精品解析：云南省德宏自治州瑞丽市第一民族中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

云南省德宏自治州瑞丽市第一民族中学2024-2025学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的关系与运算依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：因为，，故集合不存在包含关系，故A,B选项错误； 对于C选项，，故错误； 对于D选项，，故D选项正确. 故选：D 2. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，解得，由，解得， 而集合真包含集合， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 3. 不等式2x2－x－1>0的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分解因式，利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式2x2－x－1>0 解得x>1或x<－， ∴不等式的解集为或. 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 4. 设则的最大值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D 5. 规定，则函数的值域为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由定义求的解析式，结合函数单调性求其值域. 【详解】根据题意，， 因为函数，在上都为增函数， 所以函数在是增函数， 所以，即函数的值域为， 故选：A. 6. 已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先按a的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到a与b 的关系，结合a的范围，求得的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者. 【详解】， ①当时，，对称轴为， 在上单调递增， 所以，则， 所以. ②当时，，对称轴为， 在上递增，在上递减， 所以，则， 所以. ③当时， 若，，； 若，， . 当时，， ，； 当时，， ，. 综上所述：的最小值为. 故选：C. 7. 计算：（ ） A. 10 B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用对数的运算性质求值即可. 【详解】. 故选：B 8. 设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在上单调递减，函数在R上单调递增， 因此函数的单调递减区间是，而函数在区间单调递减， 则，即，解得，所以a的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数，下列说法正确是（ ） A. 函数在上最大值为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的最小正周期为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，当时，，，最大值为2，A错误； 对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，当时，，函数上不单调，则在上不单调，C错误； 对于D，函数的最小正周期，D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点，画出函数大致图象可完成判断；B由图象可判断选项正误；C由题可得，，据此可完成判断；D令，可将函数的零点个数转化为图象与直线交点个数之和，据此可完成判断. 【详解】对于A，由题可画出大致图象， 则方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点， 则由图可得，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，当趋近于0时，，则，故B正确； 对于C，由题. 又由题及图可得，， 则，注意到函数 上单调递减，则，故C正确； 对于D，令，则， 由图可得，则的零点个数为 方程根的个数之和， 即图象与直线交点个数之和. 由图，图象与直线交点个数为0，图象与直线交点个数为2， 图象与直线交点个数为3，图象与直线交点个数为3， 则交点个数之和为8，即函数有8个零点，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常转化为函数图象交点相关的问题；对于含有的问题，常通过令来简化问题. 11. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有 ②对于定义域上任意，当 时，恒有 ，则称函数为“ 函数”，下列函数中的“ 函数” （ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的单调性、奇偶性的知识来确定正确答案. 【详解】由于，所以是奇函数； 由于对于定义域上任意，当 时，恒有， 所以在上单调递增. A选项，是偶函数，不符合题意. B选项，是奇函数，且在上单调递增，符合题意. C选项，， 所以是奇函数，且在上单调递增，符合题意. D选项，是偶函数，不符合题意. 故选：BC 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在直线上，当，时，的最小值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用基本不等式求即可. 【详解】由题意得，，，则， 当且仅当且，即，，时取等号，此时的最小值9． 故答案为：9 13. 若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数为奇函数可得，结合对数运算性质可得a得值，再验证即可. 【详解】是奇函数， ，即， ，即， ， 展开整理得， 要使等式恒成立，则有，即，解得． 当时，， 由，得， 解得或，即定义域为或， 定义域关于原点对称，且满足， 成立． 故答案为：-1. 14. 已知为锐角，且，．求的值__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式可求得的值，利用两角差的正切公式可求得的值，进而利用同角三角函数基本关系式即可求解． 【详解】因为，的为锐角，且， 所以，可得， 所以， 可得，又，解得（负值已舍去）． 故答案为：． 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若是三角形中一内角，且，求的值； （2）若函数在内有唯一零点，求的范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）运用三角函数的两角和公式以及倍角公式对函数进行化简，再根据已知条件求解的值； （2）先根据（1）的结果得到的表达式，通过换元将问题转化为正弦函数与直线的交点问题，利用正弦函数的图象性质求解的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， ， ，， ， ，解得. 【小问2详解】 由（1）得，， 由得， 令，由得， 问题转化为函数与直线有唯一交点， 作出在上的函数图象， ， 或，解得或． 的范围是或． 16. 已知函数. （1）若在上为增函数，求实数的取值范围； （2）若在上最小值为4，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【小问1详解】 令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 【小问2详解】 令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 17. 已知函数，且. （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明见解析 （3）最大值为，最小值为6. 【解析】 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【小问1详解】 函数，因为， 所以，则. 【小问2详解】 函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 18. 已知函数与函数，函数的定义域为. （1）求的定义域和值域； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心. 【答案】（1）定义域，值域为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出的解析式，求解即可； （2）原问题可转化为．利用二次函数性质求解； （3）设的对称中心为，则函数是奇函数， 即是奇函数，利用奇函数性质列式求解即可． 【小问1详解】 由题意可得． 由，得，故． 又，且， 的值域为； 【小问2详解】 ，即，则． 存在，使得成立，． 而， 当，即时，取得最小值， 故； 【小问3详解】 设的对称中心为， 则函数是奇函数，即是奇函数， 则恒成立， 恒成立， 所以恒成立， 所以， 因为上式对任意实数恒成立， 所以，得， 所以函数图象的对称中心为． 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数值域和定义域的计算，考查了不等式恒成立以及对称关系的应用，第（3）问解题的关键是根据题意设的对称中心为，则函数是奇函数，然后列等式求解即可，属于较难题． 19. 已知.定义点集与的图象的公共点为在上的截点. （1）若在上的截点个数为.求实数的取值范围； （2）若在上的截点为与. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意转化为无解，判断可得，则，即可求出的取值范围； （2）（i）依题意可得方程在上有两个解，可化为函数在上有两个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调性，求出在上存在两个零点时的取值范围；（ii）由（i）可得和，消去，即可得到，结合的范围即可证明. 【小问1详解】 当时，， 因为在上的截点个数为， 关于的方程无实数解，即无实数解， 易知，所以，解得， 即的取值范围是. 【小问2详解】 （i）当时，， 因为在上的截点为与， 所以关于的方程在上有两个解，， 即在上有两个解，， 不妨设， 令 因为时，，所以在上至多一个解， 若，则，就是的解， 从而，这与题设矛盾. 因此，， 由得，所以， 由得，所以， 当时，方程在上有两个解. （ii）由和消去得， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：令去掉绝对值号，根据一次函数及二次函数的图象与性质，分析函数零点，求出参数的取值范围是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省德宏自治州瑞丽市第一民族中学2024-2025学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “成立”是“成立”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式2x2－x－1>0的解集是（ ） A. B. C 或 D. 或 4. 设则的最大值是（ ） A 3 B. C. D. 5. 规定，则函数的值域为 A. B. C. D. 6. 已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 计算：（ ） A. 10 B. 1 C. 2 D. 8. 设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上最大值为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的最小正周期为 10. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 11. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有 ②对于定义域上任意，当 时，恒有 ，则称函数为“ 函数”，下列函数中的“ 函数” （ ） A. B. C D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在直线上，当，时，的最小值为___________． 13. 若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________． 14. 已知为锐角，且，．求的值__________． 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若是三角形中一内角，且，求的值； （2）若函数在内有唯一零点，求的范围． 16. 已知函数. （1）若在上为增函数，求实数的取值范围； （2）若在上最小值为4，求实数的值； 17. 已知函数，且. （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 18. 已知函数与函数，函数的定义域为. （1）求的定义域和值域； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心. 19. 已知.定义点集与的图象的公共点为在上的截点. （1）若在上的截点个数为.求实数的取值范围； （2）若在上截点为与. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$