湖北省汉川市第一高级中学等校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

楚天教科研协作体*高一数学试卷（共 4 页）第 1 页 2024—2025学年度下学期高一期中考试 高一数学试卷 命题学校：汉川一中 命题教师：谢敏 审题学校：汉川一中 考试时间：2025年 4月 11日上午 8:00-10:00 试卷满分：150分 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知 iz  2 ，则  izz  的虚部是（ ） A．2 B． 2 C． i2 D． i2 2. 已知向量  3,1a    ，  1,2b ，则 a  在b  方向的投影向量为（ ） A．  12  ， B．  12， C．  12 ， D．  21 ， 3. 已知        ， 2 且 3 5 4 tantan         ，则 tan （ ） A． 3 1  B． 2 C． 3 1 D． 2 4. 在 ABC 中，设 aBC  ， bCA  ， cAB  ， 1a ， 2b c    ，则 a b b c c a            （ ） A．3 B．-3 C． 2 9  D． 2 9 5. 下列命题： ①若 a b   ，都是非零向量，则    cbacba  ； ② a b   的充要条件是 a b   且 ba // ； ③λ，μ为实数，若λ a  ＝μb  ，则 a  与 b  共线； ④若 DCBA 、、、 是不共线的四点，则 AB DC   是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件. 其中，真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 在 ABC 中， 3  B ， DABD 2 ， 2CD ，则 BCAB 23 4  的取值范围为（ ） A．  4,2 B．  8,4 C．  4,0 D．  2,1 楚天教科研协作体*高一数学试卷（共 4 页）第 2 页 7. 已知函数    sin ( 0,0 π)f x x        的部分图象如图所示， ABC 是等腰直角三角形，A,B 为图象与 x轴的交点，C为图象上的最高点，且 3OB OA ，则（ ） A．     252  ff B．  f x 在  73， 上有 3个零点 C．  f x 在  21， 上单调递减 D．函数  f x 的图象关于直线 2 3 x 对称 8. 在 ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 D是 ABC 边 AC上的一点， 3 2 ABC 且 BC BCBD BA BDBA    ， 64  ca ，则 BD的最大值是（ ） A．2 B． 2 1 C． 2 3 D． 3 2 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目的要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A．若 1 2z z， 互为共轭复数，则 1 2z z 为实数 B．对于复数 1 2z z， ，若 1 2z z ，则 2 21 2z z C．若 i1 是关于 x的二次方程  2 2 0 ,ax bx a b   R 的根，则 i1 也是该方程的根 D．复数 z满足 1 1z   ，则 iz  的最大值为 12  10. 已知向量  2cos sina    ， ，  1 2b    ， ，则下列命题正确的是（ ） A．若 / /a b   ，则 4tan  B．若 | | | |a b a b      ，则 1tan  C． e  是与 b  共线的单位向量，则          5 5 2 5 5 ，e D． 1)(  baf  取得最大值时， 1tan  11. 在 ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A．若 0 AB AC BC AB AC                ，且 1 2 AB AC AB AC       ，则 ABC 为直角三角形 B．若 ABC 平面内有一点O满足： 0OA OB OC       ，且 OA OB OC     ，则 ABC 为等边三角形 C．若 2 2 2sin sin cos 1A B C   ，则 ABC 为钝角三角形 D．若 tan tan tan 0A B C   ，则 ABC 为锐角三角形 楚天教科研协作体*高一数学试卷（共 4 页）第 3 页 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12. 已知  12，A ，  43，B ，点 P在直线 AB上，且 PBAP 3 2  ，则点 P的坐标是 ． 13. 先将 tany x 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 2 1 ，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 12  个单位长度后得到函数  f x 的图象，若       33  ， ，且   3f ，则 的取值范围 是 ． 14. 如图，在平面四边形 ABCD中，点M 、 N分别是线段 AD、 BC的 中 点 ， 5AB ， 2DC ， P 为 平 面 ABCD 内 一 点 ， 且 BNBMBP 4 3 4 1  ，则     DCABPNPM ． 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题 13分） 瑞士数学家欧拉于 1748年提出了著名的欧拉公式： xixeix sincos  ，其中 e是自然对数的底 数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联， 在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”. （1）若复数  2 32024 2 1 1 2 11 i ii e z i            ，求 z ； （2）在复平面内，复数 iez 41   ， iz 312  对应的向量分别是OA OB   ， ，其中O是原点，设OA 与OB所成的角为 ，求 cos ． 16. （本小题 15分） 在 ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，   CABCA sinsinsinsinsin 22  ， （1）求 B； （2）若 3, 4 3tan  bA ，求 c. 楚天教科研协作体*高一数学试卷（共 4 页）第 4 页 17. （本小题 15分） 在 ABC 中， NCAN 2 ，M为边 BC上一点， AM 与 BN 相交于点 P， （1）若 CABCBP 15 1   ，求实数 的值； （2）若 MCBM  ， 2AB ， 6AC ， 3  BAC ，求 MPN 的余弦值． 18. （本小题 17分） 已知函数                4 cos 4 cos3cossin  xxxxxf  0 的图像的两条相邻对称轴之间的 距离为 2  ， （1）求函数  xf 在区间     22  ， 上的单调递减区间； （2）若关于 x的方程    23 1 0f x mf x     在区间 π π 6 3     ， 上有两个不相等的实根，求实数m的 取值范围. 19. （本小题 17分） 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于 1643年提出的平面几何 极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问 题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 ABC 的三个 内角均小于120时，则使 120APB BPC CPA      的点 P即为费马点．已知 cba ,, 分别为 ABC 三 个内角 CBA ，， 的对边， 32a ， 2 sinsin32 CBbB  ，点 P是 ABC 的“费马点”. （1）求角 A； （2）若 4 PAPCPCPBPBPA ，求 ABC 的周长； （3）在（2）的条件下，设    239 PCPBPAntf tt  ，若当  1 2t ， 时，不等式   0f t  恒 成立，求实数 n的取值范围. 书 　考生禁填！由监考老师填写。 　 姓 名 填涂样 准考证号 例 正确填涂 贴缺考标识 注 意 事 项 １．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码。 ２．选择题必须使用!Ｂ铅笔填涂；非选择题必须使用签字笔或钢笔答题；字体工整、笔迹清楚。 ３．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效。 ４．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交。 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 $ 选择题 犃 犅 犆 %犇 犃 犅 犆 犇 犃 犅 犆 ! 犇 犃 犅 犆 '犇 犃 犅 犆 犇 犃 犅 犆 # 犇 犃 犅 犆 (犇 犃 犅 犆 犇 犃 犅 犆 犇 ) 犃 犅 犆 犇 * 犃 犅 犆 犇 & $" $$ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 13． 填空题 12． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15．（本小题满分13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16．（本小题满分15分）三、解答题 请勿在此区域作答 14． 2024—2025 学年度下学期高一期中考试 高一数学�答题卡 楚天教科研协作体*高一数学答题卡（共2页）第1页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17．（本小题满分15分 ） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（本小题满分17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（本小题满分17分） 楚天教科研协作体*高一数学答题卡（共2页）第2页 楚天教科研协作体*高一数学参考答案（共 8 页）第 1 页 2024—2025学年度下学期高一期中考试 高一数学试卷答案 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A C A B C D 单项选择题详解： 1.答案：B 【解析】      iiiizz 26222  ，故  izz  的虚部是 2 . 2.答案：A 【解析】 a  在b  方向的投影向量为    2 3 2 1 1 2,1 2, 1 2 1 a b b b b                  . 3.答案：A 【解析】由 3 5 4 tantan         得 3 5 tan1 tan1tan       ，整理得： 02tan5tan3 2   ，即    01tan32tan   ，因为        ， 2 ，故 3 1tan  . 4.答案：C 【解析】（必修第二册第 61页第 13题（5）改编） 因为 0ABCA BC ，所以 0 cba ，  2 0a b c     ，由      2 2 2 2 2 9 2 0a b c a b c a b b c c a a b b c c a                                     得 9 2 a b b c c a             . 5.答案：A 【解析】对于①，向量的数量积不满足结合律，①错；对于②， a b   且 //a b a b      或 a b    ， 所以， a b   且 ba // 是 a b   的必要不充分条件②错；③不正确．当 0 ＝ ＝ 时，a  与b  可以为任 意向量，满足λ a  ＝μb  ，但 a  与b  不一定共线；对于④，若 A、B、C、D是不共线的四点，当 AB DC   时，则 //AB CD且 AB DC   ，此时，四边形 ABCD为平行四边形，当四边形 ABCD为平行四边 形时，由相等向量的定义可知 AB DC   ，所以，若 A、B、C、D是不共线的四点，则 AB DC   是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件，④对. 6.答案：B 【解析】由 DABD 2 得 BCAB 23 4  = BCBD 2 2 3 3 4  =  BCBD2 ，在 BCD ，由余弦定理可得： 楚天教科研协作体*高一数学参考答案（共 8 页）第 2 页 222 3 cos2 CDBCBDBCBD   ， 即 422  BCBDBCBD ， 所 以    22 4 3434 BCBDBCBDBCBD  ，即 4 BCBD ，当且仅当 BCBD  时等号成立， 故 42  BCBD ， BCAB 2 3 44  =   82  BCBD . 7.答案：C 【解析】由 ABC 为等腰直角三角形，C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为 1， 所以 2AB  ．则函数  f x 的周期为 4，由 2π 4   ， 0  ，可得 π 2  ，又 3OB OA ，所以 1 3,0 , ,0 2 2 A B           ，则 1 ,1 2 C      ，将点C代入   πsin 2 f x x       ，得 π1 sin 4       ， 则 π π 2 π 4 2 k   ， kZ ．而 0 π  ，则 π 4   ，所以   π πsin 2 4 f x x      ， 则     0 4 3sin 4 sin 42 5sin 4 sin52              ff ，A错误； 若  7,3x ，则        4 15 4 7 42 ，x ，   π πsin 2 4 f x x      在  7,3 上有 2个零点，B错误；若  2,1x ， 则        4 5 4 3 42 ，x ，  f x 在  2,1 上单调递减，C正确； 0 42 3 2 sin 2 3             f ，  f x 的图象关于       0, 2 3 中心对称，D错误. 8.答案：D 【解析】由 BC BCBD BA BDBA    得 BC CBDBCBD BA ABDBDBA    coscos ，即 CBDABD  coscos ， 因 为       3 20 ，， CBDABD ， 所 以 3   CBDABD ， CBDABDABC SSS   ， 即  60sin 2 160sin 2 1120sin 2 1 BDcBDaac ， 所 以 ca ca acBD 11 1     ， 而   2 3425 6 145 6 1411 6 111                    a c c a a c c aca caca ，当且仅当 ac 2 时等号成立，故 3 2 BD ， BD的最大值是 3 2 . 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9 10 11 ACD ABD BCD 楚天教科研协作体*高一数学参考答案（共 8 页）第 3 页 多项选择题详解： 9.答案：ACD 【解析】 对于 A选项，设  1 i ,z a b a b  R ，则 2 iz a b  ，    2 21 2 i iz z a b a b a b     为实 数， A对； 对于选项 B，若 1 2z z ，例如 1 1 iz   ， 2 1 iz   ，满足 1 2 2z z  ，但 2 21 (1 i) 2iz    ， 2 2 2 (1 i) 2iz     ，即 2 2 1 2z z ，故 B错误； 对于 C 选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以1 i 为一元二次方程  2 2 0 ,ax bx a b   R 的两根， C对； 对于 D选项，由复数的几何意义，可知 z对应的点的轨迹为以 (1,0)为圆心，以 1为半径的圆， iz  表示圆周上的点到点  0,1 的距离，所以 z 的最大值为 2 21 1 1 2 1    ，故 D对. 10.答案：ABD 【解析】对于选项 A，因为向量  2cos ,sina   ，  1, 2b    ， / /a b   ，所以 sin 4cos   ，即 tan 4   ，则 A正确； 对于选项 B ， | | | |a b a b      等价于    2 2a b a b     ，即 babababa  22 2222 ，即 0sin2cos2  ba ，所以 1tan  ，则 B正确； 对于选项C，与b  共线的单位向量为            5 5 2, 5 5 5 2,1 b b ，则C不正确； 对于选项D， 1)(  baf  = 14 sin221sin2cos2         ，当 Zkk  ,2 24  ，即 Zkk  ,2 4  时， 1)(  baf  取得最大值时，此时 1tan  ，则D正确. 11.答案：BCD 【解析】（必修第二册第 52页第 1题改编） 对于选项 A，因为 0 AB AC BC AB AC                ， | | AB AB   ， | | AC AC   分别为单位向量，所以 A 的角平分线与 BC 垂直，所以 AB AC ， B C   .又因为 1 2| | | | AB AC AB AC       ，即 1cos 2 A  ，因为 0 πA  ，所 以 π 3 A  ，故 π 3 B C A      ，所以 ABC 为等边三角形，故选项 A错误； 对于选项 B，因为 0OA OB OC      ，所以O为 ABC 的重心，由 OCOBOA  知O为 ABC 的 外心，故 ABC 为等边三角形，B正确； 对于选项 C，由 2 2 2sin sin cos 1A B C   ，可得 2 2 2sin sin sinA B C  ，由正弦定理可得 2 2 2a b c  ， 楚天教科研协作体*高一数学参考答案（共 8 页）第 4 页 所以 2 2 2 cos 0 2 a b cC ab     ，因为 (0, π)C ，所以 π π 2 C  ,则 ABC 为钝角三角形，所以 C正确； 对 于 D 选 项 ， 由      CB CBCBCBA tantan1 tantantantantan     ， 所 以 0tantantantantantan  CBACBA ，而 , , (0, π)A B C ，故 CBA ,, 都为锐角，D正确； 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．       5 110， 或  512 ， 13．             3 , 464  ， 14． 4 3  12.【解析】（必修第二册第 37页第 13题改编） 【解析】由  1,2A ，  43，B 得  3,5AB ，因为点 P 在直线 AB 上，且 PBAP 3 2  ，所以       5 62 5 2 ，ABAP 或  6102  ，ABAP ，故点 P的坐标是       5 110， 或  512 ， . 13.【解析】将 tany x 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 12 ，纵坐标不变， 再将所得图象向左平移 12  个单位长度后可得          6 2tan xxf ， 由       33  ， ，则       6 5 26 2  ， ，由   3f ，则有 362tan        ， 故有 26 2 3   或 6 5 6 2 3 2   ，解得             3 , 464  ， . 14.【解析】（必修第二册第 23页第 15题改编） 因为 BNBMBP 4 3 4 1  ，所以 BNBMBNBP 4 1 4 1  ，即 MNPN 4 1  ，故 MNMNMNPNPM 2 1 4 1 4 3  ； 又 BNABMAMN  ①， CNDCMDMN  ②，①+②得：  DCABMN  2 1 ，则           4 3 4 1 4 1 2 1 22       DCABDCABDCABDCABMNDCABPNPM 四、 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.【解析】（1）由题可知， i iie i    1 2 sin 2 cos 11 2  ，-----------2 分 101 10122 1012 4 2 2 53 2024 2 1 2i i i i 1 2 1 i 1 i 2 2                           ，-----------4分         iii ii i i i i 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 3         ，-----------6 分 楚天教科研协作体*高一数学参考答案（共 8 页）第 5 页 所以  2 32024 2 1 1 2 11 i ii e z i           = iii 2 1 2 1 2 1 2 11  ， 所以 2 2 2 1 2 1 22           z . -----------8 分 （2） iiez i 2 2 2 2 4 sin 4 cos41   ，由题意可得OA=       2 2, 2 2 ，OB =  3,1 ， 于是有 2 2 23 2 2 OBOA ， -----------10分 1 2 2 2 2 22             OA ，   1031 22 OB ，-----------12分 5 5 10 2cos  OBOA OBOA . -----------13分 16.【解析】 （1）因为   CABCA sinsinsinsinsin 22  ，化简得 CABCA sinsinsinsinsin 222  ， 由正弦定理得： acbca  222 ，-----------3 分 由余弦定理可得 2 1 22 cos 222    ac ac ac bcaB ，-----------5 分 因为  ，0B ，所以 3  B .-----------7 分 （2）由 4 3tan A ，  ，0A 得， 5 3sin A ， 5 4cos A ，-----------9 分 因为 BAC  ，所以   ABBABAC cossincossinsinsin  -----------11分 2 3 5 4 2 1 5 3 3 sin 5 4 3 cos 5 3   10 343  -----------13 分 在 ABC 中，由正弦定理 C c B b sinsin  得 10 343 3 sin 3   c  ，所以 5 343 c .-----------15 分 17.【解析】（必修第二册第 53页第 12题改编） （1）因为 NCAN 2 ，故 CABCCNBCBN 3 1  -----------2 分 又因为 BP与BN共线，设 BNBP  ，则 CABCCABCBP  3 1 3 1        ，-----------4分 楚天教科研协作体*高一数学参考答案（共 8 页）第 6 页 由题意知 CABCBP 15 1   ，故       15 1 3 1   ，所以 5 1   ，实数的值为 5 1 .-----------6 分 （2）解法 1：因为 MCBM  ， NCAN 2 ，所以  ACABAM  2 1 ， ABACABANBN  3 2 ， -----------7 分 所以          ABACACABBNAM 3 2 2 1 =        ACABABAC 3 1 3 2 2 1 22 = 9 3 cos62 3 126 3 2 2 1 22         ， -----------9 分 13 2 126226 4 12 4 1 2222             ACABACABAM ，-----------11分 32 2 162 3 426 9 4 3 4 9 4 2222  ACABABACBM ，----------13分 所以 26 393 3213 9cos       BNAM BNAMMPN . ----------15分 （2）解法 2：以 A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 因为 3  BAC ， 2AB ， 6AC ， NCAN 2 ， 所以  0,0A ，  0,6C ，  0,4N ,  3,1B ----------7 分 而 MCBM  ，即M 为 BC的中点，故       2 3, 2 7M ，----------8分        2 3, 2 7AM ，  33  ，BN ，----------10分 93 2 33 2 7 BNAM ，----------11分 故 13 2 3 2 7 22            AM ，   3233 22 BN ，----------13分 故 26 393 3213 9cos       BNAM BNAMMPN . ----------15分 18.【解析】 （1）因为                4 cos 4 cos3cossin  xxxxxf              4 cos 24 sin32sin 2 1  xxx ----------1 分 楚天教科研协作体*高一数学参考答案（共 8 页）第 7 页              4 cos 4 sin32sin 2 1  xxx ----------2 分        2 2sin 2 32sin 2 1  xx ----------3分 xx  2cos 2 32sin 2 1         3 2sin x ----------4 分 由  xf 图像的两条相邻对称轴之间的距离为 2  ，得函数  xf 的最小正周期为 ， 由     2 2T 得 1 ，所以          3 2sin xxf ，----------6 分 令 Zkkxk  ,2 2 3 3 22 2  ，解得 Zkkxk  , 12 7 12  ， 所以函数  xf 在区间     22  ， 上的单调递减区间为      12 5 2  ， ，     212  ， ----------8分 （3）因为 π π, 6 3 x      ，则  π2 0, π 3 x   ，由（1）知          3 2sin xxf 在     126  ， 上单调递增， 在     312  ， 上单调递减，  f x 的函数值从 0递增到 1，又从 1递减回 0，如图所示，----------10分 令  t f x 则  0,1t ， 依题意得 23 1 0t mt   在  0,1t 上仅有一个实根 且此根应该在区间  0,1 上，----------13分 令   23 1H t t mt   ，因为  0 1 0H   则需  1 3 1 0H m    或 2Δ 12 0 0 1 6 m m          ，解得 4m   或 2 3m   可得实数m的取值范围是 4m   或 2 3m   .----------17分 19.【解析】 （1）因为 32a ，所以 2 sinsin32 CBbB  可化为 2 sinsin CBbBa  ，----------1分 由正弦定理可得 2 sinsinsinsin CBBBA  ，因为  ,0B ，所以 0sin B ，----------2分 因此， 2 cos 2 sin 2 sinsin AACBA   ，----------3 分 即 2 cos 2 cos 2 sin2 AAA  ，因为  ,0A ，所以       2 ,0 2 A ， 0 2 cos A ， 2 1 2 sin A ， 62   A ，故 3  A .----------4 分 （ 2）因为  60BAC ，所以 ABC 的内角均小于 120 ，所以点 P 在 ABC 的内部，且 楚天教科研协作体*高一数学参考答案（共 8 页）第 8 页 120APB BPC CPA       ， 设 , ,PA x PB y PC z      ， 因为 4 2 1 2 1 2 1                 xzyzxyPAPCPCPBPBPA ， 整理得： 8 xzyzxy ，----------6 分 由 PAB PAC PBC ABCS S S S  △ △ △ △ 得 1 1 1 1sin 60 sin120 sin120 sin120 2 2 2 2 bc xy yz zx     ， 即 8bc xy yz zx    ，----------8 分 在 ABC 中，由余弦定理得  60cos2222 bccba ，即  22 3a b c bc   ， 则   8312 2  cb ，解得 6 cb ，所以 ABC 的周长为 326  cba .----------10分 （3）在 PBCPACPAB  ,, 中，由余弦定理得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos120 2 cos120 2 cos120 c x y xy a y z yz b z x zx                ----------12分 将三个等式左右分别相加， 2 2 2 2 212 2( )b c x y z xy yz zx        ， 由（2）知 8bc xy yz zx    ①， 在 ABC 中，由余弦定理得  60cos2222 bccba ，即 2 2 20b c  ②， 将①，②代入整理得， 2 2 2 12x y z   ， 于是 2 2 2 2( ) 2( ) 28x y z x y z xy yz zx         ，----------14分 从而，     283939 2  tttt nPCPBPAntf ， 由题意，当  1,2t 时，不等式9 3 28 0t tn    恒成立，即 283 3 t tn   在 1, 2 上恒成立， 因为 28 283 2 3 4 7 3 3 t t t t    ，当且仅当3 2 7 [3,9] t   时等号成立，故 4 7n  ，即实数 n的取 值范围为  74, . ----------17分