第三章 3.1.2 第1课时 排列与排列数-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教B版2019）

3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 ［学习目标］　1.理解并掌握排列及排列数的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列.2.理解排列数公式的推导，并能利用公式进行计算和证明. 导语 同学们，上节课我们提到汽车牌照号码的问题，如果我们对汽车牌照号码增加一些特殊的规定，如果每一个汽车牌照必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字组成，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现，字母在前，数字在后，当然我们可以用分步乘法计数原理解决这个问题，这其实就是我们今天要研究的排列问题. 一、排列概念的理解 问题1　思考下列三个问题，指出它们有什么样的共同特征： (1)从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的北京市和天津市上色，有多少种不同的着色方案？ (2)从1，2，3，4这四个数字中，选出三个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数？ (3)6名同学站成一排照相，有多少种不同的排法？ 提示　从不同的元素中选出几个元素，按照一定的顺序排成一列. 知识梳理 排列的定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别地，m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列. 注意点： 排列的特点，互异性、有序性. 例1　判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话. 解　(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题. 反思感悟　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”：检验取出的m个元素是否重复. (2)“排”：检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 跟踪训练1　判断下列问题是否是排列问题，并说明理由. (1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ (3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？ 解　(1)不是.(2)是.(3)第一问不是，第二问是. 理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数结果不一样，此时与位置有关.选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题. 二、排列数 知识梳理 排列数的定义 (1)从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号表示. (2)排列数公式的乘积式==n(n-1)…(n-m+1)，其中m，n∈N+，并且m≤n. 注意点： (1)乘积是m个连续正整数的乘积. (2)第一个数最大，是A的下标n. (3)第m个数最小，是n-m+1. 例2　(2)(课本例1)求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列. 解　所求排列数为=3×2×1=6. 所有的排列如图所示. 由图可知，所有排列为ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA. 例2　四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来，并计算. 解　先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1=24(种)，=4×3×2×1=24. 画出树形图. 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 延伸探究　对本例，若加上限制条件：D不能在“排头”(即每个排列的最左端不是D)，这样的坐法有几种？ 解　由例2的树形图可知这样的坐法共有24-6=18(种). 反思感悟　利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列. 跟踪训练2　写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列. 解　由题意作树形图，如图. 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个. 三、排列数公式的计算、化简与证明 问题2　现在你能解决问题1中，6名同学站成一排照相，有多少种不同的排法的问题吗？ 提示　=6×5×4×3×2×1=720. 知识梳理 (1)全排列公式：=n×(n-1)×…×2×1=n！，n∈N+. (2)排列数公式的阶乘式：=，其中m，n∈N+，m≤n. 规定：=1，0！=1. 例3　(1)计算下列各式. ①；②；③；④. 解　①=8×7×6=336. ②==336. ③=7×6×5=210. ④==210. (2)①用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+且n<55)； ②化简n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m). 解　①∵55-n，56-n，…，69-n中的最大数为69-n，且共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数， ∴(55-n)(56-n)…(69-n)=. ②由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m)=. 例3　(3)(课本例2)求证：+m=. 证明　由排列数公式可知 +m=+m =× =× ==. (3)求证：=. 证明　左边==n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n！， 右边==n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)×(n-m)×…×2×1=n！， 所以=得证. 反思感悟　排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数. (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 跟踪训练3　(1)(多选)下列等式正确的是(　　) A. (n+1)= B.=(n-2)！ C.=· D.= 答案　ABD 解析　对于A， (n+1)=(n+1)·===，故A正确； 对于B，==(n-2)！，故B正确； 对于C，=·≠·，故C错误； 对于D，=·==，故D正确. (2)不等式<6的解集为(　　) A.［2，8］ B.［2，6］ C.(7，12) D.{8} 答案　D 解析　由<6，得<6×， 化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12， ① 又所以3≤x≤8， ② 由①②及x∈N+，得x=8. 1.知识清单： (1)排列及排列数的定义. (2)“树形图”法列举排列. (3)排列数公式的计算、化简与证明. 2.方法归纳：树形图法. 3.常见误区： (1)忽视排列定义中对“顺序”的特殊要求. (2)忽视中“n，m是正整数”这个条件. 1.(多选)下面问题中，不是排列问题的是(　　) A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 答案　BCD 解析　选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关；选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关. 2.89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　89×90×91×92×…×100===. 3.已知=7，则n的值是(　　) A.2 B.6 C.7 D.8 答案　C 解析　由=7，知n-4≥2，故n≥6， 然后将n=6，7，8分别代入方程，可知n=7适合，故选C. 4.从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有　　　　　个，这些三位数为　　　　　　　　　　　　　　.  答案　8　201，210，230，231，301，302，310，312 解析　直接画出树形图： 由树形图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果.在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有(　　) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 答案　BD 解析　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字的位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题. 2.4×5×6×…×(n-1)×n等于(　　) A. B. C.n！-4！ D. 答案　D 解析　由题意知4×5×6×…×(n-1)×n=n×(n-1)×…×6×5×4=. 3.(多选)已知-+0！=4，则m的可能取值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　CD 解析　因为-+0！=4，所以-×6+1=4， 所以=6，所以m的值可能是2或3. 4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A.6 B.4 C.8 D.10 答案　B 解析　列树形图如图， 故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种. 5.已知集合中A中有n个元素，其中有一个为0.现从A中任取两个元素x，y组成有序实数对(x，y).在平面直角坐标系中，若(x，y)对应的点中不在坐标轴上的共有56个，则n的值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　D 解析　依题意知=56，即(n-1)(n-2)=56，解得n=9或n=-6(舍去)，故n=9. 6.(多选)下列选项中正确的是(　　) A.n！= B.=n C.= D.= 答案　AB 解析　∵==n！，∴A正确； ∵n=n·==， ∴B正确； ∵=，∴C错误； ∵=，∴D错误. 7.(5分)从a，b，c，d，e这五个元素中每次取出三个元素，可组成　　　　个以b为首的不同的排列，它们分别是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析　画出树形图如图， 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 8.(5分)已知集合B={x|x=，m∈N+}，则B中元素的个数为　　　　.  答案　3 解析　由题意可知m=1，2，3，4.当m=1时，==4；当m=2时，==12；当m=3时，==24；当m=4时，==24.由集合中元素的互异性，可知B中元素的个数为3. 9.(10分)写出下列问题的所有排列. (1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(5分) (2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？(5分) 解　(1)列出每一个起点和终点的情况，如图所示. 故符合题意的机票种类有：北京-广州，北京-南京，北京-天津，广州-南京，广州-天津，广州-北京，南京-天津，南京-北京，南京-广州，天津-北京，天津-广州，天津-南京，共12种. (2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类，如图所示， 由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种. 10.(10分)计算下列各题： (1)；(4分) (2)解方程：3=4.(6分) 解　(1)====. (2)由3=4，得3×8×7×…×(11-x)×(10-x)×(9-x)=4×9×8×…×(11-x)， 即3(10-x)(9-x)=4×9，即x2-19x+78=0， 解得x=6或x=13， 又因为0≤x≤8且0≤x-1≤9，且x∈N，故x=6， 故方程3=4的解为x=6. 11.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　) A.12种 B.24种 C.48种 D.120种 答案　B 解析　∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有=24(种). 12.若S=++++…+，则S的个位数字是(　　) A.8 B.5 C.3 D.0 答案　C 解析　=1，=2，=6，=24，个位数之和为1+2+6+4=13，而，，…，都含有5和至少一个偶数，∴个位数字均为0，∴S的个位数字为3. 13.(5分)方程3=2+6的解为　　　　.  答案　5 解析　由排列数定义可得 解得x≥3，x∈N+， 原方程可化为3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1)， ∵x≥3，∴可化为3x2-17x+10=0， 即(3x-2)(x-5)=0， 解得x=5或x=(舍去). 14.(5分)化简：1！+2×2！+3×3！+…+n×n！=　　　　.  答案　(n+1)！-1 解析　∵n×n！=［(n+1)-1］×n！ =(n+1)！-n！， ∴原式=(2！-1！)+(3！-2！)+(4！-3！)+…+ ［(n+1)！-n！］=(n+1)！-1. 15.(5分)某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，则所有不同试验方法有　　　　种.  答案　14 解析　列树形图如图， 由图可知，所有不同试验方法为a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种. 16.(12分)一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 解　由题意可知，原有车票的种数是，现有车票的种数是， ∴-=62， 即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62. ∴m(2n+m-1)=62=2×31， ∵m<2n+m-1， 且n≥2，m，n∈N+， ∴解得 故原有15个车站，现有17个车站. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时 第三章 <<< 排列与排列数 1.理解并掌握排列及排列数的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列. 2.理解排列数公式的推导，并能利用公式进行计算和证明. 学习目标 同学们，上节课我们提到汽车牌照号码的问题，如果我们对汽车牌照号码增加一些特殊的规定，如果每一个汽车牌照必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字组成，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现，字母在前，数字在后，当然我们可以用分步乘法计数原理解决这个问题，这其实就是我们今天要研究的排列问题. 导 语 一、排列概念的理解 二、排列数 课时对点练 三、排列数公式的计算、化简与证明 随堂演练 内容索引 排列概念的理解 一 提示　从不同的元素中选出几个元素，按照一定的顺序排成一列. 思考下列三个问题，指出它们有什么样的共同特征： (1)从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的北京市和天津市上色，有多少种不同的着色方案？ (2)从1，2，3，4这四个数字中，选出三个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数？ (3)6名同学站成一排照相，有多少种不同的排法？ 问题1 排列的定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照　　　　　　排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别地，______时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列. 一定的顺序 m=n 知识梳理 排列的特点，互异性、有序性. 注 意 点 <<< 8 判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话. 例 1 9 (1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题. 10 (1)“取”：检验取出的m个元素是否重复. (2)“排”：检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 反 思 感 悟 判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 11 判断下列问题是否是排列问题，并说明理由. (1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ (3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？ 跟踪训练 1 12 (1)不是. (2)是. (3)第一问不是，第二问是. 理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数结果不一样，此时与位置有关. 选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题. 13 二 排列数 排列数的定义 (1)从n个不同对象中取出m个对象的　　　　　　　　　，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号表示. (2)排列数公式的乘积式== ，其中m，n∈N+，并且m≤n. 所有排列的个数 n(n-1)…(n-m+1) 知识梳理 15 (1)乘积是m个连续正整数的乘积. (2)第一个数最大，是A的下标n. (3)第m个数最小，是n-m+1. 注 意 点 <<< 16 (2)(课本例1)求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列. 例 2 所求排列数为=3×2×1=6. 所有的排列如图所示. 由图可知，所有排列为ABC，ACB，BAC， BCA，CAB，CBA. 17 四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来，并计算. 例 2 18 先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1 =24(种)，=4×3×2×1=24. 画出树形图. 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 19 对本例，若加上限制条件：D不能在“排头”(即每个排列的最左端不是D)，这样的坐法有几种？ 延伸探究 由例2的树形图可知这样的坐法共有24-6=18(种). 20 反 思 感 悟 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列. 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列. 跟踪训练 2 由题意作树形图，如图. 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个. 22 排列数公式的计算、化简与证明 三 现在你能解决问题1中，6名同学站成一排照相，有多少种不同的排法的问题吗？ 提示　=6×5×4×3×2×1=720. 问题2 24 (1)全排列公式：=n×(n-1)×…×2×1=n！，n∈N+. (2)排列数公式的阶乘式：=，其中m，n∈N+，m≤n. 规定：=1，0！= . 1 知识梳理 25 　 (1)计算下列各式. ①； 例 3 =8×7×6=336. ②； ==336. 26 ③； =7×6×5=210. ④. ==210. 27 (2)①用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+且n<55)； ∵55-n，56-n，…，69-n中的最大数为69-n，且共有(69-n)-(55-n)+1= 15(个)数， ∴(55-n)(56-n)…(69-n)=. ②化简n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m). 由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m)=. 28 (3)(课本例2)求证：+m=. 由排列数公式可知 +m=+m =× =× ==. 例 3 29 (3)求证：=. 左边==n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n！， 右边==n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)×(n-m)×…×2×1=n！， 所以=得证. 30 反 思 感 悟 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数. (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 排列数公式的选择 (1)(多选)下列等式正确的是 A. (n+1)= B.=(n-2)！ C.=· D.= 跟踪训练 3 √ √ √ 32 对于A， (n+1)=(n+1)·===，故A正确； 对于B，==(n-2)！，故B正确； 对于C，=·≠·，故C错误； 对于D，=·==，故D正确. 33 (2)不等式<6的解集为 A.［2，8］ B.［2，6］ C.(7，12) D.{8} √ 由<6<6×， 化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12， ① 又所以3≤x≤8， ② 由①②及x∈N+，得x=8. 34 1.知识清单： (1)排列及排列数的定义. (2)“树形图”法列举排列. (3)排列数公式的计算、化简与证明. 2.方法归纳：树形图法. 3.常见误区： (1)忽视排列定义中对“顺序”的特殊要求. (2)忽视中“n，m是正整数”这个条件. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)下面问题中，不是排列问题的是 A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 √ 1 2 3 4 √ √ 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关； 选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关. 2.89×90×91×92×…×100可表示为 A. B. C. D. 89×90×91×92×…×100===. √ 1 2 3 4 3.已知=7，则n的值是 A.2 B.6 C.7 D.8 由=7，知n-4≥2，故n≥6， 然后将n=6，7，8分别代入方程，可知n=7适合，故选C. 1 2 3 4 √ 4.从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有　　个，这些三位数为________________________ _______________.  1 2 3 4 8 201，210，230，231，301， 302，310，312 直接画出树形图： 由树形图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312. 课时对点练 五 1.(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果.在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有 A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字的位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题. 2.4×5×6×…×(n-1)×n等于 A. B. C.n！-4！ D. 由题意知4×5×6×…×(n-1)×n=n×(n-1)×…×6×5×4=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选)已知-+0！=4，则m的可能取值是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为-+0！=4，所以-×6+1=4， 所以=6，所以m的值可能是2或3. 4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为 A.6 B.4 C.8 D.10 列树形图如图， 故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知集合中A中有n个元素，其中有一个为0.现从A中任取两个元素x，y组成有序实数对(x，y).在平面直角坐标系中，若(x，y)对应的点中不在坐标轴上的共有56个，则n的值为 A.6 B.7 C.8 D.9 依题意知=56，即(n-1)(n-2)=56，解得n=9或n=-6(舍去)，故n=9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列选项中正确的是 A.n！= B.=n C.= D.= √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵==n！，∴A正确； ∵n=n·==， ∴B正确； ∵=，∴C错误； ∵=，∴D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.从a，b，c，d，e这五个元素中每次取出三个元素，可组成　　个以b为首的不同的排列，它们分别是___________________________________ ________________________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda， bdc，bde，bea，bec，bed 画出树形图如图， 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd， bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知集合B={x|x=，m∈N+}，则B中元素的个数为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 由题意可知m=1，2，3，4.当m=1时，==4；当m=2时，==12；当m=3时，==24；当m=4时，==24.由集合中元素的互异性，可知B中元素的个数为3. 9.写出下列问题的所有排列. (1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 列出每一个起点和终点的情况，如图所示. 故符合题意的机票种类有：北京-广州，北京-南京，北京-天津，广州-南京，广州-天津，广州-北京，南京-天津，南京-北京，南京-广州，天津-北京，天津-广州，天津-南京，共12种. (2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于老师不站左端，故左端位置上只能安排 学生. 设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M， N，此问题可分两类，如图所示， 由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种. 10.计算下列各题： (1)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ====. (2)解方程：3=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由3=4，得3×8×7×…×(11-x)×(10-x)×(9-x)=4×9×8×… ×(11-x)， 即3(10-x)(9-x)=4×9，即x2-19x+78=0， 解得x=6或x=13， 又因为0≤x≤8且0≤x-1≤9，且x∈N，故x=6， 故方程3=4的解为x=6. 11.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有 A.12种 B.24种 C.48种 D.120种 ∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有=24(种). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.若S=++++…+，则S的个位数字是 A.8 B.5 C.3 D.0 =1，=2，=6，=24，个位数之和为1+2+6+4=13，而， …，都含有5和至少一个偶数，∴个位数字均为0，∴S的个位数字为3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.方程3=2+6的解为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 由排列数定义可得 解得x≥3，x∈N+， 原方程可化为3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1)， ∵x≥3，∴可化为3x2-17x+10=0， 即(3x-2)(x-5)=0， 解得x=5或x=(舍去). 14.化简：1！+2×2！+3×3！+…+n×n！=　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (n+1)！-1 ∵n×n！=［(n+1)-1］×n！ =(n+1)！-n！， ∴原式=(2！-1！)+(3！-2！)+(4！-3！)+…+ ［(n+1)！-n！］=(n+1)！-1. 拓广探究 15.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，则所有不同试验方法有　　　　种.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 列树形图如图， 由图可知，所有不同试验方法为a1a2b1，a1a2b2， a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1， a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4， 共14种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，原有车票的种数是， ∴-=62， 即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62. ∴m(2n+m-1)=62=2×31， ∵m<2n+m-1， 且n≥2，m，n∈N+， ∴ 故原有15个车站，现有17个车站. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 第一章 <<< $$