第三章 3.1.3 第2课时 组合数的性质-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教B版2019）

第2课时 第三章 <<< 组合数的性质 1.掌握组合数公式和组合数的性质. 2.能运用组合数的性质进行计算. 3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题. 学习目标 一、组合数的性质1 二、组合数的性质2 课时对点练 三、组合数公式的应用 随堂演练 内容索引 组合数的性质1 一 提示　上场的方案有种.不上场的方案有种.==56. 假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队上场的队员是5人.我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 问题1 组合数的性质1：= . 知识梳理 (1)“互补性”. (2)等式两边下标相同，上标的和等于下标. 注 意 点 <<< 7 (1)计算：=　　　　，·=　　　　 .  例 1 2 023 ==2 023，·=·=. 8 (2)(多选)若=(n∈N+)，则n等于 A.4 B.5 C.6 D.7 √ √ 由题意得，2n-3=n+2或2n-3+n+2=20，解得n=5或7. 9 性质“=”的意义及作用 反 思 感 悟 10 (1)若=，则等于 A.1 B.10 C.11 D.55 跟踪训练 1 √ 由=，得n=6+5=11， ===11. 11 (2)若=，则=　　　.  28 由=， 得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18， 解得n=2或n=8(舍去)，故=28. 12 二 组合数的性质2 提示　一样，=+. 从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有种选法；当体育委员未入选时，有种选法.这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 问题2 组合数的性质2：+=. 知识梳理 15 (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数. (2)体现了“含”与“不含”的分类思想. 注 意 点 <<< 16 (1)已知m≥4，则-+等于 A.1 B.m C.m+1 D.0 例 2 √ -+=+-=-=0. 17 (2)++++…+等于 A. B. C. D. √ 原式=++++…+ =+++…+ =++…+ … =+ ==. 18 若将式子换成“+++…+”，则其值为多少？ 延伸探究 +++…+ =+++…+- =++…+-1 … =+-1=-1. 19 反 思 感 悟 性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形=-，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用. (1)若-=，则n等于 A.12 B.13 C.14 D.15 跟踪训练 2 √ ∵=+=， ∴n+1=7+8，解得n=14. 21 (2)+++…+等于 A. B. C.-1 D.-1 √ +++…+=+++…+=++…+=++…+=…=+=. 22 组合数公式的应用 三 　 (课本例3)一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ 例 3 因为共有8个球，所以共有不同的取法种数为=== =56. 24 (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ 因为不取红球，所以只要在7个白球中取5个球即可，所以共有不同的取法种数为 ====21. 25 (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 因为必须取红球，所以只需在7个白球中再取4个球即可，所以共有不同的取法种数为 ====35. 26 　 在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； 例 3 先选内科医生有种选法，再选外科医生有种选法，故有= 120(种)选派方法. 27 (2)既有内科医生，又有外科医生. 既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有+++=246(种)选派方法. 若从反面考虑，则有-=246(种)选派方法. 28 反 思 感 悟 在求与两个基本计数原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏. 某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种. (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？ 跟踪训练 3 从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有=2 100(种). 所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种. 30 (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？ 选取2种假货有种，选取3种假货有种，共有选取方法+ =2 555(种). 所以至少有2种假货在内的不同取法有 2 555种. 31 (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？ 选取3种的种数有，因此共有选取方法 -=6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种. 32 1.知识清单： (1)组合数的两个性质及性质的理解. (2)组合数在实际问题中的应用. 2.方法归纳：分类讨论、间接法. 3.常见误区： (1)不注意组合数中m与n的限制条件. (2)计算中不能构造组合数性质. 课堂小结 随堂演练 四 1.若=(n∈N+)，则n等于 A.1 B.3 C.5 D.7 由=(n∈N+)，根据组合数的性质可得，==(n∈N+)， 则n-2=5，解得n=7. 1 2 3 4 √ 2.如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，边ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为 A.30 B.42 C.54 D.56 √ 1 2 3 4 利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，所以符合条件的三角形的个数为--=42. 3.某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是 A.15 B.45 C.60 D.75 从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有= 90(种)选法. 语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中的选法有=30 (种)， 所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有90-30=60. √ 1 2 3 4 4.+++…+的值等于　　　　.  1 2 3 4 因为=， 所以+++…+ =(+)++…+ =(+)++…+==. 课时对点练 五 1.若-=(n∈N+)，则n等于 A.11 B.12 C.13 D.14 根据题意，-==++==，则可得到n+1=6+7，解得n=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.方程=的解集为 A.{4} B.{14} C.{4，6} D.{14，16} 由题意知 解得x=4或6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有 A.种 B.种 C.种 D.种 每个被选的人员无角色差异，是组合问题.分两步完成：第一步，选女工，有种选法； 第二步，选男工，有种选法. 故有种不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.(多选)在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论错误的有 A.“其中恰有2件次品”的取法有8种 B.“其中恰有1件次品”的取法有28种 C.“其中没有次品”的取法有56种 D.“其中至少有1件次品”的取法有56种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有=8(种)，A正确； 抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有=56(种)，B错误； 抽到的3件产品中没有次品的取法有=56(种)，C正确； 抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有56+8=64(种)，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若=，则+++…+的值为 A.45 B.55 C.120 D.165 因为=，则m+m+2=22，解得m=10，故+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=+==165. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)对于m，n∈N+，关于下列排列组合数，结论正确的是 A.= B.=+ C.= D.=(m+1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 根据组合数的性质与组合数的计算公式== =，故A正确； 因为=， +=+=， 所以=+，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=， =·m！=， 所以=，故C正确； 因为=，(m+1)=(m+1)·≠，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.计算：+++…+=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 124 由已知，得n需满足 即 ∴原式=+++…+ =+++…+=124. 8.某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成的方法种数是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 100 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有=2 100(种)抽法. 9.现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市. (1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从5名男司机中选派3名，有种方法， 从4名女司机中选派2名，有种方法， 根据分步乘法计数原理得，共有 ==×=60(种)不同的选派方法. (2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从9人中任选5人运货有种方法. 其中1名男司机，4名女司机有=5(种)选法. 所以至少有两名男司机的选派方法共有-5=121(种). 10.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从中任取5人是组合问题， 共有=792(种)不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有=36(种)不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有= 126(种)不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有种选法； 再从另外9人中选4人，有种选法. 共有=378(种)不同的选法. 11.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 A.28 B.49 C.56 D.85 依题意，满足条件的不同选法的种数为+=49. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法有n种，在这些取法中，若以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于 A. B. C. D. 任取三条的不同取法有=10(种)，钝角三角形只有2，3，4和2，4，5两种情况，故n=10，m=2，=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为 A.120 B.240 C.360 D.720 先选出3个球有=120(种)方法，不妨设为1，2，3号球，则1，2，3号盒中能放的球为2，3，1或3，1，2两种. 所以这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2=240(种)方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 14.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲会议需2人参加，乙、丙两个会议各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有　　　　种.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 520 从10人中选派4人有种方法，对选出的4人具体安排会议有种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有=2 520(种). 拓广探究 15.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是　　　　.(用数字作答)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 336 当每个台阶上各站1人时有种站法； 当两个人站在同一个台阶上时有种站法. 因此不同的站法种数为+=210+126=336. 16.定义：=为广义组合数，其中x∈R，m是正整数，且=1.这是组合数(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广. (1)计算：与+； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ==-=-84， ==-=-120， ===36， 所以+=-84. (2)猜想并证明：+=　　　　　(用的形式表示，其中x∈R，m是正整数).  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 猜想：+=. 当m=1时，+=x+1=，猜想成立. 当m≥2时， 由=， 得=， +=+=·(x-m+1+m)=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 又=， 所以+=. 综上，+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 第一章 <<< $$ 第2课时　组合数的性质 ［学习目标］　1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题. 一、组合数的性质1 问题1　假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队上场的队员是5人.我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 提示　上场的方案有种.不上场的方案有种.==56. 知识梳理 组合数的性质1：=. 注意点： (1)“互补性”. (2)等式两边下标相同，上标的和等于下标. 例1　(1)计算：=　　　　，·=　　　　　.  答案　2 023　 解析　==2 023，·=·=. (2)(多选)若=(n∈N+)，则n等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　BD 解析　由题意得，2n-3=n+2或2n-3+n+2=20，解得n=5或7. 反思感悟　性质“=”的意义及作用 跟踪训练1　(1)若=，则等于(　　) A.1 B.10 C.11 D.55 答案　C 解析　由=，得n=6+5=11， ===11. (2)若=，则=　　　　　　.  答案　28 解析　由=， 得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18， 解得n=2或n=8(舍去)，故=28. 二、组合数的性质2 问题2　从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有种选法；当体育委员未入选时，有种选法.这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 提示　一样，=+. 知识梳理 组合数的性质2：+=. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数. (2)体现了“含”与“不含”的分类思想. 例2　(1)已知m≥4，则-+等于(　　) A.1 B.m C.m+1 D.0 答案　D 解析　-+=+-=-=0. (2)++++…+等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　原式=++++…+ =+++…+ =++…+ … =+ ==. 延伸探究　若将式子换成“+++…+”，则其值为多少？ 解　+++…+ =+++…+- =++…+-1 … =+-1=-1. 反思感悟　性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形=-，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用. 跟踪训练2　(1)若-=，则n等于(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 答案　C 解析　∵=+=， ∴n+1=7+8，解得n=14. (2)+++…+等于(　　) A. B. C.-1 D.-1 答案　B 解析　+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=+=. 三、组合数公式的应用 例3　(课本例3)一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 解　(1)因为共有8个球，所以共有不同的取法种数为，且====56. (2)因为不取红球，所以只要在7个白球中取5个球即可，所以共有不同的取法种数为 ====21. (3)因为必须取红球，所以只需在7个白球中再取4个球即可，所以共有不同的取法种数为 ====35. 例3　在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生. 解　(1)先选内科医生有种选法，再选外科医生有种选法，故有=120(种)选派方法. (2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有+++=246(种)选派方法. 若从反面考虑，则有-=246(种)选派方法. 反思感悟　在求与两个基本计数原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏. 跟踪训练3　某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种. (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？ (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？ (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？ 解　(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有=2 100(种). 所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种. (2)选取2种假货有种，选取3种假货有种，共有选取方法+=2 555(种). 所以至少有2种假货在内的不同取法有 2 555种. (3)选取3种的种数有，因此共有选取方法 -=6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种. 1.知识清单： (1)组合数的两个性质及性质的理解. (2)组合数在实际问题中的应用. 2.方法归纳：分类讨论、间接法. 3.常见误区： (1)不注意组合数中m与n的限制条件. (2)计算中不能构造组合数性质. 1.若=(n∈N+)，则n等于(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 答案　D 解析　由=(n∈N+)，根据组合数的性质可得，==(n∈N+)， 则n-2=5，解得n=7. 2.如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，边ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为(　　) A.30 B.42 C.54 D.56 答案　B 解析　利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，所以符合条件的三角形的个数为--=42. 3.某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是(　　) A.15 B.45 C.60 D.75 答案　C 解析　从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有=90(种)选法. 语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中的选法有=30 (种)， 所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有90-30=60. 4.+++…+的值等于　　　　.  答案　 解析　因为=， 所以+++…+ =(+)++…+ =(+)++…+==. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若-=(n∈N+)，则n等于(　　) A.11 B.12 C.13 D.14 答案　B 解析　根据题意，-=变形可得，=+，由组合数性质可得，+=，即=，则可得到n+1=6+7，解得n=12. 2.方程=的解集为(　　) A.{4} B.{14} C.{4，6} D.{14，16} 答案　C 解析　由题意知或 解得x=4或6. 3.某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有(　　) A.种 B.种 C.种 D.种 答案　D 解析　每个被选的人员无角色差异，是组合问题.分两步完成：第一步，选女工，有种选法；第二步，选男工，有种选法.故有种不同的选法. 4.(多选)在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论错误的有(　　) A.“其中恰有2件次品”的取法有8种 B.“其中恰有1件次品”的取法有28种 C.“其中没有次品”的取法有56种 D.“其中至少有1件次品”的取法有56种 答案　BD 解析　抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有=8(种)，A正确； 抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有=56(种)，B错误； 抽到的3件产品中没有次品的取法有=56(种)，C正确； 抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有56+8=64(种)，D错误. 5.若=，则+++…+的值为(　　) A.45 B.55 C.120 D.165 答案　D 解析　因为=，则m+m+2=22，解得m=10，故+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=+==165. 6.(多选)对于m，n∈N+，关于下列排列组合数，结论正确的是(　　) A.= B.=+ C.= D.=(m+1) 答案　ABC 解析　根据组合数的性质与组合数的计算公式=，= =，故A正确； 因为=， +=+=， 所以=+，故B正确； 因为=， =·m！=， 所以=，故C正确； 因为=，(m+1)=(m+1)·≠，故D不正确. 7.(5分)计算：+++…+=　　　　.  答案　124 解析　由已知，得n需满足 即 ∴原式=+++…+ =+++…+ =124. 8.(5分)某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成的方法种数是　　　　　.  答案　2 100 解析　按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有=2 100(种)抽法. 9.(10分)现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市. (1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？(5分) (2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？(5分) 解　(1)从5名男司机中选派3名，有种方法， 从4名女司机中选派2名，有种方法， 根据分步乘法计数原理得，共有 ==×=60(种)不同的选派方法. (2)从9人中任选5人运货有种方法. 其中1名男司机，4名女司机有=5(种)选法. 所以至少有两名男司机的选派方法共有-5=121(种). 10.(11分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人；(2分) (2)甲、乙、丙三人必须参加；(3分) (3)甲、乙、丙三人不能参加；(3分) (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.(3分) 解　(1)从中任取5人是组合问题， 共有=792(种)不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有=36(种)不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有=126(种)不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有种选法；再从另外9人中选4人，有种选法.共有=378(种)不同的选法. 11.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　) A.28 B.49 C.56 D.85 答案　B 解析　依题意，满足条件的不同选法的种数为+=49. 12.从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法有n种，在这些取法中，若以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　任取三条的不同取法有=10(种)，钝角三角形只有2，3，4和2，4，5两种情况，故n=10，m=2，=. 13.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为(　　) A.120 B.240 C.360 D.720 答案　B 解析　先选出3个球有=120(种)方法，不妨设为1，2，3号球，则1，2，3号盒中能放的球为2，3，1或3，1，2两种.所以这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2=240(种)方法. 14.(5分)某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲会议需2人参加，乙、丙两个会议各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有　　　　种.  答案　2 520 解析　从10人中选派4人有种方法，对选出的4人具体安排会议有种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有=2 520(种). 15.(5分)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是　　　　.(用数字作答)  答案　336 解析　当每个台阶上各站1人时有种站法；当两个人站在同一个台阶上时有种站法.因此不同的站法种数为+=210+126=336. 16.(12分)定义：=为广义组合数，其中x∈R，m是正整数，且=1.这是组合数(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广. (1)计算：与+；(5分) (2)猜想并证明：+=　　　　　(用的形式表示，其中x∈R，m是正整数).(7分)  解　(1)==-=-84， ==-=-120， ===36， 所以+=-84. (2)猜想：+=. 当m=1时，+=x+1=，猜想成立. 当m≥2时， 由=， 得=， +=+=·(x-m+1+m)=， 又=， 所以+=. 综上，+=. 学科网（北京）股份有限公司 $$