9.4～9.5 中心对称 图形的全等-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

9.4—9.5 中心对称 图形的全等 课程标准 学习目标 ①中心对称 ②图形的全等 1. 掌握中心对称的定义，了解中心对称图形； 2. 掌握全等的性质，会根据全等的性质求长度、角度、面积． 知识点01 中心对称 一、中心对称图形 定义：一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 特征： 1.中心对称图形上对称点所连线段必经过对称中心，且被对称中心平分。 2.过对称中心的任一直线把中心对称图形分成形状相同和大小相等的两部分。 3.常见的中心对称图形有线段、平行四边形、长方形、边数是偶数的正多边形、圆等。 二、成中心对称 定义：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。 特征： 1.在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 2.成中心对称的两个图形，对应角相等，对应线段平行或在同一直线上且相等。 3.确定对称中心的方法有两种，方法一为连结任意一对对称点，取这条线段的中点，则该中点即为对称中心；方法二为任意连结两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心。 三、中心对称与轴对称的区别与联系 区别： 1.中心对称图形有一个对称中心，图形绕对称中心旋转180度后与自身重合；轴对称图形至少有一条对称轴，图形沿对称轴对折后两部分完全重合。 2.中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；轴对称是一个图形具有的性质。 联系： 如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它一定是中心对称图形，这两条对称轴的交点是它的对称中心。 知识点02 图形的全等 一、全等图形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等图形。全等图形的形状和大小完全相同，与它们的位置无关。 二、全等多边形的性质 全等多边形的对应边相等，对应角相等。这是识别全等多边形的主要方法，即边、角分别对应相等的两个多边形全等。 三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。这是全等三角形的基本性质，也是识别全等三角形的主要依据。 四、全等图形的识别方法 通过观察、测量和比较，可以利用图形的轴对称、平移、旋转等变换，判断两个图形是否全等。如果能够经过这些变换使两个图形完全重合，那么这两个图形就是全等的。 五、全等图形的应用 全等图形在现实生活中有广泛的应用，如建筑设计、机械制造、图形设计等。通过利用全等图形的性质，可以解决一些实际问题，如计算面积、确定形状等。 题型01 中心对称图形与成中心对称 【典例1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列结论中，错误的是（   ） A．形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称 B．关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等 C．关于成中心对称的两个图形，对称中心在两对称点的连线上 D．关于成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，如果把一个图形绕着某个点旋转后与另一个图形可以完全重合，这两个图形关于这个点中心对称，解决本题的关键是根据中心对称的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如果两个图形关于某点成中心对称，这两个图形，不仅要形状大小完全相同，还要有特殊的位置关系，所以两个图形形状大小完全相同不一定成中心对称，故A选项错误； B选项：关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等，故B选项正确； C选项：关于成中心对称的两个图形，对称中心在两对称点的连线上，故C选项正确； D选项：关于成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，故D选项正确． 故选：A ． 【变式2】若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了中心对称图形的定义及性质，理解并掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键． 中心对称图形是指在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点称为对称中心；成中心对称的两个图形全等；连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分；由此即可求解． 【详解】解：①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确． ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④ ． 【变式3】魔术师把4张扑克牌放在桌子上（图①），然后闭上眼睛，一位观众上台把其中1张扑克牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张扑克牌如图②所示，被旋转过的牌上的数字是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据题意可知，旋转的两张牌一定是中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可得答案． 【详解】解：∵图①和图②的4张扑克牌的图形不变， ∴旋转的1张牌一定是中心对称图形， ∵四张牌中只有牌上的数字是4的牌是中心对称图形， ∴被旋转过的牌上的数字是4， 故答案为：4． 【变式4】如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 【答案】(1)射线、2厘米 (2)O、120 (3) (4)与（答案不唯一） 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】（1）解：∵经过平移得到， ∴平移的方向是沿着射线方向，点A与点F是一组对应点， ∴平移的距离为， ∵是边长为2厘米的等边三角形， ∴厘米， 故三角形沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形重合， 故答案为：射线、2厘米； （2）解：三角形绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形重合； 故答案为：O、120； （3）解：三角形沿着所在直线翻折后能与重合； 故答案为：； （4）解：与是中心对称的两个三角形． 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，关键是掌握几种变换的定义和特点． 题型02 对称中心 【典例1】如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可． 【详解】由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，故线段AB中点即为对称中心．故选C 【点睛】本题考查了对称中心的确定方法，找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解决本题的关键． 【变式1】如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】两组对应点连线的交点即是对称中心，根据对称中心的确定方法即可解答. 【详解】如解图，连接、，相交于点E，则点E是对称中心. 故选：B. 【点睛】此题考查成中心对称的图形的对称中心，正确掌握对称中心的定义即可正确解答. 错因分析  容易题.失分的原因是：不会判断对称中心. 【变式2】关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 【答案】对称中心 【分析】根据中心对称图形的性质可进行求解． 【详解】解：由中心对称图形的性质可知：关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过对称中心； 故答案为对称中心． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【变式3】如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 【变式4】如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，与成中心对称． (1)画出对称中心； (2)画出将向上平移6个单位长度得到的； (3)绕点按顺时针方向至少旋转多少度，才能与重合？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平移作图，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握相关知识，并灵活运用． （1）连接、，相交于点O，点O即为所求； （2）先画出点、、平移后的对应点，再依次连接即可； （3）连接，根据图形，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由图可知，， 则绕点按顺时针方向至少旋转，能与重合． 题型03 全等图形 【典例1】如图是由个全等的边长为的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是的大正方形，则（   ） A．甲、乙都不可以 B．甲可以，乙不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都可以 【答案】D 【分析】此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： 可得甲、乙都可以拼一个面积是20的大正方形． 故选：D． 【变式1】下列图形中，是全等图形的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【详解】根据全等图形的定义判断即可．掌握能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键． 【解答】解：图①与⑩是全等图形， 图②与⑫是全等图形； 图④与⑧是全等图形； 图⑤与⑨是全等图形； 综上分析可知：全等图形有4组． 故选：C． 【变式2】下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是 ． 【答案】④ 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 【变式3】请观察图中的5组图案，其中是全等形的是 （填序号）；    【答案】（5） 【分析】根据全等形的定义：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形进行判断即可． 【详解】解：（1）形状、大小不相等，不是全等形； （2）大小不同，不是全等形； （3）形状，大小都不相同，不是全等形； （4）形状，大小都不相同，不是全等形； （5）形状，大小都相同，是全等形； 故答案为：（5）． 【点睛】本题考查全等形的识别．熟练掌握形状、大小相同，能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键． 【变式4】请用不同的方法在下面三个图中沿着虚线把它们分割成四个全等的图形. 【答案】见解析 【分析】本题考查全等图形，利用对称性作图是解题的关键． 【详解】如图所示，沿虚线即可得到四个全等的图形． 题型04 全等三角形的性质 【典例1】如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．9 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握，利用全等三角形的性质“全等三角形对应边相等”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角，根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【变式2】已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为；． 【变式3】如图，已知，和，和是对应顶点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形的内角和定理求出，再利用全等三角形对应角相等的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【变式4】如图，绕点旋转后与重合，点在上． (1)，，求的长； (2)延长交于点，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用； （1）先证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得； 【详解】（1）解： 绕点旋转后与重合， ， ， ； （2）解：， ， ，， 又， ． 题型05 中心对称的性质求面积 【典例1】如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等． 根据中心对称的性质可得的面积等于12，．根据三角形的面积公式即可求中边上的高． 【详解】根据中心对称的性质可得：的面积等于的面积是12，． 根据三角形的面积公式，则边上的高是． 故选：C． 【变式1】如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，与关于点O中心对称，AB、BC、、所围成的图形的面积是(　　)cm2． A． B．π C． D．π 【答案】A 【分析】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积． 【详解】解：连AC，如图， ∵AB⊥BC，AB＝BC＝3cm， ∴△ABC为等腰直角三角形， 又∵与关于点O中心对称， ∴OA＝OC，＝， ∴弓形OA的面积＝弓形OC的面积， ∴AB、BC、与所围成的图形的面积＝三角形ABC的面积＝×3×3＝（cm2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都为；也考查了中心对称的性质以及三角形的面积公式． 【变式2】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】此题考查了中心对称的性质、长方形的面积等知识，由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点D，，则，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，点A的对称点是点，于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：12． 【变式3】如图，有任意四边形，分别是A、B、C、D关于B、C、D、A的对称点，设S表示四边形的面积，表示四边形的面积，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据C是的中点，则根据三角形面积公式得，则即可求得，从而获解． 【详解】解：如图所示，连接， 是的中点， ， 同理：， ， 同理：，， = ， ． 【点睛】此题考查了点对称的性质与三角形的面积计算，正确理解与运用三角形的面积公式是解题的关键． 【变式4】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的三个顶点均在格点上，直线经过网格格点．请完成下列各题： (1)画出关于直线对称的图形； (2)利用网格，在直线上画出点Q，使的值最小． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短，运用网格求三角形面积，垂直平分线的性质，轴对称作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据对称的性质找到对称点画出图形即可； （2）找到的对称点，连接，与交于点； （3）运用割补法求三角形面积，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示，点Q即为所求； （3）解：． 题型06 设计中心对称图形的图案 【典例1】如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 【变式1】如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得4个涂黑的正方形组成轴对称图形，如图，      共有2个， 故选：B． 【变式2】将图1的小正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了拼图中的中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心．根据中心对称的概念可知，将小正方形放在③的位置时，整个图形是中心对称图形． 【详解】解：当放置在①位置时，构成的图形不是中心对称图形， ∴①不符合题意； 当放置在②位置时，构成的图形不是中心对称图形， ∴②不符合题意； 当放置在③位置时，构成的图形是中心对称图形， ∴③符合题意； 当放置在④位置时，构成的图形不是中心对称图形， ∴④不符合题意． 故答案为：③． 【变式3】在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．    【答案】1 【分析】本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，正确理解定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，可得如下涂法，且只有一种，    故答案为：1． 【变式4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C在格点上． (1)在图1中，以点A，B，C为顶点画一个四边形（每个顶点为格点），使其为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中，以点A，B，C为顶点画一个四边形（每个顶点为格点），使其为中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换． （1）作B点关于直线的对称点D，则四边形满足条件； （2）以为对角线作平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图，四边形为所作； （2）解：如图，四边形为所作． 题型07 全等中网格求解 【典例1】如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 【答案】 【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解． 【详解】解：如图，连接、，，，， 由图可知，在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键． 【变式3】如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点D（不与点重合），使得与全等，则这样的三角形有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：如图，即为所求， ∴满足条件的点D的个数为3， 故答案为：3． 【变式4】如图为4×4的正方形网格，的三个顶点均在小正方形的顶点上．在图1．图2中分别画和，使得和都与全等，（要求：D点和E点的位置不相同） 【答案】见解析 【分析】此题考查了轴对称作图，全等三角形的性质，正确掌握全等三角形的性质利用轴对称作图是解题的关键． 【详解】如图，和即为所求． ． 题型08 格点三角形 【典例1】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 【变式1】在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的定义画出图形，即可判断． 【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．    【变式2】如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有 个（不包括）． 【答案】13 【分析】以C点为唯一公共点，其它两点在格点上作出与全等的三角形即可． 【详解】解：如图所示：与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有13个， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键． 【变式3】如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当以、、为顶点的三角形与全等时， s． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据题意分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，求解即可，分情况讨论是解题关键． 【详解】解：①当在线段上，时，   ， ， ， 点的运动时间为 秒． ②当在上，时，如图所示：， ， ， ， 点的运动时间为 秒． ③当在上，时，如图所示： 此时， ， 点的运动时间为 秒； ④当在线段上，时，这时在点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：3或7或10． 【变式4】如图所示的网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．将与全等，并与有且只有一条边重合的格点三角形称为的“友好格点三角形”． (1)画出以为公共边的的所有“友好格点三角形”； (2)共有________个“友好格点三角形”． 【答案】(1)画图见解析 (2)7 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解新定义是解答关键. （1）根据新定义画出图形即可； （2）根据新定义和全等三角形的性质画出图形来求解． 【详解】（1）解：根据题意作图如下 以为公共边的的所有“友好格点三角形”为：,,． （2）解：根据题意画图如下，的“友好格点三角形”有,,，，，，共7个． 故答案为：7． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义．一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：B． 2．如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图中是中心对称图形的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键； 从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，根据中心对称图形的定义，即可求解； 【详解】解：主视图如图所示， 不是中心对称图形； 左视图如图所示， 不是中心对称图形； 俯视图如图所示， 是中心对称图形． 故选：C 3．如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，延长交于，由全等三角形的性质可得，，，，再由三角形内角和定理得出，即，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴，，，，故选项A、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； 和不一定相等，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 4．小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距 ． 【答案】/米 【分析】本题考查了中线对称的性质，掌握中线对称的性质是解题的关键． 根据中心对称得到小强家距离学校也是，由两点之间的距离的计算即可求解． 【详解】解：∵小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，小明家距离学校， ∴小强家距离学校也是， ∴他们两家相距， 故答案为： ． 5．与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，若，则的范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质以及三角形三边关系，利用关于原点成中心对称图形的性质得出，进而利用三角形三边关系得出答案．熟练掌握中心对称图形的性质以及三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，， ∴， ∴在中，由三角形三边关系可知的范围是： 故答案为：． 6．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．当时，可得：；当时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：当时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 7．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在图中以线段为对角线画一个面积为6的四边形，要求该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形．      【答案】见解析 【分析】本题考查作图旋转变换，轴对称变换，画一个平行四边形（非矩形或菱形）即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求．    8．在正方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中作出绕点逆时针旋转得到的； (2)在图2中作出与关于点对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—旋转变换、中心对称，结合题意正确作出图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作出图形即可； （2）根据中心对称的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： 9．如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿长方形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． (1)当秒时，　 　cm； (2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等． 【答案】(1)2 (2)2.5或4.5或7.5或9.5 【分析】（1）当秒时，点P运动到线段上，即可得到的长度； （2）根据题意，要使一个三角形与全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间． 【详解】（1）解：当t＝3秒时，点P走过的路程为：， ∵， ∴点P运动到线段上， ∴cm， 故答案是：2； （2）根据题意，如图，连接，则，，， ∴要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于， ①当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ②当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ③当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ④当点P运动到时，即P与Q重合时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， 综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.4—9.5 中心对称 图形的全等 课程标准 学习目标 ①中心对称 ②图形的全等 1. 掌握中心对称的定义，了解中心对称图形； 2. 掌握全等的性质，会根据全等的性质求长度、角度、面积． 知识点01 中心对称 一、中心对称图形 定义：一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 特征： 1.中心对称图形上对称点所连线段必经过对称中心，且被对称中心平分。 2.过对称中心的任一直线把中心对称图形分成形状相同和大小相等的两部分。 3.常见的中心对称图形有线段、平行四边形、长方形、边数是偶数的正多边形、圆等。 二、成中心对称 定义：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。 特征： 1.在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 2.成中心对称的两个图形，对应角相等，对应线段平行或在同一直线上且相等。 3.确定对称中心的方法有两种，方法一为连结任意一对对称点，取这条线段的中点，则该中点即为对称中心；方法二为任意连结两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心。 三、中心对称与轴对称的区别与联系 区别： 1.中心对称图形有一个对称中心，图形绕对称中心旋转180度后与自身重合；轴对称图形至少有一条对称轴，图形沿对称轴对折后两部分完全重合。 2.中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；轴对称是一个图形具有的性质。 联系： 如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它一定是中心对称图形，这两条对称轴的交点是它的对称中心。 知识点02 图形的全等 一、全等图形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等图形。全等图形的形状和大小完全相同，与它们的位置无关。 二、全等多边形的性质 全等多边形的对应边相等，对应角相等。这是识别全等多边形的主要方法，即边、角分别对应相等的两个多边形全等。 三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。这是全等三角形的基本性质，也是识别全等三角形的主要依据。 四、全等图形的识别方法 通过观察、测量和比较，可以利用图形的轴对称、平移、旋转等变换，判断两个图形是否全等。如果能够经过这些变换使两个图形完全重合，那么这两个图形就是全等的。 五、全等图形的应用 全等图形在现实生活中有广泛的应用，如建筑设计、机械制造、图形设计等。通过利用全等图形的性质，可以解决一些实际问题，如计算面积、确定形状等。 题型01 中心对称图形与成中心对称 【典例1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列结论中，错误的是（   ） A．形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称 B．关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等 C．关于成中心对称的两个图形，对称中心在两对称点的连线上 D．关于成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等 【变式2】若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号） 【变式3】魔术师把4张扑克牌放在桌子上（图①），然后闭上眼睛，一位观众上台把其中1张扑克牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张扑克牌如图②所示，被旋转过的牌上的数字是 ． 【变式4】如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 题型02 对称中心 【典例1】如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【变式1】如图，与关于某个点成中心对称，则这个点是（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式2】关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 【变式3】如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 【变式4】如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，与成中心对称． (1)画出对称中心； (2)画出将向上平移6个单位长度得到的； (3)绕点按顺时针方向至少旋转多少度，才能与重合？ 题型03 全等图形 【典例1】如图是由个全等的边长为的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是的大正方形，则（   ） A．甲、乙都不可以 B．甲可以，乙不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都可以 【变式1】下列图形中，是全等图形的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【变式2】下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是 ． 【变式3】请观察图中的5组图案，其中是全等形的是 （填序号）；    【变式4】请用不同的方法在下面三个图中沿着虚线把它们分割成四个全等的图形. 题型04 全等三角形的性质 【典例1】如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．9 B．4 C．5 D．6 【变式1】如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，若，则 ． 【变式3】如图，已知，和，和是对应顶点．若，，则 ． 【变式4】如图，绕点旋转后与重合，点在上． (1)，，求的长； (2)延长交于点，，求的度数． 题型05 中心对称的性质求面积 【典例1】如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【变式1】如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm，与关于点O中心对称，AB、BC、、所围成的图形的面积是(　　)cm2． A． B．π C． D．π 【变式2】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【变式3】如图，有任意四边形，分别是A、B、C、D关于B、C、D、A的对称点，设S表示四边形的面积，表示四边形的面积，则的值为 ． 【变式4】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的三个顶点均在格点上，直线经过网格格点．请完成下列各题： (1)画出关于直线对称的图形； (2)利用网格，在直线上画出点Q，使的值最小． (3)求的面积． 题型06 设计中心对称图形的图案 【典例1】如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【变式1】如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【变式2】将图1的小正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【变式3】在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．    【变式4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C在格点上． (1)在图1中，以点A，B，C为顶点画一个四边形（每个顶点为格点），使其为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中，以点A，B，C为顶点画一个四边形（每个顶点为格点），使其为中心对称图形． 题型07 全等中网格求解 【典例1】如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 【变式3】如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点D（不与点重合），使得与全等，则这样的三角形有 个． 【变式4】如图为4×4的正方形网格，的三个顶点均在小正方形的顶点上．在图1．图2中分别画和，使得和都与全等，（要求：D点和E点的位置不相同） 题型08 格点三角形 【典例1】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有 个（不包括）． 【变式3】如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当以、、为顶点的三角形与全等时， s． 【变式4】如图所示的网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．将与全等，并与有且只有一条边重合的格点三角形称为的“友好格点三角形”． (1)画出以为公共边的的所有“友好格点三角形”； (2)共有________个“友好格点三角形”． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图中是中心对称图形的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上说法都不对 3．如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距 ． 5．与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，若，则的范围是 ． 6．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 7．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在图中以线段为对角线画一个面积为6的四边形，要求该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形．      8．在正方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中作出绕点逆时针旋转得到的； (2)在图2中作出与关于点对称的． 9．如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 10．如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿长方形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． (1)当秒时，　 　cm； (2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$