专题15 最值模型之将军饮马模型、将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江西专用）

专题15 最值模型之将军饮马模型、将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 目录 1 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 1 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 5 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 8 模型4.最值模型之将军遛马模型 12 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 15 18 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方形中、，点E在边上，且，点P是对角线上的动点，则的最小值为 ．    例2．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标． 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 例2．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 模型4.最值模型之将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ． 例2．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    例2．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，直线与两坐标轴分别交于，两点，点是的中点，点，分别是直线，轴上的动点，则的周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·三模）如图，在等腰中，，，为的中点，为上一点，且，是上两动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D．10 4．（2024·贵州安顺·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D． 二、填空题 5．（2023·江西抚州·二模）如图，正方形的边长为，的平分线交于点．若点，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 6．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为 ． 7．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ． 8．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以C为圆心，半径为的圆上，则取得最小值是 ． 三、解答题 9．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】 （1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______； 【类比迁移】 （2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值． 11．（2024·福建泉州·模拟预测）平面直角坐标系中，点、都是x轴负半轴上的点，以为一边向上作矩形，矩形另一边，点E为线段上一点，沿直线折叠边，使点D落在x轴上点F处． (1)求点F的坐标（用含m的式子表示）； (2)如图2，设抛物线经过A、E两点，其顶点为M， ①连接，若是直角三角形，求m的值． ②过点E作x轴的垂线，在直线上截取线段（P在Q上方），当在直线上运动时，求四边形周长的最小值． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 最值模型之将军饮马模型、将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 目录 1 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 1 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 5 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 8 模型4.最值模型之将军遛马模型 12 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 15 18 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方形中、，点E在边上，且，点P是对角线上的动点，则的最小值为 ．    【答案】10 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了利用轴对称的性质求最短路径问题，正方形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出最小时，点的位置． 连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：连接，交于，连接，如图，   四边形是正方形， ，，点B与点D关于对称， ∴， 当点在处时，最小，最小值的长， ， ， ， 的最小值为10， 故答案为：10． 例2．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法确定二次函数解析式、将军饮马最值问题、面积问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程的思想去思考问题． （1）把、两点坐标代入二次函数，解方程组即可解决； （2）利用轴对称找到点，用勾股定理即可解决； （3）根据三角形面积公式，列出方程即可解决． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得：， 二次函数解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，，， 、关于抛物线的对称轴为直线对称， ， 当、、共线时，最小， 连接与对称轴的交点就是点， 此时， 的最小值为； （3）解：设点坐标， 令，， 解得：或1， 点坐标， ， ， ， ， 或， 或或或， 点的坐标为或或或． 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取的中点，连接，易得，故，即当共线时，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ．即的最大值为． 例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．以为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“”，此时即的值最大，由正方形的性质求出的长，继而可得，，再证明，可得，，判断出为等腰直角三角形，求得长即可得答案． 【详解】解：如图，以为对称轴作N的对称点，连接，    根据轴对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“”， ∵在正方形中，，，∴，∵O为中点，∴， ∵N为中点，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵， ∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：2． 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】5 【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小，分别作、，由对称及等边易知和均为等边三角形，由此可求解出的长度，进而求解四边形的周长． 【详解】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小， ∵三角形是等边三角形， ∴由对称性得：，， ∵D、E是边上的三等分点， ∴ ∴， ∴和时等边三角形， 分别作、， ∵、， ∴， ∴四边形时矩形 ∴ ∴， 故答案为：5. 【点睛】本题考查轴对称最小距离问题，解题的关键是作出最短距离点． 例2．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点的坐标和再证明四边形是平行四边形，得出，结合两点之间线段最短，故四边形的周长是，运用两点距离公式列式计算，得出，代入计算即可作答． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点， ∴当时，∴点的坐标是，当时，则，∴， 设抛物线与轴的另外一个交点为M，∴∴对称轴；则 过点M作轴，且， ∵轴，线段CD在对称轴上，∴ ∵∴四边形是平行四边形∴ 连接与对称轴相交于一点，即为点D的位置，再连接 ∵对称轴，线段CD在对称轴上， ∴∴ 此时四边形周长有最小值 即 ∵∴则则 ∴四边形周长的最小值为故答案为： 模型4.最值模型之将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、利用菱形的性质求线段长、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了建桥选址问题，利用平移，将两条线段和转化为折线段的长是解题的关键． 连接交于，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示，连接交于，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵在菱形中，， ∴在中，， ∴， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． 即的最小值为． 故选：D． 例2．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点，，，，， 作点关于直线的对称点，，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得，∴的最小值为，故答案为：． 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    【答案】见解析． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是学会利用轴对称以及平行四边形的性质解决最短问题． 证明四边形为平行四边形得，可得，进而可说明方案可行． 【详解】解：，， ． ， ， 四边形为平行四边形， ． 根据两点之间线段最短可知， ． 与河岸垂直，为定值， 当时，路径最短． 例2．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）； (3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3． 【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）； （2）解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3）， 又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=k1x+b1， 则，解得：，∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3， 设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，∴D（，0），BD=3-， 　　 ∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|= [3-（-1）]×3， 即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去）， 当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）； （3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ， 则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3， ∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′， 由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值， 设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）， 将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：， ∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x=，∴Q（，0），即m=， 此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，在Rt△M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3， ∴M′N=，  ∴M′Q+QN=3，∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置． 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，此时是最小值，证明是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，， 点是弧的中点， ， ， 又， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了结合图形的性质，考查了对称轴——最短路径问题，也考查了对称的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识，利用弧、弦、圆心角的关系证明是解题关键． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，直线与两坐标轴分别交于，两点，点是的中点，点，分别是直线，轴上的动点，则的周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是利用对称性在找到周长的最小时点、点位置，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接分别交、于点、，此时三角形的周长最小， ∵直线与两坐标轴分别交于、两点， ∴，， ∴， ∴， 由轴对称的性质，可得，，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴， 的周长，此时周长最小， 在中，， 故选：B． 3．（2024·广东深圳·三模）如图，在等腰中，，，为的中点，为上一点，且，是上两动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D．10 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、线段问题(轴对称综合题) 【分析】过点作于点，过点作交于，连接，首先解得，，结合，可得，根据平行线分线段成比例定理，可解得，进而证明四边形为平行四边形，可得；作点关于直线的对称点，连接，过点作于点，由对称的性质可得，故当点在同一直线上时，取最小值，最小值等于的长度，结合三角函数和勾股定理分别解得，，，的值，由轴对称的性质可得的值，证明，由相似三角形的性质解得，进而可得，理由勾股定理分别解得，的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作交于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于直线的对称点，连接，过点作于点，如图， 由对称的性质可得， ∴， ∴当点在同一直线上时，取最小值，最小值等于的长度， ∵为的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴在和中， ，， ∴ ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 4．（2024·贵州安顺·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点，， ，， ， 作点关于直线的对称点， ，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故选：A． 二、填空题 5．（2023·江西抚州·二模）如图，正方形的边长为，的平分线交于点．若点，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、用勾股定理解三角形、正方形性质理解、线段问题(轴对称综合题) 【分析】轴对称—最短路径问题及勾股定理可得到，再利用面积相等即可得到的值，进而得到的最小值． 【详解】解：过点作关于的对称点，连接，根据题意可得是的最小值， ∵正方形的边长为， ∴， ∵点到直线的所有连线中垂线段最短， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，勾股定理，作图与基本作图等知识点的应用，根据轴对称的性质找出点是解题的关键． 6．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，根据相似三角形的判定和性质求出为定值，证明，在中，利用勾股定理求出，再利用三角形三边关系求出的最小值为，即可求解． 【详解】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G， ， 四边形是矩形， ， 矩形中，， ， ， ，，， ， ， ， ，即， 解得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，正确作出辅助线构造相似三角形，及平行四边形是解题的关键． 7．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，延长至点G，使，连接、、，根据可证明，得出，则，故当D、E、G三点共线时，取最小值为，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解∶延长至点G，使，连接、、， ∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当D、E、G三点共线时，取最小值为， 在边长为5的正方形中，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以C为圆心，半径为的圆上，则取得最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题(二次函数综合)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是正确解答此题的关键． 过点作轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则此时最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：对于，令，则，令，则，解得或3，点的坐标分别为、、，函数的对称轴为直线，则点，过点作轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则此时最短， 点关于轴对称，则， 则为最小， 过作轴于点， 则：，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 故答案为：． 三、解答题 9．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)P的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； （3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】 （1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______； 【类比迁移】 （2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值． 【答案】（1）（2）（3）点在距离边和各400米，点距离边400米，距离边米的位置时，的值最小，为 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）将绕点B逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得出答案． （2）先根据正方形的性质得，把绕点B顺时针旋转得到，连接，得到，可判断为等腰直角三角形，得到，然后在中利用勾股定理计算的长． （3）过点作，将绕点旋转，得到，连接，设交于点，易得为等边三角形，为等边三角形，推出，进而得到当四点共线时，，再根据垂线段最短，得到当时，最小，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 将绕点B逆时针旋转得， 连接，如图， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为：． （2）∵四边形为正方形， ∴， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． （3）如图，过点作，将绕点旋转，得到，连接，设交于点， 则：，，， ∴为等边三角形，为等边三角形， ∴ ∴， ∴当四点共线时，， ∵点在上， ∴当时，最小，此时最小， 此时， ∵为等边三角形，，， ∴，， ∵四点共线 ∴， ∴，关于对称，， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴四边形，都是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 综上，点在距离边和各400米，点距离边400米，距离边米的位置时，的值最小，为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，矩形判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，通过旋转构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 11．（2024·福建泉州·模拟预测）平面直角坐标系中，点、都是x轴负半轴上的点，以为一边向上作矩形，矩形另一边，点E为线段上一点，沿直线折叠边，使点D落在x轴上点F处． (1)求点F的坐标（用含m的式子表示）； (2)如图2，设抛物线经过A、E两点，其顶点为M， ①连接，若是直角三角形，求m的值． ②过点E作x轴的垂线，在直线上截取线段（P在Q上方），当在直线上运动时，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】坐标与图形、待定系数法求二次函数解析式、矩形与折叠问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）根据题意可得，，由折叠得，，在中利用勾股定理即可求得，即可得点B的坐标； （2）由（1）知，点，，设，则，在中利用勾股定理即可求得x，即可得到点E的坐标；结合题意利用待定系数法求得抛物线，则点， ①若是直角三角形，则，或，解得对应的m取满足题意得即可； ②四边形周长为，由于和不变，只需求得最小即可，根据将军饮马的模型作点A关于直线l的对称点，再将点向下平移长得到，连接，交直线l于点，在直线l截取，连接，可知四边形周长为，利用轴对称的性质求得点，进一步求得点点，利用两点之间的距离求得对应长度即可． 【详解】（1）解：∵点、都是x轴负半轴上的点， ∴， ∵，四边形为矩形， ∴，， ∵沿直线折叠边，使点D落在x轴上点F处， ∴，， 在中，，即， 解得， ∴点； （2）解：由（1）知，点，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴点， ∵抛物线经过A、E两点， ∴， 解得， ∴抛物线， ∴点， ①若是直角三角形，则，或， ∴，或， 解得或（舍去）， 故； ②四边形周长为，由于和不变，只需求得最小即可， 作点A关于直线l的对称点，再将点向下平移长得到，连接，交直线l于点，在直线l截取，连接，如图， 则四边形为平行四边形，，， ∴四边形周长为， ∵点，直线l的解析式为， ∴点， ∵点，点， ∴， ∴点， ∵点， ∴，， ∴四边形周长为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质以及两点之间的距离公式，解题的关键是根据将军饮马模型找到最小值即可． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 【答案】应用模型：（1）；（2）；拓展延伸： 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】应用模型：（1）根据已知条件得到，求得，得到，，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时四边形周长最小，，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值； 拓展延伸：如图所示直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N，此时最小（垂线段最短），在中利用勾股定理即可解决． 【详解】解：【应用模型】（1）解：∵，， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，四边形周长最小，，且四边形周长的最小值为， ∵， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，， 过点G作于点，则如图所示． ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可证, ∴． 答：四边形周长的最小值为； 【拓展延伸】如图所示，直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N， ∵， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，， ∴，． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称性质正确找到点P的位置． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$