精品解析：上海市朱家角中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上海市朱家角中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 2025．4 一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分；第7-12题每题5分） 1. 已知函数，则的导函敎_____________. 2. 设一组样本数据的平均数为，则数据平均数为________________. 3. 已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________． 4. 已知函数，则函数的单调递增区间为__________. 5. 已知是大于等于3的正整数，且，则的值为________________． 6. 设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______． 7. 设，则______结果用数值表示 8. 若在的展开式中第项的二项式系数最大，则的展开式中，常数项是___________. 9. _____________． 10. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为.乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，则至少有一个一等品的概率________________． 11. 若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有________. ①；②；③；④ 12. 数列共有13项，，，且，，满足这种条件不同的数列个数为______ 二、选择题（本大共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 下列说法中错误的是（ ） A. 一组数据的平均数、中位数可能相同 B. 一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多 C. 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量 D. 极差、方差、标准差都是描述一组数据离散程度的统计量 14. 若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（     ） A. B. C. D. 15. 已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点O最近的点为点，此最近距离为．当点P在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列． （1）若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和. 18. 某同学为了解我国文化教育普及程度，收集了我国部分省级行政区15岁及以上男性和女性的文盲人口比重（％）情况，经统计得到如下的茎叶图. （1）根据茎叶图判断男性样本数据和女性样本数据的离散程度，并求离散程度较小的样本数据的第80百分位数； （2）若女性样本数据的极差为12.7，求该样本数据的平均数与方差；（结果精确到0.1） （3）为了调查今年某地区15岁及以上男性和女性文盲人口情况，研究小组准备采用分层随机抽样方法抽取5000人进行调查.已知该地区15岁及以上的男性约有4.2百万人，女性约有3.8百万人.分别求出抽取的男性人数和女性人数. 19. 如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，点在PD上，且. （1）求点A到平面PBD的距离； （2）是棱PC中点，证明：平面AEC． 20. 设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F距离； （2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 21. 已知、，设函数的表达式为. （1）设，，求函数在点处切线方程； （2）设，，集合，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量s，t，均有成立，求的取值范围； （3）当，，时，记，其中正整数.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市朱家角中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 2025．4 一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分；第7-12题每题5分） 1. 已知函数，则的导函敎_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的加法运算法则即可. 【详解】因，则 故答案为： 2. 设一组样本数据的平均数为，则数据平均数为________________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据平均数的定义求解即可 【详解】因为的平均数为，所以， 所以. 故答案为：. 3. 已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意所选3人中恰有1名男生2名女生的概率， 故答案为： 4. 已知函数，则函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案. 【详解】由函数可得， 令， 即函数的单调递增区间为， 故答案为： 5. 已知是大于等于3的正整数，且，则的值为________________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据组合数以及排列数公式求解，即得答案. 【详解】由得且， 即，即， 故答案为：5 6. 设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数几何意义求解. 【详解】设切线与函数的切点为 又因为，所以在处的导数值为 所以，又因为切点在函数上，即 所以切点为，所以切线方程，即 故答案： 7. 设，则______结果用数值表示 【答案】0 【解析】 【分析】把按照二项式定理展开，可得值． 【详解】因为 则， 故答案为0． 【点睛】本题主要考查二项式定理应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 8. 若在的展开式中第项的二项式系数最大，则的展开式中，常数项是___________. 【答案】60 【解析】 【分析】先求出k，再利用二项展开式的通项公式求出常数项. 【详解】的展开式中第项的二项式系数最大，则. 的展开式通项，当，即时为常数项，故常数项为. 故答案为：60 9. _____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案. 【详解】设函数，则； . 故答案为：. 10. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为.乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，则至少有一个一等品的概率________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率，记为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件，即计算即可. 【详解】设分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有,解得, 记为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件， 则, 故答案为： 11. 若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有________. ①；②；③；④ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可. 【详解】函数的定义域为， ， 又函数既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个变号零点，而， 故方程有两个不等正根， 于是，则， 所以即. 故②③④正确. 故答案为：②③④. 12. 数列共有13项，，，且，，满足这种条件不同的数列个数为______ 【答案】495 【解析】 【分析】根据题意，先确定数列中的个数，再利用组合知识，即可得到结论． 【详解】， 或， ， 设上式中有个，则有个， ，解得：， 这样的数列个数有. 故答案为：495 【点睛】本题以数列递推关系为背景，本质考查组合知识的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定数列中的个数是关键. 二、选择题（本大共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 下列说法中错误的是（ ） A. 一组数据的平均数、中位数可能相同 B. 一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多 C. 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量 D. 极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，可举出实例；B选项，可举出反例；CD选项，根据平均数、众数和中位数，极差、方差、标准差的定义进行判断. 【详解】A选项，例如，这组数据的平均数、中位数相同，均为2，A正确； B选项，例如，中位数为2，这组数据中比中位数大的数只有1个，比中位数小的数有2个，两者不一样多，B错误； C选项，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，C正确； D选项，极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，D正确. 故选：B 14. 若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由题意得的展开式为， 的展开式为， 要使的展开式中存在常数项， 则或， 所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5. 故选：C. 15. 已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象判断函数单调性，可得的函数值正负情况，从而解，可得答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 由于是定义在区间上的奇函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 故由可知或 得或，即不等式解集为， 故选：C. 16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点O最近的点为点，此最近距离为．当点P在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知当点P的纵坐标大于等于1、小于1时，确定点的位置，结合图形，可得的轨迹方程；记，则，当且仅当共线时取等号. 【详解】由题意知，点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部，如图， 当点P的纵坐标大于或等于1时，在上述正方形的左下顶点，如图， 此时点的轨迹方程为； 当点P的纵坐标小于1时，在上述正方形的左侧边与x轴的交点，如图， 此时点的轨迹方程为， 所以点的轨迹方程为，故①错误； 记，如图， 结合图形，则， 又，所以， 左侧等号当且仅当依次共线时取到， 右侧等号当且仅当依次共线时取到，故②正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列． （1）若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用无穷互补数列的定义判断即可. （2）判断数列的前512项是的所有整数，除去之后剩下的整数，再根据等差数列与等比数列的求和公式求解. 【小问1详解】 因为，，∴， 即，不满足②， 因此与不是无穷互补数列. 【小问2详解】 因为，所以， 因为与是无穷互补数列， 所以数列的前512项是的所有整数除去之后剩下的整数， 所以数列的前512项的和为： . 18. 某同学为了解我国文化教育普及程度，收集了我国部分省级行政区15岁及以上男性和女性的文盲人口比重（％）情况，经统计得到如下的茎叶图. （1）根据茎叶图判断男性样本数据和女性样本数据的离散程度，并求离散程度较小的样本数据的第80百分位数； （2）若女性样本数据的极差为12.7，求该样本数据的平均数与方差；（结果精确到0.1） （3）为了调查今年某地区15岁及以上男性和女性文盲人口情况，研究小组准备采用分层随机抽样方法抽取5000人进行调查.已知该地区15岁及以上的男性约有4.2百万人，女性约有3.8百万人.分别求出抽取的男性人数和女性人数. 【答案】（1） （2）平均数为，方差为 （3）男性人数为，女性人数为， 【解析】 【分析】(1)根据百分位数的定义即可求解； (2)根据平均数和，方差公式即可求解； (3)根据分层抽样方法即可求解. 【小问1详解】 由茎叶图可得女性样本数据较分散，男性样本数据较集中，故男生离散程度较小. 又因为茎叶图中数据从小到大排列，可知，男性共有30个数据，则第80百分位数为， 所以第80百分位数即为从小到大排列数中第24位与第25位的平均值，即， 【小问2详解】 由茎叶图可得， 又因为女性的极差为，所以， 所以， , 【小问3详解】 因为男性与女性人数之比为， 根据分层抽样，从5000人中抽取男性人数为人，女性人数为人. 19. 如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，点在PD上，且. （1）求点A到平面PBD的距离； （2）是棱PC的中点，证明：平面AEC． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据线面垂直的判定得平面ABCD，然后利用等体积法和棱锥的体积公式求解即可 (2)根据线面平行的判定可得平面AEC和平面AEC，由面面平行的判定可得平面BMF平面AEC，根据面面平行的性质和线面平行的定义即可得. 【小问1详解】 设AC与BD的交点为O， 底面是菱形的四棱锥中，， 所以菱形的边长为1， 所以， 得， 在中，，O是BD的中点， 所以，所以， 在中，，即，所以， 因为，在平面PAC中相交， 所以平面PAC，又平面PAC，所以， ，，在平面ABCD中相交于点O， 所以平面ABCD， 所以， 设点A到平面PBD的距离为d， 所以 ， 即， 【小问2详解】 取PE的中点M，连接FM，BM，则， 因为，平面AEC，平面AEC，所以//平面AEC， 由，知E是MD的中点， 因为O是BD的中点，所以， 因为，平面AEC，平面AEC，所以//平面AEC， 因为//平面AEC，//平面AEC，，FM，BM在平面BMF内相交于点M， 所以平面BMF平面AEC，又平面BMF， 所以平面AEC. 20. 设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F距离； （2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，． 【解析】 【分析】（1）方法一：设出点坐标，根据两点间距离公式求解出的值， 方法二：根据抛物线的定义，即可求得的值； （2）根据抛物线的性质，求得点坐标，即可求得的中点坐标，即可求得直线的方程，代入抛物线方程，即可求得点坐标，则的面积可求； （3）设坐标，根据求得直线的方程和点坐标，再根据求得点坐标，则根据可求得点坐标. 【详解】解：（1）方法一：由题意可知：设，则，∴； 法二：由题意设，由抛物线的性质可知：，∴； （2），，，，则， ∴，∴，设的中点， ∴，，则直线方程：， 联立，整理得：，解得：，（舍去）， ∴的面积； （3）存在，设，，则且，∴， 直线方程为，∴，， 又因为四边形为矩形，所以，则， ∴，解得：，即， ∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且． 【点睛】关键点点睛：解答本题第三问的关键在于利用矩形的两个特点去分析问题：（1），由此可知，利用坐标完成计算；（2）平行四边形法则，由此可知向量关系式. 21. 已知、，设函数的表达式为. （1）设，，求函数在点处的切线方程； （2）设，，集合，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量s，t，均有成立，求的取值范围； （3）当，，时，记，其中为正整数.求证：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）利用导数求斜率，由点斜式方程可得； （2）问题转化为，利用导数研究的单调性求最值，结合根据的单调性列不等式求解可得； （3）将问题转化为，令，利用二项式定理将和展开，利用组合数性质，结合基本不等式证明，然后放缩可证. 【小问1详解】 当，时，，求导得， 所以，切线斜率，由点斜式方程得， 整理得切线方程为. 【小问2详解】 由题知， 要使对上的任意两个变量s，t，均有成立，只需. 因为在上为严格增函数， 所以，且在上恒成立. 易知单调递减，所以只需，故， 由且可得， 所以在单调递减，所以，故，即. 综上，. 【小问3详解】 由题知，则， 令，因为，，所以，所以， 由二项式定理得， 又， 所以， 又， 且，当且仅当时等号成立， 所以， 同理且均在时等号成立， 所以， 综上，，即. 【点睛】关键点睛：第三问关键在于将问题转化为，然后利用二项式定理展开左边，结合组合数性质和基本不等式放缩即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$