第9章 9.2.1 第1课时 向量的加法运算-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

9.2.1　向量的加减法 第1课时　向量的加法运算 [学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性. 导语 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？ 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，这样我们就引入了向量的运算. 一、向量加法的定义及三角形法则 问题1　有一名游客想去C地游玩，但是由于当天没有直达C地的航班，因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机先从A地飞往B地，再从B地飞往C地(如图). 那么这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？ 提示　这名游客两次位移，的结果，与从A地直接到C地的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即这两次的位移之和可以用表示. 知识梳理 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法. 任一向量与其相反向量的和是零向量. 2.向量求和的三角形法则 向量求和的法则 三角形法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则向量叫作a与b的和，记作a+b，即a+b=+=. 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 注意点： 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”. 例1　如图所示. (1)a+b=　　　　；  (2)c+d=　　　　；  (3)a+b+d=　　　　；  (4)c+d+e=　　　　.  答案　(1)c　(2)f　(3)f　(4)g 反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即++…+=. 跟踪训练1　化简++等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据平面向量的加法运算，得 ++=+=. 二、向量加法的运算律及平行四边形法则 问题2　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 提示　如图1，作=a，=b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现=b，=a，故=+=a+b.又=+=b+a，所以a+b=b+a. 图1 借助图2，不难证明满足结合律. 图2 问题3　你能从问题2的结论出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？ 提示　平行四边形法则. 知识梳理 1.向量加法的运算律 (加法交换律)a+b=b+a； (加法结合律)(a+b)+c=a+(b+c). 2.向量加法的平行四边形法则 向量求和的法则 平行四边形法则 对于任意两个不共线的非零向量a，b，分别作=a，=b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和.这种求两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则 注意点： (1)运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同. (2)从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. (3)对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a. 例2　(1)如图①所示，求作向量a+b； (2)如图②所示，求作向量a+b+c. 解　(1)首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图③所示. (2)方法一　(三角形法则)如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则得向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求. 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则=+=a+b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则=+=a+b+c即为所求. (3)化简： ①+； ②++； ③++++. 解　①+=+=. ②++=++ =+=0. ③++++ =++++ =+++ =++=+=0. 反思感悟　(1)向量加法运算律的意义和应用原则 ①意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. ②应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. (2)向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 ①首尾相接 ②适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 ①共起点 ②仅适用于不共线的两个向量求和 跟踪训练2　(1)如图，已知向量a，b，求作向量a+b. 解　①作=a，=b，则=a+b，如图④. ②作=a，=b，则=a+b，如图⑤. ③作=a，=b，则=a+b，如图⑥. (2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： ①++； ②+++. 解　①++=++=++=+=. ②+++=+++=++=+=0. 三、向量加法的实际应用 例3　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度及航向. 解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O，作=a，=b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，如图，则=a+b，并且即为小船的实际航行速度， 所以||= =20(km/h)， 又因为tan∠AOC==， 所以∠AOC=60°， 所以小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行. 反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念解答原问题. 跟踪训练3　如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|=24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|=12 N，则F1和F2的合力为　　　 N.  答案　12 解析　如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F=F1+F2=. 在△OCA中，||=24， ||=12，∠OAC=60°， ∴∠OCA=90°， ∴||=12. ∴F1与F2的合力大小为12 N. 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则. (2)向量加法的运算律. (3)向量加法的实际应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 1.(多选)下列等式不正确的是(　　) A.a+(b+c)=(a+c)+b B.+=0 C.=++ D.|a+b|<|a|+|b| 答案　BD 解析　B错误，+=0；D错误，当a，b方向相同时，|a+b|=|a|+|b|，故选B，D. 2. 如图，在正六边形ABCDEF中，++等于(　　) A.0 B. C. D. 答案　D 解析　++=++ =++=+=. 3.正方形ABCD的边长为1，则|+|为(　　) A.1 B. C.3 D.2 答案　B 解析　在正方形ABCD中，AB=1， 易知AC=， 所以|+|=||=AC=. 4. 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则+++等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　+++ =+++ =++=+=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)下列各式一定成立的是(　　) A.a+b=b+a B.0+a=a C.+= D.|a+b|=|a|+|b| 答案　ABC 解析　A，B，C满足运算律及运算法则，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等. 2.++++等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　++++ =(+)+(+)+ =++=(+)+ =+=. 3.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a+b表示(　　) A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1+) km 答案　B 解析　如图，易知tan α=， 所以α=30°. 故a+b的方向是北偏东30°. 又|a+b|=2(km)， 则a+b表示向北偏东30°方向航行2 km. 4. 如图所示，在▱ABCD中，++等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　++=+(+) =+0=. 5.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是(　　) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 答案　D 解析　由于||=|a|=1，||=|b|=1， ||=|a+b|=， 即||2=||2+||2， 所以△ABC为等腰直角三角形. 6.(多选)在▱ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式中成立的是(　　) A.a+b=c B.a+d=b C.b+d=a D.|a+b|=|c| 答案　ABD 解析　由向量加法的平行四边形法则，知a+b=c成立，故|a+b|=|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a+d=b成立，b+d=a不成立，故A，B，D正确，C错误. 7.(5分)如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则 (1)++=　　　　；  (2)++=　　　　.  答案　(1)　(2)0 解析　(1)++=(+)+ =+=. (2)++=(+)+ =+=0. 8.(5分)已知||=3，||=3，∠AOB=60°，则|+|等于　　　　.  答案　3 解析　如图，作AC∥OB，BC∥OA，AC与BC交于点C，由||=||=3，可知四边形OACB为菱形.连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D. ∵∠AOB=60°，∴||=||=3， ∴在Rt△BDC中，||=. ∴||=|+|=×2=3. 9.(10分)如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)++；(3分) (2)++；(3分) (3)++.(4分) 解　(1)++=+=. (2)++=(+)+ =+=. (3)++=++ =+=. 10.(10分)如图所示，一架飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km到达B地，然后又从B地向南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据：sin 37°=0.6). 解　设，分别表示飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km，从B地向南偏东55°的方向飞行600 km，则飞机飞行的路程指的是||+||；两次位移的和指的是+=.依题意，有||+||=800+600=1 400，∠ABC=35°+55°=90°.在Rt△ABC中，||===1 000， 所以sin∠BAC=0.6，所以∠BAC=37°， 即两次位移的和的方向为北偏东35°+37°=72°. 所以飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°. 11.(多选)下列说法错误的有(　　) A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a或b的方向相同 B.若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向与向量a的方向相同 C.若++=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|+|b| 答案　ACD 解析　A错，若a+b=0，则a+b的方向是任意的；B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同；C错，当A，B，C三点共线时，也满足++=0；D错，|a+b|≤|a|+|b|. 12.已知△ABC是正三角形，则下列等式中不成立的是(　　) A.|+|=|+| B.|+|=|+| C.|+|=|+| D.|++|=|++| 答案　B 解析　因为|+|=||，|+|=||=||， 所以|+|=|+|，故A成立； 因为|+|=||，|+|=2||=||(D为AC中点)，故B不成立； 因为|+|=2||=||(E为BC中点)， |+|=2||=||(F为AB中点)， 所以|+|=|+|，故C成立； 因为|++|=2||，|++|=2||=2||， 所以|++|=|++|，故D成立. 13.(多选)已知平行四边形ABCD，设+++=a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是(　　) A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| 答案　AC 解析　因为在平行四边形ABCD中，+=0，+=0，所以a为零向量，因为零向量和任一向量都平行，零向量和任一向量的和等于这个向量本身，所以A，C正确；B，D错误. 14.(5分)已知点G是△ABC的重心，则++=　　　　.  答案　0 解析　如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使ED=GE，则+=，+=0，所以++=0. 15.(5分)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　　.  答案　20，4 解析　当a，b共线同向时， |a+b|=|a|+|b|=8+12=20； 当a，b共线反向时，|a+b|=||a|-|b||=4； 当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|， 即4<|a+b|<20. 所以最大值为20，最小值为4. 16.(11分)如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：++=0. 证明　由题意知，=+， =+，=+. 由题意可知，=，=， 所以++ =(+)+(+)+(+) =(+++)+(+) =(+++)+0 =++=++=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 <<< 第1课时 向量的加法运算 1 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性. 学习目标 导 语 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？ 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，这样我们就引入了向量的运算. 一、向量加法的定义及三角形法则 二、向量加法的运算律及平行四边形法则 课时对点练 三、向量加法的实际应用 随堂演练 内容索引 向量加法的定义及三角形法则 一 有一名游客想去C地游玩，但是由于当天没有直达C地的航班，因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机先从A地飞往B地，再从B地飞往C地(如图). 问题1 提示　这名游客两次位移，的结果，与从A地直接到C地的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即这两次的位移之和可以用表示. 那么这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？ 1.向量加法的定义 求两个向量　　的运算叫作向量的加法. 任一向量与其相反向量的和是　　　　. 和 零向量 知识梳理 向量求和的法则 三角形法则   a+b=+=. 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的　　　　法则 2.向量求和的三角形法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则向量_____叫作a与b的和，记作　　　，即 a+b 三角形 知识梳理 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”. 注 意 点 <<< 9 　　　如图所示. (1)a+b=　 ； (2)c+d=　 ；  (3)a+b+d=　　；  (4)c+d+e=　　 .   例 1 c f f g 10 反 思 感 悟 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即++…+=. 11 　化简++等于 A. B. C. D. 跟踪训练 1 √ 根据平面向量的加法运算，得 ++=+=. 12 二 向量加法的运算律及平行四边形法则 提示　如图1，作=a，=b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现=b，=a，故=+=a+b.又=+=b+a，所以a+b=b+a. 借助图2，不难证明满足结合律. 我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 问题2 图1 图2 提示　平行四边形法则. 你能从问题2的结论出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？ 问题3 1.向量加法的运算律 (加法交换律)a+b=b+a； (加法结合律)(a+b)+c=a+(b+c). 知识梳理 16 向量求和的法则 平行四边形法则   对于任意两个不共线的非零向量a，b，分别作=a，=b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和.这种求两个向量和的方法叫作向量加法的　　　　　　法则 2.向量加法的平行四边形法则 平行四边形 知识梳理 17 (1)运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同. (2)从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. (3)对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a. 注 意 点 <<< 18 　 (1)如图①所示，求作向量a+b； 例 2 首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图③所示. 19 (2)如图②所示，求作向量a+b+c. 20 方法一　(三角形法则)如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则得向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求. 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c， 21 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则=+=a+b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则=+=a+b+c即为所求. 22 (3)化简： ①+； +=+=. ②++； ++=++ =+=0. 23 ③++++. ++++ =++++ =+++ =++=+=0. 24 反 思 感 悟 (1)向量加法运算律的意义和应用原则 ①意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. ②应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 反 思 感 悟 (2)向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系   区别 联系 三角形 法则 ①首尾相接 ②适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 ①共起点 ②仅适用于不共线的两个向量求和 　(1)如图，已知向量a，b，求作向量a+b. 跟踪训练 2 作=a，=b，则=a+b，如图④. 27 作=a，=b，则=a+b，如图⑤. 28 作=a，=b，则=a+b，如图⑥. 29 ++=++=++=+=. (2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： ①++； 30 +++=+++=++=+=0. ②+++. 31 向量加法的实际应用 三 已知，河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度及航向. 例 3 33 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O，作=a，=b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，如图，则=a+b，并且即为小船的实际航行速度， 所以||= =20(km/h)， 又因为tan∠AOC==， 所以∠AOC=60°， 所以小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行. 34 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念解答原问题. 应用向量解决实际问题的基本步骤 反 思 感 悟 35 　如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|=24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|=12 N，则F1和F2的合力为　　　 N.  跟踪训练 3 12 36 如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F=F1+F2=. 在△OCA中，||=24， ||=12，∠OAC=60°， ∴∠OCA=90°， ∴||=12. ∴F1与F2的合力大小为12 N. 37 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则. (2)向量加法的运算律. (3)向量加法的实际应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列等式不正确的是 A.a+(b+c)=(a+c)+b B.+=0 C.=++ D.|a+b|<|a|+|b| √ √ B错误，+=0； D错误，当a，b方向相同时，|a+b|=|a|+|b|，故选B，D. 2. 如图，在正六边形ABCDEF中，++等于 A.0 B. C. D. √ 1 2 3 4 ++=++ =++=+=. 3.正方形ABCD的边长为1，则|+|为 A.1 B. C.3 D.2 √ 1 2 3 4 在正方形ABCD中，AB=1， 易知AC=， 所以|+|=||=AC=. 4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则+++等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ +++ =+++ =++=+=. 课时对点练 五 44 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 ABC C B C D ABD 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 3 ACD B AC 0 　20，4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1). (2) =. (3) =. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 设 =1 000， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 所以sin∠BAC=0.6，所以∠BAC=37°， 即两次位移的和的方向为北偏东35°+37°=72°. 所以飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 由题意知，， . 由题意可知，， 所以 =() =() 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. =()+0 ==0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.(多选)下列各式一定成立的是 A.a+b=b+a B.0+a=a C.+= D.|a+b|=|a|+|b| √ √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 √ A，B，C满足运算律及运算法则，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等. 2.++++等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ ++++ =(+)+(+)+ =++=(+)+ =+=. 11 12 13 14 15 16 答案 3.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a+b表示 A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1+) km √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，易知tan α=， 所以α=30°. 故a+b的方向是北偏东30°. 又|a+b|=2(km)， 则a+b表示向北偏东30°方向航行2 km. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图所示，在▱ABCD中，++等于 A. B. C. D. √ ++=+(+) =+0=. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是 A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由于||=|a|=1，||=|b|=1， ||=|a+b|=， 即||2=||2+||2， 所以△ABC为等腰直角三角形. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)在▱ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式中成立的是 A.a+b=c B.a+d=b C.b+d=a D.|a+b|=|c| √ √ √ 11 12 13 14 15 16 答案 由向量加法的平行四边形法则，知a+b=c成立，故|a+b|=|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a+d=b成立，b+d=a不成立，故A，B，D正确，C错误. 7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则 (1)++=　　　；  ++=(+)+ =+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)++=　　.  ++=(+)+ =+=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 0 8.已知||=3，||=3，∠AOB=60°，则|+|等于　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，作AC∥OB，BC∥OA，AC与BC交于点C，由||=||=3，可知四边形OACB为菱形. 连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D. ∵∠AOB=60°，∴||=||=3， ∴在Rt△BDC中，||=. ∴||=|+|=×2=3. 11 12 13 14 15 16 答案 9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)++； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ++=+=. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)++； ++=(+)+ =+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (3)++. ++=++ =+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图所示，一架飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km到达B地，然后又从B地向南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据：sin 37°=0.6). 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设分别表示飞机从A地向北偏东35°的方向飞行800 km，从B地向南偏东55°的方向飞行600 km， 则飞机飞行的路程指的是||+||； 两次位移的和指的是+=. 依题意，有||+||=800+600=1 400，∠ABC=35°+55°=90°. 在Rt△ABC中，||===1 000， 所以sin∠BAC=0.6，所以∠BAC=37°， 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即两次位移的和的方向为北偏东35°+37°=72°. 所以飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°. 11 12 13 14 15 16 答案 11.(多选)下列说法错误的有 A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a或b的方向 　相同 B.若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向与向量a的方向相同 C.若++=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|+|b| √ √ 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 A错，若a+b=0，则a+b的方向是任意的； B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同； C错，当A，B，C三点共线时，也满足++=0； D错，|a+b|≤|a|+|b|. 12.已知△ABC是正三角形，则下列等式中不成立的是 A.|+|=|+| B.|+|=|+| C.|+|=|+| D.|++|=|++| √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为|+|=||，|+|=||=||， 所以|+|=|+|，故A成立； 因为|+|=||，|+|=2||=||(D为A C中点)，故B不成立； 因为|+|=2||=||(E为BC中点)， |+|=2||=||(F为AB中点)， 所以|+|=|+|，故C成立； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为|++|=2||，|++|=2||=2||， 所以|++|=|++|，故D成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.(多选)已知平行四边形ABCD，设+++=a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是 A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| √ 因为在平行四边形ABCD中，+=0，+=0，所以a为零向量，因为零向量和任一向量都平行，零向量和任一向量的和等于这个向量本身，所以A，C正确； B，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 14.已知点G是△ABC的重心，则++=　　.  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使ED=GE，则+= +=0，所以++=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 15.设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　　.  拓广探究 当a，b共线同向时， |a+b|=|a|+|b|=8+12=20； 当a，b共线反向时，|a+b|=||a|-|b||=4； 当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|， 即4<|a+b|<20. 所以最大值为20，最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 20，4 16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：++=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意知，=+， =+=+. 由题意可知，==， 所以++ =(+)+(+)+(+) =(+++)+(+) =(+++)+0 =++=++=0. 第一章 <<< $$