第四章 4.1.2 第3课时 贝叶斯公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教B版2019）

*第3课时　贝叶斯公式 ［学习目标］　1.了解贝叶斯公式. 2.结合古典概型和全概率公式以及贝叶斯公式计算概率. 导语 贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763年首先提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用. 下面我们就共同来学习贝叶斯公式，了解它的本质和应用吧. 一、贝叶斯公式的概念 问题　已知某厂生产的奶制品优质品率为95%，而且优质品中包装达标的占90%；非优质品中，包装达标的占70%.如果从该厂生产的奶制品中，随机取了一袋，发现包装是达标的，若用A表示是优质品，B表示包装达标.则这袋奶制品是优质品的概率为多少(精确到0.1%)？ 提示　表示不是优质品，而且有 P(A)=95%，P(B|A)=90%，P(B|)=70%； 由乘法公式可得P(AB)= P(A)P(B|A)=95%×90%=85.5%. 由全概率公式可得 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =95%×90%+(1-95%)×70%=89%. 因此一袋包装达标的奶制品是优质品的概率为 P(A|B)==≈96.1%. 知识梳理 一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有 P(A|B)= =，这称为贝叶斯公式. 注意点： 公式P(A1|B)==反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系. 例1　根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)=0.95，P(|)=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005，试求P(C|A). 解　已知P(A|C)=0.95，P(A|)=1-P(|)=0.05，P(C)=0.005，P()=0.995，由贝叶斯公式，得P(C|A)= ≈0.087. 反思感悟　本题的结果表明，虽然P(A|C)=0.95，P(|)=0.95，这两个概率都比较高.但若将此试验用于普查，则有P(C|A)≈0.087，亦即其正确性只有8.7%(平均1 000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症).如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将P(A|C)和P(C|A)混淆了会造成不良的后果. 跟踪训练1　若P(B)=0.4，P(A|B)=0.35，P(A|)=0.2，则P(B|A)等于(　　) A.0.52 B.0.54 C.0.56 D.0.58 答案　B 解析　P(B|A)==≈0.54. 二、贝叶斯公式的应用 例2　(课本例5)某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%.某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率(精确到0.1%). 解　用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品. 则由已知有P(A)=80%，P(B|A)=95%， P(B|)=60%. 从而P()=1-80%=20%， 因此由贝叶斯公式可知 P(A|B)= =≈86.4%. 例2　设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，现有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 解　设B=“中途停车修理”，A1=“经过的是货车”，A2=“经过的是客车”，则B=A1B∪A2B， 由贝叶斯公式，得 P(A1|B)= ==0.8. 反思感悟　 利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算P(A)， 即P(A)=P(Bi)P(A|Bi)； 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入P(B|A)=求解. 跟踪训练2　对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%.试求某日早上的第一件产品合格时，机器调整良好的概率是多少？ 解　设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”. 则有P(A|B)=0.98，P(A|)=0.55，P(B)=0.95，P()=0.05， 由贝叶斯公式，得 P(B|A)= = ≈0.97. 即当生产出第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率为0.97. 三、定理2的应用 知识梳理 定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj=∅，i，j=1，2，…，n，i≠j； (2)A1+A2+…+An=Ω； (3)1>P(Ai)>0，i=1，2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)==. 上述公式也称为贝叶斯公式. 例3　小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)=0.5，P(L2)=0.3，P(L3)=0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)=0.2，P(C2)=0.4，P(C3)=0.7. 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 解　(1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示“到公司不迟到”，则 P(C)=P(L1)×P(C|L1)+P(L2)×P(C|L2)+P(L3)×P(C|L3) =P(L1)×P(C1)+P(L2)×P(C2)+P(L3)×P(C3) =0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7 =0.36. (2)P(L1|C)==≈0.28. 所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28. 反思感悟　若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确、高效. 跟踪训练3　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起. (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 解　设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则Ω=B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5， P(A|B1)=0.95，P(A|B2)=0.9，P(A|B3)=0.8. (1)由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86. (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)===， P(B2|A)===， P(B3|A)===. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小. 1.知识清单： (1)贝叶斯公式. (2)贝叶斯公式的应用. (3)定理2的应用. 2.方法归纳：化整为零、转化化归. 3.常见误区：不清楚公式P(A1|B)==的转化关系，导致套用错误. 1.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症.若男子和女子的人数相等，随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是(　　) A.95% B.5% C.25% D.26.25% 答案　A 解析　设A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子，C表示抽到的人患色盲症. 则P(A)=P(B)=， P(C|A)=0.05，P(C|B)=0.002 5， 由贝叶斯公式有 P(A|C)= = ≈95%. 2.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k=1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书.由全概率公式得 P(A)=P(Bk)P(A|Bk)=×+×+×=， P(B1|A)===÷=. 3.炮战中，在距目标250 m，200 m，150 m处射击的概率分别为0.1，0.7，0.2，而在该处射击命中目标的概率分别为0.05，0.1，0.2.现在已知目标被击毁，则击毁目标的炮弹是由距目标250 m处射出的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设B表示“目标被击毁”，A1，A2，A3分别表示距目标250 m，200 m，150 m处射击，则所求概率为P(A1|B)== = =. 4.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，通过化验，在患有此种疾病的人群中有95%的人化验结果为阳性，而健康的人中也会有1%的人化验结果为阳性，某地区此种病患者占人口数的0.5%.则： (1)某人化验结果为阳性的概率为　　　　；  (2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为　　　　.  答案　(1)1.47%　(2) 解析　A=“化验结果为阳性”，B=“患有此种病”. (1)P(A)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%. (2)P(B|A)===. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为(　　) A.0.012 5 B.0.362 C.0.468 D.0.034 5 答案　B 解析　所求概率为 ≈0.362. 2.已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　P==. 3.测谎仪是用来检测一个人是否说谎的仪器，经常用于征兵、安全部门的筛查、侦破、诉讼等领域，定义事件T=“检测出一个人在说谎”，L=“一个人真正说谎”.根据经验，P(T|L)=0.88，P(|)=0.86.假设P(L)=0.01.在一次试验中，检测出被测对象在说谎.按照上面所给资料，则这个人真正说谎的概率为(　　) A.0.84 B.0.147 4 C.0.06 D.0.088 答案　C 解析　P(T)=P(L)P(T|L)+P()P(T|) =0.01×0.88+0.99×0.14 =0.147 4. 由贝叶斯公式得 P(L|T)==≈0.06. 4.已知一批产品的次品率为4%，现有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为次品的概率为0.02，而次品被误认为正品的概率为0.05，若一产品通过检验被认为是正品，则它确实是正品的概率为(　　) A.0.995 B.0.996 C.0.997 D.0.998 答案　D 解析　设A表示“产品确实是正品”，B表示“一产品通过检验被认为是正品”，则表示“产品是次品”，表示“产品通过检验被认为是次品”. 由全概率公式得 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.96×0.98+0.04×0.05=0.942 8， 由贝叶斯公式得 P(A|B)== ≈0.998. 5.一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为.若已知他第二次及格，则他第一次及格的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　记Ai={该学生第i次考试及格}，i=1，2. 且已知P(A1)=p，P(A2|A1)=p，P()=1-p， P(A2|)=. 于是，由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=p(1+p). 由贝叶斯公式得P(A1|A2)==. 6.某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的.考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设事件A为“不知道正确答案”，事件B为“答对此题”， 则P(A)=，P(B|A)=，P(B|)=1. 所以所求概率为 P(A|B)= = ==. 7.(5分)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，若用事件A，分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品.若在市场上买一个灯泡为合格品，则买到的合格灯泡是甲厂生产的概率为　　　　.  答案　0.735 解析　B=AB+B且AB与B互斥. P(B)=P(AB+B)=P(AB)+P(B) =P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.7×0.95+0.3×0.8=0.905， P(A|B)== =≈0.735. 8.(5分)电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接收台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为　　　　.  答案　 解析　设A=收到“·”，B=发出“·”， 由贝叶斯公式，得 P(B|A)= ==. 9.(10分)小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8. (1)求小明放学时选择A路线的概率；(5分) (2)已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率.(5分) 解　(1)设A1=“上学时选择A路线”，B1=“上学时选择B路线”，A2=“放学时选择A路线”， 则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥， 根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5， P(A2|A1)=0.6，P(A2|B1)=0.8， 由全概率公式，得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7， 所以小明放学时选择A路线的概率为0.7. (2)P(B1|A2)====， 所以已知小明放学时选择A路线，则小明上学时选择B路线的概率为. 10.(12分)玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率；(6分) (2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.(6分) 解　设B=“顾客买下该箱玻璃杯”，Ai=“抽到的一箱中有i只残次品”，i=0，1，2. 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1只残次品或有2只残次品. 显然A0，A1，A2两两互斥. 由题意知P(A0)=0.8，P(A1)=0.1，P(A2)=0.1， P(B|A0)==1，P(B|A1)==，P(B|A2)==， (1)由全概率公式得 P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)≈0.94. (2)由贝叶斯公式，得 P(A0|B)=≈≈0.85. 11.AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是“AI”合成的情况下，它有98%的可能被鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能被鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为(　　) A.0.1% B.0.4% C.2.4% D.4% 答案　C 解析　记“视频是‘AI’合成的”为事件A，记“鉴定结果为‘AI’”为事件B， 则P(A)=0.001，P()=0.999，P(B|A)=0.98， P(B|)=0.04， 由贝叶斯公式得P(A|B)==≈0.024. 12.(多选)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%.则下列选项正确的是(　　) A.任取一个零件是第1台车床加工的次品的概率为0.06 B.任取一个零件是次品的概率为0.052 5 C.取得的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D.取得的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 答案　BC 解析　记Ai为事件“零件为第i(i=1，2，3)台车床加工的”，B为事件“任取一个零件为次品”， 则P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45， 即P(A1B)=P(A1)·P(B|A1) =0.25×0.06=0.015，A错误； P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5，B正确； P(A2|B)===，C正确； P(A3|B)===，D错误. 13.(5分)甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球.通过掷一枚骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，此球来自乙盒的概率为　　　　.  答案　 解析　设A1={摸出的球来自甲盒}，A2={摸出的球来自乙盒}，A3={摸出的球来自丙盒}，B={摸得白球}， 则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=. 由贝叶斯公式，得 P(A2|B)= ==. 14.(5分)袋中有10个黑球，5个白球.现掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为　　　　.  答案　 解析　设B={取出的球全是白球}， Ai={掷出i点}(i=1，2，…，6)，则由贝叶斯公式，得 P(A3|B)===. 15.(5分)设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4. (1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率为　　　　；  (2)若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为　　　　.  答案　(1)0.7　(2)0.8 解析　设A表示“枪已校正”，B表示“射击中靶”. 则P(A)=，P()=，P(B|A)=0.9， P(|A)=0.1，P(B|)=0.4，P(|)=0.6. (1)P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×0.9+×0.4=0.7. (2)P(|)= ==0.8. 16.(12分)假定具有症状S={S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现症状S的人数 d1 7 750 7 500 d2 5 250 4 200 d3 7 000 3 500 试问当一个具有症状S的病人前来诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段的情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合理？ 解　以A表示事件“患者出现症状S”， Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1，2，3)，由于该问题观察的人数很多，用事件的频率作为概率的近似值是合适的，由统计数字可知 P(D1)==0.387 5，P(D2)==0.262 5， P(D3)==0.35，P(A|D1)=≈0.967 7， P(A|D2)==0.8，P(A|D3)==0.5. 从而P(A)=P(A|D1)P(D1)+P(A|D2)P(D2)+P(A|D3)P(D3)≈0.967 7×0.387 5+0.8×0.262 5+0.5×0.35≈0.76. 由贝叶斯公式得 P(D1|A)=≈≈0.493 4， P(D2|A)=≈≈0.276 3， P(D3|A)=≈≈0.230 3， 从而推测病人患有疾病d1较为合理. 学科网（北京）股份有限公司 $$ *第3课时 第四章 <<< 贝叶斯公式 1.了解贝叶斯公式. 2.结合古典概型和全概率公式以及贝叶斯公式计算概率. 学习目标 贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763年首先提出的，经过 多年的发展和完善，由这一公式的思想已经发展成为一整 套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在计算机诊 断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用. 下面我们就共同来学习贝叶斯公式，了解它的本质和应用吧. 导 语 一、贝叶斯公式的概念 二、贝叶斯公式的应用 课时对点练 三、定理2的应用 随堂演练 内容索引 贝叶斯公式的概念 一 已知某厂生产的奶制品优质品率为95%，而且优质品中包装达标的占90%；非优质品中，包装达标的占70%.如果从该厂生产的奶制品中，随机取了一袋，发现包装是达标的，若用A表示是优质品，B表示包装达标.则这袋奶制品是优质品的概率为多少(精确到0.1%)？ 问题 提示　表示不是优质品，而且有 P(A)=95%，P(B|A)=90%，P(B|)=70%； 由乘法公式可得P(AB)= P(A)P(B|A)=95%×90%=85.5%. 由全概率公式可得 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =95%×90%+(1-95%)×70%=89%. 因此一袋包装达标的奶制品是优质品的概率为 P(A|B)==≈96.1%. 一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有 P(A|B)== ，这称为贝叶斯公式. 知识梳理 公式P(A1|B)==反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系. 注 意 点 <<< 9 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)=0.95，P(|)=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005，试求P(C|A). 例 1 已知P(A|C)=0.95，P(A|)=1-P(|)=0.05，P(C)=0.005，P()=0.995，由贝叶斯公式，得P(C|A)=≈0.087. 10 本题的结果表明，虽然P(A|C)=0.95，P(|)=0.95，这两个概率都比较高.但若将此试验用于普查，则有P(C|A)≈0.087，亦即其正确性只有8.7%(平均1 000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症).如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将P(A|C)和P(C|A)混淆了会造成不良的后果. 反 思 感 悟 11 若P(B)=0.4，P(A|B)=0.35，P(A|)=0.2，则P(B|A)等于 A.0.52 B.0.54 C.0.56 D.0.58 跟踪训练 1 √ P(B|A)==≈0.54. 12 二 贝叶斯公式的应用 (课本例5)某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%.某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率(精确到0.1%). 例 2 14 用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品. 则由已知有P(A)=80%，P(B|A)=95%， P(B|)=60%. 从而P()=1-80%=20%， 因此由贝叶斯公式可知 P(A|B)= =≈86.4%. 15 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，现有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 例 2 设B=“中途停车修理”，A1=“经过的是货车”，A2=“经过的是客车”，则B=A1B∪A2B， 由贝叶斯公式，得 P(A1|B)= ==0.8. 16 反 思 感 悟 第一步：利用全概率公式计算P(A)， 即P(A)=P(Bi)P(A|Bi)； 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入P(B|A)=求解. 利用贝叶斯公式求概率的步骤 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%.试求某日早上的第一件产品合格时，机器调整良好的概率是多少？ 跟踪训练 2 18 设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”. 则有P(A|B)=0.98，P(A|)=0.55，P(B)=0.95，P()=0.05， 由贝叶斯公式，得 P(B|A)= = ≈0.97. 即当生产出第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率为0.97. 19 定理2的应用 三 定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均　　　，即AiAj=∅，i，j=1，2，…，n，i≠j； (2)A1+A2+…+An=　　； (3)1>P(Ai)>0，i=1，2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)==　 . 上述公式也称为贝叶斯公式. 互斥 Ω 知识梳理 21 　 小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)=0.5，P(L2)=0.3，P(L3)=0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)=0.2，P(C2)=0.4，P(C3)=0.7. 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ 例 3 22 由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表 示“到公司不迟到”， 则P(C)=P(L1)×P(C|L1)+P(L2)×P(C|L2)+P(L3)× P(C|L3) =P(L1)×P(C1)+P(L2)×P(C2)+P(L3)×P(C3) =0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36. 23 (2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ P(L1|C)==≈0.28. 所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28. 24 反 思 感 悟 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确、高效. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起. (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； 跟踪训练 3 26 设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则Ω=B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5， P(A|B1)=0.95，P(A|B2)=0.9，P(A|B3)=0.8. 由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8 =0.86. 27 (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 由贝叶斯公式得 P(B1|A)===， P(B2|A)===， P(B3|A)===. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小. 28 1.知识清单： (1)贝叶斯公式. (2)贝叶斯公式的应用. (3)定理2的应用. 2.方法归纳：化整为零、转化化归. 3.常见误区：不清楚公式P(A1|B)==的转化关系，导致 套用错误. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症.若男子和女子的人数相等，随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是 A.95% B.5% C.25% D.26.25% 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 设A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子，C表示抽到的人患色盲症. 则P(A)=P(B)=， P(C|A)=0.05，P(C|B)=0.002 5， 由贝叶斯公式有 P(A|C)= = ≈95%. 2.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k=1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书.由全概率公式得 P(A)=P(Bk)P(A|Bk)=×+×+×=， P(B1|A)===÷=. 3.炮战中，在距目标250 m，200 m，150 m处射击的概率分别为0.1，0.7，0.2，而在该处射击命中目标的概率分别为0.05，0.1，0.2.现在已知目标被击毁，则击毁目标的炮弹是由距目标250 m处射出的概率为 A. B. C. D. 设B表示“目标被击毁”，A1，A2，A3分别表示距目标250 m，200 m， 150 m处射击，则所求概率为P(A1|B)== ==. √ 1 2 3 4 4.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，通过化验，在患有此种疾病的人群中有95%的人化验结果为阳性，而健康的人中也会有1%的人化验结果为阳性，某地区此种病患者占人口数的0.5%.则： (1)某人化验结果为阳性的概率为　　　　；  1 2 3 4 1.47% A=“化验结果为阳性”，B=“患有此种病”. P(A)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%. (2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为　　　　.  1 2 3 4 P(B|A)===. 课时对点练 五 1.设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为 A.0.012 5 B.0.362 C.0.468 D.0.034 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 所求概率为≈0.362. 2.已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为 A. B. C. D. P==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.测谎仪是用来检测一个人是否说谎的仪器，经常用于征兵、安全部门的筛查、侦破、诉讼等领域，定义事件T=“检测出一个人在说谎”，L=“一个人真正说谎”.根据经验，P(T|L)=0.88，P(|)=0.86.假设P(L)=0.01.在一次试验中，检测出被测对象在说谎.按照上面所给资料，则这个人真正说谎的概率为 A.0.84 B.0.147 4 C.0.06 D.0.088 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ P(T)=P(L)P(T|L)+P()P(T|) =0.01×0.88+0.99×0.14 =0.147 4. 由贝叶斯公式得P(L|T)==≈0.06. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知一批产品的次品率为4%，现有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为次品的概率为0.02，而次品被误认为正品的概率为0.05，若一产品通过检验被认为是正品，则它确实是正品的概率为 A.0.995 B.0.996 C.0.997 D.0.998 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A表示“产品确实是正品”，B表示“一产品通过检验被认为是正品”，则表示“产品是次品”，表示“产品通过检验被认为是次品”. 由全概率公式得 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.96×0.98+0.04×0.05=0.942 8， 由贝叶斯公式得 P(A|B)==≈0.998. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为.若已知他第二次及格，则他第一次及格的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记Ai={该学生第i次考试及格}，i=1，2. 且已知P(A1)=p，P(A2|A1)=p，P()=1-p， P(A2|)=. 于是，由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=p(1+p). 由贝叶斯公式得P(A1|A2)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的.考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A为“不知道正确答案”，事件B为“答对此题”， 则P(A)=，P(B|A)=，P(B|)=1. 所以所求概率为 P(A|B)= = ==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，若用事件A，分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品.若在市场上买一个灯泡为合格品，则买到的合格灯泡是甲厂生产的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.735 B=AB+B且AB与B互斥. P(B)=P(AB+B)=P(AB)+P(B) =P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.7×0.95+0.3×0.8=0.905， P(A|B)== =≈0.735. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接收台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A=收到“·”，B=发出“·”， 由贝叶斯公式，得 P(B|A)===. 9.小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8. (1)求小明放学时选择A路线的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A1=“上学时选择A路线”，B1=“上学时选择B路线”，A2=“放学时选择A路线”， 则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥， 根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5， P(A2|A1)=0.6，P(A2|B1)=0.8， 由全概率公式，得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7， 所以小明放学时选择A路线的概率为0.7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 (2)已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P(B1|A2)====， 所以已知小明放学时选择A路线，则小明上学时选择B路线的概率为. 10.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B=“顾客买下该箱玻璃杯”，Ai=“抽到的一箱中有i只残次品”，i=0，1，2. 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1只残次品或有2只残次品. 显然A0，A1，A2两两互斥. 由题意知P(A0)=0.8，P(A1)=0.1，P(A2)=0.1， P(B|A0)==1，P(B|A1)==，P(B|A2)==， 由全概率公式得P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)≈0.94. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 (2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由贝叶斯公式，得 P(A0|B)=≈≈0.85. 11.AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是“AI”合成的情况下，它有98%的可能被鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能被鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为 A.0.1% B.0.4% C.2.4% D.4% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 记“视频是‘AI’合成的”为事件A，记“鉴定结果为‘AI’”为事件B， 则P(A)=0.001，P()=0.999，P(B|A)=0.98， P(B|)=0.04， 由贝叶斯公式得P(A|B)==≈0.024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%.则下列选项正确的是 A.任取一个零件是第1台车床加工的次品的概率为0.06 B.任取一个零件是次品的概率为0.052 5 C.取得的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D.取得的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 记Ai为事件“零件为第i(i=1，2，3)台车床加工的”，B为事件“任取一个零件为次品”， 则P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45， 即P(A1B)=P(A1)·P(B|A1) =0.25×0.06=0.015，A错误； P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5，B正确； P(A2|B)===，C正确； P(A3|B)===，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球.通过掷一枚骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球 后，宣布摸得一个白球，此球来自乙盒的概率为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A1={摸出的球来自甲盒}，A2={摸出的球来自乙盒}，A3={摸出的球来自丙盒}，B={摸得白球}， 则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=. 由贝叶斯公式，得 P(A2|B)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.袋中有10个黑球，5个白球.现掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从 袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B={取出的球全是白球}， Ai={掷出i点}(i=1，2，…，6)，则由贝叶斯公式，得 P(A3|B)===. 拓广探究 15.设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4. (1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率为　　　　；  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.7 设A表示“枪已校正”，B表示“射击中靶”. 则P(A)=，P()=，P(B|A)=0.9， P(|A)=0.1，P(B|)=0.4，P(|)=0.6. P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×0.9+×0.4=0.7. (2)若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.8 P(|)= ==0.8. 16.假定具有症状S={S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 试问当一个具有症状S的病人前来诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段的情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合理？ 疾病 人数 出现症状S的人数 d1 7 750 7 500 d2 5 250 4 200 d3 7 000 3 500 以A表示事件“患者出现症状S”， Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1，2，3)，由于该问题观察的人数很多，用事件的频率作为概率的近似值是合适的，由统计数字可知 P(D1)==0.387 5，P(D2)==0.262 5， P(D3)==0.35，P(A|D1)=≈0.967 7， P(A|D2)==0.8，P(A|D3)==0.5. 从而P(A)=P(A|D1)P(D1)+P(A|D2)P(D2)+P(A|D3)P(D3)≈0.967 7×0.387 5+0.8×0.262 5+0.5×0.35≈0.76. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 由贝叶斯公式得 P(D1|A)=≈≈0.493 4， P(D2|A)=≈≈0.276 3， P(D3|A)=≈≈0.230 3， 从而推测病人患有疾病d1较为合理. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 第一章 <<< $$