足|a+b|=|a-b|时，平行四边形的两条对角 线的长度相等，四边形ABCD为矩形； 当a，b满足|a|=|b|时，平行四边形的两条邻边的长 度相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时，四边形ABCD为正方形. 11 12 13 14 15 16 答案 11.若||=5，||=8，则||的取值范围是 A.[3，8] B.(3，8) C.[3，13] D.(3，13) √ 综合运用 ∵||=|-|且|||-|||≤|-|≤||+||， ∴3≤|-|≤13，∴3≤||≤13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.已知O是平面上一点，=a，=b，=c，=d，且四边形ABCD为平行四边形，则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 √ 易知-=-=，而在平行四边形ABCD中有=-=-，即b-a=c-d，故a-b+c-d=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.(多选)八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则给出下列结论中正确的为 A.-+=0 B.与的夹角为90° C.+-= D.= √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 对于A，因为-+=++=+=，故A错误； 对于B，因为∠AOC=×2=90°， 且=， 所以 的夹角∠AOC=90°，故B正确； 对于C，因为+-=++=+=+-=+=，故C正确； 对于D，因为≠，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a-b|，则=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，设=a，=b， 则=+=a+b，=-=a-b， ∵|a|=|b|=|a-b|，∴BA=OA=OB， ∴△OAB为等边三角形，设其边长为1， 则|a-b|=||=1，|a+b|=2×=， ∴==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 15.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||=4，|+|=|-|，则||=　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 2 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由向量加、减法的几何意义可知， =+=-， ∵|+|=|-|， ∴||=||， 又||=4，M是线段BC的中点， ∴||=||=||=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，求： (1)|a+b+c|； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由已知得a+b=+=， ∵=c， ∴延长AC到点E，使||=||，如图所示， 则a+b+c=， 且||=2. ∴|a+b+c|=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)|a-b+c|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 作==c，连接CF，如图所示， 则+=， ∵=-=-=a-b， ∴|a-b+c|=|+|=||，又||=2. ∴|a-b+c|=2. 第一章 <<< $$ 第2课时　向量的减法运算 [学习目标]　1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量减法的意义.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算. 导语 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了向量加法的三角形法则和平行四边形法则，这节课我们研究如何进行向量的减法运算. 一、向量的减法及其几何意义 问题1　如图，向量是向量与向量x的和，你能作出向量x吗？ 提示　能.由向量加法的三角形法则可知连接BD. +=，故x=. 问题2　在数的运算中，减法与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”，那么如何进行向量的减法运算呢？ 提示　类似得到，在向量的运算中，向量减法与向量加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”. 问题3　若a，b是不共线向量，则|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么？ 提示　如图所示，设=a，=b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有=a+b，=a-b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a+b|=||，|a-b|=||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 知识梳理 1.向量的减法 定义：若b+x=a，则向量x叫作a与b的差，记为a-b=a+(-b)，因此减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫作向量的减法. 2. 减法的作图方法：在平面内任取一点O，作=a，=b，因为+=，即b+=a，所以=a-b，如图所示. 3.几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 注意点： (1)向量减法是向量加法的逆运算，利用相反向量的定义，-=，就可以把减法转化为加法，即a-b=a+(-b). (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. (3)在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”. 例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作=a，=b， 则=a+b，再作=c， 则=a+b-c. 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为由减向量终点指向被减向量终点的向量. 跟踪训练1　如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c. 解　如图，在平面内任取一点O， 作向量=a，=b， 则向量=a-b， 再作向量=c， 则向量=a-b-c. 二、向量的加、减法运算 例2　(1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且=，则化简+--的结果为(　　) A.0 B. C. D. 答案　A 解析　因为=， 所以+=0， 所以+-- =(-)+(-) =+=0. (2)化简：①+--； ②(++)-(--). 解　①+-- =(-)+(-) =+=. ②(++)-(--) =+-+ =+++=0. 反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用. 跟踪训练2　(1)(多选)下列各向量运算的结果与相等的有(　　) A.+ B.- C.- D.- 答案　AD (2)化简下列各式： ①-+-； ②(-)+(-). 解　①-+- =+- =-=. ②(-)+(-) =+++ =+(++) =+0=. 三、向量加、减法的综合应用 例3　(1)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以==c， =-=b-a， =+=b-a+c. 延伸探究　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以==c， =-=b-a， 故=+=b-a+c. (2)在四边形ABCD中，=，若|-|=|-|，则四边形ABCD是(　　) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 答案　B 解析　∵=， ∴四边形ABCD为平行四边形. 又∵|-|=|-|， ∴||=||， ∴四边形ABCD为矩形. 反思感悟　(1)解决用给定向量表示要求向量的问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道. (2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养. 跟踪训练3　(1)在四边形ABCD中，设=a，=b，=c，则等于(　　) A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 答案　A 解析　=++=a-b+c. (2)若菱形ABCD的边长为2，则|-+|的长度为　　　　.  答案　2 解析　|-+|=|++| =||=2. 1.知识清单： (1)向量的减法运算. (2)向量减法的几何意义. (3)向量加、减法的综合运用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：忽视向量共起点时才可用向量的减法. 1.在△ABC中，若=a，=b，则等于(　　) A.a B.a+b C.b-a D.a-b 答案　D 解析　=-=a-b. 2.化简-++等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　原式=(+)+(+)=+0 =. 3.已知在四边形ABCD中，-=-，则四边形ABCD一定是(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案　A 解析　由-=-，可得=， 所以四边形ABCD一定是平行四边形. 4.向量可以写成：①+；②-；③-；④-.其中正确的是　　　　.(填序号)  答案　①④ 解析　①+=；②-=--=-(+)≠；③-=；④-=，故①④正确. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1. 如图所示，在▱ABCD中，=a，=b，则用a，b表示向量和分别是(　　) A.a+b和a-b B.a+b和b-a C.a-b和b-a D.b-a和b+a 答案　B 解析　由向量的加法、减法，得 =+=a+b，=-=b-a. 2.化简：--等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　--=++=. 3.下列各式中，恒成立的是(　　) A.= B.a-a=0 C.-= D.-+=0 答案　D 解析　选项D中，-+=++=+=0. 4. 如图所示，在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则+-等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　+-=-=. 5.在边长为1的正△ABC中，|-|的值为(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　D 解析　如图，作菱形ABCD， 则|-|=|-| =||=2||=2×=. 6.(多选)下列结果恒为零向量的是(　　) A.+++ B.-+- C.-+ D.++- 答案　BCD 解析　A项，+++=++=； B项，-+-=+-=-=0； C项，-+=+=0； D项，++-=+=0. 7.(5分)如图，在正六边形ABCDEF中，记向量=a，=b，则向量=　　　　　.(用a，b表示)  答案　b-a 解析　由正六边形的性质知，-=， ∴=b-a. 8.(5分)已知=a，=b，||=5，||=12，∠AOB=90°，则|a-b|=　　　　.  答案　13 解析　由∠AOB=90°，知△AOB为直角三角形， 故|a-b|=||==13. 9.(10分)如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c. 解　方法一　先作a-b，再作a-b-c即可. 如图①所示，以A为起点分别作向量和，使=a，=b.则向量=a-b，再以C为起点作向量，使=c，则向量即为所求作的向量a-b-c. 方法二　先作-b，-c，再作a+(-b)+(-c)，如图②. (1)作=-b和=-c； (2)作=a，则=a-b-c. 10.(11分)如图所示，在平行四边形ABCD中，=a，=b，求用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ 解　由向量的平行四边形法则，得=a+b，=-=a-b. 当a，b满足|a+b|=|a-b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形； 当a，b满足|a|=|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时，四边形ABCD为正方形. 11.若||=5，||=8，则||的取值范围是(　　) A.[3，8] B.(3，8) C.[3，13] D.(3，13) 答案　C 解析　∵||=|-|且|||-|||≤|-|≤||+||， ∴3≤|-|≤13，∴3≤||≤13. 12.已知O是平面上一点，=a，=b，=c，=d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 答案　B 解析　易知-=，-=，而在平行四边形ABCD中有=，所以-=-，即b-a=c-d，故a-b+c-d=0. 13.(多选)八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则给出下列结论中正确的为(　　) A.-+=0 B.与的夹角为90° C.+-= D.= 答案　BC 解析　对于A，因为-+=++=+=，故A错误； 对于B，因为∠AOC=×2=90°，且=， 所以与的夹角等于与的夹角∠AOC=90°，故B正确； 对于C，因为+-=++=+，且=，所以+-=+=，故C正确； 对于D，因为与方向不同，所以≠，所以D错误. 14.(5分)已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a-b|，则=　　　　　.  答案　 解析　如图，设=a，=b， 则=+=a+b，=-=a-b， ∵|a|=|b|=|a-b|，∴BA=OA=OB， ∴△OAB为等边三角形，设其边长为1， 则|a-b|=||=1，|a+b|=2×=， ∴==. 15.(5分)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||=4，|+|=|-|，则||=　　　　.  答案　2 解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由向量加、减法的几何意义可知， =+，=-， ∵|+|=|-|， ∴||=||， 又||=4，M是线段BC的中点， ∴||=||=||=2. 16.(12分)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，求： (1)|a+b+c|；(6分) (2)|a-b+c|.(6分) 解　(1)由已知得a+b=+=， ∵=c， ∴延长AC到点E，使||=||，如图所示， 则a+b+c=， 且||=2. ∴|a+b+c|=2. (2)作==c，连接CF，如图所示， 则+=， ∵=-=-=a-b， ∴|a-b+c|=|+|=||，又||=2. ∴|a-b+c|=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$