专题16 最值模型之胡不归模型与阿氏圆模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江西专用）

专题16 最值模型之胡不归模型与阿氏圆模型模型 目录 1 模型1.最值模型之胡不归模型 1 模型2.最值模型之阿氏圆模型 7 11 模型1.最值模型之胡不归模型 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ． 例3．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    例4．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 模型2.最值模型之阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 例3．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，中，，，于点D，E是线段BD上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（　  　） A．1+ B．1+ C． D． 3．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 二、填空题 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，点D为内一动点，且满足，则的最小值为 ． 5．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，中．，，D、E分别是AB，AC上的动点．且，则的最小值为 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，等边三角形边长为，圆O是的内切圆，P是圆O上一动点，连接、，则的最小值为 ． 三、解答题 7．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点．若点，分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 9．（24-25九年级上·重庆大足·期末）为等边三角形，点D为平面内一点且，连接． (1)如图1，已知，，求； (2)如图2，点E为中点，连接，证明：； (3)如图3，在（1）问的条件下，点P是上的动点，连接，当取最小值时，请直接写出四边形的周长． 10．（24-25九年级上·四川成都·期中）【研究背景】 小西同学用一张长方形纸片对不同折法下的折痕进行了探究，如图，已知，，点，分别在边，上，且． 【初始探究】 （1）小西将纸片沿直线翻折，点的对应点为，点的对应点恰好落在对角线上． ①求线段的长度； ②若点为线段上一动点，求的最小值． 【拓展提升】 （2）在（1）的条件下，在，上取点，，沿着直线继续翻折，使点与点重合，求折痕长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 最值模型之胡不归模型与阿氏圆模型模型 目录 1 模型1.最值模型之胡不归模型 1 模型2.最值模型之阿氏圆模型 7 11 模型1.最值模型之胡不归模型 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ，，，， ∴，的最小值为的长， ∵， ，在中，，， 的最小值为．故选：C． 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点P作，连接，由菱形的性质可得，则由勾股定理可得，解直角三角形得到，则，进而得到当三点共线，且时，最小，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作，连接， ∵在菱形中，对角线相交于点，，， ∴，∴，∴， ∴在中，，∴， ∴当三点共线，且时，最小，最小值为的长， ∴此时有，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 例3．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    【答案】6 【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可． 【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接    ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4∴，， ∴ ∴ ∵∴∴ ∵，∴∴ ∴的最小值为的长度∵是等边三角形，， ∴∴的最小值为6．故答案为：6． 【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 例4．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解； （2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解； （3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于． ∵，∴．在中，． ∵，∴．∴点到的距离为． （2）如图，连接，过点作于，过点作于． ∵，∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合， ∴的最小值等于的长，∵，∴． 在中，． ∵，∴． 即的最小值为；故答案为： （3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，，∴， ∴，∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合， ∴的最小值等于， ∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，即的最小值等于． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 模型2.最值模型之阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，由矩形的性质可得，，推出，证明，得到，推出，即当、、共线时，取最小值，最小值为，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，矩形中，，，，，， ，，又，，，， ，当、、共线时，取最小值，最小值为， ，故选:B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解题的关键是正确作出辅助线． 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值． 例3．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）10；（3） 【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ； （2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值． 【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴． 又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ； （2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ． ∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)． ∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小． ∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10． （3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1． 由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ， ∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大． ∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2． 【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，中，，，于点D，E是线段BD上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的定义、解直角三角形的相关计算、垂线段最短 【分析】本题考查了解直角三角形，垂线段最短，掌握转化思想是解题的关键． 作于，于，由得，继而通过解直角三角形将转化为，而，即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于． ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，当点共线，且点与点重合时，取得最小值， ∴ 故选：A． 2．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（　  　） A．1+ B．1+ C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等边对等角、含30度角的直角三角形、垂线段最短 【分析】作，过点作于点，过点作于点，连接，在中，，则，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，再利用已知条件求得值即可． 【详解】解：作，过点作于点，过点作于点，连接． ， ， ∴在中，， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴ ∴在中，， ∴由勾股定理得：， 的最小值为 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，平行线的性质，等腰三角形的性子，熟练掌握知识点，将转化为是解题的关键． 3．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、垂线段最短、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，点D为内一动点，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，如图，在上取一点，使得，连接，，得，推出，求出，可得结论． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，中．，，D、E分别是AB，AC上的动点．且，则的最小值为 【答案】6 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．作，使，利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出，得到，当点在线段上时，有最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：作，使，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点在线段上时，有最小值，最小值为， 故答案为：6． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，等边三角形边长为，圆O是的内切圆，P是圆O上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形内心有关应用、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】如图，连接，记与的切点为，连接，则，作，连接，过作于，求解，，证明，可得，当三点共线时，，此时最小，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，记与的切点为，连接，则，作，连接，过作于， ∵等边三角形边长为，圆O是的内切圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，，此时最小， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值为：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题 7．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点．若点，分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】作，根据可证：，并且两个三角形的相似比为，所以当、、共线时，为最小，过点作轴于点，利用锐角三角函数求出点的坐标，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式求即可解． 【详解】解：如下图所示，作， 点的坐标为，点的坐标为， ， 取，连接交轴于点， ， 且相似比为， ， 故当、、共线时，为最小， 在中，设边上的高为， 则， 即， 解得：， 则， 过点作轴于点， ，则， ， ， ， 点的纵坐标为：，横坐标为：， 即点的坐标为， 由点、的坐标得，， 即的最小值为． 本题主要考查了二次函数的图象和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、平面直角坐标系中两点之间的距离公式．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例和锐角三角函数找到边和角之间的关系． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点坐标问题，勾股定理，最短路径等．掌握相似三角形的判定和性质，最短路径的计算方法是解题的关键．在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：令，即， 解得：，， 即，， 当时，， ∴； 如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 9．（24-25九年级上·重庆大足·期末）为等边三角形，点D为平面内一点且，连接． (1)如图1，已知，，求； (2)如图2，点E为中点，连接，证明：； (3)如图3，在（1）问的条件下，点P是上的动点，连接，当取最小值时，请直接写出四边形的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（）由为等边三角形，得，根据等边三角形的性质和三角形内角和定理得，，从而得出，然后根据勾股定理即可求解； （）延长至，使得，连接，延长至，使得，连接，分别证明，，即可； （）过点P作于点Q，作点C关于的对称点，连接，根据直角三角形性质得出，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，垂线段最短，得出当、P、Q在同一直线上，且时，最小，过点作于点O，交于点P，此时最小，连接，证明为等边三角形，根据等边三角形性质得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至，使得，连接，延长至，使得，连接， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：过点P作于点Q，作点C关于的对称点，连接，如图所示： 则， 根据轴对称可知：， 根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短，垂线段最短， ∴当、P、Q在同一直线上，且时，最小， 过点作于点O，交于点P，此时最小，连接，如图所示： 则， 根据解析（1）可知：，， ，，， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 即四边形的周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了轴对称，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10．（24-25九年级上·四川成都·期中）【研究背景】 小西同学用一张长方形纸片对不同折法下的折痕进行了探究，如图，已知，，点，分别在边，上，且． 【初始探究】 （1）小西将纸片沿直线翻折，点的对应点为，点的对应点恰好落在对角线上． ①求线段的长度； ②若点为线段上一动点，求的最小值． 【拓展提升】 （2）在（1）的条件下，在，上取点，，沿着直线继续翻折，使点与点重合，求折痕长． 【答案】（1）①；②；（2） 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①过点作于点，可得四边形是矩形，根据翻折的性质有，得出，根据得出，进而在中，勾股定理求得，即可求解． ②如图所示，过点作，过点作于点，过点作交于点，交于点，设交于点，则，根据，进而在中，求得，进而求得的长，即可求解； （2）连接，根据折叠的性质得出垂直平分，在中，求得，进而得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：（1）①过点作于点，如图， 在长方形中，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 根据翻折的性质有， ，， ，即 在中， ②如图所示，过点作，过点作于点，过点作交于点，交于点，设交于点，则 ∵， ∴， ∴， ∴，设，则 ∴， ∴， ∴ 即的最小值为， ∵，， ∴ ∴， ∵， 在中， ∴， ∴ ∴的最小值为 （2）如图所示，连接 由（1）可得， 根据翻折的性质有：，，，，， ∵在，上取点，，沿着直线继续翻折，使点与点重合， ∴垂直平分， ∴， 在中， ， 设，则 ∴ 解得：， ∴，则 ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握折叠的性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$