专题03 整式的运算（考题猜想，易错压轴必刷72题24种题型）七年级数学下学期新教材北京版

专题03 整式的运算（易错压轴必刷72题24种题型） 66 / 66 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 整式运算的加减 · 题型二 整式加减的应用 · 题型三 多项式中的升幂、降幂排列 · 题型四 同底数幂的乘法 · 题型五 幂的乘方 · 题型六 积的乘方 · 题型七 单项式乘法计算 · 题型八 多项式乘法计算 · 题型九 多项式乘法中的化简求值 · 题型十 多项式乘法与图形面积 · 题型十一 整式乘法混合运算 · 题型十二 运用乘法公式进行运算 · 题型十三 乘法公式与几何图形 · 题型十四 乘法公式的变形求值 · 题型十五 同底数幂的除法 · 题型十六 科学记数法 · 题型十七 整式的除法运算 · 题型十八 幂的运算新定义问题（压轴） · 题型十九 幂的规律运算（压轴） · 题型二十 整式乘法新定义问题（压轴） · 题型二十一 多项式有规律的计算问题（压轴） · 题型二十二 乘法公式与几何图形（压轴） · 题型二十三 乘法公式中的“配方法”（压轴） · 题型二十四 乘法公式的新定义运算（压轴） 题型一 整式运算的加减 1．（24-25七年级下·北京·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，去括号，合并同类项，解题的关键是正确运用去括号法则，加减运算法则． （1）先去括号，再合并同类项即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 3．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 整式加减的应用 4．（24-25七年级下·浙江·期中）如图甲，小红制作靠垫面子，其四周是由图乙剪出的四块相同的长方形布料拼接而成，正中间是一块正方形布料． (1)求正中间这块正方形布料的面积． (2)小明发现，若知道图乙大长方形布料的周长为，就可以求出图甲靠垫面子的总面积．你同意他的说法吗？若同意，请求出靠垫面子的面积；若不同意，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，正确理清图形面积与边长的关系是解题的关键． （1）中间小正方形的边长等于图乙中小长方形的长减去宽，据此求出变成即可求出面积； （2）根据周长计算公式可求出a的值，进而可求出图甲靠垫面子的边长，进而可求出面积． 【详解】（1）解：由题意得，中间正方形的边长为， ∴正中间这块正方形布料的面积为； （2）解：同意，理由如下： ∵图乙大长方形布料的周长为 ∴， ∴， ∴靠垫面子的边长为， ∴靠垫面子的面积为． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价40元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的九折付款，现有一客户在促销活动期间要到该服装厂购买西装20套，领带条． (1)用含x的代数式分别表示选择两种方案所需的总费用； (2)当时，该客户选择哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2)方案一较为合算 【分析】此题考查了列代数式以及求代数式的值，理解方案中买一套西装送一条领带是解题关键． （1）根据买一套西装送一条领带，以及西装和领带都按定价的付款，西装每套定价300元，领带每条定价40元，现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条即可得出需付款数； （2）根据（1）中付款方式，求出哪种方案购买较为合算即可． 【详解】（1）解：方案一需付款：元； 方案二需付款：元； （2）解：，方案一需付费为：（元）， 方案二需付费为：（元）， ∵， ∴方案一购买较为合算． 6．（2025六年级下·北京·专题练习）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长米，宽米的小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留 (2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留 (3)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．取3.14，结果精确到 【答案】(1)， (2)长方形场地上种草的面积为平方米 (3)该长方形场地上种草的面积为27平方米 【分析】本题主要考查了列出代数式，整式加减的应用，代数式求值， 对于（1），利用长方形和扇形面积公式求解； 对于（2），根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可； 对于（3），由此利用已知数据求出种草的面积即可． 【详解】（1）解：依题意得小路的面积为平方米，种花的面积为平方米， 故答案为：，； （2）解：该长方形场地上种草的面积为：平方米， 故长方形场地上种草的面积为平方米； （3）解：当，时，平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27平方米． 题型三 多项式中的升幂、降幂排列 7．（24-25七年级下·广西桂林·期末）将多项式按的降幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式的升降幂问题，熟练掌握多项式的次数是解题的关键；因此此题可根据按x的降幂排列进行求解即可． 【详解】解：将多项式按的降幂排列的结果是； 故选B． 8．（24-25七年级下·江西上饶·期末）把多项式按x的降幂排列: ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式按某一字母的排列－降幂或升幂排列；把多项式中的项按x指数从高到低进行排列即可． 【详解】解：； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 【答案】(1)；这个多项式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值； （2）将多项式按字母y的升幂排列即可； （3）将x，y的值代入求出答案． 【详解】（1）解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，， 解得：， 多项式， （2）解：多项式按字母y的升幂排列为：； （3）解：当，时，此多项式的值为： ． 题型四 同底数幂的乘法 10．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的应用，熟练掌握同底数幂乘法运算法则，是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，进行计算即可． （1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（23-24七年级下·北京·阶段练习）若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）将化为，再化为，然后根据同底数幂的乘法得到，即可求解； （2）将化为，再化为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 12．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的应用，熟练掌握同底数幂乘法运算法则，是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，进行计算即可． （1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）将看作一个整体，根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型五 幂的乘方 13．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）利用幂的乘方运算法则计算即可； （）利用幂的乘方运算法则计算即可； （）利用幂的乘方运算法则计算即可； （）利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则计算即可； （）利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则计算即可； （）利用幂的乘方运算法则先运算，再合并同类项即可； 本题考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法以及合并同类项，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 14．（23-24七年级下·北京·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法，由幂的乘方运和同底数幂的乘法运算法则可得，即得，解之即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 15．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项等知识点，解题的关键是熟练准确掌握各运算法则． （1）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算； （2）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算，最后进行合并同类项； （4）先进行幂的乘方运算，再进行合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六 积的乘方 16．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方运算，解题的关键是掌握积的乘方和幂的乘方运算法则． （1）利用积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可； （2）利用积的乘方运算法则求解即可； （3）利用积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可； （4）利用积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 17．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）27 【分析】此题考查整式的混合运算． （1）先算乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算整理，再整体代入即可求出． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴ ． 18．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，，，试猜想x，y，z之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；见解析 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则，准确计算． （1）根据同底数幂乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ． （2）． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七 单项式乘法计算 19．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先算乘方，然后再根据单项式乘以单项式可进行求解； （2）先算乘方，然后再根据单项式乘以单项式可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了积的乘方和单项式乘单项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （4）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式运算法则． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （4）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型八 多项式乘法计算 22．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）计算∶ (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式和多项式乘以单项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解； ． 23．（23-24七年级下·北京·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则，单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （3）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可； （4）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 24．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式运算，解题的关键是掌握多项式乘以多项式运算法则． （1）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （2）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （3）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可； （4）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型九 多项式乘法中的化简求值 25．（23-24七年级下·北京·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了整式化简求值，根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行运算，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 26．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，6 (2)， 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把代入计算； （2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当时，原式． 27．（23-24七年级下·四川成都·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可； （2）根据多项式除以单项式和完全平方公式将题目中的式子化简，再将、的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）， ， 当，时，原式． 题型十 多项式乘法与图形面积 28．（2025七年级下·北京·专题练习）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为4，小长方形的周长为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，整式乘法与图形面积，找出等量关系列出方程跟组是解答本题的关键．设小长方形的长为x、宽为y，根据与的差为4，小长方形的周长为16，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设小长方形的长为x、宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴， 故选：D． 29．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中种纸片为边长为的正方形，种纸片为边长为的正方形，种纸片为长为、宽为的长方形，现要拼出一个长为、宽为的长方形，则需要、、三种卡片共 张． 【答案】15 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：长为长为、宽为的矩形面积为， ∵A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为， ∴可知需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张， ∴需要A类、B类、C类卡片共张． 故答案为：15． 30．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)5700元 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （2）将，代入求出面积，然后乘以单价即可． 【详解】（1）由题意得，“T”型图形的面积为： ． （2）当，时，， 修建文化广场所需要的费用为：（元）． 题型十一 整式乘法混合运算 31．（24-25七年级下·北京·假期作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键． （1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （2）直接利用多项式乘以多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案； （3）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （4）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ； 32．（24-25七年级下·天津红桥·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的除法运算法则计算，系数除以系数，同底数幂相除，底数不变，指数相减，由此即可求解； （2）运用完全平方公式展开，多项式乘以多项式的运算展开，最后再运用整式加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（24-25七年级下·北京·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式运算法则，平方差公式进行计算即可； （2）根据整式混合运算法则，完全平方公式，平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二 运用乘法公式进行运算 34．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）南南在计算时，找不到计算器，去向阳阳借，阳阳看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则阳阳说出的正确答案是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在有理数简便计算中的运用，掌握完全平方公式是关键． 根据题意，将分母变形为，运用完全平方公式计算，化简即可． 【详解】解： ， 故选：B ． 35．（24-25七年级下·北京·期中）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查完全平方公式，解题的关键是将已知等式两边平方． 将两边分别平方，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 36．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）用乘法公式计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）将变形为，然后利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十三 乘法公式与几何图形 37．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为________ ；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是________ ； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，根据正方形的面积等于边长的平方，即可作答． （2）观察图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积，列式计算，即可作答． （3）结合面积相等，列式即可作答． 【详解】（1）解：依题意，阴影部分是小正方形，且边长为， ∴图2中的阴影部分的面积为， 故答案为：； （2）解：结合图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积， 即， 故答案为：； （3）解：依题意，大长方形的宽为，大长方形的长为， 故大长方形的面积为； ∵观察图形，大长方形是由3个小正方形、1个大正方形，4个小方形组成的， ∴大长方形的面积为， 即． 故答案为：． 38．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形． (1)利用不同的代数式表示图2的面积，写出你从中获得的等式为______； (2)填空： ①已知，则______； ②已知x满足，则______． (3)学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以为边的正方形，且两正方形的面积和，点是线段上的点，若，求用来种花的阴影部分（即直角三角形）的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3)用来种花的阴影部分（即直角三角形）的面积为 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，理解图示中面积的计算，掌握完全平方公式的变形计算是关键． （1）根据题意，空白部分面积为，阴影部分的面积为，大正方形的面积为，由此累计求解； （2）①根据题意，可得，代入计算即可；②令，则，，代入计算即可求解； （3）设，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：空白部分面积为，阴影部分的面积为，大正方形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∴； ②令， ∴， ∴， ； 故答案为：①；②； （3）解：设， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∵阴影部分的面积为， ∴用来种花的阴影部分（即直角三角形）的面积为． 39．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解： 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若， ①则 ， ②求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其农作物种植面积和为，求长方形院子的面积． 【答案】（1）18；（2）①3；②7；（3）长方形院子的面积为 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算、合并同类项、完全平方公式在几何图形中的应用； （1）利用完全平方公式进行变形求解即可； （2）①根据合并同类项法则进行计算即可； ②由①可得，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 即， ∴； （2）①， 故答案为：3； ②由①得，， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 答：长方形院子的面积． 题型十四 乘法公式的变形求值 40．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，能根据平方差公式将变形为是解答本题的关键． 根据平方差公式将变形为，即可得解． 【详解】解： ． 41．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值．原式利用单项式乘以多项式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式 42．（2025七年级下·北京·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)0 【分析】本题考查的是利用完全平方公式求解代数式的值； （1）把代入，再计算即可； （2）把代入，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 题型十五 同底数幂的除法 43．（2025七年级下·江苏·专题练习）若（都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把32写成，再根据同底数幂相乘法则进行计算，从而列出关于x的方程，解方程即可； （2）先把各个底数化成2，再根据幂的乘方和同底数幂乘除法则进行计算，从而列出关于x的方程，解方程即可． 本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、幂的乘方和同底数幂乘除法则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴． 44．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、幂的乘方运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）先计算幂的乘方运算，再由由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）先由偶次方的性质恒等变形，再由同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（24-25七年级下·北京·阶段练习）若（且都是正整数），则．利用上面的结论解决下面问题：如果，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，利用同底数幂的除法法则，列出关于x的方程，进行求解即可． 【详解】解：因为， 所以，所以， 解得． 题型十六 科学记数法 46．（23-24七年级下·北京·单元测试）某种液体中有害细菌的含量是个/L，某种杀菌剂一滴可以杀死个此种有害细菌，现在将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂的体积为，则杀死这些有害细菌要用多少升杀菌剂（结果用科学记数法表示）？ 【答案】3滴； 【分析】本题考查了同底数幂乘除法的实际应用及科学记数法，解题的关键是：理解题意正确列式．先求出3升含有细菌的个数，再求出杀死这些细菌需要的滴数，再用滴数除以每滴这种杀菌剂的升数，即可求解 【详解】解：由题意得：（滴）， ． 答：需要3滴，要用． 47．（23-24七年级下·北京·阶段练习）用科学记数法表示下列各数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． （1）根据科学记数法的定义即可得； （2）根据科学记数法的定义即可得； （3）根据科学记数法的定义即可得； （4）根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． （3）， 故答案为：． （4）， 故答案为：． 48．（2025年江苏省南京市中考数学多校联考模拟试卷）年月，中国北京的一家芯片设计公司宣布推出两款芯片，这标志着中国首款商用（）记忆计算芯片的问世．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定和的值是解题的关键． 根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 题型十七 整式的除法运算 49．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘除运算，熟练掌握多项式乘单项式乘法运算法则，是解题的关键．根据被除式除式商，求出结果即可． 【详解】解：被除式应该为： ． 故选：B． 50．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是 ． 【答案】 【分析】此题考查多项式除以单项式．根据题意得到，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【详解】解：． 故答案为：． 51．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）计算． 【答案】 【分析】此题考查了多项式与单项式的除法，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据多项式与单项式的除法法则计算即可． 【详解】 ． 题型十八 幂的运算新定义问题（压轴） 52．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算代入求解即可； （2）根据新定义得到，再根据同底数幂的乘法得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：． 53．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． (1)计算以下各对数的值： ， ， ． (2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论． 【答案】(1)2，4，6 (2)， (3)见解析 【分析】此题考查了整式的混合运算、有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，即可确定出关系式． （1）根据对数的定义进行计算即可； （2），、、之间的关系根据结果得出：，则； （3）设，那么有，又设，那么有，根据对数的定义可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：2，4，6； （2）解：， ； （3）解：设，那么有，又设，那么有， 故而， 根据对数的定义化成对数式为， ． 54．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log516，对数式2=log525可以转化为52=25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an， ∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）， 又∵m+n=logaM+logaN， ∴logaM•N=logaM+logaN． 解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式______； (2)计算结果______，______，______直接写出结果 (3)运用对数的性质计算： 【答案】(1) (2)，4，0 (3)2 【分析】（1）由对数的定义，即可得出答案； （2）根据对数的定义进行计算，即可得出结果； （3）运用对数的性质进行计算，即可得出结果． 【详解】（1）解：由对数的定义可知，将指数式53=125转化为对数式为3=log5125， 故答案为：3=log5125； （2）解：∵22=4，34=81，40=1， ∴log24=2，log381=4，log41=0， 故答案为：2，4，0； （3）解：∵logaM•N=logaM+logaN， ∴logaM+logaN=logaM•N， ∴log510+log52.5=log510×2.5=log525=2． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握对数的定义和性质是解决问题的关键． 题型十九 幂的规律运算（压轴） 55．（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）观察等式：，已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律计算是解题的关键． 通过观察所给的式子，发现第n个等式为，再由，将已知条件代入即可求解． 【详解】解： ∴第n个等式为， ， ∴ ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 56．（23-24七年级下·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 【答案】（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；② 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键； （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； 【详解】（1）①， ②， ③， 故答案为： （2）， 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3）①； ② 57．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 【答案】①；②；③；④；（1）；；；（2）的值为625． 【分析】①利用乘方的意义，即可解答； ②利用乘方的意义，即可解答； ③利用乘方的意义，即可解答； ④从数字找规律，即可解答； （1）利用发现的规律，进行计算即可解答； （2）利用发现的规律，进行计算即可解答． 【详解】解：①； ②； ③（m，n是正整数）； ④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：； 故答案为：①；②；③；④； （1）；；； 故答案为：；；； （2），， ， ， 的值为625． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的乘法法则逆用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型二十 整式乘法新定义问题（压轴） 58．（2025七年级下·北京·专题练习）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查多项式乘多项式和新定义问题，解题的关键是理解题意，对新定义的理解． 根据定义化简，可得出，，，， ，再化简，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 的值为． 59．（2025七年级下·北京·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 60．（24-25七年级下·北京·期中）若整式只含有字母，且的次数不超过次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的相关点，我们规定次数超过次的整式没有相关点． 例如，若整式，则，，，，故的相关点为． (1)若，则的相关点坐标为______； (2)若整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，若整式的相关点为，求整式的表达式． 【答案】(1)； (2)整式的表达式为． 【分析】（）根据相关点的定义即可求解； （）设 ，则整式，又整式的相关点为，然后代入解方程组即可； 本题考查了多项式乘以多项式，多项式的有关概念，解方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 则，，，， ∴，， ∴的相关点坐标为， 故答案为：； （2）解：设 ， 由， ∵整式是与的乘积， ∴ ， ∵整式的相关点为， ∴， 解得：， ∴整式的表达式为． 题型二十一 多项式有规律的计算问题（压轴） 61．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）观察下列式子： ①；②；③；④；… (1)猜想：第⑤个式子是______________________________． (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论； (3)应用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)1013 【分析】本题主要考查用代数式表示算式的变化规律以及整式的乘法、有理数的混合运算，找出等式的规律．是解题的关键． （1）根据题目中的式子即可得到答案； （2）根据题题干中的式子总结出规律，再通过计算证明等式的左边等于右边即可； （3）根据（2）中的规律变形，再进行约分即可得到答案． 【详解】（1）由题意可得，第⑤个式子是， 故答案为：； （2）由题意可得规律为， 证明：∵， ， ∴； （3） ． 62．（2025七年级下·北京·专题练习）图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 【答案】(1)；；；； (2)；；． 【分析】（）图的利用长宽即可求解，图的面积等于四个小长方形面积相加即可，两个面积相等即可得出等式； （）利用题（）的等式即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式的应用，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：解：图的面积， 图的面积， 数学式子表示是， 故答案为：，，，； （2）解：原式 ； 原式 ； 原式 ． 63．（2025·广东佛山·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算： ； ． (2)我们可以用所学的知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请证明上述阅读材料中的结论． 【答案】(1)5621，7224 (2)见解析 【分析】此题考查数字的变化规律，从简单情形考虑，找出一般规律，利用规律解决问题． （1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）根据，，利用多项式乘多项式的运算法则即可证明． 【详解】（1）解：由上述规律可知，， ， 故答案为：5621，7224； （2）证明：∵， ． 题型二十二 乘法公式与几何图形（压轴） 64．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分正方形边长为：__________；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2，请你写出之间的等量关系是____________________； (3)利用（2）中的结论，请直接写出下列问题答案： ①若，则__________；②若，则______． (4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式____________； (5)如图4，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是300，分别延长交和于D、H两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，延长至P，使，延长至R，使，过点P、R作垂线，两垂线交于点N，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值） 【答案】(1) (2) (3)16，13 (4) (5)3636 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，完全平方公式与几何图形的面积： （1）根据图形，列出代数式即可； （2）利用大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，列出等式即可； （3）①利用（2）的结论进行求解即可；②令，进而得到，，利用完全平方公式进行计算即可； （4）利用2种方法表示出大长方形的面积，列出等式即可。 （5）由，，，，则，，又长方形面积是，即，由题意得，，则，通过，设，，最后利用完全平方公式即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：阴影部分正方形边长为：； 故答案为：； （2）由图可知，大正方形的面积； 故答案为： （3）①∵， ∴， 由（2）知：， ∴； 故答案为：16； ②令，则：，， ∴， ∴， 即：； 故答案为：13； （4）由图可知：长方形的面积； 故答案为：； （5）解：∵，，，， ∴，， ∵长方形面积是， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为． 65．（24-25七年级下·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 【答案】（1），13； （2），14； （3）． 【分析】用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，再把，代入计算即可； 类比用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可； 根据、中等式的规律直接写出结果即可． 【详解】正方形的边长为， 正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； 由可知， ， 又，， ， 故答案为：； 类比可得：， 故答案为：； 由可得：， ，， ， 故答案为：； 由可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． 66．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  B．  C． (2)已知，，则______． (3)应用所得的公式计算：． (4)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)4 (3)1 (4) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （2）把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； （3）先将化成，再应用所得的公式，即可计算得到结果； （4）先将9化成，然后应用所得公式即可逐步计算得到结果． 【详解】（1）解：图1中，边长为的正方形的面积为：；边长为的正方形的面积为：， 图1的阴影部分为面积为：， 图2中长方形的长为：，长方形的宽为：， 图2长方形的面积为：， ， 故选：B． （2）解：， ， 又， ， 故答案为：4． （3）解： ． （4）解： ． 题型二十三 乘法公式中的“配方法”（压轴） 67．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)84 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． 68．（23-24七年级下·四川内江·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）原式常数项35化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ． （2） ， 当时，有最小值． （3）， ， 即， ， ， ， 的周长为12． 【点睛】本题考查了整数的混合运算、非负数的性质、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． 69．（23-24七年级下·四川成都·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)第一种：；第二种：；第三种： (2) (3)16 【分析】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答； （2）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答； （3）首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：第一种：； 第二种：； 第三种：； （2），， ， ， ， ，， ； （3）， ， ， ， ， 解得． 当，时，代数式的最小值是． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题． 题型二十四 乘法公式的新定义运算（压轴） 70．（24-25七年级下·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 71．（24-25七年级下·辽宁·阶段练习）【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）96；（4），． 【分析】本题考查幂的运算，平方差公式和完全平方公式的应用． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据新运算的法则得到，，再根据图中阴影部分的面积，整体代入计算即可求解； （4）根据新运算的法则得到，，再利用完全平方公式变形得到，，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴；；． 故答案为：2，4，6； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积； （4）∵， ∴，， ∵矩形的面积是5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． 72．（23-24七年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【答案】(1)40是“和谐数”，理由见解析 (2)“和谐数”能被8整除，理由见解析 (3)是 “和谐数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是： （1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”． 【详解】（1）解：设， 解得， ∴40是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∴“和谐数”能被8整除； （3）解：∵是“和谐数”， ∴， ∴， ∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”， ∴可设，其中k为正整数， ∴， ∴， ∴ ． ∵k为正整数， ∴和为两个连续正奇数， ∴为“和谐数”． $$ 专题03 整式的运算（易错压轴必刷72题24种题型） 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 整式运算的加减 · 题型二 整式加减的应用 · 题型三 多项式中的升幂、降幂排列 · 题型四 同底数幂的乘法 · 题型五 幂的乘方 · 题型六 积的乘方 · 题型七 单项式乘法计算 · 题型八 多项式乘法计算 · 题型九 多项式乘法中的化简求值 · 题型十 多项式乘法与图形面积 · 题型十一 整式乘法混合运算 · 题型十二 运用乘法公式进行运算 · 题型十三 乘法公式与几何图形 · 题型十四 乘法公式的变形求值 · 题型十五 同底数幂的除法 · 题型十六 科学记数法 · 题型十七 整式的除法运算 · 题型十八 幂的运算新定义问题（压轴） · 题型十九 幂的规律运算（压轴） · 题型二十 整式乘法新定义问题（压轴） · 题型二十一 多项式有规律的计算问题（压轴） · 题型二十二 乘法公式与几何图形（压轴） · 题型二十三 乘法公式中的“配方法”（压轴） · 题型二十四 乘法公式的新定义运算（压轴） 题型一 整式运算的加减 1．（24-25七年级下·北京·期中）化简： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）化简： (1)； (2) 题型二 整式加减的应用 4．（24-25七年级下·浙江·期中）如图甲，小红制作靠垫面子，其四周是由图乙剪出的四块相同的长方形布料拼接而成，正中间是一块正方形布料． (1)求正中间这块正方形布料的面积． (2)小明发现，若知道图乙大长方形布料的周长为，就可以求出图甲靠垫面子的总面积．你同意他的说法吗？若同意，请求出靠垫面子的面积；若不同意，请说明理由． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价40元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的九折付款，现有一客户在促销活动期间要到该服装厂购买西装20套，领带条． (1)用含x的代数式分别表示选择两种方案所需的总费用； (2)当时，该客户选择哪种方案购买较为合算？ 6．（2025六年级下·北京·专题练习）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长米，宽米的小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留 (2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留 (3)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．取3.14，结果精确到 题型三 多项式中的升幂、降幂排列 7．（24-25七年级下·广西桂林·期末）将多项式按的降幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江西上饶·期末）把多项式按x的降幂排列: ． 9．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 题型四 同底数幂的乘法 10．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1) (2) 11．（23-24七年级下·北京·阶段练习）若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 12．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1) (2) 题型五 幂的乘方 13．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 14．（23-24七年级下·北京·阶段练习）已知，求的值． 15．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 积的乘方 16．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 17．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 18．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，，，试猜想x，y，z之间的数量关系，并说明理由． 题型七 单项式乘法计算 19．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 20．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八 多项式乘法计算 22．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）计算∶ (1)； (2) 23．（23-24七年级下·北京·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（23-24七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九 多项式乘法中的化简求值 25．（23-24七年级下·北京·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 26．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 27．（23-24七年级下·四川成都·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）先化简，再求值：，其中，． 题型十 多项式乘法与图形面积 28．（2025七年级下·北京·专题练习）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为4，小长方形的周长为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 29．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中种纸片为边长为的正方形，种纸片为边长为的正方形，种纸片为长为、宽为的长方形，现要拼出一个长为、宽为的长方形，则需要、、三种卡片共 张． 30．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 题型十一 整式乘法混合运算 31．（24-25七年级下·北京·假期作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．（24-25七年级下·天津红桥·期末）计算： (1)； (2)． 33．（24-25七年级下·北京·单元测试）计算： (1)； (2)． 题型十二 运用乘法公式进行运算 34．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）南南在计算时，找不到计算器，去向阳阳借，阳阳看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则阳阳说出的正确答案是（   ） A．2 B． C． D． 35．（24-25七年级下·北京·期中）已知，则 ． 36．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）用乘法公式计算： (1) (2) 题型十三 乘法公式与几何图形 37．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为________ ；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是________ ； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ ． 38．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形． (1)利用不同的代数式表示图2的面积，写出你从中获得的等式为______； (2)填空： ①已知，则______； ②已知x满足，则______． (3)学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以为边的正方形，且两正方形的面积和，点是线段上的点，若，求用来种花的阴影部分（即直角三角形）的面积． 39．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解： 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若， ①则 ， ②求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其农作物种植面积和为，求长方形院子的面积． 题型十四 乘法公式的变形求值 40．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，求的值． 41．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知，求代数式的值． 42．（2025七年级下·北京·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 题型十五 同底数幂的除法 43．（2025七年级下·江苏·专题练习）若（都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 44．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 45．（24-25七年级下·北京·阶段练习）若（且都是正整数），则．利用上面的结论解决下面问题：如果，求x的值． 题型十六 科学记数法 46．（23-24七年级下·北京·单元测试）某种液体中有害细菌的含量是个/L，某种杀菌剂一滴可以杀死个此种有害细菌，现在将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂的体积为，则杀死这些有害细菌要用多少升杀菌剂（结果用科学记数法表示）？ 47．（23-24七年级下·北京·阶段练习）用科学记数法表示下列各数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 48．（2025年江苏省南京市中考数学多校联考模拟试卷）年月，中国北京的一家芯片设计公司宣布推出两款芯片，这标志着中国首款商用（）记忆计算芯片的问世．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型十七 整式的除法运算 49．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（   ） A． B． C． D． 50．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是 ． 51．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）计算． 题型十八 幂的运算新定义问题（压轴） 52．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 53．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． (1)计算以下各对数的值： ， ， ． (2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论． 54．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log516，对数式2=log525可以转化为52=25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an， ∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）， 又∵m+n=logaM+logaN， ∴logaM•N=logaM+logaN． 解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式______； (2)计算结果______，______，______直接写出结果 (3)运用对数的性质计算： 题型十九 幂的规律运算（压轴） 55．（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）观察等式：，已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 56．（23-24七年级下·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 57．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 题型二十 整式乘法新定义问题（压轴） 58．（2025七年级下·北京·专题练习）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 59．（2025七年级下·北京·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 60．（24-25七年级下·北京·期中）若整式只含有字母，且的次数不超过次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的相关点，我们规定次数超过次的整式没有相关点． 例如，若整式，则，，，，故的相关点为． (1)若，则的相关点坐标为______； (2)若整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，若整式的相关点为，求整式的表达式． 题型二十一 多项式有规律的计算问题（压轴） 61．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）观察下列式子： ①；②；③；④；… (1)猜想：第⑤个式子是______________________________． (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论； (3)应用你发现的规律计算：． 62．（2025七年级下·北京·专题练习）图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 63．（2025·广东佛山·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算： ； ． (2)我们可以用所学的知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请证明上述阅读材料中的结论． 题型二十二 乘法公式与几何图形（压轴） 64．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分正方形边长为：__________；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2，请你写出之间的等量关系是____________________； (3)利用（2）中的结论，请直接写出下列问题答案： ①若，则__________；②若，则______． (4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式____________； (5)如图4，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是300，分别延长交和于D、H两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，延长至P，使，延长至R，使，过点P、R作垂线，两垂线交于点N，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值） 65．（24-25七年级下·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 66．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  B．  C． (2)已知，，则______． (3)应用所得的公式计算：． (4)应用所得的公式计算：． 题型二十三 乘法公式中的“配方法”（压轴） 67．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 68．（23-24七年级下·四川内江·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 69．（23-24七年级下·四川成都·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 题型二十四 乘法公式的新定义运算（压轴） 70．（24-25七年级下·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 71．（24-25七年级下·辽宁·阶段练习）【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 72．（23-24七年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$