第四章 4.1.2 第2课时 全概率公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教B版2019）

第2课时 第四章 <<< 全概率公式 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式. 2.会利用全概率公式解决简单的实际问题. 学习目标 王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，假设遇到拥堵会迟到，那么王先生上班迟到的概率是多少？这个概率怎么计算呢？ 导 语 一、全概率公式的概念 二、全概率公式的简单应用 课时对点练 三、定理1的应用 随堂演练 内容索引 全概率公式的概念 一 有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 问题 提示　设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1， 2，3)，事件A表示“取得红球”，其中B1， B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2， B3之一同时发生，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=×+×+×=. 因此，取得红球的概率为. 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B=BΩ=B(A+)=BA+B，如图所示，从而P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B)= P(A)P(B|A)+P()P(B|)(P(A)>0，P()>0)，即：P(B)=________________ 称为全概率公式. P(A)P(B|A)+ P()P(B|) 知识梳理 全概率公式实质上是互斥事件的概率加法公式，解题时需要把题中随机事件合理拆分. 注 意 点 <<< 9 分别在下列各条件下，求P(B)，P(A|B). (1)P(A)=0.5，P(B|A)=0.25，P(B|)=0.3； 例 1 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.5×0.25+(1-0.5)×0.3 =0.125+0.15=0.275. 又∵P(BA)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)， ∴0.5×0.25=P(B)·P(A|B)， ∴0.125=0.275·P(A|B)， ∴P(A|B)==. 10 (2)P()=0.6，P(B|A)=0.2，P(B|)=0.4. P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =(1-0.6)×0.2+0.6×0.4=0.08+0.24=0.32. 又∵P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)， ∴(1-0.6)×0.2=0.32×P(A|B)， ∴P(A|B)==. 11 (1)公式中BA与B是互斥的. (2)熟记公式P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|). 反 思 感 悟 12 (1)已知P(A)=，P(B|A)=，P(|)=，则P(B|)=　　　， P(B)=　　　.  跟踪训练 1 因为P(A)=，所以P()=1-P(A)=1-=. 因为P(|)=，所以P(B|)=1-P(|)=1-=， 所以由全概率公式可得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=. 13 (2)若P(BA)=0.35，P(B)=0.1，则P(B)=　　　　.  0.45 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=P(BA)+P(B)=0.35+0.1=0.45. 14 二 全概率公式的简单应用 (课本例3)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 例 2 16 如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生.则根据已知，有P(A)==，P()=1-=， 而且P(B|A)=，P(B|)=. 由全概率公式可知 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =×+×=. 17 设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率. 例 2 18 设B=“从仓库中随机提出的一台是合格品”， Ai=“提出的一台是第i车间生产的”，i=1，2， 则B=A1B∪A2B，由题意得P(A1)==0.4，P(A2)==0.6， P(B|A1)=0.85，P(B|A2)=0.88， 由全概率公式得 P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) =0.4×0.85+0.6×0.88=0.868. 19 反 思 感 悟 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与). (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 两个事件的全概率问题求解策略 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； 跟踪训练 2 记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω=A∪B，且A，B互斥， 由题意，得P(A)==，P(B)==， P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05， 由全概率公式， 得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=. 21 (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. P(A)==， P(B)==， P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05， 由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=×+×=. 22 定理1的应用 三 定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均　　　，即AiAj=∅，i，j=1，2，…，n，i≠j； (2)A1+A2+…+An=　　； (3)P(Ai)>0 ，i=1，2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B=BA1+BA2+…+BAn， 且P(B)=P(BAi)=　　　　　　　　　. 互斥 Ω P(Ai)P(B|Ai) 知识梳理 24 上述公式也称为全概率公式.n=3时的情形可借助下图来理解. 25 如图，B发生的概率与P(BAi)(i=1，2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即 P(B)=P(Ai)P(B|Ai). 在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为一系列条件下发生的概率的和. 注 意 点 <<< 26 　(课本例4)假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质品率的信息如表所示. 例 3 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质品率 95% 90% 70% 27 用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则依据已知可得 P(A1)=50%，P(A2)=30%，P(A3)=20%， 且P(B|A1)=95%，P(B|A2)=90%， P(B|A3)=70%. 因此，由全概率公式有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%. 28 　某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据： 例 3 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率. 29 设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i=1，2，3)，事件A表示取到的是一件次品，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A) =P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3) =0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03 =0.012 5. 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5. 30 　　　　 假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品的百分率和三种产品的优质率的信息如表所示： 延伸探究 产品种类 甲 乙 丙 百分率 60% 20% 20% 优质率 90% 85% 80% 在生产的产品中任取一件，求取到的产品是优质品的概率. 31 设事件B为“任取一件产品是优质品”，事件A1，A2，A3表示“所取到的产品分别是甲、乙、丙产品”，由已知得P(A1)=60%，P(A2)=20%，P(A3)=20%，且P(B|A1)=90%，P(B|A2)=85%，P(B|A3)=80%， 因此由全概率公式有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =60%×90%+20%×85%+20%×80% =54%+17%+16% =87%. 32 反 思 感 悟 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. “化整为零”求多事件的全概率问题 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； 跟踪训练 3 事件“从甲箱中任取2个产品”包含的样本点数为==28， 事件“这2个产品都是次品”包含的样本点数为=3， ∴这2个产品都是次品的概率为. 34 (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥. P(B1)==，P(B2)==，P(B3)==， P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=， ∴P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=. 35 1.知识清单： (1)全概率公式的概念. (2)全概率公式的简单应用. (3)定理1的应用. 2.方法归纳：化整为零、转化化归. 3.常见误区：事件拆分不合理或不全面. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知P(BA)=0.4，P(B)=0.2，则P(B)的值为 A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 因为P(BA)=P(A)P(B|A)，P(B)=P()P(B|)， 所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=P(BA)+P(B)=0.4+0.2=0.6. 1 2 3 4 √ 2.有朋自远方来，乘汽车、高铁、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，则他迟到的概率为 A.0.65 B.0.075 C.0.145 D.0.175 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 设A1=“他乘汽车来”，A2=“他乘高铁来”，A3=“他乘飞机来”，B=“他迟到”. 则Ω=A1∪A2∪A3， 且A1，A2，A3两两互斥， 由全概率公式得P(B)=P(Ai)P(B|Ai) =0.3×0.25+0.2×0.3+0.4×0.1=0.175. 3.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，先随机地取一个地区的报名表，再从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 设A表示事件“先取到的是女生报名表”，Bi表示事件“取到第i个地区的考生报名表”， i=1，2，3， ∴P(A)=P(Bi)P(A|Bi) =×+×+×=. 4.已知甲袋中有6只红球和4只白球；乙袋中有8只红球和6只白球，先随 机取一袋球，再从袋中随机取一球，该球是红球的概率为　　　；若合并两袋球，从中随机取一球，该球是红球的概率为　　　.  1 2 3 4 记B={该球是红球}，A1={取自甲袋}，A2={取自乙袋}， ∴P(B|A1)=，P(B|A2)=， ∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) =×+×=， 合并两袋后P(B)==. 1 2 3 4 课时对点练 五 1.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，先从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为 A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 以A1，A2，A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生 产的”，B表示“取得的X光片为次品”，P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=； 则由全概率公式，得所求概率为P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =×+×+×=0.08. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 2.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为 A.0.8 B.0.532 C.0.482 5 D.0.312 5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子”的事件是A1，A2，A3，A4， 则Ω=A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥， 设B表示事件“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”， 则P(B)=P(Ai)·P(B|Ai)=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%× 0.05=0.482 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.盒中有a个红球，b个黑球，先随机地从中取出一球，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A表示“第一次抽出的是黑球”，事件B表示“第二次抽出的是黑球”，则B=AB+B，由全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). 由题意得P(A)=，P(B|A)=， P()=，P(B|)=，所以P(B)=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.现在甲、乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D， 根据题意得，P(B)=P(C)=，P(D|B)=，P(D|C)=， 则P(D)=P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=×+×=， 所以在甲、乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随机各取一球(不放回)，则第二次取到黑球的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)=P(AB)+P(B) =P(A)P(B|A)+P()P(B|)， 由题设易知P(A)=，P()=， P(B|A)=，P(B|)=， 于是P(B)=×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，则当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.则当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 A.0.3 B.0.32 C.0.68 D.0.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设A1表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中锋”，A3表示“乙球员担当后卫”，A4表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”. 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4) =0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32， 所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1-0.32=0.68. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内装30件，其中18件优质品，现随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件， 则取到的是优质品的概率是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A=“取到的是优质品”，Bi=“打开的是第i箱”(i=1，2)， 则P(B1)=P(B2)=， P(A|B1)==，P(A|B2)==， 由全概率公式，得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格变化的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该只股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票价格将上涨的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64% 记事件A为“利率下调”，事件为“利率不变”，记事件B为“股票价格上涨”. 依题设知P(A)=60%，P()=40%，P(B|A)=80%，P(B|)=40%， 于是P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=60%×80%+40%× 40%=64%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，先从1号箱中随机取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问： (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱中取出红球的概率是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记事件A：从2号箱中取出的是红球， 事件B：从1号箱中取出的是红球. P(B)==，P()=1-=. P(A|B)==. (2)从2号箱中取出红球的概率是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵P(A|)==， ∴P(A)=P(AB)+P(A) =P(A|B)P(B)+P(A|)P()=×+×=. 10.设盒中装有5只灯泡，其中3只是正品，2只是次品，现从盒中随机地摸出2只，并换进2只正品之后，再从盒中摸出2只，求第二次摸出的2只全是正品的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件Ai=“第一次摸出i只正品”(i=0，1，2)，事件A=“第二次摸出的2只全是正品”， 则A=AA2∪AA1∪AA0. 由全概率公式得，第二次摸出的2只全是正品的概率P(A)=P(A∩A2)+ P(A∩A1)+P(A∩A0)=P(A2)P(A|A2)+P(A1)P(A|A1)+P(A0)P(A|A0). P(A0)==，P(A|A0)=1， P(A1)==，P(A|A1)==， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 P(A2)==，P(A|A2)==， 所以P(A)=×+×+×1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 11.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 令A1=“玩手机时间超过1 h”，A2=“玩手机时间不超过1 h”，B=“任意调查一人，此人近视”， 则Ω=A1∪A2，且A1，A2互斥，P(A1)=0.2，P(A2)=0.8，P(B|A1)=0.5，P(B)=0.4， 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2×0.5+0.8×P(B|A2)=0.4， 解得P(B|A2)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为 A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设事件A表示“从第一个盒子中取得标有字母A的球”， 事件B表示“从第一个盒子中取得标有字母B的球”， 事件R表示“第二次取出的球是红球”， 则P(A)=，P(B)=，P(R|A)=， P(R|B)=， P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B) =×+×=0.59. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.013 设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为 “任取一件为i厂的产品”，i=1，2，3.B1∪ B2∪B3=Ω，如图所示， 由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)， 又P(B1)=0.3，P(B2)=0.5，P(B3)=0.2，P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.01， 故P(A)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.01=0.013. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.袋中装有编号为1，2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，若该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回；然后再摸一次，则取到2号球 的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A表示事件“第一次取到1号球”，则表示事件“第一次取到的不是1号球”； B表示事件“最后取到的是2号球”，显然P(A)=，P()=，且P(B|A)=，P(B|)=， ∴P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=·+·=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后， 出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮 后出现红球的概率为Pn. (1)P2的值为　　　　；  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P2=×+×=. (2)若n∈N，n≥2，用Pn-1表示Pn的表达式为　　　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Pn=-Pn-1+ Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)×=-Pn-1+. 16.5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次. (1)若第一次取出的卡片不放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Bk表示事件“从5张卡片中取出一张标有数字k的卡片”，k=1，2，3，4，5. A表示事件“第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字”，则 P(Bk)=，P(A|Bk)=(k=1，2，3，4，5)， 由P(A)=P(Bk)·P(A|Bk)=· =×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 (2)若第一次取出的卡片放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出数字的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P(Bk)=，P(A|Bk)=(k=1，2，3，4，5)， ∴P(A)=P(Bk)P(A|Bk) =×=. 第一章 <<< $$ 第2课时　全概率公式 ［学习目标］　1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式.2.会利用全概率公式解决简单的实际问题. 导语 王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，假设遇到拥堵会迟到，那么王先生上班迟到的概率是多少？这个概率怎么计算呢？ 一、全概率公式的概念 问题　有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 提示　设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1，2，3)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=×+×+×=. 因此，取得红球的概率为. 知识梳理 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B=BΩ=B(A+)=BA+B，如图所示，从而P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)(P(A)>0，P()>0)，即：P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)称为全概率公式. 注意点： 全概率公式实质上是互斥事件的概率加法公式，解题时需要把题中随机事件合理拆分. 例1　分别在下列各条件下，求P(B)，P(A|B). (1)P(A)=0.5，P(B|A)=0.25，P(B|)=0.3； (2)P()=0.6，P(B|A)=0.2，P(B|)=0.4. 解　(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.5×0.25+(1-0.5)×0.3 =0.125+0.15=0.275. 又∵P(BA)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)， ∴0.5×0.25=P(B)·P(A|B)， ∴0.125=0.275·P(A|B)， ∴P(A|B)==. (2)P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =(1-0.6)×0.2+0.6×0.4=0.08+0.24=0.32. 又∵P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)， ∴(1-0.6)×0.2=0.32×P(A|B)， ∴P(A|B)==. 反思感悟　(1)公式中BA与B是互斥的. (2)熟记公式P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|). 跟踪训练1　 (1)已知P(A)=，P(B|A)=，P(|)=，则P(B|)=　　　　　，P(B)=　　　　　.  答案　　 解析　因为P(A)=，所以P()=1-P(A)=1-=.因为P(|)=，所以P(B|)=1-P(|)=1-=，所以由全概率公式可得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=. (2)若P(BA)=0.35，P(B)=0.1，则P(B)=　　　　　　.  答案　0.45 解析　P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=P(BA)+P(B)=0.35+0.1=0.45. 二、全概率公式的简单应用 例2　(课本例3)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 解　如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生.则根据已知，有P(A)==，P()=1-=， 而且P(B|A)=，P(B|)=. 由全概率公式可知 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =×+×=. 例2　设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率. 解　设B=“从仓库中随机提出的一台是合格品”， Ai=“提出的一台是第i车间生产的”，i=1，2， 则B=A1B∪A2B，由题意得P(A1)==0.4，P(A2)==0.6， P(B|A1)=0.85，P(B|A2)=0.88， 由全概率公式得 P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) =0.4×0.85+0.6×0.88=0.868. 反思感悟　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与). (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 跟踪训练2　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 解　记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω=A∪B，且A，B互斥， (1)由题意，得P(A)==，P(B)==， P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05， 由全概率公式， 得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=. (2)P(A)==， P(B)==， P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05， 由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=×+×=. 三、定理1的应用 知识梳理 定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj=∅，i，j=1，2，…，n，i≠j； (2)A1+A2+…+An=Ω； (3)P(Ai)>0 ，i=1，2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B=BA1+BA2+…+BAn， 且P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai). 上述公式也称为全概率公式.n=3时的情形可借助下图来理解. 注意点： 如图，B发生的概率与P(BAi)(i=1，2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)=P(Ai)P(B|Ai). 在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为一系列条件下发生的概率的和. 例3　(课本例4)假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质品率的信息如表所示. 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质品率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 解　用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则依据已知可得 P(A1)=50%，P(A2)=30%，P(A3)=20%， 且P(B|A1)=95%，P(B|A2)=90%， P(B|A3)=70%. 因此，由全概率公式有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%. 例3　某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率. 解　设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i=1，2，3)，事件A表示取到的是一件次品，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A) =P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3) =0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03 =0.012 5. 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5. 延伸探究　假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品的百分率和三种产品的优质率的信息如表所示： 产品种类 甲 乙 丙 百分率 60% 20% 20% 优质率 90% 85% 80% 在生产的产品中任取一件，求取到的产品是优质品的概率. 解　设事件B为“任取一件产品是优质品”，事件A1，A2，A3表示“所取到的产品分别是甲、乙、丙产品”，由已知得P(A1)=60%，P(A2)=20%，P(A3)=20%，且P(B|A1)=90%，P(B|A2)=85%，P(B|A3)=80%， 因此由全概率公式有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =60%×90%+20%×85%+20%×80% =54%+17%+16% =87%. 反思感悟　“化整为零”求多事件的全概率问题 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 跟踪训练3　甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 解　(1)事件“从甲箱中任取2个产品”包含的样本点数为==28， 事件“这2个产品都是次品”包含的样本点数为=3， ∴这2个产品都是次品的概率为. (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥. P(B1)==，P(B2)==，P(B3)==， P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=， ∴P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=. 1.知识清单： (1)全概率公式的概念. (2)全概率公式的简单应用. (3)定理1的应用. 2.方法归纳：化整为零、转化化归. 3.常见误区：事件拆分不合理或不全面. 1.已知P(BA)=0.4，P(B)=0.2，则P(B)的值为(　　) A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 答案　C 解析　因为P(BA)=P(A)P(B|A)，P(B)=P()P(B|)，所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=P(BA)+P(B)=0.4+0.2=0.6. 2.有朋自远方来，乘汽车、高铁、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，则他迟到的概率为(　　) A.0.65 B.0.075 C.0.145 D.0.175 答案　D 解析　设A1=“他乘汽车来”，A2=“他乘高铁来”，A3=“他乘飞机来”，B=“他迟到”. 则Ω=A1∪A2∪A3， 且A1，A2，A3两两互斥， 由全概率公式得P(B)=P(Ai)P(B|Ai) =0.3×0.25+0.2×0.3+0.4×0.1=0.175. 3.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，先随机地取一个地区的报名表，再从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设A表示事件“先取到的是女生报名表”，Bi表示事件“取到第i个地区的考生报名表”， i=1，2，3， ∴P(A)=P(Bi)P(A|Bi) =×+×+×=. 4.已知甲袋中有6只红球和4只白球；乙袋中有8只红球和6只白球，先随机取一袋球，再从袋中随机取一球，该球是红球的概率为　　　　；若合并两袋球，从中随机取一球，该球是红球的概率为　　　　.  答案　　 解析　记B={该球是红球}，A1={取自甲袋}，A2={取自乙袋}， ∴P(B|A1)=，P(B|A2)=， ∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) =×+×=， 合并两袋后P(B)==. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分 1.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，先从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　) A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2 答案　A 解析　以A1，A2，A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的”，B表示“取得的X光片为次品”，P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=； 则由全概率公式，得所求概率为P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =×+×+×=0.08. 2.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　) A.0.8 B.0.532 C.0.482 5 D.0.312 5 答案　C 解析　设“从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子”的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω=A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示事件“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)=P(Ai)·P(B|Ai)=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=0.482 5. 3.盒中有a个红球，b个黑球，先随机地从中取出一球，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设事件A表示“第一次抽出的是黑球”，事件B表示“第二次抽出的是黑球”，则B=AB+B，由全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). 由题意得P(A)=，P(B|A)=， P()=，P(B|)=，所以P(B)=+=. 4.甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.现在甲、乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D， 根据题意得，P(B)=P(C)=，P(D|B)=，P(D|C)=， 则P(D)=P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=×+×=， 所以在甲、乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率是. 5.一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随机各取一球(不放回)，则第二次取到黑球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)=P(AB)+P(B) =P(A)P(B|A)+P()P(B|)， 由题设易知P(A)=，P()=， P(B|A)=，P(B|)=， 于是P(B)=×+×=. 6.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，则当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.则当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为(　　) A.0.3 B.0.32 C.0.68 D.0.7 答案　C 解析　设A1表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中锋”，A3表示“乙球员担当后卫”，A4表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”. 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4) =0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32， 所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1-0.32=0.68. 7.(5分)有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内装30件，其中18件优质品，现随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是　　　　.  答案　 解析　设A=“取到的是优质品”，Bi=“打开的是第i箱”(i=1，2)， 则P(B1)=P(B2)=， P(A|B1)==，P(A|B2)==， 由全概率公式，得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=. 8.(5分)人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格变化的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该只股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票价格将上涨的概率为　　　　.  答案　64% 解析　记事件A为“利率下调”，事件为“利率不变”，记事件B为“股票价格上涨”. 依题设知P(A)=60%，P()=40%，P(B|A)=80%，P(B|)=40%， 于是P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=60%×80%+40%×40%=64%. 9.(10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，先从1号箱中随机取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问： (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱中取出红球的概率是多少？(4分) (2)从2号箱中取出红球的概率是多少？(6分) 解　记事件A：从2号箱中取出的是红球， 事件B：从1号箱中取出的是红球. P(B)==，P()=1-=. (1)P(A|B)==. (2)∵P(A|)==， ∴P(A)=P(AB)+P(A) =P(A|B)P(B)+P(A|)P()=×+×=. 10.(12分)设盒中装有5只灯泡，其中3只是正品，2只是次品，现从盒中随机地摸出2只，并换进2只正品之后，再从盒中摸出2只，求第二次摸出的2只全是正品的概率. 解　设事件Ai=“第一次摸出i只正品”(i=0，1，2)，事件A=“第二次摸出的2只全是正品”， 则A=AA2∪AA1∪AA0. 由全概率公式得，第二次摸出的2只全是正品的概率P(A)=P(A∩A2)+P(A∩A1)+P(A∩A0)=P(A2)P(A|A2)+P(A1)P(A|A1)+P(A0)P(A|A0). P(A0)==，P(A|A0)=1， P(A1)==，P(A|A1)==， P(A2)==，P(A|A2)==， 所以P(A)=×+×+×1=. 11.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　令A1=“玩手机时间超过1 h”，A2=“玩手机时间不超过1 h”，B=“任意调查一人，此人近视”，则Ω=A1∪A2，且A1，A2互斥，P(A1)=0.2，P(A2)=0.8，P(B|A1)=0.5，P(B)=0.4，则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2×0.5+0.8×P(B|A2)=0.4，解得P(B|A2)=，所以所求概率为. 12.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为(　　) A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64 答案　A 解析　设事件A表示“从第一个盒子中取得标有字母A的球”， 事件B表示“从第一个盒子中取得标有字母B的球”， 事件R表示“第二次取出的球是红球”， 则P(A)=，P(B)=，P(R|A)=， P(R|B)=， P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B) =×+×=0.59. 13.(5分)有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是　　　　.  答案　0.013 解析　设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i=1，2，3.B1∪B2∪B3=Ω，如图所示，由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)，又P(B1)=0.3，P(B2)=0.5，P(B3)=0.2，P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.01， 故P(A)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.01=0.013. 14.(5分)袋中装有编号为1，2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，若该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回；然后再摸一次，则取到2号球的概率为　　　　.  答案　 解析　设A表示事件“第一次取到1号球”，则表示事件“第一次取到的不是1号球”；B表示事件“最后取到的是2号球”，显然P(A)=，P()=，且P(B|A)=，P(B|)=， ∴P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=·+·=. 15.(5分)某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. (1)P2的值为　　　　；  (2)若n∈N，n≥2，用Pn-1表示Pn的表达式为　　　　.  答案　(1)　(2)Pn=-Pn-1+ 解析　(1)P2=×+×=. (2)Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)×=-Pn-1+. 16.(13分)5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次. (1)若第一次取出的卡片不放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率；(6分) (2)若第一次取出的卡片放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出数字的概率.(7分) 解　设Bk表示事件“从5张卡片中取出一张标有数字k的卡片”，k=1，2，3，4，5. A表示事件“第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字”，则 (1)P(Bk)=，P(A|Bk)=(k=1，2，3，4，5)， 由P(A)=P(Bk)·P(A|Bk)=· =×=. (2)P(Bk)=，P(A|Bk)=(k=1，2，3，4，5)， ∴P(A)=P(Bk)P(A|Bk) =×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$