专题02 一元二次方程 (考题猜想，13大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版）

专题02 一元二次方程（13大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 一元二次方程的定义（易错） · 题型二 一元二次方程的解 · 题型三 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值（高频） · 题型四 选用合适的方法解一元二次方程（易错） · 题型五 利用换元法解一元二次方程（难点） · 题型六 利用根的判别式证明一元二次方程根的情况（重点） · 题型七 已知方程两根满足的条件求参数值（难点） · 题型八 利用根的判别式解决几何问题（压轴） · 题型九 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） · 题型十 根的判别式和根与系数的关系综合（重点） · 题型十一 利用配方法求最值（难点） · 题型十二 一元二次方程与实际问题（高频） · 题型十三 一元二次方程与新定义问题（难点） 题型一 一元二次方程的定义（易错） 1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 题型二 一元二次方程的解 3．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（    ） A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根 C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况 4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） x … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … A． B． C．或 D．或 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根（    ） A． B． C． D． 题型三 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值（高频） 6．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 7．（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则 ． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 9．（22-23九年级上·山东滨州·期末）已知为方程的根，那么的值为 ． 题型四 选用合适的方法解一元二次方程（易错） 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 11．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用适当的方法解方程： (1)． (2)． 题型五 利用换元法解一元二次方程（难点） 13．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： 14．（22-23九年级上·江西萍乡·开学考试）阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 15．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知x、y满足，求的值； (2)已知a、b满足，求的值． 题型六 利用根的判别式证明一元二次方程根的情况（重点） 16．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，此方程一定有实数根； (2)若方程有一个实数根是，求方程的另一个根． 17．（23-24八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； (2)当时，请判别方程根的情况． 18．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根； (2)当时，判断方程两根是否都在与0之间，并说明理由． 题型七 已知方程两根满足的条件求参数值（难点） 19．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知关于的方程． (1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由． (2)当时 ①若该方程有实数解，求的取值范围． ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 21．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知关于的一元二次方程． (1)当时，试判断此方程根的情况． (2)若，是该方程不相等的两实数根，且，求的值． (3)若为正整数，并且该方程的两实数根都为整数，求的值． 题型八 利用根的判别式解决几何问题（压轴） 22．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 24．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5． (1)若时，请判断的形状并说明理由； (2)若是等腰三角形，求k的值． 25．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 题型九 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 26．（23-24八年级下·浙江金华·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______． (2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． 27．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 28．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料： 材料若一元二次方程的两根为、，则， 材料已知实数、满足、，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料得， 根据上述材料解决下面问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (3)类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． (4)思维拓展：已知实数、满足、，且，求的值 题型十 根的判别式和根与系数的关系综合（重点） 29．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的方程． (1)已知，异号，试说明此方程根的情况； (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 30．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 31．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为求代数式的值； (3)若，比较M与N的大小． 题型十一 利用配方法求最值（难点） 32．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 33．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 题型十二 一元二次方程与实际问题（高频） 34．（21-22九年级上·海南海口·期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 35．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某老牌造车企业为实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使新能源汽车项目的生产规模不断扩大，该企业9月，10月一共生产新能源汽车95000辆，其中10月份新能源汽车产量是9月份的倍少4000辆．(说明：生产的新能源汽车全部销售出去)． (1)求9月，10月新能源汽车产量各是多少辆 (2)若10月份每辆新能源汽车的利润为1万元，11月份新能源汽车产量比上月增加，11月份每辆新能源汽车的利润比上月增加，则11月份新能源汽车总利润达到66000万元，求m的值． 36．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据以下销售情况，解决任务： 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲，乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 销售情况 甲店：每天可售出25件，每件盈利40元； 乙店：每天可售出40件，每件盈利30元． 市场调查 经过调查发现，每件衬衫每降价1元，甲，乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量______（用含有a的代数式表示） 乙店每天的销售量______（用含有b的代数式表示） 任务2 若总公司规定两家分店下降的价格必须相等，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 37．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 题型十三 一元二次方程与新定义问题（难点） 38．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）定义一种新运算：对于任意非零实数和，，例如：，，请回答下列问题： (1)计算； (2)解方程： (3)直接写出不等式的解． 39．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 40．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． (1)方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； (2)若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． $$专题02 一元二次方程（13大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 一元二次方程的定义（易错） · 题型二 一元二次方程的解 · 题型三 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值（高频） · 题型四 选用合适的方法解一元二次方程（易错） · 题型五 利用换元法解一元二次方程（难点） · 题型六 利用根的判别式证明一元二次方程根的情况（重点） · 题型七 已知方程两根满足的条件求参数值（难点） · 题型八 利用根的判别式解决几何问题（压轴） · 题型九 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） · 题型十 根的判别式和根与系数的关系综合（重点） · 题型十一 利用配方法求最值（难点） · 题型十二 一元二次方程与实际问题（高频） · 题型十三 一元二次方程与新定义问题（难点） 题型一 一元二次方程的定义（易错） 1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题 【详解】（1）解：， 如果此方程是一元一次方程， 则， 解得：， 即时，此方程是一元一次方程； （2）解：， 如果此方程是一元二次方程， 则， 解得，且， 即且，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 题型二 一元二次方程的解 3．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（    ） A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根 C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根，假设出方程解的情况，当有奇数时与有偶数时，分别讨论即可求出．熟练掌握奇数、偶数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是偶数，是奇数， ∴、是偶数，是奇数，或者都是奇数； ①、是偶数，是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（偶奇偶）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（偶偶偶）奇奇右边； ∴方程没有整数解； ②都是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（奇奇奇）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（奇偶奇）奇奇右边； ∴方程没有整数解； 综上所述，方程没有整数根； 故选：A． 4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） x … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立，即该方程的根是或． 故选：C． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键． 设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论． 【详解】解：线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下： 设，则， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 线段的长是一元二次方程的一个正根． 故选：A． 题型三 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值（高频） 6．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】此题考查了代数式的值、方程根的定义，整体代入是解题的关键．由一元二次方程根的定义得到，再整体代入代数式即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，解关于a的方程即可． 【详解】解：把3代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，同底数幂乘法的逆用，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题关键．由题意可知，，，进而整理出，将其代入化简求值即可． 【详解】解：、是方程的两个实根， ，， ， ， ， 故答案为：． 9．（22-23九年级上·山东滨州·期末）已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 题型四 选用合适的方法解一元二次方程（易错） 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： 或 ， 11．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴或； （2）解： ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用适当的方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：将方程左边因式分解，得， 则或 解得， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 题型五 利用换元法解一元二次方程（难点） 13．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，设，则，通过解一元二次方程可得m的值，即可求出可能的值，然后再分别得出分式方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上，该方程的解为：，． 14．（22-23九年级上·江西萍乡·开学考试）阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； （2）设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； （3）. 设，则原方程化为， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 15．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知x、y满足，求的值； (2)已知a、b满足，求的值． 【答案】(1)18 (2)或1 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算-化简求值，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得：， ， ， ． （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得：， 或1， 或1． 题型六 利用根的判别式证明一元二次方程根的情况（重点） 16．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，此方程一定有实数根； (2)若方程有一个实数根是，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据关于的方程的根的判别式的符号来判断该方程的根的情况； （）把方程的根代入求得的值，然后解方程得到另一个根即可； 本题考查了根的判别式，一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，此方程一定有实数根； （2）解：将代入， 得，解得， 解，得，， ∴另一个根为． 17．（23-24八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； (2)当时，请判别方程根的情况． 【答案】(1)，方程另外一个根为 (2)原方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点， （1）将和方程的一个根为代入方程求出c值，再解方程即可； （2）根据判断出的取值范围，进而进行判断即可； 熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）时，若方程的一个根为， 解得：， 得到方程为，解得或， ，方程另外一个根为； （2）， ∴ ， 原方程有两个不相等的实数根． 18．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根； (2)当时，判断方程两根是否都在与0之间，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，方程的两根都在与0之间，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）计算判别式得到 ，则可根据判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，，根据得出，进而得出当时，方程的两根都在与0之间，． 【详解】（1）证明： 无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）， ， ∴， ， 当时，方程的两根都在与0之间． 题型七 已知方程两根满足的条件求参数值（难点） 19．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知关于的方程． (1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由． (2)当时 ①若该方程有实数解，求的取值范围． ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程知识是解题的关键． （1）利用配方法得出，推出，即可证明该方程一定为一元二次方程； （2）当时，该方程为，①根据该方程有实数解，则，得出不等式求解即可；②整理得：，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，代入整理得出方程求解，根据①所求的取值范围取舍即可． 【详解】（1）解：正确，理由如下， ∵， ∴， ∴关于的方程一定为一元二次方程； （2）解：当时，， ∴该方程为， ①∵该方程有实数解， ∴， ∴， 解得：； ②，整理得：， ∵和是该方程的两个实数解， ∴，， ∴代入中，得：， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵由①得：； ∴． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系： （1）把代入方程求出的值即可； （2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可； （3）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）由题意，得：， 解得：； （3）由题意，得：， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去） ∴． 21．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知关于的一元二次方程． (1)当时，试判断此方程根的情况． (2)若，是该方程不相等的两实数根，且，求的值． (3)若为正整数，并且该方程的两实数根都为整数，求的值． 【答案】(1)此方程有两个相等的实数根 (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握方程的解的概念和一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）当时，，求出，得出此方程有两个相等的实数根； （2）根据，是方程不相等的两实数根，得，，故，解关于的方程并检验可得答案； （3）由得，根据方程的两实数根都为整数，为正整数，分析计算得出的值为或． 【详解】（1）解：当时，，即， ∴， ∴此方程有两个相等的实数根； （2）解：∵，是方程不相等的两实数根， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：或， 当时，的，方程无实数根，故舍去； 当时，符合题意， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∵方程的两实数根都为整数， ∴为整数， 又∵为正整数， ∴或， ∴或， ∴的值为或． 题型八 利用根的判别式解决几何问题（压轴） 22．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 【答案】(1)⑤；2，2，5不能构成三角形 (2)①当时，的周长为；②当为等边三角形时，的值为1． 【分析】（1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形； （2）解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， △， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键． （1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根和， ， 解得：； （2）和一元二次方程的两根， ，， 和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 解得：， ，， 不符合题意， 不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为． 24．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5． (1)若时，请判断的形状并说明理由； (2)若是等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2)或5 【分析】（1）将代入方程，求出方程的根，进而判断出的形状即可； （2）分是等腰三角形的底边和腰长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： 当时，，即：， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形； （2）当是底边时：则是的两条腰， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理，得：，等式不成立，故此种情况不存在； ∴是的一条腰， ∴方程中有一个根为， ∴，解得：， 当时，方程化为，解得：，满足题意； 当时，方程化为，解得：，满足题意； ∴当是等腰三角形时，或5． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程根与判断式的关系，因式分解法解方程，是解题的关键． 25．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)1 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 题型九 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 26．（23-24八年级下·浙江金华·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______． (2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意可得m，n是的两个根，则，，再把分解因式，再代入求值即可； 【详解】（1）解：∵一元二次方程两个根为， 则，． （2）解：∵实数m，n满足，，且， ∴m，n是方程两个不相等的实数根． ∴，， ∴； 27．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式． （）根据根与系数的关系可得，即可； （）由，将（1）代入即可解答； （）由，将（1）代入即可得方程：即可解答． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， 解得：，， 当时，原方程为：，，符合题意； 当时，原方程为：，，符合题意； ∴的值为或． 28．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料： 材料若一元二次方程的两根为、，则， 材料已知实数、满足、，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料得， 根据上述材料解决下面问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (3)类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． (4)思维拓展：已知实数、满足、，且，求的值 【答案】(1)3； (2) (3) (4)13 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值： （1）直接根据根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据进行求解即可； （3）根据根与系数的关系得到，由完全平方公式的变形得到，再根据进行求解即可； （4）设，则t、q是方程的两个实数根，由根与系数的关系得到，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， 故答案为：3；； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴， ∴ ； （3）解：由题意得，实数、是方程 的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴ ∴； （4）解；设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴t、q是方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 题型十 根的判别式和根与系数的关系综合（重点） 29．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的方程． (1)已知，异号，试说明此方程根的情况； (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 【答案】(1)理由见解析 (2)或 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程—因式分解法， （1）根据判别式公式得出，结合，异号，得到的正负情况，即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，把和用表示出来，代入方程，整理后，解之即可； 解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系，解一元二次方程的方法． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵，异号，，， ∴， ∴此方程有两个不等实数根； （2）∵关于的方程的根是，， ∴，， ∴，， ∵方程， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：或， ∴方程的根为或． 30．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【答案】(1)， (2)方程有两个实数解．理由见详解 (3)的值为1或2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 31．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为求代数式的值； (3)若，比较M与N的大小． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． （3）判断的正负即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根 （2）解：根据一元二次方程的根与系数的关系可得， ∴ （3）解： ∴ 题型十一 利用配方法求最值（难点） 32．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，S为“完美数”，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为． 33．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）50 【分析】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，二次根式有意义的条件，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 （1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：1； （2） ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ∴ ， 设，则, ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值为50． 题型十二 一元二次方程与实际问题（高频） 34．（21-22九年级上·海南海口·期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 35．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某老牌造车企业为实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使新能源汽车项目的生产规模不断扩大，该企业9月，10月一共生产新能源汽车95000辆，其中10月份新能源汽车产量是9月份的倍少4000辆．(说明：生产的新能源汽车全部销售出去)． (1)求9月，10月新能源汽车产量各是多少辆 (2)若10月份每辆新能源汽车的利润为1万元，11月份新能源汽车产量比上月增加，11月份每辆新能源汽车的利润比上月增加，则11月份新能源汽车总利润达到66000万元，求m的值． 【答案】(1)9月新能源汽车的产量为45000辆，10月新能源汽车的产量为50000辆； (2)m的值为20． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设9月新能源汽车的产量为x辆，则10月新能源汽车的产量为辆，根据该厂9，10月共生产新能源汽车95000辆，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入中即可求出10月新能源汽车的产量； （2）利用月利润=每辆的利润×月产量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设9月新能源汽车的产量为x辆，则10月新能源汽车的产量为辆， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：9月新能源汽车的产量为45000辆，10月新能源汽车的产量为50000辆； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：m的值为20． 36．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据以下销售情况，解决任务： 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲，乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 销售情况 甲店：每天可售出25件，每件盈利40元； 乙店：每天可售出40件，每件盈利30元． 市场调查 经过调查发现，每件衬衫每降价1元，甲，乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量______（用含有a的代数式表示） 乙店每天的销售量______（用含有b的代数式表示） 任务2 若总公司规定两家分店下降的价格必须相等，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 【答案】任务1：件，件  任务2：元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：由每件衬衫每降价元，甲、乙两家店一天都可多售出件，即可得出结论； 任务2：设每件衬衫下降x元时，两家分店一天的盈利和为元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务1：甲店每天的销售量为：件， 乙店每天的销售量为件， 任务2：设两家分店下降的价格为元，列方程得： ， 解得：，（不符合实际，舍去）， 答：两家分店下降的价格为元． 37．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)矩形种植园一边的长15米 (2)不能围成面积为的矩形种植园 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键． （1）方案1：设的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可； （2）方案2：设的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可； 【详解】（1）解：设的长为x米， 则， 解得： ． ∵ ，      ∴， ∴舍去， ．                      答：矩形种植园一边的长15米． （2）解：设的长为x米， 则 ， 化简得， ，          ∴不能围成 ， 答：不能围成面积为的矩形种植园． 题型十三 一元二次方程与新定义问题（难点） 38．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）定义一种新运算：对于任意非零实数和，，例如：，，请回答下列问题： (1)计算； (2)解方程： (3)直接写出不等式的解． 【答案】(1)； (2)，； (3)或或 【分析】（1）根据新定义运算对于任意非零实数和，即可解答； （2）根据新定义运算可得方程，再根据因式分解可知方程的解； （3）根据新定义运算分情况讨论解不等式即可解答． 【详解】（1）解：∵对于任意非零实数和，， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， （3）解：①当时，， 两边同时乘以，得， ， 解得：， ∴不等式的解为：； ②当时， ∴ ， ∴不等式的解， ③当时， ， 解得：， ∴不等式的解为， 综上，不等式的解为：或或． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元二次方程方法，解不等式的方法，分情况讨论思想，读懂题意理解新定义运算是解题的关键． 39．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可； （2）根据“完美方程”的定义得到，则原方程为，再由是此“完美方程”的一个根，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ②， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ③， ∵， ∴，则方程是“完美方程”； 故答案为：③． （2）解：是关于的“完美方程”， ， 原方程为． 是此“完美方程”的一个根， ，即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 40．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程． (1)方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由； (2)若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次不等式组、新定义、数轴与不等式的解集，理解题意新定义是解题的关键． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再解一元一次不等式组，根据“半隐二次方程”的定义，分析得出答案即可； （2）先解一元二次方程，再解不等式组，画出数轴图，根据“半隐二次方程”的定义，得出且，解出答案即可． 【详解】（1）解：是，理由如下， 将方程左边因式分解，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， ∴是不等式组的一个解，不是不等式组的解， ∴方程是不等式组的半隐二次方程； （2）解： 移项得：， 将方程左边因式分解，提取，变形得：， ∴或， 解得：，； 解得：， 如图，画出数轴图， ∵若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程， ∴且， 解得：． $$