精品解析：云南省德宏自治州瑞丽市第一民族中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

云南省德宏自治州瑞丽市第一民族中学2024-2025学年上学期期末考试 高二数学 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为且， 所以，解得. 故选：C 2. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式得圆心到直线的距离为1，再利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可. 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 3. 已知是等比数列，，，则公比等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：D 4. 下列数列中成等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列定义，逐一验证各个选项即可判断作答. 【详解】对于A，，A不是等差数列； 对于B，，B不是等差数列； 对于C，，C是等差数列； 对于D，，D不是等差数列. 故选：C 5. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据导数的概念求出函数的导数，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围是，列不等式可求出结果. 【详解】 又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为， 所以其斜率， 所以，解得， 所以点P横坐标的取值范围为， 故选：D. 6. 若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的零点、的极值点的情况列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】，， 的开口向上，对称轴为，与轴的交点为， 当时，在区间上，，单调递增， 没有极值点，所以， 要使在区间上存在极小值点，则在有两个不等的正根， 则需，解得， 所以取值范围是. 故选：A 【点睛】求解函数极值点的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间求得的极值点. 7. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，令求解可得. 【详解】由题知，， 令，解得， 所以，函数的单调减区间为. 故选：C 8. 如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，根圆的弦长求出，根据两点的距离公式求出，再求出即可. 【详解】取的中点，连接，则， 圆的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是定圆（为圆心）上的一个动点，是不在圆上的一个定点.若点满足，且，则点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线（单支） 【答案】AB 【解析】 【分析】由题设可得且在直线上，讨论与圆的位置关系，结合椭圆、双曲线、圆的定义判断的轨迹. 【详解】由，得，故，所以. 由知，点在直线上. 当与圆心重合时，为线段的中点，故轨迹是以为圆心的圆（半径为的一半）. 当在圆内（不与重合）时，，所以的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆. 当在圆外时，， 所以的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线. 若在之间时，轨迹在靠近焦点的分支上； 若在之间时，轨迹在靠近焦点的分支上； 故选：AB. 10. 在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，列出方程求解即得. 【详解】等比数列中，，前三项和，则，于是， 解得或， 所以公比q的值为或1. 故选：AB 11. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的焦距为 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断． 【详解】双曲线，则， 双曲线的实轴长为，故A错误； 双曲线的焦距为，故B正确； 双曲线的离心率，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，故D错误． 故选：BC． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线，若，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线离心率即可计算得到答案. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据是区间上的单调函数，可得导函数的零点不在区间上，从而可得出答案. 【详解】， 令，则或， 因为是区间上的单调函数， 所以或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 在数列中，为前项和，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得为等差数列，根据，求出公差，即可求出通项公式，再根据等差数列前项和公式计算可得. 【详解】解：因为数列满足， 即，所以为等差数列， 因为，，所以，则， 所以公差，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，满足． （1）求的通项公式； （2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和． 【答案】（1） （2）前6项为2，，，，，；； 【解析】 【分析】（1）与的关系法求数列通项公式； （2）由题写出前6项，然后分成两个子数列分别求和即可. 【小问1详解】 当时，有，解得； 当时，有，联立条件， 得， 即，即； 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列， 因此，． 小问2详解】 删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为： ，，，，，，… 数列前6项为2，，，，． ． 注意到，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列， ，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列， ． 16. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若已知，且的图象与相切，求b的值； （3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）. 【答案】（1）单调递增区间和，单调递减区间为 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）代入的值，求出的解析式，求出函数的导数，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导数，设出求出方程，得到关于的方程，解出即可； （3）问题转化为，求出函数的单调性和极值，写出的范围即可. 【小问1详解】 当时，，则， 当或时，；当时，， 所以f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由，得， 设函数与直线相切切点是， 因为，所以， 所以有， 可得， 又，相减得， 所以，所以， 解得； 【小问3详解】 时，， 的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根， 设函数，则， 时，或；时，， 在和上单调递增，在上单调递减， 时取极大值，时取极小值， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 17. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值是； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数在闭区间上的最值； （2）利用导数分类讨论函数的单调性； （3）利用导数的几何意义确定的值，接着分离参数得在上恒成立，令，利用导数求函数的最小值，实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 令时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ，所以在取得极小值，也是最小值， ， 又 . 在上的最大值为，最小值是； 【小问2详解】 当时，令，解得：， 令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立， 所以在上为减函数， 当时，在恒成立， 所以在上单调递减. 综上，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在上单调递减. 【小问3详解】 ，依题意：，解得：， 所以， 又对恒成立，即， 所以在上恒成立. 令， 当时，函数单调递减， 当时 函数单调递增， 时， 故， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 18. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程； （2）由题意可得，又，故求得的最小值即可. 【小问1详解】 由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：， ， 此时，切线方程为， 化简，得， 切线方程为或； 【小问2详解】 为公共边，， ， 又当最小时，最小， 由题意可知，当时，最小， 此时，， ， 四边形面积的最小值为. 19. 已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量. （1）求双曲线C的方程； （2）设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积； （3）若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值. 【答案】（1）； （2）； （3）定值0，证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件设出双曲线C的方程，利用待定系数法计算得解. (2)根据给定条件求出点M的坐标，并求出点M到直线DP距离，再借助三角形面积公式计算即得. (3)设出直线AB方程：，联立直线AB与双曲线C的方程，借助韦达定理计算即可作答. 【小问1详解】 因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则设双曲线C的方程为：， 于是得双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是， 则有， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 依题意，设点，则，即， ，当时，，此时， 点M到直线DP：的距离为，而，如图， 四边形ODMP的面积， 所以四边形ODMP的面积为. 【小问3详解】 显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，由消去x得：， 当时，恒成立，设， 则有，， 因此，， 所以为定值0. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省德宏自治州瑞丽市第一民族中学2024-2025学年上学期期末考试 高二数学 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等比数列，，，则公比等于（ ） A B. C. 2 D. 4. 下列数列中成等差数列的是（ ） A. B. C. D. 5. 设P为曲线C：上点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是定圆（为圆心）上的一个动点，是不在圆上的一个定点.若点满足，且，则点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线（单支） 10. 在等比数列中，，前三项和，则公比q值为（ ） A. 1 B. C. D. 11. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线实轴长为 B. 双曲线的焦距为 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线方程为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线，若，则该双曲线的离心率为__________. 13. 已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是________． 14. 在数列中，为前项和，若，，，则______． 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，满足． （1）求的通项公式； （2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和． 16. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若已知，且的图象与相切，求b的值； （3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）. 17 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 19. 已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量. （1）求双曲线C的方程； （2）设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积； （3）若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$