第三章 3.3 第1课时 二项式定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教B版2019）

第1课时　二项式定理 ［学习目标］　1.能用基本计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 导语 艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643—1727)英国科学家.他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？ 一、二项式定理 问题1　观察下列几个等式： (a+b)1=a+b； (a+b)2=a2+2ab+b2； (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 你能发现它们有什么样的规律吗？你能发现各等式右侧是如何形成的吗？ 提示　右侧展开式的项数比左侧的次数大1，展开式的系数具有一定的对称性，各式均按照a的降幂顺序或者b的升幂顺序进行排列的，各项的系数与组合数有某种关系；以(a+b)2为例：(a+b)2是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有2×2=22项，而且每一项都是a2-kbk(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数，即a2-kbk的系数是. 问题2　你能根据问题1的分析，写出(a+b)5的展开式吗？ 提示　(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5. 知识梳理 二项式定理 一般地，当n是正整数时，有(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn. 上述公式称为二项式定理. (1)展开式：等式右边的式子称为(a+b)n的展开式，它共有n+1项. (2)二项式系数：各项的系数(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数. (3)通项公式：(a+b)n展开式的第k+1项叫做二项展开式的通项公式，记作Tk+1=an-kbk. 注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换. (4)二项式系数与二项展开式项的系数不同. 例1　(课本例1)写出(2-x)5的展开式. 解　在二项式定理中令a=2，b=-x，n=5， 可得(2-x)5=25+24(-x)+23(-x)2+22(-x)3+2(-x)4+(-x)5=32-80x+80x2-40x3+10x4-x5. 例1　求的展开式. 解　方法一　=(3)4+(3)3·+(3)2+(3+ =81x2+108x+54++. 方法二　==(1+3x)4 =［1+·3x+(3x)2+(3x)3+(3x)4］ =(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2. 反思感悟　求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 跟踪训练1　求的展开式. 解　方法一　＝(2x)5＋(2x)4·＋(2x)3＋(2x)2＋(2x)＋ =32x5-120x2＋-＋-. 方法二　== =［(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4+(-3)5］ =32x5-120x2+-+-. 二、二项式定理的逆用 例2　(1)化简：1+2+4+…+2n. 解　原式=·1n·20+·1n-1·2+·1n-2·22+…+2n=(1+2)n=3n. (2)化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 解　原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-·(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0==(2x)5=32x5. 延伸探究　若将本例(1)中的式子变为“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化简结果. 解　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n. 反思感悟　逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a-b)n的形式. 跟踪训练2　化简：(x+1)n-(x+1)n-1+-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 解　原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n=［(x+1)+(-1)］n=xn. 三、二项展开式通项的应用 例3　(课本例3)求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数. 解　因为=(2+)6， 所以展开式中的第k+1项为 Tk+1=(2)6-k()k=26-k =26-kx3-k. 要得到常数项，必须有3-k=0，从而有k=3，因此常数项是第4项，且T4=26-3x3-3=160. 从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为=20. 例3　若展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中含x的一次项； (2)展开式中所有的有理项. 解　(1)由已知可得+·=2·， 即n2-9n+8=0，解得n=8或n=1(舍去). 所以展开式的通项为 Tk+1=)8-k=2-k， 令4-k=1，解得k=4. 所以含x的一次项为T5=2-4x=x. (2)令4-k∈Z，且0≤k≤8，则k=0，4，8，所以展开式的有理项分别为 T1=x4，T5=x，T9=. 反思感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk=an-k+1bk-1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； ③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 跟踪训练3　在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x2的项. 解　(1)第3项的二项式系数为=15， 又T3=(2)4=240x， 所以第3项的系数为240. (2)展开式的通项为Tk+1=(2)6-k=(-1)k26-kx3-k， 令3-k=2，解得k=1， 所以含x2的项为第2项，且T2=-192x2. 1.知识清单： (1)二项展开式的形成过程. (2)二项式定理的正用与逆用. (3)二项展开式的通项的应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：二项式系数与系数的区别，an-kbk是展开式的第k+1项. 1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是(　　) A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1) 答案　B 解析　展开式的项数比二项式的指数大1. 2.的展开式中的第4项是(　　) A.56x3 B.84x3 C.56x4 D.84x4 答案　B 解析　T4=x6=84x3. 3.二项式的展开式中，常数项是　　　　.  答案　240 解析　二项式的第k+1项为 Tk+1=(2x)6-k=26-kx6-3k， 令6-3k=0，解得k=2， 所以常数项是·24=240. 4.在的展开式中，则 (1)第5项的二项式系数为　　　　　，系数为　　　　　；  (2)x2的系数为　　　　　.  答案　(1)70　1 120　(2)112 解析　(1)因为T5=(2x2)4·=24·，所以第5项的二项式系数是=70，第5项的系数是·24=1 120. (2)的展开式的通项为Tk+1=(2x2)8-k=(-1)k·28-k·，根据题意得16-k=2，解得k=6， 因此x2的系数是(-1)6·28-6=112. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若的展开式有16项，则自然数n的值为(　　) A.9 B.10 C.11 D.16 答案　B 解析　因为的展开式共有n+6项，所以n+6=16，解得n=10. 2.展开式中的常数项为(　　) A.第5项 B.第5项或第6项 C.第6项 D.不存在 答案　C 解析　根据题意，展开式中的通项为Tk+1=x10-k=x10-2k， 令10-2k=0，可得k=5，则其常数项为第5+1=6项. 3.在(a+b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n等于(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　A 解析　由已知得=，可知n=1+5=6. 4.(x-y)10的展开式中x6y4项的系数是(　　) A.840 B.-840 C.210 D.-210 答案　A 解析　在通项Tk+1=x10-k(-y)k中，令k=4，即得(x-y)10的展开式中x6y4项的系数为×(-)4=840. 5.若实数a=2-，则a10-2a9+22a8-…+210等于(　　) A.32 B.-32 C.1 024 D.512 答案　A 解析　因为a=2-，所以a10-2a9+22a8-…+210=(a-2)10=(2--2)10=(-)10=25=32. 6.(多选)对于二项式(n∈N+)，下列判断正确的有(　　) A.存在n∈N+，展开式中有常数项 B.对任意n∈N+，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N+，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N+，展开式中有x的一次项 答案　AD 解析　二项式的展开式的通项为Tk+1=x4k-n，由通项可知，当n=4k(k∈N+)和n=4k-1(k∈N+)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项，故AD正确. 7.(5分)若二项式(1+2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n=　　　　.  答案　8 解析　(1+2x)n的展开式的通项为Tk+1=(2x)k=2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以23=422，解得n=8. 8.(5分)(2024·天津)在的展开式中，常数项为　　　　.  答案　20 解析　因为的展开式的通项为 Tk+1= =36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6， 令6(k-3)=0，可得k=3， 所以常数项为30=20. 9.(10分)已知的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值；(5分) (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.(5分) 解　(1)因为T3=)n-2=4， T2=)n-1=-2， 依题意得4+2=162，所以2+=81， 所以n2=81，又n∈N+，解得n=9. (2)设第k+1项含x3项，则Tk+1=)9-k·=(-2)k，所以=3， 解得k=1， 所以含x3的项为T2=-2x3=-18x3. 二项式系数为=9. 10.(11分)已知(+)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍. (1)求n的值；(5分) (2)写出它展开式中的所有有理项.(6分) 解　(1)(+)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是，，. 依题意得+=2， 即+=2·， 化简得90+(n-9)(n-8)=20(n-8)， 即n2-37n+322=0， 解得n=14或n=23， 因为n<15，所以n=14. (2)展开式的通项为Tk+1=·= ·=， 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 当k=0时，T1=x7=x7； 当k=6时，T7=x6=3 003x6； 当k=12时，T13=x5=91x5. 11.(多选)若的展开式中存在常数项，则n的值可能为(　　) A.16 B.10 C.5 D.2 答案　BC 解析　的展开式的通项公式为Tk+1=x2n-k=(-1)k，令=0，得k=，又k∈N，n∈N+，所以结合选项知n可取5和10. 12.对任意实数x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为(　　) A.3 B.6 C.9 D.21 答案　B 解析　∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2·2+(x-2)·22+·23=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3，∴a2=6. 13.(5分)已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N，n>4)，若2a2+an-3=0，则n=　　　　.  答案　8 解析　(1-x)n的展开式的通项公式为Tk+1=(-x)k，所以ak=(-1)k·(k=0，1，2，…，n).由2a2+an-3=0，得2(-1)2·+(-1)n-3=0，即2×-=0，所以n-2=6，解得n=8. 14.(5分)已知在的展开式中，第9项为常数项，则： (1)n的值为　　　　；  (2)含x的整数次幂的项有　　　　个.  答案　(1)10　(2)6 解析　二项展开式的通项为Tk+1=·=(-1)k. (1)因为第9项为常数项，所以当k=8时，2n-k=0，解得n=10. (2)要使20-k为整数，需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项. 15.在的展开式中，x2项的系数为(　　) A.30 B.45 C.60 D.90 答案　B 解析　在的展开式中，通项公式为Tr+1=. 对于，通项公式为Tk+1=xr-2 023k，k≤r，r，k∈N，r≤10. 令r-2 023k=2，可得r=2+2 023k， 故k=0，r=2， 故x2项的系数为·=45. 16.(12分) 已知f(x)=(1+x)m，g(x)=(1+2x)n(m，n∈N+). (1)若m=3，n=4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；(5分) (2)令h(x)=f(x)+g(x)，h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？(7分) 解　(1)当m=3，n=4时， f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4. (1+x)3展开式的通项为Tr+1=xr， (1+2x)4展开式的通项为Tk+1=(2x)k， f(x)g(x)的展开式中含x2的项为 1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2. (2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n. ∵h(x)的展开式中含x的项的系数为12， ∴+2=12， 即m+2n=12，所以m=12-2n. 含x2项的系数为+4=+4 =(12-2n)(11-2n)+2n(n-1) =4n2-25n+66=4+，n∈N+， 所以当n=3，m=6时，含x2的项的系数取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时 第三章 <<< 二项式定理 1.能用基本计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 学习目标 艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643—1727)英国科学家.他被誉为 人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、 天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流 行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷 算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？ 导 语 一、二项式定理 二、二项式定理的逆用 课时对点练 三、二项展开式通项的应用 随堂演练 内容索引 二项式定理 一 观察下列几个等式： (a+b)1=a+b； (a+b)2=a2+2ab+b2； (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 你能发现它们有什么样的规律吗？你能发现各等式右侧是如何形成的吗？ 问题1 提示　右侧展开式的项数比左侧的次数大1，展开式的系数具有一定的对称性，各式均按照a的降幂顺序或者b的升幂顺序进行排列的，各项的系数与组合数有某种关系；以(a+b)2为例：(a+b)2是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有2×2=22项，而且每一项都是a2-kbk(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数，即a2-kbk的系数是. 提示　(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5. 你能根据问题1的分析，写出(a+b)5的展开式吗？ 问题2 二项式定理 一般地，当n是正整数时，有(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn. 上述公式称为二项式定理. (1)展开式：等式右边的式子称为(a+b)n的展开式，它共有n+1项. (2)二项式系数：各项的系数(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数. (3)通项公式：(a+b)n展开式的第k+1项叫做二项展开式的通项公式，记作Tk+1=an-kbk. 知识梳理 (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换. (4)二项式系数与二项展开式项的系数不同. 注 意 点 <<< 10 　　　(课本例1)写出(2-x)5的展开式. 例 1 在二项式定理中令a=2，b=-x，n=5， 可得(2-x)5=25+24(-x)+23(-x)2+22(-x)3+2(-x)4+(-x)5=32-80x+80x2-40x3+10x4-x5. 11 　　　求的展开式. 例 1 方法一　=(3)4+(3)3·+(3)2+ (3+ =81x2+108x+54++. 方法二　==(1+3x)4 =［1+·3x+(3x)2+(3x)3+(3x)4］ =(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2. 12 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 反 思 感 悟 13 　　　　　求的展开式. 跟踪训练 1 14 方法一　＝(2x)5＋(2x)4·＋(2x)3＋(2x)2＋(2x)＋ =32x5-120x2＋-＋-. 方法二　== =(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4+(-3)5] =32x5-120x2+-+-. 15 二 二项式定理的逆用 (1)化简：1+2+4+…+2n. 例 2 原式=·1n·20+·1n-1·2+·1n-2·22+…+2n=(1+2)n=3n. (2)化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-·(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0= =(2x)5=32x5. 17 若将本例(1)中的式子变为“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化简结果. 延伸探究 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n. 18 反 思 感 悟 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a-b)n的形式. 化简：(x+1)n-(x+1)n-1+-…+(-1)k(x+1)n-k+ …+(-1)n. 跟踪训练 2 原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+ (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn. 20 二项展开式通项的应用 三 　 (课本例3)求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数. 例 3 因为=(2+)6， 所以展开式中的第k+1项为 Tk+1=(2)6-k()k=26-k =26-kx3-k. 要得到常数项，必须有3-k=0，从而有k=3，因此常数项是第4项，且T4=26-3x3-3=160. 从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为=20. 22 　 若展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中含x的一次项； 例 3 由已知可得+·=2·， 即n2-9n+8=0，解得n=8或n=1(舍去). 所以展开式的通项为 Tk+1=)8-k=2-k， 令4-k=1，解得k=4. 所以含x的一次项为T5=2-4x=x. 23 (2)展开式中所有的有理项. 令4-k∈Z，且0≤k≤8，则k=0，4，8，所以展开式的有理项分别为 T1=x4，T5=x，T9=. 24 反 思 感 悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk=an-k+1bk-1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； ③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； 跟踪训练 3 第3项的二项式系数为=15， 又T3=(2)4=240x， 所以第3项的系数为240. 26 (2)含x2的项. 展开式的通项为Tk+1=(2)6-k=(-1)k26-kx3-k， 令3-k=2，解得k=1， 所以含x2的项为第2项，且T2=-192x2. 27 1.知识清单： (1)二项展开式的形成过程. (2)二项式定理的正用与逆用. (3)二项展开式的通项的应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：二项式系数与系数的区别，an-kbk是展开式的第k+1项. 课堂小结 随堂演练 四 1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是 A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1) 展开式的项数比二项式的指数大1. 1 2 3 4 √ 2.的展开式中的第4项是 A.56x3 B.84x3 C.56x4 D.84x4 T4=x6=84x3. √ 1 2 3 4 3.二项式的展开式中，常数项是　　　　.  1 2 3 4 240 二项式的第k+1项为 Tk+1=(2x)6-k=26-kx6-3k， 令6-3k=0，解得k=2， 所以常数项是·24=240. 4.在的展开式中，则 (1)第5项的二项式系数为　　　，系数为　　　　　；  1 2 3 4 70 1 120 因为T5=(2x2)4·=24·，所以第5项的二项式系数是=70，第5项的系数是·24=1 120. (2)x2的系数为　　　　　.  1 2 3 4 112 的展开式的通项为Tk+1=(2x2)8-k=(-1)k·28-k· ，根据题意得16-k=2，解得k=6， 因此x2的系数是(-1)6·28-6=112. 课时对点练 五 1.若的展开式有16项，则自然数n的值为 A.9 B.10 C.11 D.16 因为的展开式共有n+6项，所以n+6=16，解得n=10. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.展开式中的常数项为 A.第5项 B.第5项或第6项 C.第6项 D.不存在 根据题意，展开式中的通项为Tk+1=x10-k=x10-2k， 令10-2k=0，可得k=5，则其常数项为第5+1=6项. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在(a+b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n等于 A.6 B.7 C.8 D.9 由已知得=，可知n=1+5=6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(x-y)10的展开式中x6y4项的系数是 A.840 B.-840 C.210 D.-210 在通项Tk+1=x10-k(-y)k中，令k=4，即得(x-y)10的展开式中x6y4项的系数为×(-)4=840. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若实数a=2-，则a10-2a9+22a8-…+210等于 A.32 B.-32 C.1 024 D.512 因为a=2-，所以a10-2a9+22a8-…+210=(a-2)10=(2--2)10= (-)10=25=32. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)对于二项式(n∈N+)，下列判断正确的有 A.存在n∈N+，展开式中有常数项 B.对任意n∈N+，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N+，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N+，展开式中有x的一次项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 二项式的展开式的通项为Tk+1=x4k-n，由通项可知，当n= 4k(k∈N+)和n=4k-1(k∈N+)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项，故AD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若二项式(1+2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 (1+2x)n的展开式的通项为Tk+1=(2x)k=2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以23=422，解得n=8. 8.(2024·天津)在的展开式中，常数项为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 因为的展开式的通项为 Tk+1= =36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6， 令6(k-3)=0，可得k=3， 所以常数项为30=20. 9.已知的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为T3=)n-2=4， T2=)n-1=-2， 依题意得4+2=162，所以2+=81， 所以n2=81，又n∈N+，解得n=9. (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设第k+1项含x3项，则Tk+1=)9-k·=(-2)k=3， 解得k=1， 所以含x3的项为T2=-2x3=-18x3. 二项式系数为=9. 10.已知(+)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍. (1)求n的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (+)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是. 依题意得+=2， 即+=2·， 化简得90+(n-9)(n-8)=20(n-8)， 即n2-37n+322=0， 解得n=14或n=23， 因为n<15，所以n=14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 (2)写出它展开式中的所有有理项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 展开式的通项为Tk+1=·=·=， 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 当k=0时，T1=x7=x7； 当k=6时，T7=x6=3 003x6； 当k=12时，T13=x5=91x5. 11.(多选)若的展开式中存在常数项，则n的值可能为 A.16 B.10 C.5 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 的展开式的通项公式为Tk+1=x2n-k=(-1)k =0，得k=， 又k∈N，n∈N+，所以结合选项知n可取5和10. 12.对任意实数x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为 A.3 B.6 C.9 D.21 ∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2·2+(x-2)·22+·23=8+12(x-2)+6(x-2)2 +(x-2)3，∴a2=6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N，n>4)，若2a2+an-3=0，则n=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 (1-x)n的展开式的通项公式为Tk+1=(-x)k，所以ak=(-1)k·(k=0，1，2，…，n). 由2a2+an-3=0，得2(-1)2·+(-1)n-3=0，即2×-=0，所以n-2=6，解得n=8. 14.已知在的展开式中，第9项为常数项，则： (1)n的值为　　　　；  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 二项展开式的通项为Tk+1=·=(-1)k. 因为第9项为常数项，所以当k=8时，2n-k=0，解得n=10. (2)含x的整数次幂的项有　　　　个.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 要使20-k为整数，需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10， 故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项. 拓广探究 15.在的展开式中，x2项的系数为 A.30 B.45 C.60 D.90 在的展开式中，通项公式为Tr+1=. 对于，通项公式为Tk+1=xr-2 023k，k≤r，r，k∈N，r≤10. 令r-2 023k=2，可得r=2+2 023k， 故k=0，r=2， 故x2项的系数为·=45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 16. 已知f(x)=(1+x)m，g(x)=(1+2x)n(m，n∈N+). (1)若m=3，n=4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m=3，n=4时， f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4. (1+x)3展开式的通项为Tr+1=xr， (1+2x)4展开式的通项为Tk+1=(2x)k， f(x)g(x)的展开式中含x2的项为 1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2. (2)令h(x)=f(x)+g(x)，h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n. ∵h(x)的展开式中含x的项的系数为12， ∴+2=12， 即m+2n=12，所以m=12-2n. 含x2项的系数为+4=+4 =(12-2n)(11-2n)+2n(n-1) =4n2-25n+66=4+，n∈N+， 所以当n=3，m=6时，含x2的项的系数取得最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 第一章 <<< $$