第三章 3.1.3 第3课时 组合数的应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教B版2019）

第3课时 第三章 <<< 组合数的应用 1.掌握具有限制条件的组合问题的解决方法. 2.理解相同元素和不同元素的分组分配问题. 学习目标 一、有条件限制的组合问题 二、不同元素的分组分配问题 课时对点练 三、相同元素的分组分配问题 随堂演练 内容索引 有条件限制的组合问题 一 (课本例4)现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ 例 1 所求的取法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数==4 060. 5 (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？ 抽取可以分成两步完成：第一步，在2件次品中取出1件，有种方法；第二步，在28件合格品中取出2件，有种方法. 因此取法种数为=2×=756. 6 (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？ 满足条件的取法可以分成两类： 恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法. 恰有1件次品的取法有种， 恰有2件次品的取法有种. 因此取法种数为+=2×+1×28=784. 7 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； 例 1 -=825(种). 8 (2)至多有两名女生当选； 至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选， 所以共有++=966(种)选法. 9 (3)既要有队长，又要有女生当选. 分两类： 第一类，女队长当选，有=495(种)选法， 第二类，女队长没当选，剩余女生4人分别有1人，2人，3人，4人当选， 有+++=295(种)选法， 所以共有495+295=790(种)选法. 10 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 反 思 感 悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 11 (1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有 A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 跟踪训练 1 √ 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有+=210(种). 12 (2)为迎接国庆，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为 A.720 B.768 C.810 D.816 √ 13 根据题意知，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，朗诵顺序有=840(种)， 其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加，朗诵顺序有=24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，朗诵顺序有840-24=816(种)； 其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻时，朗诵顺序有= 48(种)， 则满足题意的朗诵顺序有816-48=768(种). 14 二 不同元素的分组分配问题 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本； 例 2 每组2本，均分为3组的分组种数为==15. 16 (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； 一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为=20×3=60. (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组). 一组4本，另外两组各1本的分组种数为==15. 17 1.6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？ 延伸探究 在本例(2)的基础上再进行全排列，所以一共有=360(种)方法. 18 2.6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？ 可以分为三类情况：①“2，2，2型”，有=90(种)方法； ②“1，2，3型”，有=360(种)方法； ③“1，1，4型”，有=90(种)方法， 所以一共有90+360+90=540(种)方法. 19 反 思 感 悟 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. “分组”与“分配”问题的解法 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ 跟踪训练 2 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4=44=256(种)放法. 21 (2)每盒至多1个球，有多少种放法？ 这是全排列问题，共有=24(种)放法. 22 (3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ 方法一　先将4个小球分为3组，有种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有=144(种)放法. 方法二　先取4个球中的2个“捆”在一起，有种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有=144(种)放法. 23 (4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ 1个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有·2=8(种)放法. 24 相同元素的分组分配问题 三 　 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空； 例 3 先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有=10(种)放法. 26 (2)恰有一个空盒子. 恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有·=40(种)放法. 27 反 思 感 悟 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法.可描述为n-1个空中插入m-1块板. 相同元素分配问题的处理策略 某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 跟踪训练 3 √ 可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有= =6(种)； ②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有=4(种). ∴不同的赠送方法共有6+4=10(种). 29 1.知识清单： (1)有限制条件的组合问题. (2)不同元素的分组分配问题. (3)相同元素的分组分配问题. 2.方法归纳：分类讨论、均分法、隔板法，间接法. 3.常见误区：分类不当；平均分组理解不到位. 课堂小结 随堂演练 四 1.若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有 A.种 B.45种 C.54种 D.种 由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有种. 1 2 3 4 √ 2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有 A.60种 B.48种 C.30种 D.10种 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有种方法， 再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有种方法， 由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有=30(种). 1 2 3 4 √ 3.为调查某商品当前的市场价格，国家统计局将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案有 A.90种 B.180种 C.30种 D.15种 1 2 3 4 √ 将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，有种不同的分法，再将其分到三个不同地区，有种不同的分法，所以不同的分配方案的种数为=90，故选A. 4.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有　　　　种.(用数字作答)  1 2 3 4 55 由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成： 第一类，甲去乙不去，有种选派方案； 第二类，乙去甲不去，有种选派方案； 第三类，甲、乙都不去，有种选派方案. 故共有++=55(种)不同的选派方案. 课时对点练 五 1.现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是 A.90 B.115 C.210 D.385 依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有=90(种)； 三个黑球，有=24(种)； 四个黑球，有=1(种). 根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90+24+1 =115. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有 A. B. C. D. 此题为平均分组问题，有种分法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.假如北京大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为 A.30 B.21 C.10 D.15 用“隔板法”. 在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有=15(种)分配方法. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有 A.56种 B.68种 C.74种 D.92种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有种； 有一个“多面手”的选派方法有种； 有两个“多面手”的选派方法有种，即共有++ =92(种)不同的选派方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若方程x1+x2+x3+x4=8，其中x2=2，则方程的正整数解的个数为 A.10 B.15 C.20 D.30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为方程x1+x2+x3+x4=8，其中x2=2， 则x1+x3+x4=6， 将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用隔板法将其分成3组， 第一组小球数目为x1， 第二组小球数目为x3， 第三组小球数目为x4， 共有=10(种)方法， 故方程的正整数解的个数为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进行社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是 A.若1班不再分配名额，则共有种分配方法 B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法 C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有种分配方法，故A错误； 对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有种分配方法，故B正确； 对于C，D，若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分到6个班级，分5类：①4个名额到一个班，有6种；②一个班3个名额，一个班1个名额，有=30(种)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ③两个班都是2个名额，有=15(种)；④两个班1个名额，一个班2个名额，有=60(种)；⑤四个班都是1个名额，有=15(种)，则共有126(种)，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有　　　种.(用数字作答)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，因此，共有·+·=30(种)不同的选法. 8.某地奥运会火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有　　种.(用数字作答)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 96 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有种方法. 乙传第一棒，甲传最后一棒，共有种方法. 丙传第一棒，共有·种方法. 由分类加法计数原理得，共有++·=96(种)不同的传递方法. 9.甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生. (1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，5名学生分成3组，人数分别为2，2，1， ∴分配方案有=90(种). (2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数分别为2，2或3，1， ∴分配方案有=70(种). 10.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求下列情况中的问题. (1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 有=120(种)不同的方法. (2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？ 5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有=24(种)不同的方法. (3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 按人数分配方式分类： ①3，1，1，有=60(种)方法； ②2，2，1，有=90(种)方法. 故共有60+90=150(种)分配方法. 11.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为 A.205 B.110 C.204 　D.200 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 方法一(分类法)　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为+++=205. 方法二(间接法)　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为-=205. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为 A.208 B.204 C.200 D.196 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种： 一是3条横线上的4个点，其组数为3； 二是4条竖线上的3个点，其组数为4； 三是4条对角线上的3个点，其组数为4，所以可以构成三角形的组数为-3-8=200. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某班需安排甲、乙、丙、丁四位同学到A，B，C三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加一个社区活动，每个社区至少有一位同学.由于交通原因，乙不能去A社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法种数为 A.14 B.20 C.24 　 D.36 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于乙不能去A社区，则乙可以去B或C社区，共2种情况，剩余的3人可以分成1，2两组或1，1，1三组两种情况. ①分成1，2两组，去和乙不同的两个社区，有=6(种)； ②分成1，1，1三组，去三个社区且甲和乙不能同去一个社区，有=4(种). 所以不同的安排方法种数为2×(6+4)=20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程.甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程时，每名教师至少教一门，且甲不教“数”，则不同的课程安排方案种数为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 440 当甲只教一门时，不同的安排方案有××=1 200(种)； 当甲教两门时，不同的安排方案有=240(种)， 所以甲不教“数”的课程安排方案有1 200+240=1 440(种). 拓广探究 15.某项目监管公司决定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场有2名经理，每位经理只去一个项目现场，则甲、乙到不同项目现场的不同安排方案共有 A.6种 B.18种 C.36种 D.72种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意把6人分成3组，共有=15(种)不同的分法，其中甲、乙在同一组中有=3(种)不同的分法，可得甲、乙不在同一组中，共有15-3=12(种)不同的分法，再分派到3个不同的项目现场，共有12×=72(种)不同的方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(1)求方程x1+x2+x3+x4=5的非负整数解的组数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设yi=xi+1(i=1，2，3，4)，则y1，y2，y3，y4为正整数，方程等价于y1+y2+y3+y4=9. 则原题等价于将9个相同元素分成4份，每份至少一个，用隔板法可得，不同的分法有=56(种)， 则方程y1+y2+y3+y4=9的正整数解有9个， 即方程x1+x2+x3+x4=5的非负整数解有56组. (2)某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设分别有z1，z2，z3，z4个人在第1号，第2号，第3号，第4号安检口通过，则z1+z2+z3+z4=4(z1，z2，z3，z4为非负整数). 由(1)可得，此方程的非负整数解的个数为，所以不同的进站方案有=840(种). 第一章 <<< $$ 第3课时　组合数的应用 ［学习目标］　1.掌握具有限制条件的组合问题的解决方法.2.理解相同元素和不同元素的分组分配问题. 一、有条件限制的组合问题 例1　(课本例4)现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？ 解　(1)所求的取法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数==4 060. (2)抽取可以分成两步完成：第一步，在2件次品中取出1件，有种方法；第二步，在28件合格品中取出2件，有种方法.因此取法种数为=2×=756. (3)满足条件的取法可以分成两类： 恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法. 恰有1件次品的取法有种， 恰有2件次品的取法有种. 因此取法种数为+=2×+1×28=784. 例1　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选. 解　(1)-=825(种). (2)至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选， 所以共有++=966(种)选法. (3)分两类： 第一类，女队长当选，有=495(种)选法， 第二类，女队长没当选，剩余女生4人分别有1人，2人，3人，4人当选， 有+++=295(种)选法， 所以共有495+295=790(种)选法. 反思感悟　有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 跟踪训练1　(1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有(　　) A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 答案　A 解析　由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有+=210(种). (2)为迎接国庆，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为(　　) A.720 B.768 C.810 D.816 答案　B 解析　根据题意知，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，朗诵顺序有=840(种)， 其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加，朗诵顺序有=24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，朗诵顺序有840-24=816(种)； 其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻时，朗诵顺序有=48(种)， 则满足题意的朗诵顺序有816-48=768(种). 二、不同元素的分组分配问题 例2　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本； (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组). 解　(1)每组2本，均分为3组的分组种数为 ==15. (2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为 =20×3=60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为 ==15. 延伸探究 1.6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？ 解　在本例(2)的基础上再进行全排列，所以一共有=360(种)方法. 2.6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？ 解　可以分为三类情况：①“2，2，2型”，有=90(种)方法；②“1，2，3型”，有=360(种)方法；③“1，1，4型”，有=90(种)方法，所以一共有90+360+90=540(种)方法. 反思感悟　“分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 跟踪训练2　将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多1个球，有多少种放法？ (3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ 解　(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4=44=256(种)放法. (2)这是全排列问题，共有=24(种)放法. (3)方法一　先将4个小球分为3组，有种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，故共有=144(种)放法. 方法二　先取4个球中的2个“捆”在一起，有种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有=144(种)放法. (4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有·2=8(种)放法. 三、相同元素的分组分配问题 例3　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子. 解　(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有=10(种)放法. (2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有·=40(种)放法. 反思感悟　相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法.可描述为n-1个空中插入m-1块板. 跟踪训练3　某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　) A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 答案　B 解析　可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有==6(种)；②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有=4(种).∴不同的赠送方法共有6+4=10(种). 1.知识清单： (1)有限制条件的组合问题. (2)不同元素的分组分配问题. (3)相同元素的分组分配问题. 2.方法归纳：分类讨论、均分法、隔板法，间接法. 3.常见误区：分类不当；平均分组理解不到位. 1.若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　) A.种 B.45种 C.54种 D.种 答案　D 解析　由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有种. 2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有(　　) A.60种 B.48种 C.30种 D.10种 答案　C 解析　从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有=30(种). 3.为调查某商品当前的市场价格，国家统计局将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案有(　　) A.90种 B.180种 C.30种 D.15种 答案　A 解析　将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，有种不同的分法，再将其分到三个不同地区，有种不同的分法，所以不同的分配方案的种数为=90，故选A. 4.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有　　　　种.(用数字作答)  答案　55 解析　由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成： 第一类，甲去乙不去，有种选派方案； 第二类，乙去甲不去，有种选派方案； 第三类，甲、乙都不去，有种选派方案. 故共有++=55(种)不同的选派方案. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是(　　) A.90 B.115 C.210 D.385 答案　B 解析　依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有=90(种)；三个黑球，有=24(种)；四个黑球，有=1(种). 根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115. 2.若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　此题为平均分组问题，有种分法. 3.假如北京大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　) A.30 B.21 C.10 D.15 答案　D 解析　用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有=15(种)分配方法. 4.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(　　) A.56种 B.68种 C.74种 D.92种 答案　D 解析　根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有种；有一个“多面手”的选派方法有种；有两个“多面手”的选派方法有种，即共有++=92(种)不同的选派方法. 5.若方程x1+x2+x3+x4=8，其中x2=2，则方程的正整数解的个数为(　　) A.10 B.15 C.20 D.30 答案　A 解析　因为方程x1+x2+x3+x4=8，其中x2=2， 则x1+x3+x4=6， 将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用隔板法将其分成3组， 第一组小球数目为x1， 第二组小球数目为x3， 第三组小球数目为x4， 共有=10(种)方法， 故方程的正整数解的个数为10. 6.(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进行社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　) A.若1班不再分配名额，则共有种分配方法 B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法 C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 答案　BD 解析　对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有种分配方法，故B正确；对于C，D，若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分到6个班级，分5类：①4个名额到一个班，有6种；②一个班3个名额，一个班1个名额，有=30(种)；③两个班都是2个名额，有=15(种)；④两个班1个名额，一个班2个名额，有=60(种)；⑤四个班都是1个名额，有=15(种)，则共有126(种)，故C错误，D正确. 7.(5分)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有　　　　种.(用数字作答)  答案　30 解析　分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，因此，共有·+·=30(种)不同的选法. 8.(5分)某地奥运会火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有　　　　种.(用数字作答)  答案　96 解析　甲传第一棒，乙传最后一棒，共有种方法.乙传第一棒，甲传最后一棒，共有种方法.丙传第一棒，共有·种方法.由分类加法计数原理得，共有++·=96(种)不同的传递方法. 9.(10分)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生. (1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；(5分) (2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案.(5分) 解　(1)由题意得，5名学生分成3组，人数分别为2，2，1， ∴分配方案有=90(种). (2)由题意得，从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数分别为2，2或3，1， ∴分配方案有=70(种). 10.(12分)现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求下列情况中的问题. (1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？(4分) (2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？(4分) (3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？(4分) 解　(1)有=120(种)不同的方法. (2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有=24(种)不同的方法. (3)按人数分配方式分类： ①3，1，1，有=60(种)方法； ②2，2，1，有=90(种)方法. 故共有60+90=150(种)分配方法. 11.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(　　) A.205 B.110 C.204 D.200 答案　A 解析　方法一(分类法)　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为+++=205. 方法二(间接法)　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为-=205. 12.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为(　　) A.208 B.204 C.200 D.196 答案　C 解析　任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3；二是4条竖线上的3个点，其组数为4；三是4条对角线上的3个点，其组数为4，所以可以构成三角形的组数为-3-8=200. 13.某班需安排甲、乙、丙、丁四位同学到A，B，C三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加一个社区活动，每个社区至少有一位同学.由于交通原因，乙不能去A社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法种数为(　　) A.14 B.20 C.24 D.36 答案　B 解析　由于乙不能去A社区，则乙可以去B或C社区，共2种情况，剩余的3人可以分成1，2两组或1，1，1三组两种情况. ①分成1，2两组，去和乙不同的两个社区，有=6(种)； ②分成1，1，1三组，去三个社区且甲和乙不能同去一个社区，有=4(种). 所以不同的安排方法种数为2×(6+4)=20. 14.(5分)为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程.甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程时，每名教师至少教一门，且甲不教“数”，则不同的课程安排方案种数为　　　　.  答案　1 440 解析　当甲只教一门时，不同的安排方案有××=1 200(种)；当甲教两门时，不同的安排方案有=240(种)，所以甲不教“数”的课程安排方案有1 200+240=1 440(种). 15.某项目监管公司决定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场有2名经理，每位经理只去一个项目现场，则甲、乙到不同项目现场的不同安排方案共有(　　) A.6种 B.18种 C.36种 D.72种 答案　D 解析　根据题意把6人分成3组，共有=15(种)不同的分法，其中甲、乙在同一组中有=3(种)不同的分法，可得甲、乙不在同一组中，共有15-3=12(种)不同的分法，再分派到3个不同的项目现场，共有12×=72(种)不同的方案. 16.(12分)(1)求方程x1+x2+x3+x4=5的非负整数解的组数；(6分) (2)某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数.(6分) 解　(1)设yi=xi+1(i=1，2，3，4)，则y1，y2，y3，y4为正整数，方程等价于y1+y2+y3+y4=9.则原题等价于将9个相同元素分成4份，每份至少一个，用隔板法可得，不同的分法有=56(种)，则方程y1+y2+y3+y4=9的正整数解有9个，即方程x1+x2+x3+x4=5的非负整数解有56组. (2)设分别有z1，z2，z3，z4个人在第1号，第2号，第3号，第4号安检口通过，则z1+z2+z3+z4=4(z1，z2，z3，z4为非负整数).由(1)可得，此方程的非负整数解的个数为，所以不同的进站方案有=840(种). 学科网（北京）股份有限公司 $$