第19章 矩形、菱形与正方形 （十五题型压轴专练）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第19章 矩形、菱形与正方形 压轴专练 题型一、矩形、菱形与正方形的性质 1．如图，四边形是菱形，，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．64 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．由菱形的性质得出，，，证明是等边三角形，推出，由勾股定理求出，得出，由菱形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：如图，令交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：C． 2．如图，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H，连接．若平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可判断①③正确；设，则，，由此即可判断②正确；根据等腰三角形的判定可得，从而可得，根据可得，则，由此即可判断④错误． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 设，则， ∴， ∴，则结论②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 3．如图，点E是正方形外一点，连接和，过点A作的垂线交于点P．若，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由全等三角形的性质证明，由勾股定理求出的长，的长． 由正方形的性质，余角的性质可以证明，由，得到，因此，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴为直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ． 题型二、矩形、菱形与正方形的判定 1．下列命题中，正确的是（   ） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形是轴对称图形 D．五边形的内角和是 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形的性质，轴对称图形，多边形内角和，依次判断选项即可求解． 【详解】解：A. 菱形对角线相互垂直，但不一定相等，故A为假命题，故A选项错误； B. 矩形的对角线相等，但不一定垂直，故为假命题，故B选项错误； C. 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故C为假命题，故C选项错误； D. 将代入中，得，故五边形的内角和是，故D为真命题，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了真假命题的判断，矩形，菱形的性质，轴对称图形，多边形内角和，熟练掌握相关知识点的性质定理是解题的关键． 2．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 3．如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 题型三、矩形、菱形与正方形的平移 1．如图是中国古代妇女的一种发饰——“方胜”图案，其图案由两个全等的正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．将正方形沿对角线的方向向右平移得到正方形，形成一个“方胜”图案．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平移设计图案，全等图形等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据阴影部分的面积个大正方形的面积个小正方形的面积求解即可． 【详解】解：由平移变换的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积个大正方形的面积个小正方形的面积． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，可证，得到，，根据一次函数可得，，即得，，得到，即得反比例函数，同理得到，再根据平移得，最后代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵一次函数，当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∵点向左平移个单位后为， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移，一次函数与坐标轴的交点，正确添加常用辅助线是解题的关键． 3．平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，不论k为何值，直线都经过x轴上点A (1)如图1，若直线过点C，求直线的解析式和点A的坐标 (2)如图2，将线段沿某个方向平移，点B、C对应的点M、N恰好在直线和直线上，当时，请你判断四边形的形状，并说明理由 (3)如图3，点P由点C向下平移个单位得到，点Q是x轴上的动点，以P、Q为顶点作菱形，且．直线经过顶点R，当点Q在x轴上运动（点R不与点A重合）时，k的值是否会发生变化？若不变，求出k的值；若变化，请说明理由 【答案】(1)， (2)四边形是菱形，见解析 (3)不变， 【分析】（1）根据与x轴、y轴分别交于点B、C，，得到，，设直线的解析式为，把代入求解即可． （2）当时，，根据点M在直线上，不妨设，结合，可看做向右平移个单位，向上平移个单位得到，结合，得到，根据点N在直线上，得到，后利用两点间距离公式，计算邻边长度，判定形状即可． （3）先证明，是等边三角形，再证明，根据全等的性质得到，设直线与y轴的交点为H，确定，，利用直角三角形的性质，一次函数过点的意义解答即可． 【详解】（1）解：∵不论k为何值，直线：都经过x轴上点A， ∴有无数解， ∴， 解得， ∴ ∵与x轴、y轴分别交于点B、C，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入得， 解得； ∴直线的解析式为． （2）解：四边形是菱形．理由如下： 当时，直线， ∵点M在直线上， 不妨设， ∵， ∴可看做向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∵， ∴， ∵点N在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 根据平移的性质，得四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形． （3）解：k的值不变，且．理由如下： ∵，点P由点C向下平移个单位得到， ∴， 连接， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 连接， ∵四边形是菱形，且． ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线与y轴的交点为H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故k的值不变，且． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平移，直线过点的意义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直线过点的意义是解题的关键． 题型四、矩形、菱形与正方形的折叠 1．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值． 【详解】解：连接，，如图， 在中，， 在中， 根据折叠的性质可知，， ， 四边形是边长为9的正方形， ，，， ， 解得． 故选：B． 2．如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点C落在点F处，与边交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质．作，，利用平行四边形的面积公式求得，由折叠的性质结合平行四边形的性质求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：作，，垂足分别为， ∴， ∵平行四边形纸片，则 ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得， ∴， 在中，， ∵平行四边形纸片， ∴， ∴， 由折叠有性质知， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴， 故答案为． 3．【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 （2）点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图④，若，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）①②；（2）①见详解②见详解（3）或 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质等； （1）①由折叠的性质得，即可求解； ②连接，设，由矩形的性质结合折叠的性质，， 由勾股定理得，即可求解； （2）①连接，作的垂直平分线交于，交于，即可求解； ②由折叠的性质及等腰三角形的性质得，即可得证； （3）当时，设，由勾股定理得，即可求解；过作交于，由等腰三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解； 掌握线段垂直平分线的尺规作图作法，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解，并能以等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关． 【详解】解：（1）①， ， 由折叠得：， 故答案为：； ②连接， 四边形是矩形， ， ， ， 设， 由折叠得： ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， ， 故答案为：； （2） ①如图， 为所求作； ②如图，补全图如下： 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （3）当时， 设， 由折叠得：， ， ， ， ， 解得：； 当时， 如图，过作交于， ， ， ， ， ， 由折叠得：， ， 在和中 ， （）， ， ， 解得：， ； 综上所述：的长为或． 题型五、矩形、菱形与正方形的旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． ∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，， ∴每循环4次与原图形重合， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同， 即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限， 如图，过点作轴于点， 则，， ，， ， ，， ， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究，勾股定理，等角对等边，全等三角形的判定及性质．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． 2．如图，在矩形中，，连接，把线段绕点D逆时针方向旋转得线段．在边上取点P，使，连接交延长线于点E，则线段长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，如图，过过点Q作于点H，由旋转的性质可得，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点Q作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵把线段绕点D逆时针方向旋转得线段， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．小英同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． (1)操作判断 如图1，正方形的边长为，则． 如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示） (2)性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示） ②如图4，在中，，，猜想与、的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①，② (3)的长为或 【分析】（1）结合菱形的对角线互相平分且垂直，得，，再根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）①结合矩形的对角线互相平分且相等，得，再根据勾股定理列式计算，即可得．②分别过点作的延长线，运用平行四边形的性质得，，再证明，得，，设，分别运用勾股定理列式，再整理得，即可作答． （3）运用勾股逆定理证明，再由（2）得，则，因为旋转，所以，因为，得，然后证明四边形是矩形，分别运用勾股定理算出两种情况的的长，即可作答． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为， ∴，， 则， ∴， 即； 故答案为：； （2）解：①在矩形中，，， ∴ 则 ∴， ∵， ∴， ∴； ②分别过点作的延长线，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别过点作的延长线， ∴， ∴， ∴，， 设， 在中，则， 在中，则， 在中，则， 则， （3）解：∵在中，，，， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， 则（负值已舍去）， 则， ∵旋转， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 过点作，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∴在中，， ∴在中， ∴， 综上：当时， 的长为或． 【点睛】本题考查了旋转性质，平行线的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型六、矩形、菱形与正方形的最值 1．菱形中，，，是中点，是上的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，等边三角形的判定和性质，轴对称最短路径问题，解决本题的关键是掌握菱形的性质； 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、勾股定理定理计算即可； 【详解】如图，连接，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ， ，，， 由勾股定理得：， ， 是中点， ， ，， ， ， 根据两点之间，线段最短可知此时的周长最小， 的周长的最小值， ， 为等边三角形， 为中点， 为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 的周长的最小值； 故选：D 2．在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，，是对角线上的一个动点，点的坐标为．求的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，连接，．利用勾股定理求出，证明，可得，由此即可解答． 【详解】解：如图，连接，． ，， ， 四边形是菱形， 点、点关于对称， ， ， ，当A、P、D共线时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，轴对称求最短路径问题、菱形的性质、勾股定理，学会利用轴对称解决最短问题是解题的关键． 3．如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）由已知得四边形是菱形，得，根据，即得，故； （2）①数量关系是：，理由是：由四边形是菱形，可得和是等边三角形，即得，，即可证明，从而，故； ②的周长发生改变，理由是：由，，可得，是等边三角形，即有，当最小时，周长的最小，即最小时，周长的最小，此时，在中，可得，即，周长的最小值为． 【详解】（1）∵中，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的顶点与点A重合，两边分别与，重合， ∴； （2）①，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②的周长发生改变，理由如下： 如图，连接， 由①知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的的周长， ∴的周长发生改变， 当最小时，周长最小，即最小时，的周长最小， 此时， 在中，，， ∴，， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形性质及判定、全等三角形性质及判定、三角形周长最小值、勾股定理等知识，解题的关键是证明． 题型七、矩形、菱形与正方形的图象结合 1．在四边形中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿的方向运动，到达点A后停止．设点P运动的时间为t，的面积为y，如果y与t的函数图象如图2所示，那么边的长度为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，学生读图、分析的能力，能根据图形求得的值是解题的关键． 根据题意，分析P的运动路线，分3个阶段分别讨论，可得的值，过D作于E，根据勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，当P在上时，三角形面积增大，结合图2可得，； 当P在上时，三角形面积不变，结合图2可得，； 当P在上时，三角形面积变小，结合图2可得，； 过D作于E， ∵，， 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图1，在菱形中，对角线，相交于点E，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2，则的长为 ． 【答案】或4 【分析】分析图1与图2的对应关系可以得出，，，再由可求得；在直角三角形中，由面积关系式与勾股定理即可得出关于的二元二次方程组，可求解，即可得出． 【详解】因为菱形的各边相等且对角线互相垂直平分， ∴． 由图2知，点P由点A运动到点C时，，即， ∵， ∴． 由图2知，点P由点A运动到点B时，的面积最大，此时， 即：． ∴．即：． 在中，， 组成方程组， 解得：或． 当时，；当时，． 故的长为：或4． 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，三角形的面积、勾股定理等知识，解此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 3．如图1，在平行四边形中，，过点D作于点E，，．点P从点A出发，沿折线运动，点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位．设点P的运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质等，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）分“点P在线段上”“点P在线段上”两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）根据（2）中图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，， 是等腰直角三角形，，， ， ， 点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位, ，， 时，点P在线段上，时，点P在线段上． 当点P在线段上时，如图，作于M，于N，得矩形， 在平行四边形中，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 当点P在线段上时，如图， ， ， 综上可得，； （2）解：函数图象如图所示， 由图可知，当时，y随x的增大而减小； （3）解：由（2）中图象可得，当时，． 题型八、平面直角坐标系中的矩形、菱形与正方形 1．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，当点恰好在轴正半轴上时停止，此时点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，含直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，由含直角三角形的性质可求，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于， ∵将菱形绕原点逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 2．如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求出的坐标是解此题的关键． 过作轴于，得出，则根据菱形的性质得出是的中点，求得的坐标，进而求得的坐标，由反比例函数的图象经过点即可求出的值． 【详解】解：过作轴于， ∵， 则， 设， 则， ∵四边形是菱形， ∴是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 3．平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为　　　； (2)如图②，线段、关于点对称，若点、、，则点的坐标为　　　； (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且为边时，则点的横坐标为　　　； (4)如图④，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、交于点，，求长． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4) 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）求出，由菱形的性质得出，，则可得出答案； （2）由点B、D关于点P对称，先求出P点的坐标，再根据关于某点对称的点的特点，求出点C的坐标； （3）分三种情况，由平行的四边形的性质得出答案； （4）以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，得出，，，，，再根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，然后联立即可得出点的坐标，最后根据两点间的距离公式即可得出答案． 【详解】（1）∵， ， ∵四边形AOBC为菱形， ∴，， ∴点B坐标为， 故答案为：； （2）∵、关于点P对称， ，， ∴点P的坐标为． 设点， ∵， ，， ∴，． ∴． 故答案为：； （3）当平行且等于时，四边形是平行四边形， ∵，N在y轴上， ∴M的横坐标为； 当平行且等于时，四边形是平行四边形， ∵，N在y轴上， ∴M的横坐标为； 当为对角线时，四边形是平行四边形， ∵，， ∴M的横坐标为； 故符合题意的有3个点，点M的横坐标分别为，4，． 故答案为：或4或； （4）以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系， 正方形的边长为，， ，，，，， 设直线解析式为，设直线解析式为，则 ，， 解得：，， 直线解析式为，直线解析式为， 联立， 解得：， 点P的坐标为， ． 题型九、矩形、菱形与正方形的尺规作图 1．在学习了特殊平行四边形的性质之后，小德发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小德证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论．根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点E，F和G，连接和（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，连接．线段的垂直平分线EG分别交，和于点E，F和G，连接和．求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴①______． ∵垂直平分． ∴且②______． 在和中， ∴． ∴， 则四边形是④______． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： 四边形是⑤________． 【答案】(1)见解析 (2)①②④平行四边形⑤正方形． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图解答即可； （2）根据垂直平分线的定义以及全等三角形的判定和性质证明，即可得到结论． 本题主要考查全等三角形的判定，垂直平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据线段垂直平分线的基本作图，画图如下： （2）证明：∵， ∴． ∵垂直平分． ∴且． 在和中， ∴． ∴， 则四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∵， 四边形是正方形． 故答案为：①②④平行四边形⑤正方形． 2．如图，矩形的中，，．    (1)尺规作图：在边上找一点E，使得沿折叠后点C的对称点恰好落在边上，请画出折痕以及点C的对称点．（保留作图痕迹，不写作法和结论）； (2)直接写出此时的长_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，理解相关图形的性质是解决问题的关键． （1）在上取一点，使，以，为圆心，大于为半径画弧交于一点，连接该点与点交于，即可求解； （2）根据矩形的性质及轴对称的性质得，，在中，，则，设，则，在中，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）在矩形中，，，， 由题意可知，，， 在中，，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：，即， 故答案为：． 3．已知四边形为正方形，点在边上，连接． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：在正方形中， ，_____， ， ， ， ， ∴_______． ， ______． 通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论；两端点在正方形的一组对边上且______的线段长相等． 【答案】(1)见解析 (2)；；；垂直 【分析】本题考查了过一点作线段的垂线，余角性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （）利用基本作图，过点作的垂线即可； （）先根据等角的余角相等得到 ，则可判断，所以，于是探究得到：两端点在正方形的一组对边上且垂直的线段长相等； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且垂直的线段长相等． 题型十、矩形、菱形与正方形的动点求t 1．如图，在矩形中，，，动点从开始沿边以每秒的速度向运动；动点从点开始沿边以每秒的速度向运动，如果、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． 则： (1)当秒时，四边形的面积是______ (2)当为几秒时，四边形为矩形？ 【答案】(1)46 (2)当t为4时，四边形APQD是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的性质及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）先分别计算出的长，再计算四边形的面积； （2）根据矩形的对边相等得到，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，， ， 四边形的面积是， 故答案为：46； （2）解：由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 当四边形是矩形时，则有， ∴ 解得． ∴当t为4时，四边形是矩形． 2．如图，矩形中，点是线段上的一个动点，为的中点，的延长线交于． (1)求证：； (2)若，，点从点出发，以的速度向点运动（不与重合）．设点运动的时间为秒，请用表示的长；并求出为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定，在解题时与全等三角形结合是解本题的关键． （1）根据四边形是矩形可得，，再根据O为的中点得出，即可证出． （2）根据，，得出和的长，再根据四边形是菱形列方程求出t的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴， 又∵O为的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）由题意得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴时，四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即运动时间为时，四边形是菱形． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒，过点作于点，连接，． (1) ， ， ， （用含的代数式表示）； (2)试说明：无论为何值，四边形总是平行四边形； (3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (4)直接写出当为 时，为直角三角形． 【答案】(1)；；； (2)证明见解析 (3)当时，，理由见解析 (4)或 【分析】（1）根据题意，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，得，，再由，求解即可； （2）根据，得，再根据（1）得即可证明； （3）根据（2）所证四边形是平行四边形，利用时，四边形是菱形，菱形对角线垂直，可得，建立方程求解即可； （4）分别从与两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵四边到是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；；；； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴四边形是平行四边形． ∴无论为何值，四边形总是平行四边形； （3）解：与能垂直．理由如下： 由（2）可知：四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 此时， ∴， 解得：， ∴当时，； （4）如图，当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 如图，当时，则， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，当或时，是直角三角形， 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形的动点问题，考查了矩形的性质，含角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质等知识点．解题的关键是掌握：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半、菱形的判定和性质． 题型十一、矩形、菱形与正方形的新定义图形 1．数学实验课老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； (2)如图②，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点． ①求证：四边形是筝形： ②若，当是等腰三角形时，直接写出的度数； ③若，求的长． 【答案】(1)是 (2)①见解析；②，，；③ 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点， （1）根据题意得，，即可证明； （2）①先证，再根据“筝形”的定义判断即可，②分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时，当时，同理可得；③有折叠性质可证四边形是正方形，设，根据勾股定理即可求解． 熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：由折叠性质得：，， ∴四边形是“筝形” 故答案为：是； （2）解：①如图，连接， ∵是锐角的高， ∴ 由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是四边形是“筝形”； ②当时， 由折叠得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴ ∴ ∵， ∴， 当时， ∴， ∴ ∵， ∴， 综上：的度数为，，； ③由折叠性质可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， ∴在中，，即， 解得：， ∴． 2．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若，，则______°； (2)如图2，四边形ABCD中，，，，．试说明四边形ABCD是“等腰四边形”； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3)或或． 【分析】（1）由题意得：，再利用等边对等角结合三角形的内角和定理分别求解从而可得答案； （2）如图，连接，先证明是等边三角形，可得，根据勾股定理证明，从而根据新定义可得四边形是“等腰四边形”； （3）分三种情况讨论，一是四边形 “等腰四边形”，且，可证明，得，则，，所以；二是四边形 “等腰四边形”，且，可证明是等边三角形，则，所以，则，所以；三是四边形 “等腰四边形”，且，设，作于点，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，可证明是等边三角形，得，则，，所以，得． 【详解】（1）解：∵四边形是“等腰四边形”，为”界线”， ，， ． ∴，， ∴； 故答案为：50． （2）解：如下图，连接，   ， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 所以四边形是“等腰四边形”， BD为“界线”． （3）如图，四边形 “等腰四边形”，且，   ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ； 如图，四边形 “等腰四边形”，且，   ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 如图，四边形 “等腰四边形”，且，设，    作于点，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接， ，垂直平分， ， ， ， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了新定义的理解，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，解题的关键是第（3）题应进行分情况讨论． 3．垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长． (3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）分别对运用勾股定理，再根据等式的性质即可求证； （2）先证明，得到四边形为“垂美四边形”，则，再运用勾股定理求得，，代入即可求解； （3）①当时，对中，由勾股定理求得，，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，可证明，则，，在中，由勾股定理得；②当时，同上． 【详解】（1）解：数量关系为： 记交于点O， ∵， ∴在中， 由勾股定理得：， ∴， 同理可得：， ∴； （2）解：如图， ∵四边形是正方形，为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为“垂美四边形”， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 同理可求, ∴， 解得：； （3）解：①当时， 则， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 过点P作延长线的垂线，垂足为点D， 由题意得，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ②当时， 同上可求此时， 过点P作于点D， 同上可证：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理求得， 综上：或． 题型十二、矩形、菱形与正方形新定义函数 1．根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形的“距离”定义：如果点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形的“距离”，记为特别地，当图形有公共点时，图形的“距离”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，菱形的，点在第一象限，若，，，则，菱形______， 菱形______； (2)如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图象记为． ①若，求的取值范围； ②若，且，则的值为______； (3)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为平面内一点，令，，，比较的大小关系______（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)①或  ② (3) 【分析】（1）过作于, 由, 可得菱形, 而, 有故菱形； （2）①当图象经过点时, 知,, 当图象经过点时, , 得, 由一次函数的图象和性质可知, , 则的取值范围为或； ②如图, 设图象与轴交于, 与轴交于, 作于点,中, 令, 得, 根据知故, 从而, 即得 ，用待定系数法可得； （3）令,, 可得在直线上，设直线与轴交于点，与轴交于点, 然后根据勾股定理计算即可 【详解】（1）过作于, 如图: ， ， 由题意知,，菱形 ， ， ， ∴ 菱形， 故答案为：，； （2）①图象经过点或点时，图象与只有一个交点,符合 当图象经过点时， 将代入, 得, 解得, 当图象经过点时， 将代入, 得, 解得, 由一次函数的图象和性质可知，当或时，图象与有两个交点, 满足, ∴的取值范围为或； ②如图, 设图象与轴交于, 与轴交于, 作于点. 中, 令 得 ∴, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将 代入 得 解得 故答案为：； （3）解：∵点为平面内一点， 令，，则， ∴点在直线上， 设直线与轴交于点，与轴交于点, 当时，；当y=0时，，解得， ∴， 又∵， ∴ ∴当时 ，距离最小，这时， ∴， 同理得到， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义的意义，将新定义问题转化为学过的数学问题． 2．在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义： 直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点，若直线与交于点（点不在线段上），则称点为线段的“双线融合点”． 请阅读新定义，完成如下问题： (1)如图，线段的两个端点分别为和，求线段的“双线融合点”； (2)点，是直线上的两个动点． 点为线段的“双线融合点”，当“双线融合点”的横坐标等于纵坐标时，求“双线融合点”的坐标； 正方形的四个顶点分别为，，，．当点，在直线上运动时，不断产生线段的“双线融合点”，若所有的线段的“双线融合点”中，恰有两个点在正方形边上，直接写出的取值范围． 【答案】(1)线段的“双线融合点”为或； (2)“双线融合点”的坐标为或；，的取值范围为或． 【分析】（）分当经过点，经过时，当经过点，经过分别求出，的值，联立方程组即可求解； （）由点，是直线上的两个动点，设求出点，，然后再分当经过点，经过时和当经过点，经过时时，两种情况分析求解即可； 分和两种情况，然后分同理即可求解． 【详解】（1）如图，当经过点，经过时， ∴，， 解得：，， ∴直线， 联立得， 解得：， ∴“双线融合点”坐标为； 如图， 当经过点，经过时， ∴，， 解得：，， ∴直线，， 联立得， 解得：， ∴“双线融合点”坐标为； 综上可知：线段的“双线融合点”为或； （2）∵点，是直线上的两个动点， ∴， 设，则， ∴点，， 当经过点，经过时 ∴，， 解得：，， ∴直线，， 联立得， 解得：， ∴“双线融合点”的坐标为， ∵“双线融合点”的横坐标等于纵坐标， ∴，解得：， ∴“双线融合点”的坐标为； 当经过点，经过时时， ∴，， 解得：，， ∴直线，， 联立得， 解得：， ∵“双线融合点”的横坐标等于纵坐标， “双线融合点”的坐标为， ∴，解得：， ∴“双线融合点”的坐标为； 综上可知：“双线融合点”的坐标为或； 设线段的“双线融合点”为，， 由上可得：，， ∴消去得：，， 即线段的“双线融合点”为，在直线或上运动， 时， 如图，当经过点时，一个点在正方形边上， ∴，解得：， 如图，当经过点时，三个点在正方形边上， ∴，解得：， ∴恰有两个点在正方形边上，的取值范围为； 时， 如图，当经过点时，一个点在正方形边上， ∴，解得：， 如图，当经过点时，三个点在正方形边上， ∴，解得：， ∴恰有两个点在正方形边上，的取值范围为； 综上可知：恰有两个点在正方形边上，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想，是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，对于线段和点P给出如下定义：若，，则称点P是线段MN的“关联点”．已知点，，，． (1)点E在线段上． ①如图，当点E是线段的中点时，在点，，中，线段的“关联点”是　　　　； ②当点E在线段上运动时，点G是线段的“关联点”，直接写出点G的横坐标t的取值范围； (2)点F在四边形的边上运动（点F不与点A重合），点，点，若线段上存在线段的“关联点”，直接写出h的取值范围． 【答案】(1)①；②或； (2) 【分析】（1）①先画图，直接按照相定义进行计算判断即可；②如图，作的垂直平分线交轴于，交于，过作轴，交垂直平分线于，过作轴的平行线交于，证明为的关联点，为的关联点，再证明，可得，再进一步解答即可； （2）如图，证明四边形为正方形，可得的关联点是以为对角线的正方形的另外两个顶点，当最上方的顶点与重合时，；当过时，则，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：①如图， ∵，， ∴， ∴， ∴是的关联点， 同理可得：是的关联点，不是的关联点， ②如图，作的垂直平分线交轴于，交于，过作轴，交垂直平分线于，过作轴的平行线交于， ∵，，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，而， ∴， 设的解析式为， ∴， 解得：， ∴为：， 如图，直线：；， ∴，， ∴ ， 解得：，即， 设直线为， ∴， 解得：， ∵，结合上面推导可得：为， 把代入可得：， ∴为， 当时，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴为的关联点， 同理可得：为的关联点， ∴，四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时的横坐标为， 当与重合，的横坐标为， 当与重合，的横坐标为， ∴当点E在线段上运动时，点G是线段的“关联点”，点G的横坐标t的取值范围为或； （2）解：如图，∵，，，， 由四边形的对角线相等，互相垂直平分，可得 四边形为正方形， ∴的关联点是以为对角线的正方形的另外两个顶点， ∴当最上方的顶点与重合时，； 当过时，则， ∴， 解得：， ∴线段上存在线段的“关联点”，h的取值范围为：； 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 题型十三、矩形、菱形与正方形的无刻度尺作图 1．在正方形中，为的中点．用无刻度直尺作图，保留作图痕迹； (1)在图中将绕点逆时针旋转； (2)在图中在正方形内作以为顶点的正方形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）连接相交于点，连接并延长交于，可得点为的中点，连接交的延长线于点，连接，易证明，得到，进而可证明，即得，得到，故得为绕点逆时针旋转得到； （）连接交于点，连接与相交于点，连接并延长交于点，连接，得到四边形，由正方形的对称性可得，进而可得，即可证明，得到，进而可得，即可得四边形为正方形； 本题考查了作旋转变换的图形，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 2．阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可． (1)图1、图2均为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图1，点A、B为格点，画出线段的中点 ②如图2，点A、B、C为格点，作出； (2)借助（1）中画图的经验解决下面的问题：如图，已知平行四边形中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图3，点E、F分别在上，，连接，请在上画点O，使点O为的中点； ②如图4，若，点E为上一点，请在上画点G，使； ③如图5，在②的条件下，若，连接，点P为上一点，请以为边画一个菱形，你所画的菱形为 ． 【答案】(1)①图见解析②图见解析 (2)①图见解析②图见解析③图见解析， 【分析】（1）①取格点，连接，与的交点即为点；②连接，取的中点，连接，即为所求； （2）①连接，与的交点即为点；②连接，，和交于点，连接并延长，交于点，即为所求；③连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交与点，连接交于点，连接，则：菱形即为所求． 【详解】（1）①如图所示，取格点，连接，与的交点即为点； 由图可知：四边形为矩形， ∴， ∴点即为所求； ②连接，取的中点，连接，如图所示，即为所求； 由图可知：， ∵点为的中点， ∴平分； ∴ （2）①连接，与的交点即为点； ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中点； ②连接，，和交于点，连接并延长，交于点，即为所求； ∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交与点，连接交于点，连接，则：菱形即为所求； ∵， ∴菱形为正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同法可得：四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 3．如图，在矩形中，为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，求作点，使为的中点； (2)在图②中，求作点，使为的中点． 【答案】(1) (2) 【解析】略 题型十四、矩形、菱形与正方形的阅读理解 1【阅读理解】 对于任意正实数a、b，，，，只有当时，等号成立． 【数学认识】 在（a、b均为正实数）中，若为定值k，则，只有当时，有最小值． （1）．若时， 有最小值为_____； （2）．若函数，则的最小值为 _____； （3）．若，则的最小值为 _____． 【生活实际】 （4）．学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为100平方米的长方形自行车棚．图书馆的后墙只有5米长可以利用，其余部分由铁围栏建成，如图是小尧同学设计的图纸，设所需铁围栏L米，自行车棚长为x米．L是否存在最小值，如果存在，那么当x为何值时，L最小，最小为多少米？如果不存在，请说明理由． 【探索应用】 （5）．如图，已知、，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 【答案】4； 8； 4； 存在，当时，L最小值为35； ，四边形为菱形 【分析】（1）利用得到， 当，时， 有最小值； （2）将整理得，利用得到，当时，y有最小值； （3）将整理得，利用得到，当时，y有最小值； （4）由题意得，利用求解即可得出答案； （5）设，如图表示四边形的面积，由（1）可得，当时，四边形的面积得最小值，因此也可求出此时点C、D的坐标，根据点的坐标可知，故四边形是平行四边形，又由，进而可得四边形是菱形． 解：， ， ， 当且仅当，即时， 有最小值为4； 解：， ， ， 当且仅当，即时，y有最小值为8； 解：， ，， ， 当且仅当，即时，y有最小值为4； 解：存在，当时，L最小值为35，理由如下： 由题意，得， 当且仅当，即时，等号成立， 故当 时，L有最小值，且最小值为35； 解：设，则，， 四边形的面积， 由（1）知，若， 有最小值为4， 四边形的面积， 四边形的面积得最小值为12， 此时，即， ，， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题是阅读材料题，考查了坐标与图形的性质、矩形的面积、菱形的判定、反比例函数图象上点的坐标特征以及不等式的求法，熟练掌握相关知识，结合题意综合应用是解题的关键． 2．阅读理解 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形能够带来协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图1所示的是希腊的巴特农神庙． 动手操作 下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图2的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把折到图4中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出． 若，则______，在图5中，矩形______就是黄金矩形． 【答案】， 【分析】如图4所示，先求出，再利用勾股定理求出，由折叠的相等得到，则，进一步求出即可得到结论． 【详解】解：如图4所示， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 由折叠可知， ∴； 如图5所示， ∵， ∴， ∴矩形为黄金矩形． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了翻折变换、正方形的判定与性质、矩形的性质、黄金矩形的定义、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．阅读理解题： 已知：如图1，中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于D，于E，于F．求证：． 在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下： 小明的思路方法是：过点P作于G（如图2），则可证得四边形是矩形，也可证得，从而得到，，因此得． 小颖的思路方法是：连接（如图3），则，再由三角形的面积公式便可证得． 由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 阅读上面的材料，然后解答下面的问题： (1)针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整； (2)如图4，梯形中，，，，E是上任意一点，于M，于N，试利用上述结论求的值． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）小明的思路方法：过点P作于G，则四边形是矩形，，有，，进一步证得，有，则； 小颖的思路方法：连接，则，，，，即可得； （2）作，，则，有，根据平行线的性质得，由等腰三角形的性质得，则，可得，同理，即可求得答案． 【详解】（1）证明：小明的思路方法：过点P作于G，如图2， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则； 小颖的思路方法：连接， ∵，，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：作，，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是做常见的辅助线和熟悉等腰三角形的性质． 题型十五、半角模型 1．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证，进而证明，推出，可得． （2）在上取，连接．依次证明，，可得． （3）将绕点A逆时针旋转得，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得，进而可得． 【详解】（1）解：．理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， ∴， ∴E，B，C三线共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转得， ∴． ∵， ∴， ∴E，D，C三点共线． 由（1）同理可得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键． 2．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)； (2)． 【分析】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，根据四边形为正方形，，，可得点、共线，由旋转，，可证。得出即可； 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，可证点、、在一条直线上。由旋转，，，可证，得出即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ,, 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， , 点、、共线， , ,, ,即， 在和中， ， ， , ,即, 故答案为：； （2），理由如下， 如图所示， , 把绕点逆时针旋转至,可使与重合， , 点、、在一条直线上， , ,,, ， , , ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差计算，线段和差计算等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 3．【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①45；②；（2）．证明见解析；（3） 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，构造全等三角形是解答的关键． （1）如图1，先由正方形的性质和旋转性质得，，，，进而可得G、B、E共线，，证明得到即可求解； （2）在图2中，在上截取，连接，先证明，得到，则可得，再证明得到，进而可得结论； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先求得，则由已知得，由旋转可得，，易证，证明得到，设，则，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 则，，，， ∴G、B、E共线， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴， 故答案为：①45 ；②； （2）解：． 证明如下：如图2，在上截取，连接， 在和中，， ， ， ，即， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴， （3）将绕点顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ，， ， 由旋转可得，， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 矩形、菱形与正方形 压轴专练 题型一、矩形、菱形与正方形的性质 1．如图，四边形是菱形，，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．64 2．如图，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H，连接．若平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 3．如图，点E是正方形外一点，连接和，过点A作的垂线交于点P．若，．求的长． 题型二、矩形、菱形与正方形的判定 1．下列命题中，正确的是（   ） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形是轴对称图形 D．五边形的内角和是 2．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 ． 3．如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 题型三、矩形、菱形与正方形的平移 1．如图是中国古代妇女的一种发饰——“方胜”图案，其图案由两个全等的正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．将正方形沿对角线的方向向右平移得到正方形，形成一个“方胜”图案．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 ． 3．平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，不论k为何值，直线都经过x轴上点A (1)如图1，若直线过点C，求直线的解析式和点A的坐标 (2)如图2，将线段沿某个方向平移，点B、C对应的点M、N恰好在直线和直线上，当时，请你判断四边形的形状，并说明理由 (3)如图3，点P由点C向下平移个单位得到，点Q是x轴上的动点，以P、Q为顶点作菱形，且．直线经过顶点R，当点Q在x轴上运动（点R不与点A重合）时，k的值是否会发生变化？若不变，求出k的值；若变化，请说明理由 题型四、矩形、菱形与正方形的折叠 1．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 2．如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点C落在点F处，与边交于点E，则的长为 ． 3．【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 （2）点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图④，若，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 题型五、矩形、菱形与正方形的旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，连接，把线段绕点D逆时针方向旋转得线段．在边上取点P，使，连接交延长线于点E，则线段长为 ． 3．小英同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． (1)操作判断 如图1，正方形的边长为，则． 如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示） (2)性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示） ②如图4，在中，，，猜想与、的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 题型六、矩形、菱形与正方形的最值 1．菱形中，，，是中点，是上的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，，是对角线上的一个动点，点的坐标为．求的最小值是 ． 3．如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 题型七、矩形、菱形与正方形的图象结合 1．在四边形中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿的方向运动，到达点A后停止．设点P运动的时间为t，的面积为y，如果y与t的函数图象如图2所示，那么边的长度为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图1，在菱形中，对角线，相交于点E，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2，则的长为 ． 3．如图1，在平行四边形中，，过点D作于点E，，．点P从点A出发，沿折线运动，点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位．设点P的运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 题型八、平面直角坐标系中的矩形、菱形与正方形 1．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，当点恰好在轴正半轴上时停止，此时点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则 ． 3．平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为　　　； (2)如图②，线段、关于点对称，若点、、，则点的坐标为　　　； (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且为边时，则点的横坐标为　　　； (4)如图④，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、交于点，，求长． 题型九、矩形、菱形与正方形的尺规作图 1．在学习了特殊平行四边形的性质之后，小德发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小德证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论．根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点E，F和G，连接和（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，连接．线段的垂直平分线EG分别交，和于点E，F和G，连接和．求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴①______． ∵垂直平分． ∴且②______． 在和中， ∴． ∴， 则四边形是④______． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： 四边形是⑤________． 2．如图，矩形的中，，．    (1)尺规作图：在边上找一点E，使得沿折叠后点C的对称点恰好落在边上，请画出折痕以及点C的对称点．（保留作图痕迹，不写作法和结论）； (2)直接写出此时的长_________． 3．已知四边形为正方形，点在边上，连接． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：在正方形中， ，_____， ， ， ， ， ∴_______． ， ______． 通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论；两端点在正方形的一组对边上且______的线段长相等． 题型十、矩形、菱形与正方形的动点求t 1．如图，在矩形中，，，动点从开始沿边以每秒的速度向运动；动点从点开始沿边以每秒的速度向运动，如果、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． 则： (1)当秒时，四边形的面积是______ (2)当为几秒时，四边形为矩形？ 2．如图，矩形中，点是线段上的一个动点，为的中点，的延长线交于． (1)求证：； (2)若，，点从点出发，以的速度向点运动（不与重合）．设点运动的时间为秒，请用表示的长；并求出为何值时，四边形是菱形？ 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒，过点作于点，连接，． (1) ， ， ， （用含的代数式表示）； (2)试说明：无论为何值，四边形总是平行四边形； (3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (4)直接写出当为 时，为直角三角形． 题型十一、矩形、菱形与正方形的新定义图形 1．数学实验课老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； (2)如图②，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点． ①求证：四边形是筝形： ②若，当是等腰三角形时，直接写出的度数； ③若，求的长． 2．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若，，则______°； (2)如图2，四边形ABCD中，，，，．试说明四边形ABCD是“等腰四边形”； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 3．垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长． (3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长． 题型十二、矩形、菱形与正方形新定义函数 1．根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形的“距离”定义：如果点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形的“距离”，记为特别地，当图形有公共点时，图形的“距离”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，菱形的，点在第一象限，若，，，则，菱形______， 菱形______； (2)如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图象记为． ①若，求的取值范围； ②若，且，则的值为______； (3)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为平面内一点，令，，，比较的大小关系______（直接写出结果）． 2．在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义： 直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点，若直线与交于点（点不在线段上），则称点为线段的“双线融合点”． 请阅读新定义，完成如下问题： (1)如图，线段的两个端点分别为和，求线段的“双线融合点”； (2)点，是直线上的两个动点． 点为线段的“双线融合点”，当“双线融合点”的横坐标等于纵坐标时，求“双线融合点”的坐标； 正方形的四个顶点分别为，，，．当点，在直线上运动时，不断产生线段的“双线融合点”，若所有的线段的“双线融合点”中，恰有两个点在正方形边上，直接写出的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，对于线段和点P给出如下定义：若，，则称点P是线段MN的“关联点”．已知点，，，． (1)点E在线段上． ①如图，当点E是线段的中点时，在点，，中，线段的“关联点”是　　　　； ②当点E在线段上运动时，点G是线段的“关联点”，直接写出点G的横坐标t的取值范围； (2)点F在四边形的边上运动（点F不与点A重合），点，点，若线段上存在线段的“关联点”，直接写出h的取值范围． 题型十三、矩形、菱形与正方形的无刻度尺作图 1．在正方形中，为的中点．用无刻度直尺作图，保留作图痕迹； (1)在图中将绕点逆时针旋转； (2)在图中在正方形内作以为顶点的正方形． 2．阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可． (1)图1、图2均为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图1，点A、B为格点，画出线段的中点 ②如图2，点A、B、C为格点，作出； (2)借助（1）中画图的经验解决下面的问题：如图，已知平行四边形中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图3，点E、F分别在上，，连接，请在上画点O，使点O为的中点； ②如图4，若，点E为上一点，请在上画点G，使； ③如图5，在②的条件下，若，连接，点P为上一点，请以为边画一个菱形，你所画的菱形为 ． 3．如图，在矩形中，为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，求作点，使为的中点； (2)在图②中，求作点，使为的中点． 题型十四、矩形、菱形与正方形的阅读理解 1【阅读理解】 对于任意正实数a、b，，，，只有当时，等号成立． 【数学认识】 在（a、b均为正实数）中，若为定值k，则，只有当时，有最小值． （1）．若时， 有最小值为_____； （2）．若函数，则的最小值为 _____； （3）．若，则的最小值为 _____． 【生活实际】 （4）．学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为100平方米的长方形自行车棚．图书馆的后墙只有5米长可以利用，其余部分由铁围栏建成，如图是小尧同学设计的图纸，设所需铁围栏L米，自行车棚长为x米．L是否存在最小值，如果存在，那么当x为何值时，L最小，最小为多少米？如果不存在，请说明理由． 【探索应用】 （5）．如图，已知、，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 2．阅读理解 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形能够带来协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图1所示的是希腊的巴特农神庙． 动手操作 下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图2的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把折到图4中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出． 若，则______，在图5中，矩形______就是黄金矩形． 3．阅读理解题： 已知：如图1，中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于D，于E，于F．求证：． 在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下： 小明的思路方法是：过点P作于G（如图2），则可证得四边形是矩形，也可证得，从而得到，，因此得． 小颖的思路方法是：连接（如图3），则，再由三角形的面积公式便可证得． 由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 阅读上面的材料，然后解答下面的问题： (1)针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整； (2)如图4，梯形中，，，，E是上任意一点，于M，于N，试利用上述结论求的值． 题型十五、半角模型 1．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 2．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 3．【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$