第三章 排列、组合与二项式定理 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教B版2019）

第三章 <<< 章末复习课 知识网络 一、两个计数原理 二、排列与组合的综合应用 三、二项式定理及其应用 内容索引 两个计数原理 一 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性. 2.掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养. (1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为 A.484 B.472 C.252 D.232 例 1 √ 根据题意，共有种取法，其中每一种卡片各取3张，有4种取法，取2张绿色卡片有·种取法， 故所求的取法共有-4-·=472(种). 6 (2)设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为 A.(34，34) B.(43，34) C.(34，43) D.(，) √ 首先每名学生报名有3种选择， 根据分步乘法计数原理知4名学生共有34种选择， 每项冠军有4种可能结果， 根据分步乘法计数原理知3项冠军共有43种可能结果. 7 (3)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9个：11，22，33，…，99；3位“回文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…，999，则 ①4位“回文数”有　　　　个；  90 4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零， 第一步，选千位和个位数字，有9种选法； 第二步，选中间两位数字，有10种选法， 故4位“回文数”有9×10=90(个). 8 ②2n+1(n∈N+)位“回文数”有　　　　个.  9×10n 第一步，选左边第一个数字，有9种选法； 第二步，分别选左边第2，3，4，…，n，n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n(种)选法，故2n+1(n∈N+)位“回文数”有9×10n个. 9 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算. 反 思 感 悟 应用两个计数原理计数的四个步骤 10 (1)从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有　　个. (用数字作答)  跟踪训练 1 60 11 1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. 分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有个； ②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有2个； ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，满足条件的三位数有·个. 所以满足条件的三位数共有+2+·=60(个). 12 (2)由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有　　　　种.  30 从4人中选出两个人作为一个元素有种方案，同其他两个元素在三个位置上排列有=36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛，共有=6(种)方案，所以不同的参赛方案共有36-6=30(种). 13 二 排列与组合的综合应用 1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则. 2.明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养. 在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ 例 2 第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有=5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有=24(种)方法. 根据分步乘法计数原理， 一共有5 040×24=120 960(种)安排顺序. 16 (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ 第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有=720(种)方法. ×□×□×□×□×□×□× 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有=840(种)方法. 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604 800(种)安排顺序. 17 (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的顺序有==132(种). 18 反 思 感 悟 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题. (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接. (3)对于含有“至多”“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净. 解决排列、组合综合问题要注意以下几点 6个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演. (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ 跟踪训练 2 要完成这件事分三步. 第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有种不同的排法； 第二步，前排4人进行全排列，有种不同的排法； 第三步，后排4人进行全排列，有种不同的排法. 由分步乘法计数原理知，有=40 320(种)不同的排法. 20 (2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 思路与(1)相同，有=5 760(种)不同的排法. 21 二项式定理及其应用 三 1.二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解. 2.二项式原理所体现的是一种数学运算素养. 23 　(1)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 例 3 角度1　二项展开式的“赋值问题” √ 24 在(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中， 令x=1，得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4； 令x=-1，得(-2+)4=a0-a1+a2-a3+a4. 两式相乘，得 (2+)4·(-2+)4=(a0+a1+a2+a3+a4)·(a0-a1+a2-a3+a4). 所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(-4+3)4=1. 25 (2)若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0(x∈C)，求(a0+a2+a4+a6+a8+ a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2. 令x=1，得a0+a1+…+a10=25； 令x=-1，得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65. 两式相乘，得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=25×65=125. 26 反 思 感 悟 (1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征. (2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x=-1，x=0，x=1等等，具体视情况而定. (3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可. “赋值法”在二项展开式中的应用 若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11，则a1+a2+a3+…+a11的值为　　　　.  跟踪训练 3 5 令x=2，得a0=(22+1)(2-3)9=-5， 令x=3，则a0+a1+a2+a3+…+a11=(32+1)(3-3)9=0， 所以a1+a2+a3+…+a11=-a0=5. 28 　已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； 例 4 角度2　二项展开式的特定项问题 29 由(-2)4∶(-2)2=56∶3， 解得n=10(负值舍去)， 通项为Tk+1=)10-k =(-2)k， 当5-为整数时，k可取0，6， 于是有理项为T1=x5和T7=13 440. 30 (2)求展开式中系数的绝对值最大的项； 设第k+1项系数的绝对值最大，则 解得≤k≤， 又因为k∈N，所以k=7， 当k=7时，T8=-15 360， 又因为当k=0时，T1=x5， 当k=10时，T11=(-2)10=1 024， 所以系数的绝对值最大的项为T8=-15 360. 31 (3)求n+9+81+…+9n-1的值. 原式=10+9+81+…+910-1 = = ==. 32 反 思 感 悟 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项. (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数. (4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质. 二项式特定项的求解策略 已知(-)n的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024. (1)求展开式的所有有理项(指数为整数)； 跟踪训练 4 由题意得，2n=1 024，解得n=10， ∴展开式的通项为 Tk+1=)10-k(-)k=(-1)k =(-1)k(k=0，1，…，10)， 令5-∈Z，得k=0，6. ∴有理项为T1=x5=x5，T7=x4=210x4. 34 (2)求(1-x)3+(1-x)4+…+(1-x)n的展开式中x2项的系数. ∵+=， ∴=-， ∴x2项的系数为++…+=(-)+(-)+…+(-)=- =164. 35 第一章 <<< $$ 一、两个计数原理 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性. 2.掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为(　　) A.484 B.472 C.252 D.232 答案　B 解析　根据题意，共有种取法，其中每一种卡片各取3张，有4种取法，取2张绿色卡片有·种取法，故所求的取法共有-4-·=472(种). (2)设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为(　　) A.(34，34) B.(43，34) C.(34，43) D.(，) 答案　C 解析　首先每名学生报名有3种选择， 根据分步乘法计数原理知4名学生共有34种选择， 每项冠军有4种可能结果， 根据分步乘法计数原理知3项冠军共有43种可能结果. (3)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9个：11，22，33，…，99；3位“回文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…，999，则 ①4位“回文数”有　　　　个；  ②2n+1(n∈N+)位“回文数”有　　　　个.  答案　①90　②9×10n 解析　①4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零， 第一步，选千位和个位数字，有9种选法； 第二步，选中间两位数字，有10种选法， 故4位“回文数”有9×10=90(个). ②第一步，选左边第一个数字，有9种选法； 第二步，分别选左边第2，3，4，…，n，n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n(种)选法，故2n+1(n∈N+)位“回文数”有9×10n个. 反思感悟　应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算. 跟踪训练1　(1)从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有　　　　个.(用数字作答)  答案　60 解析　1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. 分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有个； ②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有2个； ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，满足条件的三位数有·个. 所以满足条件的三位数共有 +2+·=60(个). (2)由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有　　　　种.  答案　30 解析　从4人中选出两个人作为一个元素有种方案，同其他两个元素在三个位置上排列有=36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛，共有=6(种)方案，所以不同的参赛方案共有36-6=30(种). 二、排列与组合的综合应用 1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则. 2.明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养. 例2　在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 解　(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有=5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有=24(种)方法. 根据分步乘法计数原理， 一共有5 040×24=120 960(种)安排顺序. (2)第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有=720(种)方法. ×□×□×□×□×□×□× 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有=840(种)方法. 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604 800(种)安排顺序. (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的顺序有==132(种). 反思感悟　解决排列、组合综合问题要注意以下几点 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题. (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接. (3)对于含有“至多”“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净. 跟踪训练2　6个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演. (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ (2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 解　(1)要完成这件事分三步. 第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有种不同的排法； 第二步，前排4人进行全排列，有种不同的排法； 第三步，后排4人进行全排列，有种不同的排法. 由分步乘法计数原理知，有=40 320(种)不同的排法. (2)思路与(1)相同，有=5 760(种)不同的排法. 三、二项式定理及其应用 1.二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解. 2.二项式原理所体现的是一种数学运算素养. 角度1　二项展开式的“赋值问题” 例3　(1)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　C 解析　在(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中， 令x=1，得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4； 令x=-1，得(-2+)4=a0-a1+a2-a3+a4. 两式相乘，得 (2+)4·(-2+)4=(a0+a1+a2+a3+a4)·(a0-a1+a2-a3+a4). 所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(-4+3)4=1. (2)若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0(x∈C)，求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2. 解　令x=1，得a0+a1+…+a10=25； 令x=-1，得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65. 两式相乘，得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=25×65=125. 反思感悟　“赋值法”在二项展开式中的应用 (1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征. (2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x=-1，x=0，x=1等等，具体视情况而定. (3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可. 跟踪训练3　若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11，则a1+a2+a3+…+a11的值为　　　　.  答案　5 解析　令x=2，得a0=(22+1)(2-3)9=-5， 令x=3，则a0+a1+a2+a3+…+a11=(32+1)(3-3)9=0， 所以a1+a2+a3+…+a11=-a0=5. 角度2　二项展开式的特定项问题 例4　已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数的绝对值最大的项； (3)求n+9+81+…+9n-1的值. 解　(1)由(-2)4∶(-2)2=56∶3， 解得n=10(负值舍去)， 通项为Tk+1=)10-k =(-2)k， 当5-为整数时，k可取0，6， 于是有理项为T1=x5和T7=13 440. (2)设第k+1项系数的绝对值最大，则 解得≤k≤， 又因为k∈N，所以k=7， 当k=7时，T8=-15 360， 又因为当k=0时，T1=x5， 当k=10时，T11=(-2)10=1 024， 所以系数的绝对值最大的项为T8=-15 360. (3)原式=10+9+81+…+910-1 = = ==. 反思感悟　二项式特定项的求解策略 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项. (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数. (4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质. 跟踪训练4　已知(-)n的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024. (1)求展开式的所有有理项(指数为整数)； (2)求(1-x)3+(1-x)4+…+(1-x)n的展开式中x2项的系数. 解　(1)由题意得，2n=1 024，解得n=10， ∴展开式的通项为 Tk+1=)10-k(-)k=(-1)k =(-1)k(k=0，1，…，10)， 令5-∈Z，得k=0，6. ∴有理项为T1=x5=x5，T7=x4=210x4. (2)∵+=， ∴=-， ∴x2项的系数为++…+=(-)+(-)+…+(-)=-=164. 学科网（北京）股份有限公司 $$