信息必刷卷01（江苏扬州专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（扬州专用） 考情速递 中考·新动向：命题趋势变化：扬州市中考数学命题愈发注重对学生数学核心素养的考查，不再单纯聚焦于知识的记忆，而是向知识的理解与应用倾斜。 在几何方面，对图形的变换与综合运用要求提高。像三角形、四边形的旋转、折叠问题频繁出现，需要学生具备空间想象能力和逻辑推理能力，通过分析图形变换前后的等量关系来解题（第6题，第8题）。 题目呈现方式变化：题目呈现形式更加多样化、情境化。不再是单纯的数学符号和公式堆砌，而是以丰富的生活实例、社会热点为背景出题。比如，结合扬州城市建设中的道路规划、土地面积计算等问题，将几何测量、方程求解等知识点融入其中。同时，增加了图表信息题的比重，要求学生能从函数图象、统计图表中提取有效信息，进行数据分析和处理，这对学生的信息读取和整合能力提出了更高要求（第21题）。 中考·新考法：扬州市中考数学开始尝试对一些非常规考点进行创新考查，还会涉及到跨学科类问题（第22题），收集数据后建立概率模型，预测不同时间段的游客数量，为景区管理提供决策依据。这种创新糅合的考法，培养了学生用数学思维解决实际问题的能力（第11题）。 命题·大预测：针对新动向和新考法，多做综合性练习题。通过练习不同类型的综合题，培养自己分析问题、解决问题的能力，提高思维的灵活性和逻辑性。尤其是针对情境化题目和知识融合题目，要善于总结解题思路和方法，积累解题经验（第27题，第28题）。 注重数学知识在实际生活中的应用。平时多关注生活中的数学问题，如经济理财、工程建设、体育赛事等方面的数学模型。通过解决实际问题，增强数学应用意识，提高将实际问题转化为数学问题并求解的能力，以适应中考中越来越多的情境化题目。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知实数a＝|﹣2025|，则实数a的倒数为（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 2．中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．a3•a3＝2a3 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（﹣2 a）2＝﹣4 a2 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 4．在英语听力口语考试中，7名女生的成绩如下：24，26，23，25，23，25，25，则这组数据的众数是（　　） A．28 B．22 C．23 D．25 5．若点M（x+1，﹣9）与点N（6，y﹣2）关于原点对称，则x+y的值等于（　　） A．4 B．15 C．8 D．3 6．将如图所示的正方体展开，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 7．若反比例函数的图象上有两点A（﹣3，y1），，则y1与y2的大小关系（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 8．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：1，3，6，10，……，这些数量的石子都可以排成如图所示的三角形形状，像这样的数称为三角形数，其中，“1”称为第一个三角形数，“3”称为第二个三角形数，“6”称为第三个三角形数，以此类推，第39个三角形数是（　　） A．741 B．780 C．1482 D．1560 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在横线上 9．一种计算机每秒可以做6×108次运算，那么2×102秒可做 　 　 次运算． 10．因式分解﹣6ab+3a2+3b2＝ 　 　 ． 11．数学兴趣小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可以估计白色部分的面积约为　 　 ． 12．有意义，则x的取值范围为 　 　 ． 13．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 　 　 m． 14．如图，函数y1＝ax+b，y2＝kx的图象交于点P，若y1＝y2，则x＝　 　 ． 15．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15．图3也是一个三阶幻方，其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，则s的值为 　 　 ． 16．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　 　 cm． 17．如图，已知，在△OAB中，∠BOA＝∠BAO＝30°，其底边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将△OAB沿OB折叠，点A落在点A′的位置，若反比例函数的图象经过A′B的中点C，且点A的坐标为，则k的值为 　 　 ． 18．网红“不倒翁”的示意图如图所示，PA，PB分别与优弧AB所在的圆O相切于点A，B，连接PO并延长交优弧AB于点M．若该圆的半径为4，PA＝8，则sin∠AMB的值为 　 　 ． 三、解答题:本大题有10个小题,共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分）计算或化简： （1）（﹣π）0+（）﹣1sin60°． （2）． 20．（8分）解不等式组，并写出它的所有整数解． 21．（8分）为了解某校学生的体育成绩，现从全校七、八年级中各抽取20名学生的体育成绩进行整理分析，并将体育成绩用x表示，共分为4个等级（A：0≤x≤3；B：4≤x≤6；C：7≤x≤9；D：x≥10），下面给出了部分信息： 七年级：5，6，0，7，3，2，8，10，11，9，4，6，8，9，10，6，5，12，9，9； 八年级20名学生的体育成绩中C等级包含的所有数据为：9，8，8，7，9，8，8，9． 0≤x≤3 4≤x≤6 7≤x≤9 x≥10 七年级 3 6 7 4 八年级 3 5 a 4 平均数 众数 中位数 七年级 6.95 b 7.5 八年级 6.95 8 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图：上述表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）通过以上数据分析，你认为 　 　 （填“七年级”或者“八年级”）学生的体育成绩更好，请说明理由．（一条理由即可） （3）若体育成绩7分及以上为合格，该校七年级有1800名学生，估计该校七年级体育成绩合格的学生人数是多少？ 22．（8分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 　 　 ； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 23．（10分）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批蜜薯秧苗开展种植活动．据了解，市场上每捆蜜薯秧苗的价格是农科基地的1.25倍，用320元在市场上购买的蜜薯秧苗比在农科基地购买的少4捆．求农科基地每捆蜜薯秧苗的价格． 24．（10分）如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，若∠AED＝2∠EAD，AC＝6．求DE的长． 25．（10分）如图，已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC． （1）求B，C及顶点D的坐标； （2）求三角形BDC的面积． 26．（10分）已知：如图，△ABC． （1）尺规作∠BAC的平分线AD和BC的垂直平分线DG，垂足为G；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接DC，DE⊥AB于E，DF⊥AC，与AC延长线交于点F，请补全图形，并证明BE＝CF； （3）若∠BAC＝90°，AB＝16，CF＝2，请直接写出线段BC的长度． 27．（12分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t）．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？ （2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 28．（12分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点M是直径AB上的一个动点，过点M的弦CD⊥AB，交⊙O于点C、D，连接BC，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E，交⊙O于点G． （1）如图1，连接CG，过点G的直线交DC的延长线于点P．当点M与圆心O重合时，若∠PGC＝∠MDE，求证：PG是⊙O的切线； （2）在点M运动的过程中，DE＝kDF（k为常数），求k的值； （3）如图2，连接BG、OF、MF，当△MOF是等腰三角形时，求∠BGD的正切值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（扬州专用） 考情速递 中考·新动向：命题趋势变化：扬州市中考数学命题愈发注重对学生数学核心素养的考查，不再单纯聚焦于知识的记忆，而是向知识的理解与应用倾斜。 在几何方面，对图形的变换与综合运用要求提高。像三角形、四边形的旋转、折叠问题频繁出现，需要学生具备空间想象能力和逻辑推理能力，通过分析图形变换前后的等量关系来解题（第6题，第8题）。 题目呈现方式变化：题目呈现形式更加多样化、情境化。不再是单纯的数学符号和公式堆砌，而是以丰富的生活实例、社会热点为背景出题。比如，结合扬州城市建设中的道路规划、土地面积计算等问题，将几何测量、方程求解等知识点融入其中。同时，增加了图表信息题的比重，要求学生能从函数图象、统计图表中提取有效信息，进行数据分析和处理，这对学生的信息读取和整合能力提出了更高要求（第21题）。 中考·新考法：扬州市中考数学开始尝试对一些非常规考点进行创新考查，还会涉及到跨学科类问题（第22题），收集数据后建立概率模型，预测不同时间段的游客数量，为景区管理提供决策依据。这种创新糅合的考法，培养了学生用数学思维解决实际问题的能力（第11题）。 命题·大预测：针对新动向和新考法，多做综合性练习题。通过练习不同类型的综合题，培养自己分析问题、解决问题的能力，提高思维的灵活性和逻辑性。尤其是针对情境化题目和知识融合题目，要善于总结解题思路和方法，积累解题经验（第27题，第28题）。 注重数学知识在实际生活中的应用。平时多关注生活中的数学问题，如经济理财、工程建设、体育赛事等方面的数学模型。通过解决实际问题，增强数学应用意识，提高将实际问题转化为数学问题并求解的能力，以适应中考中越来越多的情境化题目。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知实数a＝|﹣2025|，则实数a的倒数为（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【分析】先将绝对值化简，再求倒数即可． 【解答】解：a＝|﹣2025|＝2025，2024的倒数为， 故选：B． 【点评】本题考查求有理数的绝对值，倒数，解题关键是掌握乘积等于1的两个数互为倒数． 2．中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形逐一判断即可． 【解答】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 3．下列计算正确的是（　　） A．a3•a3＝2a3 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（﹣2 a）2＝﹣4 a2 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 【分析】根据相应的运算法则解答即可． 【解答】解：A项，a3•a3＝a6，原计算错误，故选项A不符合题意； B项，（a+b）2＝a2+2ab+b2，计算正确，故选项B符合题意； C项，（﹣2a）2＝4a2，原计算错误，故选项C不符合题意； D项，（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，原计算错误，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂相乘，完全平方公式，积的乘方、平方差公式，熟练掌握以上知识点是关键． 4．在英语听力口语考试中，7名女生的成绩如下：24，26，23，25，23，25，25，则这组数据的众数是（　　） A．28 B．22 C．23 D．25 【分析】根据众数的定义的解答． 【解答】解：这组数据24，26，23，25，23，25，25中，25出现的次数最多， ∴这组数据的众数是25， 故选：D． 【点评】此题考查了众数定义，掌握众数的定义是解题的关键． 5．若点M（x+1，﹣9）与点N（6，y﹣2）关于原点对称，则x+y的值等于（　　） A．4 B．15 C．8 D．3 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，据此可得x，y的值，再代入x+y计算即可． 【解答】解：由题意得x+1＝﹣6，y﹣2＝9， 解得：x＝﹣7，y＝11， ∴x+y＝﹣7+11＝4， 故选：A． 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 6．将如图所示的正方体展开，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面有一个公共顶点． 【解答】解：由原正方体可得，带图案的三个面有一个公共顶点，而通过折叠后A、C选项都不符合题意；此外B选项折叠后两个阴影部分三角形有一个公共顶点，也不合题意．所以能得到的图形是D选项． 故选：D． 【点评】此题主要考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种图案的面的特点及位置． 7．若反比例函数的图象上有两点A（﹣3，y1），，则y1与y2的大小关系（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【分析】对于反比例函数，当k＞0时，图象在一、三象限均有y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限均有y随x的增大而增大．据此即可求解． 【解答】解：∵k＝1＞0， ∴的图象y随x的增大而减小， ∵， ∴0＞y1＞y2， 故选：A． 【点评】本题考查了根据反比例函数的增减性比较反比例函数值或自变量的大小，正确进行计算是解题关键． 8．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：1，3，6，10，……，这些数量的石子都可以排成如图所示的三角形形状，像这样的数称为三角形数，其中，“1”称为第一个三角形数，“3”称为第二个三角形数，“6”称为第三个三角形数，以此类推，第39个三角形数是（　　） A．741 B．780 C．1482 D．1560 【分析】根据所给的数据发现：第1个三角形数是；第2个三角形数是；第3个三角形数是；第4个三角形数是；据此总结规律即可得到答案． 【解答】解：由图可知： 第1个三角形数是； 第2个三角形数是； 第3个三角形数是； 第4个三角形数是； ......， 第39个三角形数是； 故选：B． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，发现每一个三角形数对应的数的规律是解题的关键． 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在横线上 9．一种计算机每秒可以做6×108次运算，那么2×102秒可做 　1.2×1011　 次运算． 【分析】利用单项式的乘法法则求解，然后结果利用科学记数法表示即可． 【解答】解：6×108×2×102＝1.2×1011． 故答案为：1.2×1011． 【点评】本题考查单项式的乘法法则，以及科学记数法，理解单项式乘法法则是关键． 10．因式分解﹣6ab+3a2+3b2＝ 　3（a﹣b）2　 ． 【分析】先提公因数3，然后利用完全平方公式分解因式． 【解答】解：原式＝3（a2﹣2ab+b2） ＝3（a﹣b）2． 故答案为：3（a﹣b）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：先提取公因式，然后对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 11．数学兴趣小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可以估计白色部分的面积约为　1　 ． 【分析】先求出点落在区域内白色部分的频率稳定在1﹣0.75＝0.25左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答． 【解答】解：∵掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右， ∴点落在区域内白色部分的频率稳定在1﹣0.75＝0.25左右， ∵大正方形的面积为2×2＝4， ∴由此可以估计白色部分的面积约为4×0.25＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键． 12．有意义，则x的取值范围为 　x≥5　 ． 【分析】根据分母不为零和二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣5≥0且4﹣x≠0， 解得x≥5． 故答案为：x≥5． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握分母不为零和二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 13．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 　　 m． 【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到ABm，设圆锥的底面圆的半径为r m，利用弧长公式得到2πr，然后解方程即可． 【解答】解：∵BC＝2m，∠BAC＝90°， ∴ABm， 设圆锥的底面圆的半径为r m， 根据题意得2πr， 解得r， 即圆锥的底面圆的半径为m． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 14．如图，函数y1＝ax+b，y2＝kx的图象交于点P，若y1＝y2，则x＝　﹣2　 ． 【分析】根据两个函数的交点的坐标进行解答． 【解答】解：由图象可得：P（﹣2，﹣1）， ∵y1和y2相交于点P， ∴当x＝﹣2时，y1＝y2． 故答案为：x＝﹣2． 【点评】本题主要考查了一次函数的知识，根据图形得出交点坐标是解答的关键，难度不大． 15．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15．图3也是一个三阶幻方，其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，则s的值为 　36　 ． 【分析】设12上面的数字为a，12下面的数字为b，分别列方程求出a和b的值，然后得出s的值即可． 【解答】解：设12上面的数字为a，12下面的数字为b， 根据题意得，10+12＝21+a，10+b＝21+12， 解得a＝1，b＝23， ∴s＝1+12+23＝36， 故答案为：36． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 16．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　20　 cm． 【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可． 【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为x cm， 由题意可得：△ABO∽△A′B′O， 则， 解得：x＝20． 故答案为：20． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 17．如图，已知，在△OAB中，∠BOA＝∠BAO＝30°，其底边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将△OAB沿OB折叠，点A落在点A′的位置，若反比例函数的图象经过A′B的中点C，且点A的坐标为，则k的值为 　8　 ． 【分析】过B作BD⊥OA于D，易证得△AOB是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质得出OD＝AD＝2，解直角三角形求得AB、BD，从而得到A′D，进一步求得点C的坐标，代入即可求得k的值． 【解答】解：过B作BD⊥OA于D， 在△OAB中，∠BOA＝∠BAO＝30°， ∴OB＝AB， ∵点A的坐标为，BD⊥OA， ∴OD＝AD＝2， ∴AB4， ∴A′B＝AB＝4，BD2， ∴A′D＝6， ∵A′B的中点C， ∴A′C＝2， ∴CD＝4， ∴C（2，4）， ∵点C在反比例函数y的图象上， ∴k＝28， 故答案为：8． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判断和性质，坐标与图形变化﹣对称，求得点C的坐标是解题的关键． 18．网红“不倒翁”的示意图如图所示，PA，PB分别与优弧AB所在的圆O相切于点A，B，连接PO并延长交优弧AB于点M．若该圆的半径为4，PA＝8，则sin∠AMB的值为 　2　 ． 【分析】连接OA，OB，利用切线的性质可得∠PAO＝∠PBO＝90°，从而利用HL证明Rt△OAP≌Rt△OBP，然后利用全等三角形的性质可得∠AOP＝∠BOP∠AOB，再利用圆周角定理可得∠AMB∠AOB，从而可得∠AOP＝∠AMB，最后在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP的长，从而利用锐角三角函数的定义求出sin∠AOP的值，即可解答． 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA、PB分别与优弧AB所在的圆O相切于点A、B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵OA＝OB，OP＝OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴∠AOP＝∠BOP∠AOB， ∵∠AMB∠AOB， ∴∠AOP＝∠AMB， 在Rt△OAP中，OA＝4，PA＝8， ∴OP4， ∴sin∠AOP， ∴sin∠AMB＝sin∠AOP， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19．（8分）计算或化简： （1）（﹣π）0+（）﹣1sin60°． （2）． 【分析】（1）利用零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算； （2）先把分式的除法变成分式的乘法，再约分化简． 【解答】解：（1）（﹣π）0+（）﹣1sin60° ＝1+2 ＝3 ； （2） ＝1． 【点评】本题考查了实数的运算与分式除法，解题的关键是掌握零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分式除法与分式约分． 20．（8分）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x≥﹣3， 解不等式②，得x＜﹣1， 所以不等式组的解集是﹣3≤x＜﹣1， 所以不等式组的整数解是﹣3，﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 21．（8分）为了解某校学生的体育成绩，现从全校七、八年级中各抽取20名学生的体育成绩进行整理分析，并将体育成绩用x表示，共分为4个等级（A：0≤x≤3；B：4≤x≤6；C：7≤x≤9；D：x≥10），下面给出了部分信息： 七年级：5，6，0，7，3，2，8，10，11，9，4，6，8，9，10，6，5，12，9，9； 八年级20名学生的体育成绩中C等级包含的所有数据为：9，8，8，7，9，8，8，9． 0≤x≤3 4≤x≤6 7≤x≤9 x≥10 七年级 3 6 7 4 八年级 3 5 a 4 平均数 众数 中位数 七年级 6.95 b 7.5 八年级 6.95 8 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图：上述表中的a＝　8　 ，b＝　9　 ，c＝　8　 ； （2）通过以上数据分析，你认为 　八年级　 （填“七年级”或者“八年级”）学生的体育成绩更好，请说明理由．（一条理由即可） （3）若体育成绩7分及以上为合格，该校七年级有1800名学生，估计该校七年级体育成绩合格的学生人数是多少？ 【分析】（1）将八年级C等级的人数画出即可补全条形统计图；根据八年级C等级的人数可确定a的值；根据众数和中位数的意义可确定b，c的值； （2）比较七、八年级成绩的平均数、众数、中位数即可得出那个年级学生的体育成绩更好； （3）将样本中七年级成绩合格的比例乘以1800即可估计该校七年级体育成绩合格的学生人数． 【解答】解：（1）八年级C等级有8名，补全条形统计图如下： ∵八年级20名学生的体育成绩中C等级7≤x≤9包含的数据有8个， ∴a＝8， ∵七年级20名学生成绩中9出现4次，最多， ∴b＝9， ∵八年级第9～16个数据由小到大排列为：7，8，8，8，8，9，9，9， ∴c， 故答案为：8，9，8； （2）答案不唯一，比如： 八年级，理由如下： ∵因为七、八年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级的中位数， ∴八年级学生的体育成绩更好， 故答案为八年级； （3）（名）， 答：估计该校七年级体育成绩合格的学生人数是990名． 【点评】本题考查频数分布表，条形统计图，平均数，众数，中位数，用样本估计总体，理解相关概念的意义是解题的关键． 22．（8分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 　　 ； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种， ∴抽中C卡片的概率是． 故答案为：． （2）四张卡片内容中是化学变化的有：A，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD，DA，共2种， ∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．（10分）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批蜜薯秧苗开展种植活动．据了解，市场上每捆蜜薯秧苗的价格是农科基地的1.25倍，用320元在市场上购买的蜜薯秧苗比在农科基地购买的少4捆．求农科基地每捆蜜薯秧苗的价格． 【分析】设农科基地每捆蜜薯秧苗的价格为x元，则市场上每捆蜜薯秧苗的价格为1.25x元，利用数量＝总价÷单价，结合用320元在市场上购买的蜜薯秧苗比在农科基地购买的少4捆，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设农科基地每捆蜜薯秧苗的价格为x元，则市场上每捆蜜薯秧苗的价格为1.25x元， 根据题意得：， 解得：x＝16， 经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意． 答：农科基地每捆蜜薯秧苗的价格是16元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24．（10分）如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，若∠AED＝2∠EAD，AC＝6．求DE的长． 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由四边形ABCD是平行四边形，可得AO＝CO．又由△ACE是等边三角形，可得AE＝CE．根据三线合一，对角线垂直，即可得四边形既为菱形； （2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠BAO＝∠EAO﹣∠EAD＝60°﹣15°＝45°，即四边形ABCD是正方形，利用正方形的性和等边三角形的性质即可求出DE的长． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA＝OC， ∵△ACE是等边三角形． ∴OE⊥AC， ∴BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵△ACE是等边三角形，OE⊥AC， ∴∠AEO∠AEC＝30°， ∵∠AED＝2∠EAD， ∴∠EAD＝15° ∴∠ADB＝45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC，BD⊥AC， ∴∠CDB＝∠ADB＝45° ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴OA＝OC＝ODAC＝3， ∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAO＝60° 在Rt△AOE中，OE＝OAtan60°＝3 ∴DE＝OE﹣OD＝33． 【点评】此题主要考查菱形和正方形的判定．本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度中等．注意灵活运用正方形和菱形的判定方法． 25．（10分）如图，已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC． （1）求B，C及顶点D的坐标； （2）求三角形BDC的面积． 【分析】（1）根据抛物线解析式分别求出点B，C，D坐标； （2）直线x＝2与x轴相交于E，于BC相交于H，先用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出H点坐标，求出DH，再用S△BCDDH•|xB﹣xC|求出面积即可． 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x﹣5当y＝0时，x2﹣4x﹣5＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝5 ∴B点坐标为（5，0）， 当x＝0时，y＝﹣5， ∴C点坐标（0，﹣5）， ∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴D点坐标（2，﹣9）； （2）由（1）知，抛物线对称轴为直线x＝2， 设直线x＝2与x轴相交于E，于BC相交于H，如图所示： 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣5， 当x＝2时，y＝﹣3， ∴H（2，﹣3）， ∴DH＝﹣3﹣（﹣9）＝6， ∴S△BCDDH•|xB﹣xC|6×5＝15． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是利用二次函数的性质解题． 26．（10分）已知：如图，△ABC． （1）尺规作∠BAC的平分线AD和BC的垂直平分线DG，垂足为G；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接DC，DE⊥AB于E，DF⊥AC，与AC延长线交于点F，请补全图形，并证明BE＝CF； （3）若∠BAC＝90°，AB＝16，CF＝2，请直接写出线段BC的长度． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）连接BD．证明Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），可得结论； （3）证明△ADE≌△ADF（AAS），推出AE＝AF，由AB＝16，BE＝CF＝2，推出AE＝AF＝16﹣2＝14，推出AC＝AF﹣CF＝12，再利用勾股定理求出BC． 【解答】（1）解：如图，射线AD，直线DG即为所求； （2）证明：连接BD． ∵DG垂直平分线段BC， ∴DB＝DC， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AF， ∴DE＝DF， 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴BE＝CF． （3）解：在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF， ∵AB＝16，BE＝CF＝2， ∴AE＝AF＝16﹣2＝14， ∴AC＝AF﹣CF＝12， ∵∠BAC＝90°， ∴CB20． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 27．（12分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t）．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？ （2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据动点问题表示相应的线段，再根据线段垂直平分线的性质建立方程，即可求解； （2）连接CO化不规则四边形PCEO为规则图形，根据相似三角形求两个三角形的高，然后求两个三角形的面积和便可求得函数关系； （3）根据平行得出角相等，进而得出其三角函数值相等，再求相关线段建立关系，即可求解． 【解答】解：（1）当点A在线段OE的垂直平分线上，则有AE＝AO， 根据题意可得：AN＝AC﹣DE＝2cm，EN＝tcm，AO＝2tcm， ∴AE＝AN+EN＝（2+t）cm， ∵点A在线段OE的垂直平分线上， ∴AE＝AO，即2+t＝2t， 解得：t＝2，符合题意， ∴当t为2秒时，点A在线段OE的垂直平分线上； （2）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，连接CO， 则∠OGA＝∠BHO＝90°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 根据勾股定理得：AB10cm， ∴∠OGA＝∠BHO＝∠ACB＝90°，OB＝（10﹣2t）cm， ∴OG∥BC，OH∥AC， ∴，，即，， 解得：OG，OH， 由平移可知PC∥FD，且DE＝DF， ∴， ∴CP＝CE＝6﹣t， ∴S＝S△PCO+S△CEO ； （3）过点P作PM⊥OB于点M， ∴∠BMP＝∠ACB＝90°， ∵∠MBP＝∠ABC， ∴△BMP∽△BCA， ∴，即， ∴BM，PM， ∴OM＝AB﹣BM﹣AO＝102t＝10， ∵OQ⊥AB，△AOH与△AOQ关于直线AB对称， ∴tan∠OAQ，即， ∴OH＝OQ， ∵tan∠MOP，tan∠OBH， ∵PO∥BH， ∴∠MOP＝∠OBH， ∴， 解得t，故符合题意， ∴当t为秒时，PO∥BH． 【点评】本题综合考查了勾股定理、平移、线段的垂直平分线性质定理、相似、轴对称、平行线性质、解直角三角形、函数等知识，化动为静是解决问题的关键． 28．（12分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点M是直径AB上的一个动点，过点M的弦CD⊥AB，交⊙O于点C、D，连接BC，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E，交⊙O于点G． （1）如图1，连接CG，过点G的直线交DC的延长线于点P．当点M与圆心O重合时，若∠PGC＝∠MDE，求证：PG是⊙O的切线； （2）在点M运动的过程中，DE＝kDF（k为常数），求k的值； （3）如图2，连接BG、OF、MF，当△MOF是等腰三角形时，求∠BGD的正切值． 【分析】（1）连接OG，利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）过点F作 FH⊥CD，垂足为H，利用三角形的中位线定理，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点M在圆心O的左侧时，OF＝OM，连接CO，利用全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可；②当点M在圆心O的右侧时，OF＝OM，∠FOM＝∠OFM，利用等腰三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接OG，如图， 则OD＝OG， ∴∠MDE＝∠OGE， 当点M与圆心O重合时，CD是⊙O的直径， ∴∠CGD＝90°， 即∠CGO+∠OGE＝90°， ∵∠PGC＝∠MDE， ∴∠PGC＝∠OGE， ∴∠CGO+∠PGC＝90°， 即OG⊥PG， ∵OG是⊙O的半径， ∴PG是⊙O的切线； （2）解：过点F作 FH⊥CD，垂足为H，如图， 则 FH∥AB， ∵点F为BC的中点， ∴FH是△BCM的中位线， ∴， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴，， ∵∠DME＝∠DHF＝90°，∠MDE＝∠HDF， ∴△DME∽△DHF， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点M在圆心O的左侧时，OF＝OM，连接CO，如图， ∵点F为BC的中点， ∴OF⊥BC， 在Rt△OFC和Rt△OMC中， ， ∴Rt△OFC≌Rt△OMC（HL）， ∴CF＝CM． 在Rt△CMB中，点F为BC的中点， ∴MF＝CF＝BF， ∴MF＝CF＝CM， ∴△CMF 是等边三角形， ∴∠DCB＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∴； ②当点M在圆心O的右侧时，OF＝OM，∠FOM＝∠OFM，如图， ∵点F为BC的中点， ∴OF⊥BC， ∴∠OFB＝90°， ∴∠OFM+∠MFB＝90°，∠FOM+∠MBF＝90°， ∴∠MFB＝∠MBF， ∴MF＝MB， 在Rt△CMB 中，点F为BC的中点， ∴MF＝BF＝CF， ∴MF＝MB＝BF， ∴△MBF 是等边三角形， ∴∠MBF＝60°， ∴∠MCF＝30°， ∴∠BGD＝∠BCD＝30° ∴． 综上所述，∠BGD的正切值为或． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形的和等腰三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（扬州专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D A D A B 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在横线上 9．1.2×1011 10．3（a﹣b）2 11． 1 12．x≥5 13． 14．x＝﹣2 15． 36 16．20 17．8 18． 三、解答题:本大题有10个小题,共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分） 解：（1）（﹣π）0+（）﹣1sin60° ＝1+2 ＝3 ； （2） ＝1． 20．（8分） 解：， 解不等式①，得x≥﹣3， 解不等式②，得x＜﹣1， 所以不等式组的解集是﹣3≤x＜﹣1， 所以不等式组的整数解是﹣3，﹣2． 21．（8分） 解：（1）八年级C等级有8名，补全条形统计图如下： ∵八年级20名学生的体育成绩中C等级7≤x≤9包含的数据有8个， ∴a＝8， ∵七年级20名学生成绩中9出现4次，最多， ∴b＝9， ∵八年级第9～16个数据由小到大排列为：7，8，8，8，8，9，9，9， ∴c， 故答案为：8，9，8； （2）答案不唯一，比如： 八年级，理由如下： ∵因为七、八年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级的中位数， ∴八年级学生的体育成绩更好， 故答案为八年级； （3）（名）， 答：估计该校七年级体育成绩合格的学生人数是990名． 22．（8分） 解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种， ∴抽中C卡片的概率是． 故答案为：． （2）四张卡片内容中是化学变化的有：A，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD，DA，共2种， ∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 23．（10分） 解：设农科基地每捆蜜薯秧苗的价格为x元，则市场上每捆蜜薯秧苗的价格为1.25x元， 根据题意得：， 解得：x＝16， 经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意． 答：农科基地每捆蜜薯秧苗的价格是16元． 24．（10分） 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA＝OC， ∵△ACE是等边三角形． ∴OE⊥AC， ∴BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵△ACE是等边三角形，OE⊥AC， ∴∠AEO∠AEC＝30°， ∵∠AED＝2∠EAD， ∴∠EAD＝15° ∴∠ADB＝45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC，BD⊥AC， ∴∠CDB＝∠ADB＝45° ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴OA＝OC＝ODAC＝3， ∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAO＝60° 在Rt△AOE中，OE＝OAtan60°＝3 ∴DE＝OE﹣OD＝33． 25．（10分） 解：（1）y＝x2﹣4x﹣5当y＝0时，x2﹣4x﹣5＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝5 ∴B点坐标为（5，0）， 当x＝0时，y＝﹣5， ∴C点坐标（0，﹣5）， ∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴D点坐标（2，﹣9）； （2）由（1）知，抛物线对称轴为直线x＝2， 设直线x＝2与x轴相交于E，于BC相交于H，如图所示： 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣5， 当x＝2时，y＝﹣3， ∴H（2，﹣3）， ∴DH＝﹣3﹣（﹣9）＝6， ∴S△BCDDH•|xB﹣xC|6×5＝15． 26．（10分） （1）解：如图，射线AD，直线DG即为所求； （2）证明：连接BD． ∵DG垂直平分线段BC， ∴DB＝DC， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AF， ∴DE＝DF， 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴BE＝CF． （3）解：在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF， ∵AB＝16，BE＝CF＝2， ∴AE＝AF＝16﹣2＝14， ∴AC＝AF﹣CF＝12， ∵∠BAC＝90°， ∴CB20． 27．（12分） 解：（1）当点A在线段OE的垂直平分线上，则有AE＝AO， 根据题意可得：AN＝AC﹣DE＝2cm，EN＝tcm，AO＝2tcm， ∴AE＝AN+EN＝（2+t）cm， ∵点A在线段OE的垂直平分线上， ∴AE＝AO，即2+t＝2t， 解得：t＝2，符合题意， ∴当t为2秒时，点A在线段OE的垂直平分线上； （2）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，连接CO， 则∠OGA＝∠BHO＝90°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 根据勾股定理得：AB10cm， ∴∠OGA＝∠BHO＝∠ACB＝90°，OB＝（10﹣2t）cm， ∴OG∥BC，OH∥AC， ∴，，即，， 解得：OG，OH， 由平移可知PC∥FD，且DE＝DF， ∴， ∴CP＝CE＝6﹣t， ∴S＝S△PCO+S△CEO ； （3）过点P作PM⊥OB于点M， ∴∠BMP＝∠ACB＝90°， ∵∠MBP＝∠ABC， ∴△BMP∽△BCA， ∴，即， ∴BM，PM， ∴OM＝AB﹣BM﹣AO＝102t＝10， ∵OQ⊥AB，△AOH与△AOQ关于直线AB对称， ∴tan∠OAQ，即， ∴OH＝OQ， ∵tan∠MOP，tan∠OBH， ∵PO∥BH， ∴∠MOP＝∠OBH， ∴， 解得t，故符合题意， ∴当t为秒时，PO∥BH． 28．（12分） （1）证明：连接OG，如图， 则OD＝OG， ∴∠MDE＝∠OGE， 当点M与圆心O重合时，CD是⊙O的直径， ∴∠CGD＝90°， 即∠CGO+∠OGE＝90°， ∵∠PGC＝∠MDE， ∴∠PGC＝∠OGE， ∴∠CGO+∠PGC＝90°， 即OG⊥PG， ∵OG是⊙O的半径， ∴PG是⊙O的切线； （2）解：过点F作 FH⊥CD，垂足为H，如图， 则 FH∥AB， ∵点F为BC的中点， ∴FH是△BCM的中位线， ∴， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴，， ∵∠DME＝∠DHF＝90°，∠MDE＝∠HDF， ∴△DME∽△DHF， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点M在圆心O的左侧时，OF＝OM，连接CO，如图， ∵点F为BC的中点， ∴OF⊥BC， 在Rt△OFC和Rt△OMC中， ， ∴Rt△OFC≌Rt△OMC（HL）， ∴CF＝CM． 在Rt△CMB中，点F为BC的中点， ∴MF＝CF＝BF， ∴MF＝CF＝CM， ∴△CMF 是等边三角形， ∴∠DCB＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∴； ②当点M在圆心O的右侧时，OF＝OM，∠FOM＝∠OFM，如图， ∵点F为BC的中点， ∴OF⊥BC， ∴∠OFB＝90°， ∴∠OFM+∠MFB＝90°，∠FOM+∠MBF＝90°， ∴∠MFB＝∠MBF， ∴MF＝MB， 在Rt△CMB 中，点F为BC的中点， ∴MF＝BF＝CF， ∴MF＝MB＝BF， ∴△MBF 是等边三角形， ∴∠MBF＝60°， ∴∠MCF＝30°， ∴∠BGD＝∠BCD＝30° ∴． 综上所述，∠BGD的正切值为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$