19.1 矩形-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

19.1 矩形 课程标准 学习目标 ①矩形的性质 ②矩形的判定 1. 掌握矩形的定义，矩形的性质中边、角、对角线的关系； 2. 掌握矩形的判定，根据题目中的条件选择判定方法． 知识点01 矩形的性质 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 二、矩形的性质 1.矩形具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，矩形是中心对称图形。 2.矩形的特殊性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它具有两条对称轴，分别是通过两组对边中点的直线。 知识点02 矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 题型01 矩形的性质——与角有关 【典例1】如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， 故选：B 【变式1】如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟记矩形的性质是解本题的关键．先证明，，再结合三角形的外角的性质是解本题的关键． 【详解】解：矩形中，对角线与相交于点， ，， 是的一个外角， ， ． 故选：B． 【变式2】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，且，则为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点O，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出的度数，即可得出答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ，，，， ， ， ∵， ， ∴， ； ， ； 故答案为： 【变式4】如图，矩形的对角线相交于点O，平分，交于点E，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，矩形的性质，平行线的性质，能识别其中的特殊图形是解此题的关键． 根据矩形的性质和角平分线的定义得到，根据等边三角形的判定和性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∵，平分， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 题型02 矩形的性质——与对角线有关 【典例1】如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，对角线相交于点， ∴，，， 故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误， 故选：C 【变式1】矩形的一条对角线与一边的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据矩形的性质和等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：如图，矩形， 则：，， ∴， ∴， ∴两条对角线相交所成的锐角的度数为， 故选：D． 【变式2】如图， 在直角三角形中，，，，点是边上一点(不与点，重合)， 作于点，于点， 若点是的中点， 则长度的最小值是 ． 【答案】或 【分析】连接，根据矩形的性质可得，则，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴时，取得最小值，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积，堆出是解题的关键． 【变式3】如图，在矩形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，且，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，根据矩形对角线相等且互相平分得到，再根据题意推出，则垂直平分，据此可得，则． 【详解】解：∵在矩形中，对角线、交于点O， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 【变式4】矩形中，G，H分别是，的中点，E，F是对角线上的两个动点，且． (1)如图，当时，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，由线段中点的定义可得，，进而可得，由可得，进而可得，利用可证得，， 于是可得，，由此即可得出结论； （2）连接，由（1）得，，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，在中，根据勾股定理可得，然后分两种情况讨论：①当是矩形时；②当是矩形时；分别利用矩形的性质及线段之间的和差关系即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）得：，，， 四边形是矩形， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 分两种情况讨论： ①当是矩形时， ， ； ②当是矩形时， 如图， ， ； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 题型03 矩形的周长 【典例1】如图，矩形的对角线，相交于点，若，，则的周长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理的应用，根据矩形的性质和勾股定理可以求出，，进而求出结果． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 【变式1】如图所示，长方形的长为5厘米，宽为3厘米，点是上任意一点，现将其对折得到一个新的图形，则图中阴影部分的周长是（　　）厘米． A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】此题是考查翻折变换（折叠问题），长方形的性质，解决本题的关键是动手操作一下得到阴影部分的周长就是长方形的周长．根据图示，通过折叠可知，阴影部分的周长就是长方形的周长，结合题意解答即可． 【详解】解：由折叠可知：，， 阴影部分的周长就是矩形的周长， 周长 （厘米）， 答：图中阴影色部分的周长是厘米． 故选：D． 【变式2】综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图2），则矩形的周长为 ． 【答案】48 【分析】本题考查的是三角形全等，以及矩形的性质和判定等相关知识点，根据题意画出相关的示意图是解题的关键．当点G，H分别是的中点时，可以拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形，从而，则；延长交于K，则四边形是矩形，，再由三角形面积求出高，从而得，即可求得结果． 【详解】解：如图，当点G，H分别是的中点时，可以拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形， ∴，， ∴，； ∴； 延长交于K， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴矩形矩形的周长为； 故答案为：48． 【变式3】如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点E、F，若，则矩形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再证明得到，进而可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线分别交于点E、F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：． 【变式4】如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． (1)如图，若，，求折痕的长； (2)如图，若，且，求矩形的周长． 【答案】(1)； (2)矩形的周长为． 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． （1）由勾股定理求出，的长，设，则，得出，解方程即可得解； （2）设，则，得出，设，则，在中，得出，则，得出，解出的值，求出和的长，则答案可求出． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴矩形的周长为． 题型04 矩形的面积 【典例1】如图，在矩形中，，．连接，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接交于点H，则的面积是（    ）    A． B． C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质．证明，，，如图，过H点作于M，可得，证明，求解，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 如图，过H点作于M，    由作法得平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴． ， 故选：C． 【变式1】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故选：C． 【变式2】如图，矩形纸片的长和宽分别为8和6，将纸片沿矩形的对角线折叠，重叠部分的面积等于 ．    【答案】 【分析】本题考查的是矩形与折叠，先根据矩形和折叠得出，设，则，在中，利用勾股定理即可求出的值，故可得出的长，利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：∵矩形纸片的长和宽分别为8和6， ，，，， ∴， ∵将纸片沿矩形的对角线折叠， ，，， ∴， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ， 重叠部分的面积． 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、D的坐标分别为、，直线交轴于点，当直线平分矩形的面积时，的值是 ． 【答案】1.2 【分析】本题考查了矩形的性质，求一次函数解析式，解决问题的关键是直线必经过对角线的中点，再用待定系数法求得k的值．连接．由点B点和D点的坐标得出的中点坐标为然后由已知条件得出直线m经过点，最后用待定系数法即可求解． 【详解】解∶如图，连接． ∵点B，D的坐标分别为、 ∴的中点坐标为 ∵直线m平分矩形的面积 ∴直线m经过点， ∵直线m过点 ∴ 解得： ∴k的值为1.2． 故答案为：1.2． 【变式4】如图，过矩形的顶点C作，交的延长线于点E，矩形的对角线相交于点O． (1)证明； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等边对等角： （1）根据矩形的性质得到，证明四边形是平行四边形，可推出，则由等边对等角即可证明结论； （2）利用矩形对角线互相平分求出的长，进而利用勾股定理求出的长，再根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 题型05 矩形的判定——与角有关 【典例1】如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是（    ） A．四边形由平行四边形变成矩形 B．点B，D之间的距离不变 C．四边形的面积变大 D．四边形的周长不变 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性；根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、根据根据有一个角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意， B、向右推动框架，点B，D之间的距离变大，该选项不正确，符合题意， C、四边形的高变大，面积变大，该选项正确，不符合题意， D、四边形的周长不变，该选项正确，不符合题意， 故选：B． 【变式1】要说明“四个角是直角的四边形是正方形”是假命题，可作为反例的图形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【详解】解：要说明“四个角是直角的四边形是正方形”是假命题，可作为反例的图形是矩形，因为矩形四个角是直角，但不是正方形． 故选：B． 【变式2】平行四边形中，若，则四边形的形状一定是 ． 【答案】矩形 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，根据平行四边形的性质得到，进而推出，进而证得四边形是矩形，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形 故答案为：矩形． 【变式3】如图，在中，，点为的中点，是的平分线，交于，则四边形的形状是 ． 【答案】矩形 【分析】利用等腰三角形三线合一，可以判定，利用外角的性质可以知道，结合是的平分线，可知，从而知道，又因为，所以四边形是平行四边形，得到，从而推出，推导出四边形是平行四边形，加上有一个角是直角，从而判断其为矩形． 【详解】在中，，点为的中点 ，， 是的平分线 又 又 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 又 四边形是矩形 故答案为：矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一，外角的性质，平行的判定，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式4】已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形； 【答案】见详解 【分析】本题主要考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据给出的条件，利用等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等可得出三个角是直角，即可证明． 【详解】证明：，是的平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形为矩形． 题型06 矩形的判定——与对角线有关 【典例1】在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故A符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； ，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； 由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意． 故选D． 【变式1】如图，P，Q分别为平行四边形边，的中点，O为与的交点，在对角线上作点M，N，使以M，Q，N，P为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N． 淇淇： 分别过点P，Q作于点M，于点N． 下列说法正确的是（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定定理，由平行四边形的性质可得，，证明得出，由作图可得，即可判断嘉嘉的作法；证明得出，即可判断淇淇的作法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形，故嘉嘉正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故淇淇错误； 故选：A． 【变式2】如图，在中、相交于点，，当 时，是矩形． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：6． 【变式3】如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是 形． 【答案】矩 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．先证四边形为平行四边形，，从而得四边形为矩形． 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形． 故答案为：矩． 【变式4】如图，在中，对角线与相交于点O，过点O作一条直线分别交，于点E、F． (1)求证：； (2)已知，连结，．求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴， ∴四边形为矩形． 题型07 矩形折叠问题 【典例1】如图，将长方形纸片沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用矩形和折叠的性质可得，即得，再在中利用勾股定理解答即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为， 故选：． 【变式1】小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面积法求出点到的距离，进而即可得出到的距离 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴ 则， 则点到的距离为：， 则点到的距离为：． 故选：C． 【变式2】如图所示，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点，若，则 ． 【答案】/22度 【分析】本题考查了矩形折叠问题、平行线的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质、直角三角形的性质可得，，然后根据折叠的性质可得，最后根据角的和差即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，小明将一张长方形纸片沿对角线折叠，落在处，交于点F，已知该纸片，．则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质与折叠问题，解题的关键是利用折叠的性质和勾股定理建立方程求解． 通过矩形性质与折的性质得到相等角，推出，，，设，则，再利用勾股定理列方程求解的长． 【详解】解：根据题意得：， 设，则， 在和中：，， 又， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：5． 【变式4】综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】（1）4；（2）；（3）①；②或6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求出答案； （2）连接，设，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，再利用勾股定理得到，即可求出答案； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，即可得到答案； ②分当时，当时，两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）是由沿翻折所得到的图形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）连接，设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得， ； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小， 设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ； ②当时， 是由沿翻折所得到的图形， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得， ； 当时，点在上时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或6． 题型08 坐标系中的矩形 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 【变式1】如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点的变化特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转，则8次一个循环，，第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上，由此可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 【变式2】如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据题意，可得，由中点坐标公式直接求解即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，三点的坐标分别是，，， ， 矩形对角线交点为， 由平面直角坐标系中中点坐标公式可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质及中点坐标公式，熟记矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键． 【变式3】如图，矩形的顶点A、B、C的坐标分别为、、，则点D的坐标为 ，若反比例函数的图象与矩形有交点，则k的取值范围为 ．    【答案】 【分析】根据矩形的对边平行且相等可得点D的坐标，再结合图象，求出图象分别经过点B和点D时的k值，继而求解． 【详解】解：由题意可得： 点D的坐标为，即， 当点B在函数图象上时， ， 当点D在函数图象上时， ， ∴k的取值范围为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的坐标，反比例函数的图象，解题的关键是结合图象，求出极端值． 【变式4】在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴正半轴重合，点B的坐标为，且满足，与相交于点D，E为的中点，点P为线段上的一点，连接，点A关于直线的对称点为点，连接．    (1)请直接写出点B的坐标，并求出直线的解析式； (2)求线段长度的取值范围； (3)若直线与相交于点Q，在x轴负半轴有一动点，在y轴正半轴上有一动点，分别连接，且，请求出用与n之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值非负性算出，从而得出，根据四边形为矩形，即可求出，根据待定系数法即可求出 ； （2）如图，连接，得出，勾股定理算出，根据对称可知，根据图象可得，当点P在点A 时，点在点A处，此时最大，最大为，即可求解； （3）联立解析式求出，根据，运用勾股定理即可求解 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵四边形为矩形， ， ， 设， ∴，解得：， ； （2）解：如图，连接，    ∵为中点， 则， ， 则对称可知， ， 当点P在点A 时，点在点A处， 此时最大，最大为， ； （3）解：如图，    联立 ，得， ， 令， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，一次函数与正比例函数交点，勾股定理，折叠的性质，矩形的性质以及绝对值的非负性等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出图象． 1．下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．任意两个邻角互补 D．对角互补 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，根据矩形和平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】解；A、矩形和平行四边形的对边都互相平行且相等，故此选项不符合题意； B、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意； C、矩形和平行四边形的任意两个邻角互补，故此选项不符合题意； D、矩形的对角互补，平行四边形的对角不一定互补，故此选项符合题意； 故选：D． 2．一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板．这样做最直接的道理是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两组对边分别相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形和矩形判定，掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键． 根据平行四边形和矩形判定即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴这样做最直接的道理是有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故选：． 3．如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则等于（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是矩形与翻折、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．先根据三角形的面积公式求得的长，然后根据勾股定理可求得，由翻折的性质和矩形的性质可知，故此，最后在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，即． 解得：， 在中，． 由翻折的性质可知：，． ∴． 设，则． 在中，由勾股定理得：， ∴． 解得：， ∴． 故选：A． 4．在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分；理解性质定理是关键． 根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 故答案为：3． 5．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形．勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键．根据矩形的性质求出的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中， 故答案为：． 6．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴是等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为： ． 7．如图是矩形，，求这个矩形的周长和对角线的长． 【答案】矩形的周长为12， 【分析】连接，利用矩形周长公式和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形，， ∴，这个矩形的周长为， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟知矩形的性质是解题的关键． 8．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ， 在中，由勾股定理得： ， 四边形是矩形， ，， ， ． 9．如图，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质以及中点四边形的综合应用，找出三角形全等的条件是解题的关键．解题时注意：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，以及对角线相等的四边形的中点四边形是菱形． （1）连接，根据点E是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）设，表示出，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； 【详解】（1）连接，如图， ∵E是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴； （2）∵四边形为矩形，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， 解得， 即线段的长为； 10．如图1，在矩形中，，点E在边上，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为秒，连结，当点P运动到点D时，． (1)_________； (2)当_________秒时，平分矩形的面积； (3)连结，当的面积为6时，求的值； (4)如图2，作点A关于直线PE的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)8 (3)或7 (4)或7或 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）当时满足平分矩形面积，进而根据路程求解即可； （3）分类讨论，当点P在上和上，再根据面积建立关于t的你方程求解即可； （4）根据对称的性质，可知，所以可以以E为圆心，为半径画圆，与矩形的边的交点即为对应，有几个点则会有几种情况，然后分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题可知， 在中，，， ∴， 故答案为：4； （2）解：如图，当点P在上时，且，时， 平分矩形的面积， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8； （3）解：分以下两种情况讨论： ①如图，当点P再上时， 此时， ∴， ∴， 即； ②如图，当点P在上时， 此时此时， ∴， ∴； 综上，t的值为或7； （4）解：分以下三种情况讨论： ①如图，当点A落在边上且靠近点D时， ∵点A关于对称点为， ∴，， 过E作于点F，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； ②如图，当点A落在边上且靠近点C时， 同理，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； ③如图，当点A落在边上时， 此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得； 综上，t的值为或7或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.1 矩形 课程标准 学习目标 ①矩形的性质 ②矩形的判定 1. 掌握矩形的定义，矩形的性质中边、角、对角线的关系； 2. 掌握矩形的判定，根据题目中的条件选择判定方法． 知识点01 矩形的性质 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 二、矩形的性质 1.矩形具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，矩形是中心对称图形。 2.矩形的特殊性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它具有两条对称轴，分别是通过两组对边中点的直线。 知识点02 矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 题型01 矩形的性质——与角有关 【典例1】如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【变式2】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，且，则为 ． 【变式3】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则 ． 【变式4】如图，矩形的对角线相交于点O，平分，交于点E，，求的度数． 题型02 矩形的性质——与对角线有关 【典例1】如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】矩形的一条对角线与一边的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图， 在直角三角形中，，，，点是边上一点(不与点，重合)， 作于点，于点， 若点是的中点， 则长度的最小值是 ． 【变式3】如图，在矩形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，且，若，则的长为 ． 【变式4】矩形中，G，H分别是，的中点，E，F是对角线上的两个动点，且． (1)如图，当时，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出的长． 题型03 矩形的周长 【典例1】如图，矩形的对角线，相交于点，若，，则的周长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1】如图所示，长方形的长为5厘米，宽为3厘米，点是上任意一点，现将其对折得到一个新的图形，则图中阴影部分的周长是（　　）厘米． A．6 B．8 C． D． 【变式2】综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图2），则矩形的周长为 ． 【变式3】如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点E、F，若，则矩形的周长为 ． 【变式4】如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． (1)如图，若，，求折痕的长； (2)如图，若，且，求矩形的周长． 题型04 矩形的面积 【典例1】如图，在矩形中，，．连接，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接交于点H，则的面积是（    ）    A． B． C．15 D． 【变式1】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【变式2】如图，矩形纸片的长和宽分别为8和6，将纸片沿矩形的对角线折叠，重叠部分的面积等于 ．    【变式3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、D的坐标分别为、，直线交轴于点，当直线平分矩形的面积时，的值是 ． 【变式4】如图，过矩形的顶点C作，交的延长线于点E，矩形的对角线相交于点O． (1)证明； (2)若，求矩形的面积． 题型05 矩形的判定——与角有关 【典例1】如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是（    ） A．四边形由平行四边形变成矩形 B．点B，D之间的距离不变 C．四边形的面积变大 D．四边形的周长不变 【变式1】要说明“四个角是直角的四边形是正方形”是假命题，可作为反例的图形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式2】平行四边形中，若，则四边形的形状一定是 ． 【变式3】如图，在中，，点为的中点，是的平分线，交于，则四边形的形状是 ． 【变式4】已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形； 题型06 矩形的判定——与对角线有关 【典例1】在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，P，Q分别为平行四边形边，的中点，O为与的交点，在对角线上作点M，N，使以M，Q，N，P为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N． 淇淇： 分别过点P，Q作于点M，于点N． 下列说法正确的是（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【变式2】如图，在中、相交于点，，当 时，是矩形． 【变式3】如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是 形． 【变式4】如图，在中，对角线与相交于点O，过点O作一条直线分别交，于点E、F． (1)求证：； (2)已知，连结，．求证：四边形为矩形． 题型07 矩形折叠问题 【典例1】如图，将长方形纸片沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式1】小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点，若，则 ． 【变式3】如图，小明将一张长方形纸片沿对角线折叠，落在处，交于点F，已知该纸片，．则的长为 ． 【变式4】综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 题型08 坐标系中的矩形 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式1】如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    【变式3】如图，矩形的顶点A、B、C的坐标分别为、、，则点D的坐标为 ，若反比例函数的图象与矩形有交点，则k的取值范围为 ．    【变式4】在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴正半轴重合，点B的坐标为，且满足，与相交于点D，E为的中点，点P为线段上的一点，连接，点A关于直线的对称点为点，连接．    (1)请直接写出点B的坐标，并求出直线的解析式； (2)求线段长度的取值范围； (3)若直线与相交于点Q，在x轴负半轴有一动点，在y轴正半轴上有一动点，分别连接，且，请求出用与n之间的函数关系式． 1．下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．任意两个邻角互补 D．对角互补 2．一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板．这样做最直接的道理是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两组对边分别相等的四边形是矩形 3．如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则等于（    ） A．3 B． C．5 D． 4．在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的长度为 ． 5．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为 ． 6．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 7．如图是矩形，，求这个矩形的周长和对角线的长． 8．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于，若，求的长． 9．如图，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 10．如图1，在矩形中，，点E在边上，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为秒，连结，当点P运动到点D时，． (1)_________； (2)当_________秒时，平分矩形的面积； (3)连结，当的面积为6时，求的值； (4)如图2，作点A关于直线PE的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$