1.1.1 函数的平均变化率 学案-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

《§1.1.1函数的平均变化率》学案 学生通过学习，实现以下知识与能力目标：理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率，会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．同时，通过由特殊到一般的学习，体会数学抽象的过程；通过平均变化率与实际生活的密切联系，感受数学的应用价值. 一、情景引入 情景问题：我们都非常熟悉平均速度这个概念，如何求出一个运动物体的在一个时段的平均速度呢？ （1）物体在直线上运动，如果匀速，那么任何时段平均速度不变； （2）物体在直线上做变速运动，如何求出某时间段的平均速度？ 物体在任何时刻的位置均可用表示，则从时刻到时刻的这段时间的平均速度怎么计算？ 二、新知探索 结合下列两个例子，进一步理解平均速度的概念. 【引例1】（课本例1）设数轴上的动点在任何时刻的位置都能用来表示，求该点在时间段内的平均速度. 【引例2】（课本例2）某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间（单位：），为重力加速度，大小为,求它在时间段内的平均速度. 思考：函数的自变量一定是时刻吗，因变量一定表示位置吗？如果不是，那么表示的是什么？ 请你概括函数平均变化率的定义. 三、典例剖析 例 3．在正弦曲线上取两点，求直线的的斜率． 思考：你能通过这个例题总结函数平均变化率的几何意义吗？ 例 4．充满气的气球近似为球体 在给气球充气时，我们都知道，开始充气时，气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来 气球膨胀实际上就是气球半 径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半 径相对于体积的平均变化率． 思考：你能通过这个例题概括求函数平均变化率的一般步骤吗? 例 5．已知函数，分别计算它们在区间上的平均变化率． 四、练习巩固 练习 1. 小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算 起时间内所经过的距离为，求小球在时间段 内的平均速度 练习 2. 已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化（温度不变），下表记录了某温度下，该化学物质在溶液中反应时不同时刻的浓度. 试根据上表求下列时间段内的平均反应速率 （1）（2）（3） 思考：对比3个不同的值，你能对它们做出解释吗？ 五、归纳小结 通过本节课你学习到了什么? 1.什么是函数平均变化率的概念？ 2.函数平均变化率的几何意义是什么？ 3.求函数平均变化率的一般步骤是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$