第9章 9.1 向量概念-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（苏教版2019）

[学习目标]　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向量、平行(共线)向量、相等向量、相反向量及向量的模、夹角等概念，会辨识图形中这些相关的概念. 导语 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量则不是这样，例如图中小船的位移. 小船由A地向东南方向航行15 n mile(海里)到达B地，如果仅指出“由A地航行15 n mile”而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了.本节课我们学习另外一种量——向量. 一、向量的概念及表示 问题1　在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 提示　不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小. 问题2　在物理中，力、位移、速度既有大小又有方向，我们称之为矢量，那么在数学中，既有大小又有方向的量叫什么呢？ 提示　在数学中，既有大小又有方向的量叫作向量. 问题3　由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量.那么，联想物理中的位移表示，该如何表示向量呢？ 提示　如图，用以A为起点，B为终点的有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向，记为，也可用a表示. 知识梳理 1.向量的概念 (1)向量：我们把既有大小又有方向的量叫作向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫作有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. (2)向量的表示 ①几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为.向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||. ②字母表示：向量也可用小写字母a，b，c来表示(印刷时用黑体a，b，c，书写时用，，). 注意点： (1)书写向量时带箭头. (2)向量强调长度和方向两个元素. (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素. 例1　(1)下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有　　　　.(填序号)  答案　①⑥⑦⑧ 解析　由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量.而质量、路程、密度、功，只有大小而没有方向，所以不是向量. (2)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. ①作出向量，，； ②求||. 解　①向量，，，如图所示. ②由题意，可知AB∥CD， ∵||=||， ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，∴||=||=200(km). 反思感悟　(1)判断向量的依据：看是否同时具备两个要素：大小和方向. (2)作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. 跟踪训练1　下列说法正确的是(　　) A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，方向相同的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 答案　D 解析　无论向量的方向如何，它们都不能比较大小；向量的模是一个数量可以比较大小，故D正确. 二、向量的有关概念 问题4　向量由其模和方向所确定.对于两个向量a，b，就其模相等与不相等，方向相同与不相同而言，有哪几种可能的情形？ 提示　模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同. 知识梳理 相关概念 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a与向量b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与向量b相等，记作a=b 相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作-a，a与-a互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 性质：对任意一个向量a，总有-(-a)=a 注意点： (1)零向量的方向是任意的. (2)单位向量有无数个，它们长度相等，均为1个单位长度，但方向不一定相同. (3)平行向量与平行直线是有区别的，向量平行，向量所在的直线可以平行，还可以是同一条直线. 例2　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.向量与向量的长度相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的长度都为0 D.两个单位向量的长度相等 答案　ACD 解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0；单位向量的长度都是1个单位长度，故A，C，D正确. (2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且=a，=b，=c. ①与a长度相等、方向相反的向量有哪些？ ②与a共线的向量有哪些？ ③请一一列出与a，b，c相等的向量. 解　①与a长度相等、方向相反的向量有，，，. ②与a共线的向量有，，，，，，，，. ③与a相等的向量有，，； 与b相等的向量有，，； 与c相等的向量有，，. 反思感悟　(1)解决向量的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. (2)相等向量与共线向量的探求方法 ①相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. ②共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 跟踪训练2　(1)下列说法中正确的是(　　) A.向量的模都是正实数 B.单位向量都是相等向量 C.向量的大小与方向无关 D.因为零向量的模为0，所以零向量没有方向 答案　C 解析　零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；零向量的方向任意，故D不正确. (2)设O是正方形ABCD的中心，则①=；②∥；③与共线；④||=||.其中，所有正确结论的序号为　　　　.  答案　①②③④ 解析　∵与方向相同，长度相等， ∴=，①正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴∥，②正确； ∵AB∥DC，∴与共线，③正确； ∵OC=OD，∴||=||，④正确. 三、两向量的夹角 知识梳理 1.定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作=a，=b，∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示). 2.范围：0°≤θ≤180°. 3.当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向. 4.当θ=90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 注意点： 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 例3　已知，在平行四边形ABCD中，||=||，且向量与的夹角为60°，则与的夹角为多少？与的夹角为多少？ 解　因为在平行四边形ABCD中，||=||， 所以该平行四边形为菱形， 又由题意知∠BAD=60°， 所以△ABD为等边三角形， 故向量与的夹角为∠BAC=30°， 向量与的夹角大小与∠ABD相等，∠ABD=60°， 即与的夹角也为60°. 反思感悟　求两向量夹角的关键是利用平移的方法，使两向量起点重合，两个向量的夹角，按照“一作二证三求”的步骤求出. 跟踪训练3　在△ABC中，AB=，BC=1，AC=2，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠B=，∠BCA=，如图所示. 延长AC至D使AC=CD，则=， 所以∠BCD即为向量与的夹角，且∠BCD=π-=. 1.知识清单： (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、共线向量(平行向量)、相等向量、相反向量. (3)两向量的夹角. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：不理解零向量和单位向量的方向导致出错. 1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是(　　) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 答案　A 2.若=，则四边形ABCD的形状为(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 答案　A 解析　因为=，ABCD为四边形， 所以BA=CD且BA∥CD， 所以四边形ABCD为平行四边形. 3.(多选)下列说法错误的为(　　) A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的起点相同 C.若∥，则一定有直线AB∥CD D.若向量，共线，则点A，B，C必在同一直线上 答案　ABC 解析　A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D正确，AB与BC平行且有公共点B，则A，B，C三点共线. 4. 在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，判断是否存在有下列关系的向量： (1)是共线向量的有　　　　；  (2)方向相反的向量有　　　　；  (3)模相等的向量有　　　　.  答案　(1)a和d，b和e　(2)a和d，b和e (3)a，c，d 解析　(1)a∥d，e∥b，故a和d，e和b是共线向量. (2)a和d，b和e是方向相反的向量. (3)由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.零向量的方向任意且与任一向量平行 B.共线的向量，若始点不同，则终点一定不同 C.若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 D.若|a|>|b|，则a>b 答案　AC 解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，故A正确；由共线向量的定义可知，共线的向量，始点不同，终点可能相同，故B错误；由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，向量所在的直线可以平行，也可以重合，故C正确；向量不可以比较大小，故D错误. 2.设O是△ABC的外心，则，，是(　　) A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 答案　B 解析　因为O是△ABC的外心， 所以||=||=||. 3.“向量，共线”是“直线AB∥CD”的(　　) A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若AB∥CD，则向量，共线，但，共线，A，B，C，D四点有可能在一条直线上.故“向量，共线”是“直线AB∥CD”的必要且不充分条件. 4. 如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　) A.= B.||=|| C.> D.< 答案　B 解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等. 5.下列结论中，正确的是(　　) A.2 024 cm长的有向线段不可能表示单位向量 B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得，是单位向量 C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量 D.一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移 答案　B 解析　一个单位长度取作2 024 cm时，2 024 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误；B正确；C中两向量为平行向量，故C错误；D中表示从点A到点B的位移，故D错误. 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是(　　) A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与的夹角为60° 答案　ABC 解析　由于=，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确. 在Rt△AOD中，因为∠ADO=30°， 所以||=||， 故||=||，因此选项C正确.因为∠BAD=120°，所以∠ADC=60°，因为与的夹角为∠ADC的补角.所以与的夹角为120°，故选项D不正确. 7.(5分)在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，则向量与的夹角为　　　　.  答案　135° 解析　由向量的夹角的定义知，与的夹角为∠B的补角，故为135°. 8.(5分)如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. (1)与向量相等的向量为　　　　；  (2)若||=3，则||=　　　　.  答案　(1)，　(2)6 解析　(1)在▱ABCD和▱ABDE中， ∵=，=，∴=. (2)由(1)知，=， ∴E，D，C三点共线， ||=||+||=2||=6. 9.(10分)如图，D，E，F分别是正△ABC各边的中点. (1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量；(3分) (2)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量；(3分) (3)求与，与的夹角的度数.(4分) 解　(1)与长度相等的向量是，，，，，，，. (2)与共线的向量是，，； 与共线的向量是，，. (3)因为△ABC为正三角形，与的夹角为∠ABC，故与的夹角为60°，与的夹角为∠AFD的补角，故与的夹角为120°. 10.(10分)某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，向北偏西一定角度的某方向行走了100 m到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正北方. (1)作出向量，，(图中1个单位长度表示100 m)；(5分) (2)求向量的模.(5分) 解　(1)如图， (2)由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， 所以||=||=100(m). 11.(多选)在下列结论中，正确的结论为(　　) A.a∥b且|a|=|b|是a=b的必要且不充分条件 B.a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分又不必要条件 C.a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件 D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分且不必要条件 答案　ACD 解析　若a=b，则a与b方向相同，模相等，所以A，C，D正确，B错误. 12. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　) A.||=|| B.与共线 C.与共线 D.= 答案　C 解析　由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确. 13. 在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°，则向量与的夹角为(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案　D 解析　易知∠ABC=∠OCB=30°，所以∠COA=60°， 又因为向量与的夹角为∠COA的补角， 所以为120°. 14.(5分)中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有　　　　个.  答案　11 解析　马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走. 如图，以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个，所以共有11个. 15.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中错误的是(　　) A.C⊆A B.A∩B={a} C.C⊆B D.A∩B⊇{a} 答案　B 解析　因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以A∩B={a，-a}，故B错误. 16.(12分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||=. (1)画出所有的向量；(5分) (2)求||的最大值与最小值.(7分) 解　(1)画出所有的向量，如图所示. (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值为 =； ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值为=. 所以||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 <<< §9.1　 向量概念 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别. 3.理解零向量、单位向量、平行(共线)向量、相等向量、相反向量及向量的模、夹角等概念，会辨识图形中这些相关的概念. 学习目标 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如 导 语 长度、质量等.还有一些量则不是这样，例如图中小船的位移. 小船由A地向东南方向航行15 n mile(海里)到达B地，如果仅指出“由A地航行15 n mile”而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了.本节课我们学习另外一种量——向量. 一、向量的概念及表示 二、向量的有关概念 课时对点练 三、两向量的夹角 随堂演练 内容索引 向量的概念及表示 一 提示　不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小. 在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 问题1 提示　在数学中，既有大小又有方向的量叫作向量. 在物理中，力、位移、速度既有大小又有方向，我们称之为矢量，那么在数学中，既有大小又有方向的量叫什么呢？ 问题2 提示　如图，用以A为起点，B为终点的有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向，记为，也可用a表示. 由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量.那么，联想物理中的位移表示，该如何表示向量呢？ 问题3 1.向量的概念 (1)向量：我们把既有　　　又有　　　的量叫作向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫作有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 大小 方向 知识梳理 (2)向量的表示 ①几何表示：向量常用一条　　　　　来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为 .向量的大小称为向量的 　　　(或称为 )，记作 . ②字母表示：向量也可用小写字母a，b，c来表示(印刷时用黑体a，b，c，书写时用，，). 有向线段 长度 模 || 知识梳理 (1)书写向量时带箭头. (2)向量强调长度和方向两个元素. (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素. 注 意 点 <<< 10 (1)下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度； ⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有　 　　　.(填序号)  例 1 ①⑥⑦⑧ 由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量.而质量、路程、密度、功，只有大小而没有方向，所以不是向量. 11 (2)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. ①作出向量，，； 向量，如图所示. 12 ②求||. 由题意，可知AB∥CD， ∵||=||， ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，∴||=||=200(km). 13 反 思 感 悟 (1)判断向量的依据：看是否同时具备两个要素：大小和方向. (2)作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. 14 　下列说法正确的是 A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，方向相同的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 跟踪训练 1 √ 无论向量的方向如何，它们都不能比较大小；向量的模是一个数量可以比较大小，故D正确. 15 二 向量的有关概念 提示　模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同. 向量由其模和方向所确定.对于两个向量a，b，就其模相等与不相等，方向相同与不相同而言，有哪几种可能的情形？ 问题4 相关概念 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于　　　　长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向　　　　　　的非零向量；向量a与向量b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量______ 相等向量 长度　　　且方向　　　的向量；向量a与向量b相等，记作a=b 1个单位 相同或相反 平行 相等 相同 知识梳理 18 相关概念 定义 相反向量 与向量a长度　　　，方向　　　的向量叫作a的相反向量，记作-a，a与-a互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 性质：对任意一个向量a，总有-(-a)=a 相等 相反 知识梳理 19 (1)零向量的方向是任意的. (2)单位向量有无数个，它们长度相等，均为1个单位长度，但方向不一定相同. (3)平行向量与平行直线是有区别的，向量平行，向量所在的直线可以平行，还可以是同一条直线. 注 意 点 <<< 20 　(1)(多选)下列说法正确的是 A.向量与向量的长度相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的长度都为0 D.两个单位向量的长度相等 例 2 √ √ √ 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0；单位向量的长度都是1个单位长度，故A，C，D正确. 21 (2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且=a，=b，=c. ①与a长度相等、方向相反的向量有哪些？ 与a长度相等、方向相反的向量有. ②与a共线的向量有哪些？ 与a共线的向量有. 22 ③请一一列出与a，b，c相等的向量. 与a相等的向量有； 与b相等的向量有； 与c相等的向量有. 23 反 思 感 悟 (1)解决向量的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. (2)相等向量与共线向量的探求方法 ①相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. ②共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 　(1)下列说法中正确的是 A.向量的模都是正实数 B.单位向量都是相等向量 C.向量的大小与方向无关 D.因为零向量的模为0，所以零向量没有方向 跟踪训练 2 √ 25 零向量的模为0，故A不正确； 单位向量的方向可以是任意的，故B不正确； 向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确； 零向量的方向任意，故D不正确. 26 (2)设O是正方形ABCD的中心，则①=；②∥；③与共线；④||=||.其中，所有正确结论的序号为　　　 　.  ①②③④ 27 ∵方向相同，长度相等， ∴=，①正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴∥，②正确； ∵AB∥DC，∴共线，③正确； ∵OC=OD，∴||=||，④正确. 28 两向量的夹角 三 1.定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作=a，=b，∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示). 2.范围： . 3.当θ= 时，a与b同向；当θ= 　　　时，a与b反向. 4.当θ=　　　时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 0°≤θ≤180° 0° 180° 90° 知识梳理 30 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 注 意 点 <<< 31 已知，在平行四边形ABCD中，||=||，且向量与的夹角为60°，则与的夹角为多少？与的夹角为多少？ 例 3 32 因为在平行四边形ABCD中，||=||， 所以该平行四边形为菱形， 又由题意知∠BAD=60°， 所以△ABD为等边三角形， 故向量的夹角为∠BAC=30°， 向量的夹角大小与∠ABD相等，∠ABD=60°， 即的夹角也为60°. 33 反 思 感 悟 求两向量夹角的关键是利用平移的方法，使两向量起点重合，两个向量的夹角，按照“一作二证三求”的步骤求出. 　在△ABC中，AB=，BC=1，AC=2，则向量与的夹角为 A. B. C. D. 跟踪训练 3 √ 35 ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠B=，∠BCA=， 如图所示. 延长AC至D使AC=CD，则=， 所以∠BCD即为向量的夹角，且∠BCD=π-=. 36 1.知识清单： (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、共线向量(平行向量)、相等向量、相反向量. (3)两向量的夹角. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：不理解零向量和单位向量的方向导致出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是 A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 √ 2.若=，则四边形ABCD的形状为 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 √ 1 2 3 4 因为=，ABCD为四边形， 所以BA=CD且BA∥CD， 所以四边形ABCD为平行四边形. 3.(多选)下列说法错误的为 A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的起点相同 C.若∥，则一定有直线AB∥CD D.若向量，共线，则点A，B，C必在同一直线上 √ 1 2 3 4 √ √ A错，共线的两个单位向量的方向可能相反； B错，相等向量的起点和终点都可能不相同； C错，直线AB与CD可能重合； D正确，AB与BC平行且有公共点B，则A，B，C三点共线. 1 2 3 4 4. 在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，判断是否存在有下列关系的向量： (1)是共线向量的有　 　　 　；  1 2 3 4 a和d，b和e a∥d，e∥b，故a和d，e和b是共线向量. (2)方向相反的向量有　　 　　；  a和d，b和e a和d，b和e是方向相反的向量. (3)模相等的向量有　 　　　.  1 2 3 4 a，c，d 由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d. 课时对点练 五 45 答案 题号 1 2 3 4 5 6 　7 答案 AC B A B B ABC 　135° 题号 8 11 12 　13 　14 　15 答案 (1)　 (2)6 ACD C 　D 11 　B 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)与. (2)与； 与. (3)因为△ABC为正三角形，的夹角为120°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)如图， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， 所以|(m). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出所有的向量，如图所示. 16. (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， |； ②当点C位于点C5或C6时， |. 所以|. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.(多选)下列说法正确的是 A.零向量的方向任意且与任一向量平行 B.共线的向量，若始点不同，则终点一定不同 C.若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 D.若|a|>|b|，则a>b √ √ 基础巩固 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，故A正确； 由共线向量的定义可知，共线的向量，始点不同，终点可能相同，故B错误； 由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，向量所在的直线可以平行，也可以重合，故C正确； 向量不可以比较大小，故D错误. 11 12 13 14 15 16 答案 2.设O是△ABC的外心，则，，是 A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 因为O是△ABC的外心， 所以||=||=||. 11 12 13 14 15 16 答案 3.“向量，共线”是“直线AB∥CD”的 A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若AB∥CD，则向量共线，A，B，C，D四点有可能在一条直线上.故“向量共线”是“直线AB∥CD”的必要且不充分条件. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是 A.= B.||=|| C.> D.< √ ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.下列结论中，正确的是 A.2 024 cm长的有向线段不可能表示单位向量 B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，　 　使得，是单位向量 C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量 D.一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到 　B点的位移 √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一个单位长度取作2 024 cm时，2 024 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误； B正确； C中两向量为平行向量，故C错误； D中表示从点A到点B的位移，故D错误. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是 A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与的夹角为60° √ √ √ 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由于= ，因此选项A，B正确. 在Rt△AOD中，因为∠ADO=30°， 所以||=||， 故||=||，因此选项C正确. 因为∠BAD=120°，所以∠ADC=60°，因为的夹角为∠ADC的补角.所以的夹角为120°，故选项D不正确. 11 12 13 14 15 16 答案 7.在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，则向量与的夹角为　　　　.  由向量的夹角的定义知，的夹角为∠B的补角，故为135°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 135° 11 12 13 14 15 16 答案 8.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. (1)与向量相等的向量为　　　　　　；  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ， 在▱ABCD和▱ABDE中， ∵==，∴=. 11 12 13 14 15 16 答案 (2)若||=3，则||=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 由(1)知，=， ∴E，D，C三点共线， ||=||+||=2||=6. 11 12 13 14 15 16 答案 9.如图，D，E，F分别是正△ABC各边的中点. (1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 与. 11 12 13 14 15 16 答案 (2)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 与； 与. 11 12 13 14 15 16 答案 (3)求与，与的夹角的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为△ABC为正三角形，的夹角为∠ABC，故的夹角为60°，的夹角为∠AFD的补角，故的夹角为120°. 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，向北偏西一定角度的某方向行走了100 m到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正北方. (1)作出向量，，(图中1个单位长度表示100 m)； 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图， 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)求向量的模. 由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， 所以||=||=100(m). 11 12 13 14 15 16 答案 11.(多选)在下列结论中，正确的结论为 A.a∥b且|a|=|b|是a=b的必要且不充分条件 B.a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分又不必要条件 C.a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件 D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分且不必要条件 √ √ 综合运用 √ 若a=b，则a与b方向相同，模相等，所以A，C，D正确，B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是 A.||=|| B.与共线 C.与共线 D.= √ 由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°，则向量与的夹角为 A.30° B.60° C.150° D.120° √ 易知∠ABC=∠OCB=30°，所以∠COA=60°， 又因为向量的夹角为∠COA的补角， 所以为120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有　　　个.  11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走. 如图，以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个，所以共有11个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 15.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中错误的是 A.C⊆A B.A∩B={a} C.C⊆B D.A∩B⊇{a} √ 拓广探究 因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以A∩B={a，-a}，故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||=. (1)画出所有的向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 画出所有的向量，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)求||的最大值与最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值为 =； ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值为=. 所以||的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 第一章 <<< $$