专题01 一元一次不等式和一元一次不等式组（考题猜想，易错压轴必刷64题16种题型）七年级数学下学期新教材北京版

专题01 一元一次不等式和一元一次不等式组 （易错压轴必刷64题16种题型） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 不等式的定义 · 题型二 不等式的性质 · 题型三 不等式的解集 · 题型四 一元一次不等式的解集 · 题型五 在数轴上表示不等式解集 · 题型六 一元一次不等式的整数解 · 题型七 用一元一次不等式解决问题 · 题型八 求不等式组的解集 · 题型九 求一元一次不等式组的整数解 · 题型十 由不等式组解集的情况求参数 · 题型十一 不等式组和方程组结合的问题 · 题型十二 一元一次不等式组的实际应用 · 题型十三 不等式的含参综合题（压轴） · 题型十四 不等式的新定义问题（压轴） · 题型十五 不等式组与方程组结合（压轴） · 题型十六 不等式组的实际应用（压轴） 题型一 不等式的定义 1．（24-25七年级下·北京·阶段练习）下列式子中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·北京朝阳·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025七年级下·北京·专题练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有 个． 4．（23-24七年级下·北京海淀·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 题型二 不等式的性质 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·北京·期中）下列叙述不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25七年级下·北京·阶段练习）若，且，则的取值范围是 ． 8．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如果关于的不等式的解集是，那么的取值范围是 ． 题型三 不等式的解集 9．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 10．（23-24七年级下·北京·阶段练习）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 11．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 12．（23-24七年级下·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 题型四 一元一次不等式的解集 13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）解下列一元一次不等式． (1) (2) 14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）解不等式：． 15．（24-25七年级下·江西·阶段练习）解不等式 (1) (2) 16．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）解不等式： (1)； (2) 题型五 在数轴上表示不等式解集 17．（2025·陕西西安·一模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 18．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上， 19．（24-25七年级下·北京·阶段练习）解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 20．（24-25七年级下·北京·阶段练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)． 题型六 一元一次不等式的整数解 21．（24-25七年级下·福建三明·阶段练习）不等式的非负整数解的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（24-25七年级下·山西·阶段练习）一元一次不等式的最小整数解是（   ） A．0 B．1 C． D．3 23．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）若不等式有2个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·江苏宿迁·一模）若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是 ． 题型七 用一元一次不等式解决问题 25．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． (1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？ (2)若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 26．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球筒，经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元／支，网球25元／筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按付款 (1)请用含的式子表示到甲商店购买需要支付______元，到乙商店购买需要支付______元； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠； (3)请你帮学校分析，购买网球小于300筒时，哪家商店更划算． 27．（23-24七年级下·河北张家口·期末）某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高； 王师傅：甲商品比乙商品的数量多件． (1)请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共件，总金额不超过元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 28．（23-24七年级下·山东临沂·期末）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购健身器材按原价打八折； 活动二：所购健身器材按原价每满300元减80元．（如：所购健身器材原价为300元，可减80元，需付款220元；所购健身器材原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价在600元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价； (2)购买一件原价在600元以下的健身器材时，原价在什么范围，选择活动二比活动一更合算？ 题型八 求不等式组的解集 29．（24-25七年级下·山西运城·期中）（1）解不等式组：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 30．（2025·西藏·二模）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 31．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）解不等式组并把解集在数轴上表示： 32．（2025七年级下·上海·专题练习）求不等式组：的整数解． 题型九 求一元一次不等式组的整数解 33．（2025·山东济南·一模）解不等式组并写出它的所有整数解． 34．（24-25九年级下·河南安阳·阶段练习）关于的不等式组的整数解的和是 ． 35．（2025·河南信阳·一模）不等式组的所有整数解的和是 ． 36．（24-25七年级下·广西贵港·期末）解不等式组在数轴上表示出解集，并写出该不等式组的非负整数解． 题型十 由不等式组解集的情况求参数 37．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知不等式组的解集为，则为（   ） A．1 B． C．2 D．0 39．（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）已知关于的不等式组有且仅有三个奇整数解，则的取值范围是 ． 题型十一 不等式组和方程组结合的问题 41．（23-24七年级下·山东聊城·期中）若方程组的解满足，则k取值范围是 ． 42．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 43．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 44．（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）若关于，的二元一次方程的解满足，求的取值范围． 题型十二 一元一次不等式组的实际应用 45．（2025七年级下·北京·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 46．（23-24七年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 47．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题： (1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示） (2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ 48．（23-24七年级下·广西贺州·期中）为贯彻落实教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》，我市某中学组织七年级师生到爱莲湖开展研学活动，学校计划租用两种不同型号的客车前往爱莲湖，两种客车的载客量与租金如下表所示： 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 18 30 租金（元/辆） 800 1200 若共有172名师生参加此次研学活动，学校计划租用这两种客车共8辆，租金总费用不超过8000元，要使全部师生均有座位，则怎样租车更划算？ 题型十三 不等式的含参综合题（压轴） 49．（2025七年级下·辽宁·专题练习）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·北京·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．（23-24九年级·北京·专题练习）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 52．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 题型十四 不等式的新定义问题（压轴） 53．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 54．（24-25七年级下·北京·期中）定义：三个关于x的整式A、B、C，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，有：当时的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由； (2)若三个关于x的整式，x，，可以构成“不等式”，求a的值； (3)若三个整式，，构成“不等式”，求关于x的不等式组的解集． 55．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 56．（23-24七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 题型十五 不等式组与方程组结合（压轴） 57．（2023七年级下·北京·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 58．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ． 59．（23-24·河南·模拟预测）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 ． 60．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知方程组的解满足， (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，若m为整数，则____，不等式的解集为． 题型十六 不等式组的实际应用（压轴） 61．（2025七年级下·北京·专题练习）有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有三张，相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数，老师把这张卡片发给、、、、、六名同学，每个同学得到两张颜色不同的卡片，然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和，六名同学交上来的答案如下表所示： 学生 答案 老师看完六名同学的答案后说：“只有一名同学的答案错了，但这个同学肯定不是．”那么： (1)同学______的答案是错误的，该同学应得到的正确结果是______； (2)四种颜色卡片上所写各数中最小的一个数是多少？ 62．（2024七年级下·北京·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 63．（23-24七年级下·北京·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 64．（23-24七年级下·贵州安顺·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张） 大长方形硬纸板（张） A型号（张数） 0 B型号（张数） 0 _________ _________ （2）最多能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二： 若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$专题01 一元一次不等式和一元一次不等式组 （易错压轴必刷64题16种题型） 51 / 51 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 不等式的定义 · 题型二 不等式的性质 · 题型三 不等式的解集 · 题型四 一元一次不等式的解集 · 题型五 在数轴上表示不等式解集 · 题型六 一元一次不等式的整数解 · 题型七 用一元一次不等式解决问题 · 题型八 求不等式组的解集 · 题型九 求一元一次不等式组的整数解 · 题型十 由不等式组解集的情况求参数 · 题型十一 不等式组和方程组结合的问题 · 题型十二 一元一次不等式组的实际应用 · 题型十三 不等式的含参综合题（压轴） · 题型十四 不等式的新定义问题（压轴） · 题型十五 不等式组与方程组结合（压轴） · 题型十六 不等式组的实际应用（压轴） 题型一 不等式的定义 1．（24-25七年级下·北京·阶段练习）下列式子中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义逐个判断即可．注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：＞，＜，≤，≥，≠等． 【详解】解：不等式有①、②、⑥，共3个， 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京朝阳·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．根据不等式的概念判定即可． 【详解】解：③没有不等号，不是不等式，④是等式， 则不等式有①，②；⑤，一共有3个， 故选：B． 3．（2025七年级下·北京·专题练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有 个． 【答案】3 【分析】依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．本题考查了不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，③；④；⑤都是不等式， ∴不等式的有3个， 故答案为：3． 4．（23-24七年级下·北京海淀·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是路程、速度、时间之间关系及用不等式表示范围，先求出要在内通过时的速度，再根据按照当前时速行驶能通过下一路口求出此时速度，即可解决． 【详解】解：， 当距离下一路口时，以速度通过需要的时间为：， 要在内通过， 小车的速度至少为， 因为导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口， 则小车当前行驶速度的取值范围是． 题型二 不等式的性质 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，，故ABC成立，不符合题意； 当时，，当时，，故D不成立，符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级下·北京·期中）下列叙述不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的数，不等号方向改变，由此逐项判断即可． 【详解】解：A，∵，∴，故A正确，不符合题意； B，∵，∴，故B错误，符合题意； C，∵，∴，故C正确，不符合题意； D，∵，∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 7．（24-25七年级下·北京·阶段练习）若，且，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的性质．原不等式两边同时乘以后不等号改变方向，则，则． 【详解】解：∵若，且， ∴， 则； 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如果关于的不等式的解集是，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．运用不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集是，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 不等式的解集 9．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·北京·阶段练习）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解的定义去判定即可． 【详解】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误； ②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误； ③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确； ④不等式的解集是，故说法正确． 综上所述：正确的有③④ 故答案为：③④． 11．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 12．（23-24七年级下·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【答案】 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集是， ，且， ，， 整理，得：，， 把代入，得， 解得：， ， 解集为：， 把代入得：， 不等式的解集． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键． 题型四 一元一次不等式的解集 13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）解下列一元一次不等式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，然后合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，去括号，再移项，然后合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解： 去括号得 移项得， 合并同类项得， 系数化1得， （2）解：， 去分母得 去括号得 移项得， 合并同类项，得， 系数化1，得． 14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 15．（24-25七年级下·江西·阶段练习）解不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解答的关键． （1）根据不等式的性质解一元一次不等式即可； （2）根据不等式的性质解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 16．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）解不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤，是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 题型五 在数轴上表示不等式解集 17．（2025·陕西西安·一模）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式、把一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，熟练掌握不等式的解法是解题关键．按照去括号、移项、合并同类项、不等式的性质的步骤解不等式，再把解集在数轴上表示出来即可得． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， x的系数化为1得，． 在数轴上表示为： ． 18．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上， 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查解不等式并在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．先去分母再去括号移项合并，最后系数化为1，可解不等式，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： ∴ ∴ 解得： 在数轴上表示不等式的解集，如图所示： 19．（24-25七年级下·北京·阶段练习）解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确计算是解题的关键． （1） 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化1即可，再在数轴上表示解集； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化1即可，再在数轴上表示解集． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 将解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 将解集在数轴上表示如图所示． 20．（24-25七年级下·北京·阶段练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴表示见解析； (2)，数轴表示见解析； (3)，数轴表示见解析． 【分析】本题考查了不等式的解法，熟练运用法则计算是解题的关键． （1）根据解不等式的方法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解，并把解集在数轴上表示出来； （2）根据解不等式的方法，去分母，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解，并把解集在数轴上表示出来； （3）根据解不等式的方法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解，并把解集在数轴上表示出来． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示， ； （2）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示， ； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示， ． 题型六 一元一次不等式的整数解 21．（24-25七年级下·福建三明·阶段练习）不等式的非负整数解的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式的问题，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先去括号，再移项和合并同类项，即可求出不等式的解集，再求出非负整数解即可． 【详解】解： ∴ ∴不等式的非负整数解有0，1，2，共3个 故答案为：C． 22．（24-25七年级下·山西·阶段练习）一元一次不等式的最小整数解是（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先移项，合并同类项，然后系数化为1，得出不等式的解，最后得出最小整数解即可． 【详解】解： ， 解得：， ∴最小整数解是， 故选：C． 23．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）若不等式有2个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据负整数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式有2个负整数解， ∴x的负整数解有：，， ∴． 故选：A． 24．（2025·江苏宿迁·一模）若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；由题意易得不等式的解集为，然后根据最小整数解为2可进行求解． 【详解】解：由不等式可知：， ∵关于的不等式的最小整数解是2， ∴， 解得：； 故答案为：． 题型七 用一元一次不等式解决问题 25．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． (1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？ (2)若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 【答案】(1)该城市规定的基础用水量是吨 (2)他家这个月最多能用吨水 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据题意找准等量关系正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该城市规定的基础用水量是吨，列方程得，解方程即可得到答案； （2）设他家这个月最多能用吨水，列不等式得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 小亮家上个月用水量超过了基础用水量， 设该城市规定的基础用水量是吨， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：该城市规定的基础用水量是吨； （2）解：设他家这个月最多能用吨水， 根据题意得：， 解得：， 他家这个月最多能用吨水． 26．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球筒，经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元／支，网球25元／筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按付款 (1)请用含的式子表示到甲商店购买需要支付______元，到乙商店购买需要支付______元； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠； (3)请你帮学校分析，购买网球小于300筒时，哪家商店更划算． 【答案】(1)， (2)甲商店购买合算 (3)当时，两家商店一样合算；当时，甲商店购买合算；当时，乙商店购买合算 【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）把代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可； （3）分三种情况讨论，即可求解． 此题考查列代数式，代数式求值，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用；理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：甲商店购买需付款元， 乙商店购买需付款元， 故答案为：，； （2）解：当时， 甲商店购买需付款元， 乙商店购买需付款元， ∵， ∴所以甲商店购买合算． （3）解：当，即时，两家商店一样合算；当，即时，甲商店购买合算； 当，即时，乙商店购买合算； ∵购买网球小于300筒， ∴， 综上所述，当时，两家商店一样合算；当时，甲商店购买合算；当时，乙商店购买合算． 27．（23-24七年级下·河北张家口·期末）某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高； 王师傅：甲商品比乙商品的数量多件． (1)请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共件，总金额不超过元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 【答案】(1)甲商品的进价为元/件，乙商品的进价为元/件，购进甲商品件，购进乙商品件． (2)最多可购买甲商品件． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键． （1） 设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为元/件，利用，结合购进甲商品的数量比乙商品多件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出乙商品的进价，将其代入中，可求出甲商品的进价，再利用，即可求出购进甲、乙两种商品的数量； （2） 设购买甲商品a件，则购买乙商品件，利用，结合总价不超过元，可列出关于a的一元一次不等式，解之可求出a的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为元/件， 依题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， ， ． 答：甲商品的进价为元/件，乙商品的进价为元/件，购进甲商品件，购进乙商品件； （2）（2）设购买甲商品a件． 由题意，得， 解得． ∵a是整数， ∴最多可购买甲商品件， 答：最多可购买甲商品件 28．（23-24七年级下·山东临沂·期末）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购健身器材按原价打八折； 活动二：所购健身器材按原价每满300元减80元．（如：所购健身器材原价为300元，可减80元，需付款220元；所购健身器材原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价在600元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价； (2)购买一件原价在600元以下的健身器材时，原价在什么范围，选择活动二比活动一更合算？ 【答案】(1)一件这种健身器材的原价是400元 (2)原价在，选择活动二比活动一更合算 【分析】（1）设一件这种健身器材的原价是元，根据选择活动一和选择活动二的付款金额相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）分，两种情况考虑，根据选择活动二比选择活动一更合算，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围． 本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：依题意，设一件这种健身器材的原价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：一件这种健身器材的原价是400元； （2）解：依题意，设一件这种健身器材的原价是元， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 当时，选择活动二比选择活动一更合算； ∴原价在，选择活动二比活动一更合算 题型八 求不等式组的解集 29．（24-25七年级下·山西运城·期中）（1）解不等式组：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：（1）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以原不等式组的解集是； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： 30．（2025·西藏·二模）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解，并按要求将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】由题知， 解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：． 数轴表示如下： 31．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）解不等式组并把解集在数轴上表示： 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集进而求出不等式组的解集是解题的关键．先分别求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： ， 在数轴上表示不等式组的解集为： ． 32．（2025七年级下·上海·专题练习）求不等式组：的整数解． 【答案】，，，0，1，2 【分析】本题考查了解不等式组及整数解，解题的关键是准确求出不等式组的解集，再得出整数解即可． 【详解】解：， 由①得，． 由②得，． ∴原不等式组的解集为：． ∴满足题意的整数解为：，，，0，1，2． 题型九 求一元一次不等式组的整数解 33．（2025·山东济南·一模）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为：1，2，3 【分析】本题考查了解不等式组，以及求出不等式组的解集，先分别算出每个不等式的解集，则得不等式组的解集为，然后结合整数解的定义进行作答即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为 ∴所有整数解为：1，2，3． 34．（24-25九年级下·河南安阳·阶段练习）关于的不等式组的整数解的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解不等式组得不等式组的解集为，即可求解；能熟练解一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得： 不等式组的解集为， 不等式组的整数解有、， ， 故答案为：． 35．（2025·河南信阳·一模）不等式组的所有整数解的和是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解答本题的关键．先求出各不等式的解集，再求确定等式组的解集，最后确定不等式的整数解，再求和即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， ∴整数解有：， ∴所有整数解的和是． 故答案为：10． 36．（24-25七年级下·广西贵港·期末）解不等式组在数轴上表示出解集，并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】，数轴见解析，非负整数解为0和1 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式组的解法进行求解，然后在数轴上画出解集即可 【详解】解：， 解不等式①，得：，解不等式②，得：， 不等式组的解集为：． 不等式组的解集在数轴上表示为： 不等式组的非负整数解为：0和1 题型十 由不等式组解集的情况求参数 37．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得m的范围． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的整数解是3，4，5，6． ∴． 故选C． 38．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知不等式组的解集为，则为（   ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、求代数式的值，先分别求出每个不等式得解集，再根据题意得出，，从而求出，，代入代数式即可得解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 39．（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大大小小找不到”得出关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：， 解得：， ∵不等式无解， ∴， 故选：D． 40．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）已知关于的不等式组有且仅有三个奇整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式得解集，再根据不等式组的解集情况得到关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有且仅有三个奇整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 题型十一 不等式组和方程组结合的问题 41．（23-24七年级下·山东聊城·期中）若方程组的解满足，则k取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的方程组的特点，可以得到x+y的值，然后根据0≤x+y＜1，即可求得k的取值范围． 【详解】解：， ①+②，得5x+5y=k+4， ∴x+y=， ∵0≤x+y＜1， ∴0≤＜1， 解得，-4≤k＜1， 故答案为：-4≤k＜1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的取值范围． 42．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 43．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查加减法解二元一次方程组，解一元一次不等式的综合．运用加减消元法解二元一次方程组，用含的式子表示的值，再根据，，得到一元一次不等式组，进一步计算即可求解． 【详解】解：， 得，， 把代入得，， ∴原方程组的解为， 依题意得：， 解得：． 44．（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）若关于，的二元一次方程的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】①+②得，，进而可得，根据已知条件，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：， ①+②得，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，求一次不等式的解集，得出是解题的关键． 题型十二 一元一次不等式组的实际应用 45．（2025七年级下·北京·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 46．（23-24七年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 【答案】该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． 【分析】本题考查的是不等式组的实际应用．设购买型污水处理设备台，根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题． 【详解】解：该企业投入106万购买这两种设备不可行， 理由：设购买型污水处理设备台， ， 解得且， 该不等式组无解， ∴该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． 47．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题： (1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示） (2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ 【答案】(1) (2)三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个，即可得出答案； （2）根据做一个竖式纸盒需要4个长方形纸板和1个正方形纸板，做一个横式纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，列出一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 为正整数， 可取36、37、38， 三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒． 48．（23-24七年级下·广西贺州·期中）为贯彻落实教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》，我市某中学组织七年级师生到爱莲湖开展研学活动，学校计划租用两种不同型号的客车前往爱莲湖，两种客车的载客量与租金如下表所示： 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 18 30 租金（元/辆） 800 1200 若共有172名师生参加此次研学活动，学校计划租用这两种客车共8辆，租金总费用不超过8000元，要使全部师生均有座位，则怎样租车更划算？ 【答案】租用5辆中型客车，3辆大型客车更划算 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用以及有理数混合运算的实际应用，设租用中型客车x辆，则租用大型客车辆，根据题意列出一元一次不等式组并求出整数解，再通过计算比较出费用的大小即可得出答案． 【详解】解：设租用中型客车x辆，则租用大型客车辆， 根据题意，得 解得， ∵x为非负整数， ∴x取4，5 ∴当租用4辆中型客车，4辆大型客车时，租金总费用为： （元）； 当租用5辆中型客车，3辆大型客车时，租金总费用为： （元）： ∵， ∴租用5辆中型客车，3辆大型客车更划算． 题型十三 不等式的含参综合题（压轴） 49．（2025七年级下·辽宁·专题练习）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A． 50．（23-24七年级下·北京·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 51．（23-24九年级·北京·专题练习）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程解的情况可得，即得，再求出不等式组的解，根据不等式组解的情况可得，即得，综上可得，据此可得的整数值，进而即可求解，根据一元一次方程和一元一次不等式组求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 解得， ∵关于的方程有非负数解， ∴， ∴， 解不等式组得，， ∵不等式组恰好有两个偶数解，得到偶数解为， ∴， ∴， 综上，， ∴符合条件的整数的值有，，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故选：． 52．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式组的整数解问题，根据条件可得，可得，再结合正整数可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的整数解是1，2，3，4， ∴， ∴， ∴ 解得：； 故答案为： 题型十四 不等式的新定义问题（压轴） 53．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，解一元一次不等式组的应用．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．当时，，可判断①的正误；设，则，，，可得，可判断②的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为， 由，可求，可判断③的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断④的正误． 【详解】解：当时，，①正确，故符合要求； 设，则， ∴， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 由题意知，的整数部分为，则小数部分为， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴的整数部分为，则小数部分为，且， 解得，， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，或或是的解，④错误，故不符合要求； 故答案为：①②③． 54．（24-25七年级下·北京·期中）定义：三个关于x的整式A、B、C，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，有：当时的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由； (2)若三个关于x的整式，x，，可以构成“不等式”，求a的值； (3)若三个整式，，构成“不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，见解析 (2)或1 (3)或或 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号． （1）由，即的解集为即可得出答案； （2）分、、三种情况分别求解即可； （3）分、、三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可． 【详解】（1）解：，1，可以构成“不等式”， ∵，即的解集为， ∴，1，可以构成“不等式”； （2）解：①若，即， 则，即且， 解得（舍）； ②若，即， 则，即且， 此时； ③若，即，则， 即且； 综上，； 即或1； （3）解：①若，即，则， 即且，化简得， 代入得， 即，则， 由， 得：， 即， ∴； 由，得：， ∴， 此时不等式组的解集为； ②若，即， 则，， 化简得，代入， 得：，则， 由， 得：，即， ∴， 由，得：， ∴， 此时不等式组的解集为； ③若，即， 则，即，且， 化简得， 代入得， 解得，则， 由，得：， 即， ∴， 由，得：， ∴， 此时不等式组的解集为； 综上，或或． 55．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：①， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； ②， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ③， 移项得，， 系数化为1得，； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解： 解得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， 解得， ∴． 56．（23-24七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 题型十五 不等式组与方程组结合（压轴） 57．（2023七年级下·北京·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 58．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ． 【答案】/3≥a＞2 【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解． 【详解】解：由①与②进行如下运算： ①×3+②得到：4x+4y＝12， ∴x+y＝3， ∴， ∵，， ∴， 故， ∵x只能取两个整数， 故令整数的值为n，n+1， 则，， 故， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式组的解集，能够熟练地进行等量代换是解决本题的关键． 59．（23-24·河南·模拟预测）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 ． 【答案】5 【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据有且仅有2个整数解，确定的范围，最后根据，为整数，舍去不符合题意的的值即可求解． 【详解】解： ①＋②得， 将代入①，得 ，是正整数， ， 解得， 解不等式③得： 解不等式④得： 有且仅有2个整数解， 解得 是整数 或 当时，，不合题意，故舍去 故答案为： 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键． 60．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知方程组的解满足， (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，若m为整数，则____，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式的整数解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）先求出方程组的解，根据，得出不等式组，再求出不等式组的解集即可；（2）根据不等式的解集为得出，求出m的范围，再根据结论求出，再求出整数m即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为： ∵关于x、y的方程组的解满足，． ∴ ， ∴； （2）解：∵不等式的解为 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． 题型十六 不等式组的实际应用（压轴） 61．（2025七年级下·北京·专题练习）有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有三张，相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数，老师把这张卡片发给、、、、、六名同学，每个同学得到两张颜色不同的卡片，然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和，六名同学交上来的答案如下表所示： 学生 答案 老师看完六名同学的答案后说：“只有一名同学的答案错了，但这个同学肯定不是．”那么： (1)同学______的答案是错误的，该同学应得到的正确结果是______； (2)四种颜色卡片上所写各数中最小的一个数是多少？ 【答案】(1)， (2)卡片上最小数为 【分析】本题考查逻辑推理的方法，不等式的应用；四个数两两相加得到六个和，六个和两两组合必然得到3个相同结果，据此分析出计算错误的同学，求出应得到的正确结果是解决问题的关键． （1）如果都计算正确，这6个和两两组合会得到3个相同结果，因为有一名同学的答案错了，会有两个结果相同，不相同的结果里必有一个数是错误的，据此可以分析出计算错误的同学，并求出应得到的正确结果； （2）设这4张不同颜色卡片数为，分析出他们两两相加得到的几个算式，问题可以得到解决． 【详解】（1）解：设这4张不同颜色卡片数为，，，， 则任选两个不同数相加，会出现种不同的和，分别为：，，，，，， 将这种不同的和两两组合并相加，发现， 故，在计算都正确的情况下，这种不同的和两两组合并相加会得到个相同的结果， 发现， 而， 故、中有一人错了，因为不是错，所以是错，正确为． 故答案为： ，136 （2）设这4张不同颜色卡片数为，所以，， 最小的数加第三小的数相加必然得第二小的和，所以， 最大的数加第三大的数相加必然得第二大的和，所以， 所以或， 由得， 而与奇偶性一样， 故， 而， 故． 故卡片上最小数为． 62．（2024七年级下·北京·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 63．（23-24七年级下·北京·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 【答案】(1)①，；②人； (2)名工人进行水果采摘，名工人加工罐头；最大利润为元． 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． （）①根据题意列式即可求解；②根据题意列出不等式即可求解； （）根据题意，列出不等式即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得，加工罐头的工人为人，可以加工罐头千克， 故答案为：，； ②由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴采摘水果的工人至少人； （2）解：由题意得，， 解得， 要使直接出售所获利润不超过总利润的，应该有名工人进行水果采摘，名工人加工罐头， 所获最大利润为元． 64．（23-24七年级下·贵州安顺·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张） 大长方形硬纸板（张） A型号（张数） 0 B型号（张数） 0 _________ _________ （2）最多能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二： 若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____． 【答案】探究一：（1）见详解；（2）最多能做6个礼品盒；探究二：最多能做20个礼品盒；探究三：11或24 【分析】该题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式． 探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列不等式即可解答； 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板， 当时， （1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 （2）根据题意可得， 即， 解得：， ∴个， 故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒， 则， 解得：， ∵a为正整数， ∴a最大为20， 即最多能做20个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板， 则， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ∵n，b为正整数， ∴或符合要求， 故n的值为：11或24． $$