第四章 4.1.1 第2课时 条件概率的性质与应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教B版2019）

第2课时　条件概率的性质与应用 ［学习目标］　1.掌握条件概率的性质.2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 导语 条件概率是概率的一种模型，该模型也具有概率的一切性质，让我们一起来学习吧！ 一、条件概率的性质 问题　若事件A，B互斥，则P(A∪B)= P(A)+P(B)，那么如何计算事件C发生的条件下，事件A或B发生的概率？ 提示　P((A∪B)|C)=P(A|C)+P(B|C). 知识梳理 条件概率的性质 假设A，B，C都是事件，且P(A)>0，则： (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)=1； (3)若B与C互斥，则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A). (4)设和B互为对立事件，则P(|A)=1-P(B|A). 注意点： (1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)=0，故P(B|A)=0. (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和. 例1　(课本例1)掷红、蓝两个均匀的骰子，设A：蓝色骰子的点数为5或6；B：两骰子的点数之和大于7.求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A). 解　用数对(x，y)来表示抛掷结果， 其中x表示红色骰子的点数， y表示蓝色骰子的点数， 则样本空间可记为 Ω=｛(x，y)|x，y=1，2，3，4，5，6｝， 而且样本空间可用图直观表示，如图， 图中每一个点代表一个样本点. 样本空间中，共包含36个样本点. 不难看出，A包含的样本点即图中的矩形框中的点， 共12个，因此P(A)==. B包含的样本点即图中三角框中的点， B∩A共包含9个样本点， 从而P(B∩A)==. 因此P(B|A)===. 例1　在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 解　设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C. 方法一　P(A)=，P(A∩B)==， P(A∩C)==. ∴P(B|A)===， P(C|A)===. ∴P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A) =+=. 故所求的概率为. 方法二　∵n(A)==9，n［(B∪C)∩A］=+=5， ∴P((B∪C)|A)=. 故所求的概率为. 延伸探究　在题设条件不变的情况下，求“在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或白球的概率”. 解　由缩小样本空间法求得在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或白球的概率P==. 反思感悟　条件概率的性质及应用 (1)利用公式P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”. (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率. 跟踪训练1　(1)某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率. 解　设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值班”，事件C为“周六晚上值班”， 则P(A)=，P(A∩B)=，P(A∩C)=，所以P(B|A)==，P(C|A)==. 故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=. (2)在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率. 解　设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则P(A)=. P(A∩B)==， P(A∩C)=， ∴P(B|A)===. P(C|A)===. ∴P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=+==. 即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为. 二、条件概率的应用 例2　(课本例2)已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%.求春季的一天里： (1)已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； (2)已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 解　记A：甲地下雨，B：乙地下雨， 则由已知可得P(A)=20%， P(B)=18%，P(A∩B)=12%. (1)需要求的是P(B|A)， 因此P(B|A)===. (2)需要求的是P(A|B)， 因此P(A|B)===. 例2　某车险险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的年度保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率. 解　(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. (2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(A∩B)=P(B)， 故P(B|A)====. 因此所求概率为. 反思感悟　首先根据实际问题求出P(A)，P(A∩B)，P(B)，然后利用条件概率公式，计算出概率. 跟踪训练2　甲、乙、丙等五人站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则乙、丙二人相邻的概率是　　　　.  答案　 解析　设“甲、乙二人相邻”为事件A，“乙、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，而P(A)==，A∩B表示事件“甲、乙相邻且乙、丙相邻”，故P(A∩B)==，于是P(B|A)==. 1.知识清单： (1)条件概率的性质. (2)条件概率的实际应用. 2.方法归纳：转化化归、对立统一. 3.常见误区：在实际问题中抽象不出条件概率模型. 1.某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　) A.0.2 B.0.33 C.0.5 D.0.6 答案　A 解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)===0.2， 所以该生数学不及格时，语文也不及格的概率为0.2. 2.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　P(A)==，P(A∩B)==，由条件概率的计算公式得 P(B|A)===. 3.已知纸箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶为合格品，2瓶为不合格品，现从纸箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取两次，若用A表示“第一次取到不合格的消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格的消毒液”，则P(B|A)=______________. 答案　 解析　由题意，令1，2，3，4表示合格品，5，6表示不合格品，若不放回地取两次， 设A=“第一次取到不合格的消毒液”， B= “第二次仍取到不合格的消毒液”， 所以n(A)=·=10，n(A∩B)=·=2， 故P(B|A)===. 4.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　　　.  答案　 解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D=B∪C且B与C互斥. 又P(A)==，P(A∩B)==， P(A∩C)==， 故P(D|A)=P((B∪C)|A) =P(B|A)+P(C|A) =+=. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.P(A|B)<P(AB) B.P(A|B)=是可能的 C.P(B|A)+P(|A)=1 D.若A，B互斥，则P(A|B)=P(B|A) 答案　BCD 解析　由条件概率公式P(A|B)=及0<P(B)≤1，知P(A|B)≥P(AB)，故A错误；当事件B包含事件A时，有P(AB)=P(A)，此时P(A|B)=，故B正确；P(B|A)+P(|A)===1，故C正确；A，B互斥，则P(AB)=0，根据条件概率公式得P(B|A)=P(A|B)=0，故D正确. 2.一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设一等品为a，b，c，二等品为A，B，“第二次取得一等品”所含样本点有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共12个，其中第一次取得二等品的样本点共有6个，所以所求概率为P==. 3.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得P(A)=，事件A∩B为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”， 若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况； 若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况， 故共有2×2+3×3=13(个)样本点， P(A∩B)==， 由条件概率的定义得P(B|A)==. 4.为解决某地区教师资源缺乏的问题，相关部门安排甲、乙、丙等6名优秀教师分批次参加支教，支教共分3批次进行，每批次支教需要同时安排2名教师，每名教师只参加1次支教，则在甲安排在第一批次的条件下，乙和丙安排在同一批次的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设“甲安排在第一批次”为事件A，“乙和丙安排在同一批次”为事件B， 则n(A)==30，n(AB)==6， 所以P(B|A)===. 5.(多选)为增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是(　　) A.P(A)= B.P(AB)= C.P(B|A)= D.P(B|)= 答案　ABC 解析　P(A)==，故A正确； P(AB)==，故B正确； P(B|A)===，故C正确； P()=1-P(A)=1-=， P(B)==， P(B|)===，故D错误. 6.某年的征兵体检工作中，需要从某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设事件A表示“有一名主任医师被选派”， B表示“另一名主任医师被选派”， P(A)=++=， P(A∩B)==，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为 P(B|A)===. 7.(5分)有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9.从这9张卡片中不放回地依次取2张卡片，事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B：“第二次取到的卡片标有偶数数字”，则P(B|A)=　　　　　.  答案　 解析　依题意P(A)=，P(AB)==， 所以P(B|A)===. 8.(5分)已知事件A和B是互斥事件，P(C)=，P(BC)=，P(A∪B|C)=，则P(A|C)=　　　　.  答案　 解析　由题意知， P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)=， P(B|C)===， 则P(A|C)=P(A∪B|C)-P(B|C)=-=. 9.(10分)某校从学校文艺部7名成员(4名男生和3名女生)中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)求男生甲被选中的概率；(3分) (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；(3分) (3)在要求被选中的两人中必须是一名男生和一名女生的条件下，求女生乙被选中的概率.(4分) 解　(1)从7名成员中挑选2名成员， 共有=21(种)情况， 记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点数为=6，故P(A)==. (2)记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P(AB)=， 由(1)知P(A)=， 故P(B|A)===. (3)记“被选中的两人为一名男生和一名女生”为事件C，事件C所包含的样本点数为×=12， 则P(C)==， “女生乙被选中”为事件B，则P(BC)==， 故P(B|C)===. 10.(10分)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(5分) (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.(5分) 解　设“第i次按对密码”为事件Ai(i=1，2)， 则A=A1∪(A2)表示“不超过2次就按对密码”. (1)因为事件A1与事件A2互斥，所以由概率的加法公式得P(A)=P(A1)+P(A2)=+=. (2)设“密码最后一位是偶数”为事件B，则 P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)=+=. 11.将三颗骰子各掷一次，设事件A表示“三个点数都不相同”，B表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为P(A|B)=，P(A∩B)====， P(B)=1-P()=1-=1-=. 所以P(A|B)===. 12.一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　记“第i(i=1，2)支是好晶体管”为事件Ai(其中i=1，2)，依题意知，要求的概率为P(A2|A1). 由P(A1)=，P(A1∩A2)==， 所以P(A2|A1)===. 13.(多选)为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动，抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖.则下列随机事件的概率正确的是(　　) A.某顾客抽奖一次中奖的概率是 B.某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是 C.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是 D.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是 答案　ABD 解析　顾客抽奖一次中奖的概率为==，故A选项正确； 顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是1-=1-=1-=，故B选项正确； 对于C，D选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球，再抽一个，抽到红球的概率是=，即中奖的概率是，故C选项错误，D选项正确. 14.(5分)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为　　　　.  答案　 解析　根据题意，甲获得冠军的概率为×+××+××=，其中甲获得冠军并且比赛进行了3局的概率为××+××=，所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率P==. 15.(5分)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，2张中至少有一张假钞的概率是　　　　，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率为　　　　.  答案　　 解析　设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有1张假钞”，则A|B为“将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞时，2张都是假钞”. 又P(A∩B)==，P(B)==， ∴P(A|B)==. 16.(12分)如图，三行三列的方阵有9个数aij(i=1，2，3，j=1，2，3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率. 解　设事件A=“任取的三个数中有a22”， 事件B=“三个数至少有两个数位于同行或同列”， 则=“三个数互不同行且不同列”， 依题意得n(A)==28，n(A∩)=2， 故P(|A)===， 则P(B|A)=1-P(|A)=1-=. 即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第四章 <<< 条件概率的性质与应用 1.掌握条件概率的性质. 2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 学习目标 条件概率是概率的一种模型，该模型也具有概率的一切性质，让我们一起来学习吧！ 导 语 一、条件概率的性质 二、条件概率的应用 课时对点练 随堂演练 内容索引 条件概率的性质 一 提示　P((A∪B)|C)=P(A|C)+P(B|C). 若事件A，B互斥，则P(A∪B)= P(A)+P(B)，那么如何计算事件C发生的条件下，事件A或B发生的概率？ 问题 条件概率的性质 假设A，B，C都是事件，且P(A)>0，则： (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)= ； (3)若B与C互斥，则P((B∪C)|A)= . (4)设和B互为对立事件，则P(|A)=1-P(B|A). 1 P(B|A)+P(C|A) 知识梳理 (1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)=0，故P(B|A)=0. (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和. 注 意 点 <<< 8 (课本例1)掷红、蓝两个均匀的骰子，设A：蓝色骰子的点数为5或6；B：两骰子的点数之和大于7.求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A). 例 1 9 用数对(x，y)来表示抛掷结果， 其中x表示红色骰子的点数， y表示蓝色骰子的点数， 则样本空间可记为Ω={(x，y)|x，y=1，2，3，4，5，6}， 而且样本空间可用图直观表示，如图， 图中每一个点代表一个样本点. 样本空间中，共包含36个样本点. 不难看出，A包含的样本点即图中的矩形框中的点， 共12个，因此P(A)==. 10 B包含的样本点即图中三角框中的点， B∩A共包含9个样本点， 从而P(B∩A)==. 因此P(B|A)===. 11 在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 例 1 12 设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C. 方法一　P(A)=，P(A∩B)==， P(A∩C)==. ∴P(B|A)===， P(C|A)===. ∴P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=. 故所求的概率为. 13 方法二　∵n(A)==9，n[(B∪C)∩A]=+=5， ∴P((B∪C)|A)=. 故所求的概率为. 14 在题设条件不变的情况下，求“在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或白球的概率”. 延伸探究 由缩小样本空间法求得在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或白球的概率P==. 15 (1)利用公式P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”. (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率. 反 思 感 悟 条件概率的性质及应用 16 (1)某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率. 跟踪训练 1 设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值班”，事件C为“周六晚上值班”， 则P(A)=，P(A∩B)=，P(A∩C)=，所以P(B|A)==，P(C|A)==. 故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A) =. 17 (2)在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率. 18 设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B， “第二张中三等奖”为事件C，则P(A)=. P(A∩B)==， P(A∩C)=， ∴P(B|A)===. P(C|A)===. ∴P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=+==. 即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为. 19 二 条件概率的应用 (课本例2)已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%.求春季的一天里： (1)已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； 例 2 记A：甲地下雨，B：乙地下雨， 则由已知可得P(A)=20%， P(B)=18%，P(A∩B)=12%. 需要求的是P(B|A)， 因此P(B|A)===. 21 (2)已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 需要求的是P(A|B)， 因此P(A|B)===. 22 某车险险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的年度保费与其上年度出险次数的关联如下： 例 2 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 23 设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； 24 设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(A∩B)=P(B)， 故P(B|A)====. 因此所求概率为. (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率. 25 反 思 感 悟 首先根据实际问题求出P(A)，P(A∩B)，P(B)，然后利用条件概率公式，计算出概率. 甲、乙、丙等五人站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻， 则乙、丙二人相邻的概率是　　　　.  跟踪训练 2 设“甲、乙二人相邻”为事件A，“乙、丙二人相邻”为事件B， 则所求概率为P(B|A)，而P(A)==，A∩B表示事件“甲、乙相邻且 乙、丙相邻”， 故P(A∩B)==，于是P(B|A)==. 27 1.知识清单： (1)条件概率的性质. (2)条件概率的实际应用. 2.方法归纳：转化化归、对立统一. 3.常见误区：在实际问题中抽象不出条件概率模型. 课堂小结 随堂演练 三 1.某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是 A.0.2 B.0.33 C.0.5 D.0.6 记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)===0.2， 所以该生数学不及格时，语文也不及格的概率为0.2. 1 2 3 4 √ 2.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于 A. B. C. D. P(A)==，P(A∩B)==， 由条件概率的计算公式得P(B|A)===. √ 1 2 3 4 3.已知纸箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶为合格品，2瓶为不合格品，现从纸箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取两次，若用A表示“第一次取到不合格的消毒液”，用B表示“第二次仍 取到不合格的消毒液”，则P(B|A)=_____. 1 2 3 4 1 2 3 4 由题意，令1，2，3，4表示合格品，5，6表示不合格品，若不放回地取两次， 设A=“第一次取到不合格的消毒液”， B= “第二次仍取到不合格的消毒液”， 所以n(A)=·=10，n(A∩B)=·=2， 故P(B|A)===. 4.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率 为　　　.  1 2 3 4 设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D=B∪C且B与C互斥. 又P(A)==，P(A∩B)==， P(A∩C)==， 故P(D|A)=P((B∪C)|A) =P(B|A)+P(C|A) =+=. 课时对点练 四 1.(多选)下列说法正确的是 A.P(A|B)<P(AB) B.P(A|B)=是可能的 C.P(B|A)+P(|A)=1 D.若A，B互斥，则P(A|B)=P(B|A) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 由条件概率公式P(A|B)=及0<P(B)≤1，知P(A|B)≥P(AB)，故A错误； 当事件B包含事件A时，有P(AB)=P(A)，此时P(A|B)=，故B正确； P(B|A)+P(|A)===1，故C正确； A，B互斥，则P(AB)=0，根据条件概率公式得P(B|A)=P(A|B)=0，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 2.一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是 A. B. C. D. 设一等品为a，b，c，二等品为A，B，“第二次取得一等品”所含样本点有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共12个， 其中第一次取得二等品的样本点共有6个，所以所求概率为P==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得P(A)=，事件A∩B为“第一次取到的是奇数且第二次取到的 是3的整数倍”， 若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况； 若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况， 故共有2×2+3×3=13(个)样本点， P(A∩B)==， 由条件概率的定义得P(B|A)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.为解决某地区教师资源缺乏的问题，相关部门安排甲、乙、丙等6名优秀教师分批次参加支教，支教共分3批次进行，每批次支教需要同时安排2名教师，每名教师只参加1次支教，则在甲安排在第一批次的条件下，乙和丙安排在同一批次的概率为 A. B. C. D. 设“甲安排在第一批次”为事件A，“乙和丙安排在同一批次”为事件B， 则n(A)==30，n(AB)==6， 所以P(B|A)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选)为增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是 A.P(A)= B.P(AB)= C.P(B|A)= D.P(B|)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ P(A)==，故A正确； P(AB)==，故B正确； P(B|A)===，故C正确； P()=1-P(A)=1-=， P(B)==， P(B|)===，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.某年的征兵体检工作中，需要从某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设事件A表示“有一名主任医师被选派”， B表示“另一名主任医师被选派”， P(A)=++=， P(A∩B)==， 则在有一名主任医师被选派的条件下， 两名主任医师都被选派的概率为P(B|A)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9.从这9张卡片中不放回地依次取2张卡片，事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”， 事件B：“第二次取到的卡片标有偶数数字”，则P(B|A)=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意P(A)=，P(AB)==， 所以P(B|A)===. 8.已知事件A和B是互斥事件，P(C)=，P(BC)=，P(A∪B|C)=，则P(A|C)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知， P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)=， P(B|C)===， 则P(A|C)=P(A∪B|C)-P(B|C)=-=. 9.某校从学校文艺部7名成员(4名男生和3名女生)中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)求男生甲被选中的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从7名成员中挑选2名成员， 共有=21(种)情况， 记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点数为=6， 故P(A)==. (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B， 则P(AB)=， 由(1)知P(A)=， 故P(B|A)===. (3)在要求被选中的两人中必须是一名男生和一名女生的条件下，求女生乙被选中的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“被选中的两人为一名男生和一名女生”为事件C，事件C所包含的样本点数为×=12， 则P(C)==， “女生乙被选中”为事件B，则P(BC)==， 故P(B|C)===. 10.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“第i次按对密码”为事件Ai(i=1，2)， 则A=A1∪(A2)表示“不超过2次就按对密码”. 因为事件A1与事件A2互斥，所以由概率的加法公式得P(A)=P(A1)+ P(A2)=+=. (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“密码最后一位是偶数”为事件B， 则P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)=+=. 11.将三颗骰子各掷一次，设事件A表示“三个点数都不相同”，B表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于 A. B. C. D. 因为P(A|B)=，P(A∩B)====， P(B)=1-P()=1-=1-=. 所以P(A|B)===. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为 A. B. C. D. 记“第i(i=1，2)支是好晶体管”为事件Ai(其中i=1，2)，依题意知，要求的概率为P(A2|A1). 由P(A1)=，P(A1∩A2)==， 所以P(A2|A1)===. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动，抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖.则下列随机事件的概率正确的是 A.某顾客抽奖一次中奖的概率是 B.某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是 C.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的 　概率是 D.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的 　概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 顾客抽奖一次中奖的概率为==，故A选项正确； 顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是1-=1-=1-= ，故B选项正确； 对于C，D选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球， 再抽一个，抽到红球的概率是=，故C选项错 误，D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，甲获得冠军的概率为×+××+××=， 其中甲获得冠军并且比赛进行了3局的概率为××+××=， 所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率P==. 拓广探究 15.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，2张中至少有一张假 钞的概率是　　　　，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有1张假钞”，则A|B为“将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞时，2张都是假钞”. 又P(A∩B)==，P(B)==， ∴P(A|B)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，三行三列的方阵有9个数aij(i=1，2，3，j=1，2，3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A=“任取的三个数中有a22”， 事件B=“三个数至少有两个数位于同行或同列”， 则=“三个数互不同行且不同列”， 依题意得n(A)==28，n(A∩)=2， 故P(|A)===， 则P(B|A)=1-P(|A)=1-=. 即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 第一章 <<< $$