【消灭易错】03 解答题必刷100道-备战2025年中考数学考试易错题（浙江专用）

消灭易错03 解答题必刷100道 A组 中考真题 数与式 1．（2024·浙江·中考真题）计算： 2．（2023·浙江衢州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）计算： (1)． (2)． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）解答下列各题： (1)计算： (2)当时，求代数式的值． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 方程（组）与不等式（组） 6．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 7．（2023·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组 8．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 一次函数与反比例函数的综合 10．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．    (1)求m的值和直线的函数表达式． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 11．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．    (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 12．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点． (1)求点A的坐标和反比例函数表达式． (2)若点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围． 13．（2022·浙江金华·中考真题）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为． (1)求k的值及点D的坐标． (2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围． 14．（2022·浙江杭州·中考真题）设函数，函数（，，b是常数，，）． (1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． (2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 二次函数综合 15．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 16．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 17．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 18．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 19．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． (1)填空：____；____；_____． (2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． (3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 20．（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中， (1)若它的图象过点，则t的值为多少？ (2)当时，y的最小值为，求出t的值： (3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 21．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．    (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 22．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 统计与概率 23．（2024·浙江·中考真题）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（    ） （A）科普讲座   （B）科幻电影   （C）AI应用   （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是（    ） （E）辅助学习   （F）虚拟体验   （G）智能生活   （H）其他    根据以上信息．解答下列问题： (1)本次调查中最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？ (2)学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数． 24．（2023·浙江衢州·中考真题）【数据的收集与整理】 根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为，死亡率为，人口自然增长率为，常住人口数为人（表示千分号）．（数据来源：衢州市统计局） 【数据分析】 (1)请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系； (2)已知本次调查的样本容量为11450，请推算的值； (3)将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如下统计图．根据统计图分析：    ①对图中信息作出评判（写出两条）； ②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议． 25．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球    B．乒乓球    C．足球    D．排球    E．羽毛球 调查结果       建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了多少名学生？ (2)估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数． (3)假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 26．（2023·浙江温州·中考真题）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示． 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） B 216 215 220 C 225 227.5 227.5    (1)阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数． (2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议． 27．（2023·浙江金华·中考真题）为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题：    (1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图． (2)本校共有名学生，若每间教室最多可安排名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间． 28．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：      (1)数据分析： ①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数； ②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数． (2)合理建议： 请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由． 全等与相似 29．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 30．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 31．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 32．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．    33．（2023·浙江绍兴·中考真题）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最大面积为 ．（不计三角尺的厚度） 如图，矩形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻折，点落在点处．已知，连结． 当时， ； 当为直角三角形时， ． 实际问题 34．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 35．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 36．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 37．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．    (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 38．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 39．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 40．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 四边形的综合 41．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 42．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 43．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 44．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．    (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 45．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 圆的综合 46．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 47．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．    (1)求的长和关于的函数表达式． (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 48．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．    (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由； ③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 49．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 50．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． B组 中考模拟 数与式 1．（2025·浙江温州·一模）计算：． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）先化简，再求值∶ ，其中 ． 3．（2025·浙江金华·模拟预测）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 先化简，再求值： ，其中 ． 解：原式 ② ③ 当 时．原式 4．（2025·浙江·一模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式 (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 5．（2025·浙江·一模）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想.如图①，借助四边形的面积说明了等式成立． (1)观察图②，③，找出可以推出的等式： 等式A：； 等式B：； 可知，图②对应等式_____；图③对应等式_____． (2)如图④，中，，，于点，是边上一点，作于点于点，过作的平行线交直线于点．分别记，，，的面积为．求的值． 方程（组）与不等式（组） 6．（2025·浙江·模拟预测）（1）解方程组 （2）解不等式组： 7．（2025·浙江衢州·一模）解方程： 8．（2025·浙江杭州·二模）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 9．（2025·浙江·模拟预测）下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 10．（2025·浙江宁波·一模）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点． (1)试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____． (2)当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由． (3)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值． 一次函数与反比例函数的综合 11．（2025·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， (1)求和的值． (2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 12．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 13．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 14．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点与的延长线相交于点． (1)若的面积为6． ①求反比例函数的表达式． ②当时，求自变量的取值范围． (2)已知，求的长． 二次函数综合 15．（2025·浙江杭州·二模）已知二次函数（k为常数）． (1)用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围； (3)当时，该函数有最小值，求k的值． 16．（2025·浙江温州·一模）已知抛物线（a，b为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值． (3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围． 17．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（为实数）的顶点为． (1)当时，求抛物线的顶点坐标与对称轴． (2)求证：无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点． (3)若以为一个顶点作抛物线的内接等边三角形（点，均在抛物线上），直接写出的面积． 18．（2025·浙江金华·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 过点 (1)请用含 的代数式表示 ． (2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． (3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 19．（2025·浙江·一模）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 20．（2025·浙江衢州·一模）已知二次函数， (1)若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②当时，函数的最小值为，求的最大值． (2)若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 21．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数． (1)当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 22．（2025·浙江衢州·一模）对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 23．（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”． 例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若函数的“纵横极差”为4，求h的值． 统计与概率 24．（2025·浙江宁波·一模）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的个小球，它们分别标有数字、、3．从袋中任意摸出一小球，然后放回，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球． (1)请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果． (2)将第一次摸出的数字作为点的横坐标x，第二次摸出的数字作为点的纵坐标y，求点落在双曲线上的概率． 25．（2025·浙江杭州·一模）某校为了解学生的数学素养，随机抽取100名学生进行模拟测试（每位学员答5道数学题，其中答对4道及以上为优秀），经过两周训练，对这些学生进行第二次模拟测试，将这两次模拟成绩进行整理、分析，并制作成如下统计表． (1)在扇形统计图中，“答对4道”所在扇形的圆心角为________度． (2)若该校有1200名学生，估计第一次模拟测试达到“优秀”的学生人数． (3)你认为学生的两周训练是否有效？请用相关统计量说明理由． 26．（2025·浙江·一模）某初中要调查学校学生（学生总数2000人）双休日的学习状况，采用下列调查方式： ①从七年级选取200名学生； ②某个时间段去操场选取200名学生； ③选取不同年级的200名女学生； ④按照一定比例在不同年级里随机选取200名学生． (1)上述调查方式中合理的是_____．（填写序号） (2)调查小组将得到的数据制成频数直方图（如图1）和扇形统计图（如图2），可知，在这个调查中，200名学生双休日在家学习的有_____人． (3)请估计该学校2000名学生双休日学习时间不少于4小时的人数． 27．（2025·浙江·模拟预测）某校为宣传中华民族的悠久历史和灿烂文化，激发学生传承非遗的兴趣，从全校1800名学生中随机抽取部分学生进行文化遗产知识测试，将测试的成绩（满分100分）按A、B、C、D、E分为五组，并将这五组分为优秀、良好、及格和不及格四挡，如图是不完整的统计图表． 学生文化遗产知识测试成绩统计表 组别 成绩分组（单位：分） 频数 频率 A 8 0.1 B 0.25 C a D 0.3 E 0.2 据以上信息，解答下列问题． (1)填空：这次被调查的学生共有 人， ． (2)若扇形统计图中良好这一档的圆心角度数为，请估计该校1800名学生中成绩为优秀的人数． 28．（2025·浙江·模拟预测）某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”“一般”“较强”“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了______名学生．在扇形统计图中，“淡薄”所在的扇形对应的圆心角的度数是______，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是______； (2)请将条形统计图补充完整； (3)该校有名学生，现要对安全意识为“淡薄”“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有多少名？ 29．（2025·浙江·模拟预测）在2024年巴黎奥运会上，我国体育健儿顽强拼搏、奋勇争先、不负使命，勇夺40枚金牌．为了致敬奥运健儿，弘扬体育精神，某校举办了一分钟跳绳比赛．学校随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了统计表和统计图（如图）． 一分钟跳绳次数的频数表 等级 次数 频数 不合格 4 合格 10 良好 优秀 12 一分钟跳绳次数的频数直方图 请根据上述信息，解答下列问题： (1)求的值，并把一分钟跳绳次数的频数直方图补充完整． (2)若该校有800名学生，估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为 (3)在本次比赛结果为“优秀”等级的学生中，有4位同学一分钟跳绳的次数达190次以上，其中男生和女生各占一半，现准备从这四位同学中选2位参加比赛．请用列表或画树状图的方法，求选出的2位同学恰好性别不同的概率． 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 全等与相似 30．（2025·浙江温州·一模）在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． 31．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． (1)求证：． (2)当时，求与的度数和． 32．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 33．（2025·浙江杭州·二模）如图，为等边三角形，分别延长，到点使，连接，连接并延长交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 34．（2025·浙江·模拟预测）【公式探索】 （1）计算______；________；__________ 【公式建构】 （2）根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明． 【迁移应用】 （3）如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径． 35．（2025·浙江宁波·一模）在中，点分别在边上，线段相交于点． (1)若是正三角形，，求的值． (2)设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：． 实际问题 36．（2025·浙江温州·一模）周末，小瓯骑自行车从家里向雁荡山（离家路程米）出发．分钟后，她开始休息，休息时发现学生证放家里忘带，于是打电话联系爸爸．接到电话后爸爸立即开摩托车送过去，拿到学生证后小瓯以原速继续骑行，爸爸则不着急慢慢返回．两人离家的路程（米）随时间（分钟）变化的图象如图所示．已知爸爸到达小瓯休息地前，他离家的路程关于的函数表达式为． (1)求与的值． (2)爸爸到家后马上打电话给小瓯，得知她还没到达景区．问：小瓯此时离景区还有多远？ 37．（2025·浙江·一模）如图是某实验室研究某微生物的活跃度指数随着温度变化的图象，发现当温度时，活跃度指数保持不变．当时，对应的图象由曲线段（为常数，）和线段组成． (1)求和的值． (2)当微生物的活跃度指数满足时，符合实验需求，求出此时温度的取值范围． 38．（2025·浙江宁波·模拟预测）某茶叶经销商以每千克30元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且时，时，．求： (1)y与x之间的表达式； (2)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ (3)若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围． 39．（2025·浙江舟山·一模）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为，游轮行驶的时间记为，两艘轮船距离杭州的路程关于的函数图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． (1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长； (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．请解答下列问题： ①填空：图2中的函数表达式为______， 的函数表达式为______； ②货轮出发后几小时追上游轮？ ③从货轮出发到货轮到达终点，直接写出x为何值时，游轮与货轮相距？ 40．（2025·浙江宁波·模拟预测） 冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品，它色泽光亮自然，水分足，果肉脆，口味甜， 深受市民喜爱．上市时， 王经理按市场价格 6 元/千克收购了 2000 千克苹果放入冷库中． 据预测，苹果的市场价格每天每千克将上涨 0.2 元，但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用 160 元，而且苹果在冷库中最多可以保存 50 天，同时，每天有 10 千克的苹果损坏不能出售． (1)若存放 天后，将这批苹果一次性出售，设这批苹果的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数解析式； (2)王经理想获得 3850 元的利润，需将这批苹果存放多少天后出售？(利润销售总金额收购成本各种费用) (3)王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 41．（2025·浙江·模拟预测）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐．为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11:30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下： 经过的时间 /分钟 0 1 2 3 4 5 … 10 累计人数 （人） 0 95 180 255 320 375 … 500 当时与之间的函数关系式，（） 已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐． (1)根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式． (2)排队人数最多时有多少人？ (3)若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求，的值． 四边形的综合 42．（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，，作，点，恰好在直线上． (1)求证：． (2)求线段的长． 43．（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证： ； (2)连接，． ①求菱形的周长； ②若，求的长． 44．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连结，以为边作矩形（点在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点在的中点时，点在同一直线上，求的长； (2)如图2，当时，求证：线段被平分． 45．（2025·浙江衢州·一模）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点． (1)如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：； (2)若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点， ①如图（2），若，求的长； ②如图（3），连接，当，且时，求的值． 46．（2025·浙江杭州·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点， ①求证：； ②若时，则____． （2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 圆的综合 47．（2025·浙江·一模）如图，在中，已知弦相交于点，连接． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 48．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，已知内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若直线与直线交于点，且，求的度数． 49．（2025·浙江·一模）如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． (1)若，请直接写出，的度数． (2)求证：是的切线． (3)若平分，求的长． 50．（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结． (1)若，B为的中点，求的度数． (2)连结，当时． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，求证：． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 消灭易错03 解答题必刷100道 A组 中考真题 数与式 1．（2024·浙江·中考真题）计算： 【答案】7 【知识点】求一个数的立方根、负整数指数幂、化简绝对值 【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，立方根和绝对值，然后计算加减． 【详解】 ． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式与分式相加减 【分析】（1）利用平方差公式求解即可； （2）利用平方差公式和分式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查分式的化简、平方差公式、多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】零指数幂、求一个数的算术平方根、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）根据零指数幂运算、去绝对值运算和算术平方根运算分别求解，再利用有理数加减运算求解即可得到答案； （2）根据平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查实数混合运算及整式混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）解答下列各题： (1)计算： (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值 【分析】（1）根据绝对值的定义，算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂的运算法则，即可求解， （2）括号中两项通分，利用除法法则，约分得到最简结果，将代入，即可求解， 本题考查了实数的运算，分式的化简求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 当时，原式． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用 【分析】（1）根据题干的规律求解即可； （2）根据题干的规律求解即可； （3）将因式分解，展开化简求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律． 方程（组）与不等式（组） 6．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可. 【详解】解： ①×3＋②得， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ 7．（2023·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】根据不等式的性质，分别解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键． 8．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)划线见解析 (2)，过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答； （2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可． 【详解】（1）解：划线如图所示： （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键． 9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】都错误，见解析 【知识点】解分式方程 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 一次函数与反比例函数的综合 10．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．    (1)求m的值和直线的函数表达式． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入，得． 设直线的函数表达式为，把点，代入得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵， ∴的值随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 11．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．    (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出； （2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可． 【详解】（1）∵点的横坐标是2， ∴将代入 ∴， ∴将代入得，， ∴， ∵点的纵坐标是， ∴将代入得，， ∴， ∴将代入得，， ∴解得， ∴； （2）如图所示，    由题意可得，，， ∴设所在直线的表达式为， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴直线经过原点． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 12．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点． (1)求点A的坐标和反比例函数表达式． (2)若点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数值 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案； （2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：把的坐标代入， ， 解得， ∴． 又∵点是反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：∵点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3， ∴或， 当时，， 当时，， 由图像可知， 若点在该反比例函数图像上，且它到 y轴距离小于3，n的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图像交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法． 13．（2022·浙江金华·中考真题）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为． (1)求k的值及点D的坐标． (2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； 【知识点】坐标与图形、求反比例函数解析式 【分析】（1）由C点坐标可得k，再由D点纵坐标可得D点横坐标； （2）由C、D两点的横坐标即可求得P点横坐标取值范围； 【详解】（1）解：把C（2，2）代入，得，， ∴反比例函数函数为（x＞0）， ∵AB⊥x轴，BD=1， ∴D点纵坐标为1， 把代入，得， ∴点D坐标为（4，1）； （2）解：∵P点在点C（2，2）和点D（4，1）之间， ∴点P的横坐标：； 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，坐标的特征，数形结合是解题关键． 14．（2022·浙江杭州·中考真题）设函数，函数（，，b是常数，，）． (1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． (2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 【答案】(1)①，；② (2)1 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）①把点B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把点，点B(3，1)代入，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解； （2）根据点在函数的图象上，可得，再根据点的平移方式可得点D的坐标为，然后根据点D恰好落在函数的图象上，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点B(3，1)代入，得， ∴． ∵函数的图象过点， ∴， ∴点B(3，1)代入，得： ，解得， ∴． ②根据题意，画出函数图象，如图∶ 观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方， ∴． （2）解∶∵点在函数的图象上， ∴， ∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D， ∴点D的坐标为， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 二次函数综合 15．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，，    如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 16．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 17．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答； （2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答； （3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，图像过点和， ∴，解得， ∴， ∴． （2）解：∵函数图像过点和， ∴函数图像的对称轴为直线． ∵图像过点， ∴根据图像的对称性得． ∵， ∴． （3）解：∵图像过点和， ∴根据图像的对称性得． ∴，顶点坐标为． 将点和分别代人表达式可得 ①②得， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 18．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1)①；②当时， (2) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解； ②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解； （2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴顶点坐标为． ②∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值7． 又 ∴当时取得最小值，最小值； ∴当时，． （2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． (1)填空：____；____；_____． (2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． (3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3) 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出，根据二次函数的对称轴和经过点得到方程组，解方程即可求出、； （2）将抛物线化为顶点式，平移后得到平移后的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线求解； （3）先求出平移后的解析式，设抛物线对称轴与轴交于点，根据题意易得到外接圆的圆心必在边的中垂线上，设该中垂线交抛物线于点，，进而求出点，的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，得到这两点的横坐标，进而求出和的横坐标，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：点坐标为，直线经过点， ， ． 二次函数图象的对称轴是直线，是二次函数图象是的点， ，， 联立组成方程组为， 解得． 故答案为：；；． （2）解：由题意知：抛物线解析式为，即． 将的图象向右平移个单位后得到， 其顶点坐标为． ∵顶点恰好落在直线上， ， ． （3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为，顶点． 设抛物线对称轴与轴交于点． ， 为等腰直角三角形． 点在轴上， 则外接圆的圆心必在边的中垂线上． 设该中垂线交抛物线于点，． 由可知线段的中点坐标为， ，故可求得该中垂线解析式为． ∴解方程组 解得：． 即，两点的横坐标分别为． 过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， 则，两点的横坐标分别为． ． ． 从而点的横坐标为． 同理． ． 从而点的横坐标为． 的取值范围是． 【点晴】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，二次函数平移规律，二次函数与一次函数的交点，理解相关知识是解答关键． 20．（2023·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中， (1)若它的图象过点，则t的值为多少？ (2)当时，y的最小值为，求出t的值： (3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数的定义求参数、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值； （2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得； （3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）将代入中， 得， 解得，； （2）抛物线对称轴为． 若，当时，函数值最小， ， 解得． ， 若，当时，函数值最小， ， 解得（不合题意，舍去） 综上所述． （3）关于对称轴对称 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧 抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线， 此交点关于对称轴的对称点为 且 ，解得． 当A，B都在对称轴左边时， ， 解得， 当A，B分别在对称轴两侧时 到对称轴的距离大于A到对称轴的距离 ， 解得 综上所述或． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 21．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．    (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 【答案】(1)①；② (2)能，或或或． 【知识点】其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、由平行截线求相关线段的长或比值、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解； ②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解； （2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为． 【详解】（1）解：①∵， ∴顶点的横坐标为1． ∴当时，， ∴点的坐标是． 设抛物线的函数表达式为，把代入， 得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为， 即． ②如图1，过点作于点．    设直线为，把代入，得， 解得， ∴直线为． 同理，直线为． 由 解得 ∴． ∴． ∵， ∴． （2）设点的坐标为，则点的坐标为． ①如图，当时，存在． 记，则． ∵为的外角， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为6．    ②如图2-2，当时，存在． 记． ∵为的外角， ∴． ∴ ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为．      ③如图2-3，当时，存在．记．     ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． ④如图2-4，当时，存在．记． ∵， ∴．      ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 22．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点M的坐标是 (2)①1；②存在，或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解； ②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴，                                         ∴， ∴顶点M的坐标是． （2）①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                         ∴．                             ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），              如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．             ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 统计与概率 23．（2024·浙江·中考真题）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（    ） （A）科普讲座   （B）科幻电影   （C）AI应用   （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是（    ） （E）辅助学习   （F）虚拟体验   （G）智能生活   （H）其他    根据以上信息．解答下列问题： (1)本次调查中最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？ (2)学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数． 【答案】(1)32 (2)324 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，从图中获取相关联的信息是解本题的关键． （1）用本次调查中最喜爱“AI应用”的学生人数乘以更关注“辅助学习”的人数所占的百分比即可求解； （2）用1200乘以样本中该校最喜爱“科普讲座”的学生人数所占的百分比即可求解． 【详解】（1）（人） ∴本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有32人； （2）（人） ∴估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数有324人． 24．（2023·浙江衢州·中考真题）【数据的收集与整理】 根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为，死亡率为，人口自然增长率为，常住人口数为人（表示千分号）．（数据来源：衢州市统计局） 【数据分析】 (1)请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系； (2)已知本次调查的样本容量为11450，请推算的值； (3)将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如下统计图．根据统计图分析：    ①对图中信息作出评判（写出两条）； ②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议． 【答案】(1)人口自然增长率出生率死亡率 (2) (3)①我国近五年的人口自然增长率逐年下降；自2021年以来，衢州市得人口呈负增长（答案不唯一）； ②建议国家加大政策优惠，鼓励人们多生育（答案不唯一） 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、借助调查做决策、折线统计图 【分析】（1）根据题意，可得人口自然增长率等于出生率减死亡率； （2）根据样本容量总体抽样比例求出的值即可； （3）①根据统计图进行解答，合理即可； ②根据目前人口自然增长率的趋势，提出合理建议，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知，人口自然增长率出生率死亡率； （2）解：由题意，可得， 解得； （3）解：①我国近五年的人口自然增长率逐年下降；自2021年以来，衢州市得人口呈负增长； ②建议国家加大政策优惠，鼓励人们多生育． 【点睛】本题考查了总体，合体，样本，样本容量，折线统计图，用调查作决策，看懂折线图，并熟知上述概念之间的联系是解题的关键． 25．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球    B．乒乓球    C．足球    D．排球    E．羽毛球 调查结果       建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了多少名学生？ (2)估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数． (3)假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】(1)100 (2)360 (3)答案不唯一，见解析 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量、借助调查做决策 【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，求出抽查的学生数； （2）先求出喜爱篮球学生比例，再乘以总数即可； （3）从图中观察或计算得出，合理即可． 【详解】（1）被抽查学生数：， 答：本次调查共抽查了100名学生． （2）被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：， ∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：， ∴（人）． 答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360． （3）答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等． 【点睛】本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息的能力，并用所获取的信息反映实际问题． 26．（2023·浙江温州·中考真题）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示． 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） B 216 215 220 C 225 227.5 227.5    (1)阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数． (2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议． 【答案】(1)平均里程：200km；中位数：，众数： (2)见解析 【知识点】折线统计图、求加权平均数、利用平均数做决策、运用中位数做决策 【分析】（1）观察统计图，根据平均数、中位数和众数的计算方法求解即可； （2）根据各型号汽车的平均里程、中位数、众数和租金方面进行分析． 【详解】（1）解：由统计图可知： A型号汽车的平均里程：， A型号汽车的里程由小到大排序：最中间的两个数（第10、11个数据）是200、200，故中位数， 出现充满电后的里程最多的是205公里，共六次，故众数为． （2）选择B型号汽车．理由：型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；，型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过，其中型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车． 【点睛】本题考查了统计量的选择，平均数、中位数和众数，熟练掌握平均数、方差、中位数的定义和意义是解题的关键． 27．（2023·浙江金华·中考真题）为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题：    (1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图． (2)本校共有名学生，若每间教室最多可安排名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间． 【答案】(1)本次调查抽取的学生人数为50人，见解析 (2)6间 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、用一元一次不等式解决实际问题、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】（1）根据条形统计图已知数据和扇形统计图已知的对应数据，即可求出被调查的总人数，再利用总人数减去选择“折纸龙” “做香囊”与“包粽子”的人数，即可得到选择“采艾叶”的人数，补全条形统计图即可； （2）根据选择“折纸龙”人数的占比乘以1000，可求出学校选择“折纸龙”的总人数，设需要x间教室，根据题意列方程，取最小整数即可得到答案． 【详解】（1）解：由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得， ∴本次调查抽取的学生人数为50人． 其中选“采艾叶”的人数：． 补全条形统计图，如图：    （2）解：选“折纸龙”课程的比例． 选“折纸龙”课程的总人数为（人）， 设需要间教室， 可得， 解得取最小整数6． ∴估计至少需要6间教室． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图结合，用样本估计总体，用一元一次不等式解决实际问题，结合条形统计图和扇形统计图求出相关数据是解题的关键． 28．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：      (1)数据分析： ①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数； ②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数． (2)合理建议： 请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由． 【答案】(1)①3015辆，②68.3分 (2)选B款，理由见解析 【知识点】运用加权平均数做决策、求中位数、求条形统计图的相关数据、折线统计图 【分析】（1）①根据中位数的概念求解即可； ②根据加权平均数的计算方法求解即可； （2）根据加权平均数的意义求解即可． 【详解】（1）①由中位数的概念可得， B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为3015辆； ②分． ∴A款新能原汽车四项评分数据的平均数为分； （2）给出的权重时， （分）， （分）， （分）， 结合2023年3月的销售量， ∴可以选B款． 【点睛】此题考查了中位数和加权平均数，以及利用加权平均数做决策，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 全等与相似 29．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2)见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 30．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明． （2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：菱形， ， 又， ． 在和中， ， ． ． （2）解：菱形， ， ， ． 又， ． 由（1）知， ． ． ， 等边三角形． ． 【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质． 31．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，∵， ∴，， ∴， 解得， ∴．    【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 32．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出； （3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图1，作于点N，如图所示：    ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 如图2，作于点N，    ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 33．（2023·浙江绍兴·中考真题）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最大面积为 ．（不计三角尺的厚度） 如图，矩形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻折，点落在点处．已知，连结． 当时， ； 当为直角三角形时， ． 【答案】 或 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最大图形，过点作于点，于点，延长交CA于点，把穿过圆洞的四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形，利用锐角三角函数分别求出、、的长度，根据求出穿过圆洞的最大面积； 点与点重合，过点作，可得，利用相似三角形的性质把各边用含的代数式表示出来，再利用勾股定理列出关于的方程，解方程求出的值，再利用勾股定理求出的长度； 当为直角三角形时，分两种情况：一种情况是当时，另一种情况是当时，分别利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如下图所示，四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最大图形， 圆洞的最大直径为， ，，，， 过点作于点，于点，延长交CA于点， 则有， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 如下图所示，当时，点与点重合，过点作， ，点为的中点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：或(舍去)，            当时，，， ， ， 故答案为：；                            如下图所示，当时，  过点作，                                则有， ， ，， ， 过点作，则四边形为矩形，， ，，， 在中，， ， 解得：； 如下图所示，当时，，，， 点、、在一条线上，                                则，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 综上所述当或时为直角三角形．                                                                                                                                                                                                                                                                                                   【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形和全等三角形． 实际问题 34．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 35．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 【答案】(1) (2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇 (3)两地间的距离为600米 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可； （3）列出方程即可解决． 【详解】（1）∵， ∴所在直线的表达式为． （2）设所在直线的表达式为， ∵， ∴解得 ∴． 甲、乙机器人相遇时，即，解得， ∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． （3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离， 则乙机器人分钟后到地，地与地距离， 由，得． ∴． 答：两地间的距离为600米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键． 36．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分 (2)5分 (3)42.5 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键． （1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度； （2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），可得方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，档速度为米/分， 则档速度为米/分，档速度为米/分； （2）小丽第一段跑步时间为分， 小丽第二段跑步时间为分， 小丽第三段跑步时间为分， 则小丽两次休息时间的总和分； （3）由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， 此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分） 可得：， 解得：． 37．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．    (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 【答案】(1) (2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标． (3)该龙舟队完成训练所需时间为 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案； （2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案； ②把代入，求得，则可得出答案； （3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案． 【详解】（1）把代入 得， 解得， 启航阶段总路程关于时间的函数表达式为； （2）①设，把代入，得， 解得， ． 当时，． 当时，龙舟划行的总路程为． ②， 把代入， 得． ， 该龙舟队能达标． （3）加速期：由（1）可知， 把代入， 得． 函数表达式为， 把代入， 解得． ， ． 答：该龙舟队完成训练所需时间为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键． 38．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【知识点】实际问题与反比例函数、相似三角形的判定与性质综合 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 39．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、求一次函数自变量或函数值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 40．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 四边形的综合 41．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例求解； （2）证明，利用相似三角形的对应边成比例证明； （3）设，则，，在中，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：由题知，， 若，则． 四边形是正方形， ， 又， ， ， 即， ． （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （3）解：设， 则，． 在中，， 即， 解得． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 42．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与垂直，理由见解析 【知识点】证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由正方形的性质，得到，结合垂直于同一条直线的两条直线平行，可得，再根据平行线的性质解答即可； （2）连接交于点，由证明，再根据全等三角形对应角相等得到，继而证明四边形为矩形，最后根据矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在正方形中， ∴， ∴． （2）与垂直，理由如下． 连接交于点． ∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在正方形中，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判断与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 43．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值，最大值 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 44．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．    (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)8 (2)①；②或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、已知正弦值求边长 【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案； （2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可； ②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案． 【详解】（1）在中，， 在中，． （2）①如图1，作于点，由（1）得，，则， 作交延长线于点，则，    ∴． ∵ ∴． 由旋转知， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②由旋转得，， 又因为，所以． 情况一：当以为直角顶点时，如图2．    ∵， ∴落在线段延长线上． ∵， ∴， 由（1）知，， ∴． 情况二：当以为直角顶点时，如图3．    设与射线的交点为， 作于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得， ∴． 情况三：当以为直角顶点时， 点落在的延长线上，不符合题意． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键． 45．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答； （2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答； （3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答； ②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 四边形与关于所在直线成轴对称， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 设设，则， ， ， 四边形为矩形， ， 点为矩形的对称中心， ， ， 在中，， 可得方程， 解得（此时，故舍去0）， ；    （3）解：①证明：过点作于，连接， 点为矩形的对称中心， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ；    ②如图，连接， 由题意可得, 点为矩形的对称中心， ， 同理可得， 由（1）知， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由①可得， 解得， ， ， ．    【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 圆的综合 46．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、根据平行线判定与性质证明、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 47．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．    (1)求的长和关于的函数表达式． (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、求一次函数解析式、切线的性质定理 【分析】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可得出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得； （2）根据三边之比为，可分为三种情况．当时，当时，当时，分别列出比例式，进而即可求解． （3）连接，，过点作于点，根据，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接．    ∵切半圆于点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 如图2，， ∴．    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵，，三边之比为（如图2）， ∴可分为三种情况． i）当时， ，， 解得， ∴． ii）当时， ，， 解得， ∴． iii）当时， ，， 解得， ∴． （3）如图3，连接，，过点作于点，    则，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作出辅助线是解题的关键． 48．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．    (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由； ③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 【答案】(1)； (2)①见解析；②；③的长为或． 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立； ②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解； ③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】（1）解：连接，    ∵的直径垂直弦AB于点E，且，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：①连接，    ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵的直径垂直弦AB于点E， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴，    ∵的直径垂直弦AB于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ③当时，      在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，      在中，， 在中，， ∴， 同理， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 49．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出的长． （2）根据等弧所对圆周角相等推出，再根据角平分线的性质定理推出，利用直角三角形的性质即可求出，通过等量转化和余弦值可求出答案． （3）根据三角形相似的性质证明和，从而推出和，利用已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案 【详解】（1）解：如图1，连接，设的度数为．   ，的长为， ． ，即． ． 直线是的切线， ． ∴． （2）解：如图2，连接，过点作于点，   为直径， ． ． ， ． ，， ． ，， ． ． （3）解：，理由如下： 如图3，连接BQ，     ，， ，， ， ， ． ， ， ．① ，， ， ．② ， 得，． ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式． 50．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②； (3) 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案； （2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案． 解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴（负根舍去）； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（负根舍去）， 由（2）①知， ∴． 解法二： 如图，延长，分别交、于M、N，连接， ， ． 又， ， ． ， ， ． 又， ， ． 又， ，． ， ． ， ， ， ， 即， 得， 解得：，（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． B组 中考模拟 数与式 1．（2025·浙江温州·一模）计算：． 【答案】5 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据负整数指数幂，立方根定义进行求解即可． 【详解】解： ． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）先化简，再求值∶ ，其中 ． 【答案】， 【知识点】绝对值非负性、分式化简求值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了分式的化简求值，非负数的性质，利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再利用非负数的性质求出的值，最后代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 3．（2025·浙江金华·模拟预测）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 先化简，再求值： ，其中 ． 解：原式 ② ③ 当 时．原式 【答案】错误的：①；正确答案为 【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分，再计算并约分化到最简，然后代入求值. 【详解】错误的：①． 正确的解答∶： 原式 当时，原式． 4．（2025·浙江·一模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式 (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)．见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明． 【详解】（1）解：． （2）猜想：第个等式为． 证明如下： 5．（2025·浙江·一模）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想.如图①，借助四边形的面积说明了等式成立． (1)观察图②，③，找出可以推出的等式： 等式A：； 等式B：； 可知，图②对应等式_____；图③对应等式_____． (2)如图④，中，，，于点，是边上一点，作于点于点，过作的平行线交直线于点．分别记，，，的面积为．求的值． 【答案】(1)B，A (2) 【知识点】分式化简求值、完全平方公式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了乘法公式在几何图形中的应用，分式的化简，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）由题意可得，，，均为等腰直角三角形，设，则，用代数式分别表示，再代入化简即可． 【详解】（1）解：图②中大正方形的面积为，也可以表示为两个正方形和两个长方形的面积和，则为， ∴， ∴图②对应等式B； 图③中实线部分的两个长方形的面积和可以表示为大正方形面积减去小正方形面积即为，当把右下角的小长方形移至大长方形左边，则两个长方形的面积和可以表示为， ∴得到， ∴图③对应等式A； 故答案为：B，A； （2）解：由题意可得，，，，均为等腰直角三角形， 设，如图： 则， ∴， ∴． 方程（组）与不等式（组） 6．（2025·浙江·模拟预测）（1）解方程组 （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）无解 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握各自求解基本步骤是解题的关键． （1）根据加减消元法进行求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ①②，得， 解得， 把代入①，得， 原方程的解为． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组无解． 7．（2025·浙江衢州·一模）解方程： 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 解得：； 当时，， ∴是原方程的解． 8．（2025·浙江杭州·二模）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 【答案】同意他的结论，理由见解析 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，即可证明结论． 【详解】解：同意他的结论，理由如下： 由①得，③ 将代入②， ∵， ∴可解得 将代入③得， ∴ 9．（2025·浙江·模拟预测）下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．依次去分母。去括号、移项合并、系数化1求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 10．（2025·浙江宁波·一模）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点． (1)试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____． (2)当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由． (3)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值． 【答案】(1)，， (2)①不成立，②成立，理由见解析 (3)或 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、运用完全平方公式进行运算、不等式的性质 【分析】（1）联立与，得，整理得，由题意得，于是可得，即，将代入方程，得，解方程即可求出的值，进而可求出相对应的值，于是可得切点的坐标； （2）由（1）得，则，，要使成立，则，整理得，由可得，进而可得，据此对、的两组值进行验证，即可得出答案； （3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得，，再结合，可得，由（1）得，将代入并整理，得，由可得，进而可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：联立与，得： ， 整理，得：， 由题意得：， 即： ， ， ， 将代入方程，得： ， 整理，得：， ， ， ，即：， 将代入，得： ， 切点的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：①不成立，②成立，理由如下： 由（1）得：， ， ， 要使成立，则： ， 整理，得：， ， ， ， ， ①当，时， ，不满足， 不成立； ②当，时， ，满足， 成立； （3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点， ，， ， ， 即：， 由（1）得：， 将代入，得：， 整理，得：， ， ， ， 解得：或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法），不等式的性质，完全平方公式等知识点，根据相切函数的定义推出是解题的关键． 一次函数与反比例函数的综合 11．（2025·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， (1)求和的值． (2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【答案】(1)， (2)向下平移的距离为 【知识点】由平移方式确定点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，点的平移，掌握待定系数法求解析式，平移规律是解题的关键． （1）把代入一次函数，反比例函数解析式即可求解； （2）根据题意得到，根据点的平移得到平移后，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， 解得，，则一次函数解析式为， ∴， 解得，，则反比例函数解析式为； （2）解：点的横坐标为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， 设点向下平移了个单位， ∴， ∴， 解得，， ∴向下平移的距离为． 12．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的图像与性质． （1）先将点，代入，求出，，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设一次函数的图像与轴交于点，求出，得到，再用分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：将点，代入得：，， ，， ，， 将代入反比例函数中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：连接，如图所示： 设一次函数的图像与轴交于点， 在中，令，则， ， ， 由（1）知，，， ． 13．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求得，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到的面积为6，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）由题意可得：，如图：过C作且，，再证明可得，即，即；再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵点C 的坐标为， ∴设直线的函数表达式为， 则，解得：， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 如图：设D的坐标为，则， 则，解得：或4． ∴点D的坐标为或． （3）解：∵，， ∴，， 如图：过C作且， ∴是等腰三角形，即, 过G作轴，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P． 综上，点P的坐标为或． 14．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点与的延长线相交于点． (1)若的面积为6． ①求反比例函数的表达式． ②当时，求自变量的取值范围． (2)已知，求的长． 【答案】(1)①；② (2)12 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数的应用、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． （1）①设点的坐标为，根据三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式即可得； ②先求出当时，的值，再根据结合函数图象即可得； （2）先得出，再求出，，则，，然后证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：①由题意，设点的坐标为， ∵轴于点， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ②当时，， ∵反比例函数中的，， ∴函数的图象位于第一象限，且在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． （2）解：∵反比例函数的图象位于第一象限， ∴， ∵点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，， ∴，， ∴，， 又∵轴于点，轴于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 二次函数综合 15．（2025·浙江杭州·二模）已知二次函数（k为常数）． (1)用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围； (3)当时，该函数有最小值，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、公式法解一元二次方程、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题看出来二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． （1）配方得到顶点式，可确定顶点坐标； （2）根据二次函数的性质即可得到的取值； （3）分三种情况讨论，关键题意得到关于的方程，解方程即可求得． 【详解】（1）解：， 该二次函数的顶点坐标是． （2）该二次函数图象的对称轴是直线，开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ． （3）①若，当时，． ②若，当时，， 解得（舍去）． ③若，当时，， 解得（舍去）． 综合以上得：当时，该函数有最小值，此时的值是或． 16．（2025·浙江温州·一模）已知抛物线（a，b为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值． (3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点坐标公式计算解题即可； （3）求出和时x的值，然后根据二次函数的增减性结合图象解题即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得解得 ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴解得 （3）令，则，解得． 令，则，解得． ∵点C在抛物线上，且在第一象限， ∴由图象可得，的取值范围是或． 17．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（为实数）的顶点为． (1)当时，求抛物线的顶点坐标与对称轴． (2)求证：无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点． (3)若以为一个顶点作抛物线的内接等边三角形（点，均在抛物线上），直接写出的面积． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 (2)证明见解析 (3) 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、根据判别式判断一元二次方程根的情况、等边三角形的性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、等边三角形的性质、一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将可得抛物线的解析式，化成顶点式，由此即可得； （2）当时，，利用一元二次方程根的判别式即可得证； （3）画出图形（见解析），先根据二次函数的对称性和等边三角形的性质可得点关于这个抛物线的对称轴对称，再求出，设点的横坐标为，则，，，从而可得的长，然后利用等边三角形的性质和勾股定理也可得的长，建立方程，解方程求出的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）解：当时， 抛物线为， 则抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （2）证明：当时，， 这个方程根的判别式 ， ∴无论取任何实数，这个方程都有两个不相等的实数根， ∴无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点． （3）解：由题意，画出图形如下： 抛物线化成顶点式为， ∴顶点的坐标为，其对称轴为直线， ∵是等边三角形， ∴， ∴点关于这个抛物线的对称轴对称， 如图，不妨设点在对称轴左侧的抛物线上，点在对称轴右侧的抛物线上，与对称轴的交点为点，则垂直平分， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， ∴，， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵在等边中，，，， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴的面积为． 18．（2025·浙江金华·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 过点 (1)请用含 的代数式表示 ． (2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． (3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图像的性质， （1）将两个点的坐标代入关系式，整理可得答案； （2）先求出对称前该抛物线经过点，再设抛物线的关系式为，然后将点代入可得答案； （3）由（1）可得，进而得出 ，接下来求出抛物线的对称轴，再分两种情况：当 时，当 时，随的增大而增大，再将时代入关系式，可得答案；当时，当时，随的增大而减小，将代入关系式，可得答案. 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得， ∴； （2）解：该抛物线关于y轴对称后的图象经过，则对称前该抛物线经过点． 设 ， 将代入，得 ， 解得, 该抛物线的函数表达式为； （3）解：由（1），得， ∴． 由，得，记作 ， 抛物线的对称轴为直线 . 当 时，如图 1，当 时，随的增大而增大． 当时，，则 成立， 即 ， 解得， 所以． 当时，如图2，当时，随的增大而减小， 当时，，则成立， 即 恒成立． 所以或时，始终成立．          19．（2025·浙江·一模）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的取值范围是 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质. （1）先求出的图象顶点坐标，再代入即可求出的值； （2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值. （3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：∵， 的图象顶点坐标为， 的图象经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． 20．（2025·浙江衢州·一模）已知二次函数， (1)若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②当时，函数的最小值为，求的最大值． (2)若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 【答案】(1)①② (2)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据解析式得到当时，有最小值为，根据当时，函数的最小值为，得到，进行求解即可； （2）根据时，取值范围是，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，求出的取值的范围即可． 【详解】（1）解：①由题意，得：， 解得：， ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为：； ∵时，，函数的最小值为， ∴， 解得：， ∴的最大值为； （2）解：∵当时，取值范围是， ∴当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大， ∵二次函数图象经过，两点，且， ∴， 解得：或； 故或． 21．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数． (1)当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 【答案】(1)①；② (2)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①利用待定系数法求解即可； ②首先表示出，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）首先将二次函数配方成，得到对称轴为直线，判断出抛物线开口向上，然后分3种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）①解：∵二次函的图象过点， ∴，   ∴， ∴二次函数的表达式为； ②解：∵和都是二次函数图象上的点， ，， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴的最小值是； （2）∵ ∴对称轴为直线 ∵二次项系数为 ∴抛物线开口向上 ∵当时，二次函数有最小值， ①当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得，不符合题意，舍去； ②当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）； ③当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得； 综上所述，实数k的值为或． 22．（2025·浙江衢州·一模）对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 【答案】(1)①，见解析；② (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值． （1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是； （2）由，得到，因为，所以，解得． 【详解】（1）解：①当时，，不合题意，舍去； 当时，， ∴，符合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，， ∴，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点， ∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为， ∵当时，该函数的最小值是， ∴； （2）解：当时代入：， 当时代入：， ∴， ∴， ∵， ∴即． 23．（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”． 例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若函数的“纵横极差”为4，求h的值． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，一次函数的图像和性质以及二次函数的图像和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键． （1）根据“纵横差”的定义求解即可． （2）根据“纵横极差”的定义求解即可． （3）根据“纵横极差”的定义得出的最大值为4．根据对h分三种情况，利用二次函数的图像和性质即可求解． 【详解】（1）解：点的“纵横差”为， （2）解：因为， 所以，， 因为， 所以时，的最大值是， 所以，函数的“纵横极差”为． （3）解：因为函数的“纵横极差”为4， 所以，当时，的最大值为4． ①若，则当时，有最大值为4， 所以，，解得． ②若，则当时，有最大值为4， 所以，，解得或（舍去）． ③若，则当时，有最大值为4， 所以，，解得（舍去）． 综上所述，或 统计与概率 24．（2025·浙江宁波·一模）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的个小球，它们分别标有数字、、3．从袋中任意摸出一小球，然后放回，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球． (1)请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果． (2)将第一次摸出的数字作为点的横坐标x，第二次摸出的数字作为点的纵坐标y，求点落在双曲线上的概率． 【答案】(1)画树状图见解析， (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、求反比例函数解析式 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，反比例函数的性质，列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）画出树状图，即可求解， （2）根据数状图，所有可能出现的结果有9种，符合条件的有2种，再根据概率公式即可求解， 【详解】（1）解：画树状图如下： （2）解：由（1）得：所有可能出现的结果为 ； 其中落在的有， ∴点落在双曲线上的概率为. 25．（2025·浙江杭州·一模）某校为了解学生的数学素养，随机抽取100名学生进行模拟测试（每位学员答5道数学题，其中答对4道及以上为优秀），经过两周训练，对这些学生进行第二次模拟测试，将这两次模拟成绩进行整理、分析，并制作成如下统计表． (1)在扇形统计图中，“答对4道”所在扇形的圆心角为________度． (2)若该校有1200名学生，估计第一次模拟测试达到“优秀”的学生人数． (3)你认为学生的两周训练是否有效？请用相关统计量说明理由． 【答案】(1) (2)人 (3)有效，理由见解析 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查的从条形图与扇形图中获取信息，理解题意是关键； （1）由乘以“答对4道”的占比即可得到答案； （2）由乘以第一次测试答对4道及以上的占比即可得到答案； （3）由答对3道及以上的百分率的提升可得训练有效． 【详解】（1）解：在扇形统计图中，“答对4道”所在扇形的圆心角为： ； （2）解：该校有1200名学生，第一次模拟测试达到“优秀”的学生人数有： （人）； （3）解：学生的两周训练有效，理由如下： ∵第一次训练答对3道及以上占， 第二次训练答对3道及以上占． 26．（2025·浙江·一模）某初中要调查学校学生（学生总数2000人）双休日的学习状况，采用下列调查方式： ①从七年级选取200名学生； ②某个时间段去操场选取200名学生； ③选取不同年级的200名女学生； ④按照一定比例在不同年级里随机选取200名学生． (1)上述调查方式中合理的是_____．（填写序号） (2)调查小组将得到的数据制成频数直方图（如图1）和扇形统计图（如图2），可知，在这个调查中，200名学生双休日在家学习的有_____人． (3)请估计该学校2000名学生双休日学习时间不少于4小时的人数． 【答案】(1)④ (2)120人 (3) 人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、判断全面调查与抽样调查 【分析】本题主要考查了普查和抽样调查的特点，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，会根据图象获得相关信息． （1）根据题意可得本次调查合理的是抽样调查，即可判断得解． （2）用样本容量乘以在家学习的人所占的百分比即可求出在家学习的人数． （3）先算出样本中学习时间不少于4小时的频率，再用全校总人数乘以双休日学习时间不少于4小时的频率即可． 【详解】（1）解：根据题意可得上述调查方式中合理的有：④按照一定比例在三个不同年级里随机选取200名学生．其余均不具有代表性， 故答案为：④； （2）解：在这个样本中，200名学生双休日在图书馆等场所学习的人数为人， 故答案为：120； （3）解：样本中学习时间不少于4小时的频数：， 频率：， 估计该校双休日学习时间不少于4小时的人数为人． 27．（2025·浙江·模拟预测）某校为宣传中华民族的悠久历史和灿烂文化，激发学生传承非遗的兴趣，从全校1800名学生中随机抽取部分学生进行文化遗产知识测试，将测试的成绩（满分100分）按A、B、C、D、E分为五组，并将这五组分为优秀、良好、及格和不及格四挡，如图是不完整的统计图表． 学生文化遗产知识测试成绩统计表 组别 成绩分组（单位：分） 频数 频率 A 8 0.1 B 0.25 C a D 0.3 E 0.2 据以上信息，解答下列问题． (1)填空：这次被调查的学生共有 人， ． (2)若扇形统计图中良好这一档的圆心角度数为，请估计该校1800名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】(1)80，12 (2)360人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、频数分布表 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图，求圆心角，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用组别A的频数除以频率，进行计算，得这次被调查的学生共有人，再运用80乘上组别C的频数，进行计算，即可作答． （2）根据良好的圆心角为，求出良好的频率，再分析题干，得属于良好，属于优秀，运用样本估计总体列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：（人）， 则； 故答案为：80，12； （2）解：∵扇形统计图中良好这一档的圆心角度数为， ∴良好的频率为， ∴属于良好，属于优秀， ∴（人）， 故1800名学生中成绩为优秀的人数是360人． 28．（2025·浙江·模拟预测）某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”“一般”“较强”“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了______名学生．在扇形统计图中，“淡薄”所在的扇形对应的圆心角的度数是______，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是______； (2)请将条形统计图补充完整； (3)该校有名学生，现要对安全意识为“淡薄”“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有多少名？ 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)估计全校需要强化安全教育的学生约有名 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体． （1）先求出被调查的总人数，总人数乘以“较强”对应的百分比求出其人数，继而用乘以“淡薄”所的人数所占比例，用“很强”的人数除以总人数可求得其对应的百分比； （2）根据以上所求结果可补全条形图； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）解：调查的总人数是：人， “较强”的人数为人， “淡薄”所在的扇形对应的圆心角的度数是， 安全意识为“很强”所在扇形的百分比为． 故答案为：、、； （2）解：补全条形图如下： （3）解：估计全校需要强化安全教育的学生约有（名）． 29．（2025·浙江·模拟预测）在2024年巴黎奥运会上，我国体育健儿顽强拼搏、奋勇争先、不负使命，勇夺40枚金牌．为了致敬奥运健儿，弘扬体育精神，某校举办了一分钟跳绳比赛．学校随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了统计表和统计图（如图）． 一分钟跳绳次数的频数表 等级 次数 频数 不合格 4 合格 10 良好 优秀 12 一分钟跳绳次数的频数直方图 请根据上述信息，解答下列问题： (1)求的值，并把一分钟跳绳次数的频数直方图补充完整． (2)若该校有800名学生，估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为 (3)在本次比赛结果为“优秀”等级的学生中，有4位同学一分钟跳绳的次数达190次以上，其中男生和女生各占一半，现准备从这四位同学中选2位参加比赛．请用列表或画树状图的方法，求选出的2位同学恰好性别不同的概率． 【答案】(1)14，作图见解析 (2)720人 (3) 【知识点】频数分布直方图、列表法或树状图法求概率、由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表 【分析】本题考查频数分布表和频数直方图、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率，理解题意，找准有效信息是解答的关系． （1）用总人数减去其他等级人数即可求解a值，然后补充统计图即可； （2）用全校总人数乘以样本中一分钟跳绳次数达到合格所占的比例求解即可； （3）列表求得所有等可能的结果，找出满足条件的可能结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 补充图如下： （2）解：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格的人数约（人）． （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中选出的2位同学恰好性别不同的结果有84种， ∴选出的2位同学恰好性别相同的概率为． 全等与相似 30．（2025·浙江温州·一模）在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】此题考查了解直角三角形，求余弦值，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先解直角三角形求出，然后勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可； （2）首先解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴． ∵是边上的中线， ∴，． 在中，， ∴； （2）∵是的高线， ∴在中，． ∴． 31．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． (1)求证：． (2)当时，求与的度数和． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）证明为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 32．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】本题考查翻折的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后根据翻折得到，，然后利用三角形的外角和角的和差解题即可； （2）先证明两个对应角相等得到，即可得到，然后代入计算解题． 【详解】（1）证明：由作图可得， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴． 33．（2025·浙江杭州·二模）如图，为等边三角形，分别延长，到点使，连接，连接并延长交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明； （1）根据和为等边三角形，证明即可； （2）作交延长线于点H，证明，利用比例关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：作交延长线于点H， ∵，由（1）可知，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ． 34．（2025·浙江·模拟预测）【公式探索】 （1）计算______；________；__________ 【公式建构】 （2）根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明． 【迁移应用】 （3）如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径． 【答案】（1），，；（2），证明见解析；（3） 【知识点】数字类规律探索、求特殊三角形外接圆的半径、运用完全平方公式进行运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了数字类规律探索、完全平方公式、勾股定理、直角三角形的外接圆等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）先计算乘方，再计算加法即可得； （2）根据（1）中的三个等式可得等号左边的第二项比第一项大1，第三项等于第一项与第二项的乘积，等号右边比等号左边的第三项大1，由此即可得；再利用完全平方公式即可得证； （3）利用勾股定理可得计算，的式子，再利用（2）中的规律即可得的值，从而可得的值，然后根据直角三角形的外接圆的半径等于其斜边的一半即可得． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：，，． （2），即， ，即， ，即， 归纳类推得：（为正整数），证明如下： ，得证． （3）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴外接圆的半径为． 35．（2025·浙江宁波·一模）在中，点分别在边上，线段相交于点． (1)若是正三角形，，求的值． (2)设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、求角的正弦值、与三角形的高有关的计算问题、等边三角形的性质 【分析】（1）证明得到，那么，即可求解； （2）连接，设，利用共高三角形面积比化为底之比得到，即，则，而，即可证明． 【详解】（1）解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了求一个角的正弦值，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积问题，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 实际问题 36．（2025·浙江温州·一模）周末，小瓯骑自行车从家里向雁荡山（离家路程米）出发．分钟后，她开始休息，休息时发现学生证放家里忘带，于是打电话联系爸爸．接到电话后爸爸立即开摩托车送过去，拿到学生证后小瓯以原速继续骑行，爸爸则不着急慢慢返回．两人离家的路程（米）随时间（分钟）变化的图象如图所示．已知爸爸到达小瓯休息地前，他离家的路程关于的函数表达式为． (1)求与的值． (2)爸爸到家后马上打电话给小瓯，得知她还没到达景区．问：小瓯此时离景区还有多远？ 【答案】(1)，； (2)小瓯此时离景区的路程为米． 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，求一次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象可知把代入，求出的值，然后把代入即可求出的值； （）设返回时爸爸离家的路程与的函数表达式为，把和代入，求出，令，解得，再求出小瓯的骑行速度为米分，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴； （2）解：设返回时爸爸离家的路程与的函数表达式为， 把和代入， 得，解得， ∴， 令，解得， ∵小瓯的骑行速度为（米分）， ∴小瓯此时离景区的路程为（米）． 37．（2025·浙江·一模）如图是某实验室研究某微生物的活跃度指数随着温度变化的图象，发现当温度时，活跃度指数保持不变．当时，对应的图象由曲线段（为常数，）和线段组成． (1)求和的值． (2)当微生物的活跃度指数满足时，符合实验需求，求出此时温度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数的综合运用，掌握待定系数法，由函数值求自变量的值的计算是关键． （1）把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，运用待定系数法得到，根据函数值求自变量的值即可． 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得． （2）解：由（1）可知，， 已知，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 在中，令， 解得； 在中，令，则， 解得， 由图象得． 38．（2025·浙江宁波·模拟预测）某茶叶经销商以每千克30元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且时，时，．求： (1)y与x之间的表达式； (2)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ (3)若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围． 【答案】(1) (2)当时，最大利润为元 (3) 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． （1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每千克的利润销售量”列出函数解析式，由“销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的”得出的范围，结合二次函数与的性质即可得函数的最值； （3）根据“每天获得利润不低于元”列出不等式，解不等式后结合可得答案． 【详解】（1）解：设表达式为，将 和 代入 得： ，解得， ； （2）解：∵这批白茶每千克获利不得高于元， 根据题意得： ， 解得， 在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当时，最大利润为元； （3）解：当时，， 解得或， 由得， ∴销售单价的范围为． 39．（2025·浙江舟山·一模）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为，游轮行驶的时间记为，两艘轮船距离杭州的路程关于的函数图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． (1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长； (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．请解答下列问题： ①填空：图2中的函数表达式为______， 的函数表达式为______； ②货轮出发后几小时追上游轮？ ③从货轮出发到货轮到达终点，直接写出x为何值时，游轮与货轮相距？ 【答案】(1)游轮从杭州出发前往衢州共用了， (2)①，；②；③或或 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】根据图中信息，停靠时间等于23小时，减去实际航行用时间，解答即可； ①求出B、C、E、D的坐标后，利用待定系数法即可求解； ②联立的函数表达式和的函数表达式即可求解； ③分三种情形分别构建方程求解即可． 本题考查了一次函数的应用，解题关键是读懂图象中蕴含的信息，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键． 【详解】（1）解：由题意可知C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了， ，即游轮在“七里扬帆”停靠的时长为； （2）解：①游轮的速度为，，， 故，，从而， 货轮比游轮早36分钟到达衢州， ， 故 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：，； ②令，解得，， 即货轮出发后追上游轮； ③第一种情况：当游轮离开杭州时，游轮与货轮相距， 此时，； 第二种情况：当相遇前距离货轮，即， 解得； 第三种情况：当相遇后距离货轮，即， 解得； 综上，x为或或时，游轮与货轮相距． 40．（2025·浙江宁波·模拟预测） 冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品，它色泽光亮自然，水分足，果肉脆，口味甜， 深受市民喜爱．上市时， 王经理按市场价格 6 元/千克收购了 2000 千克苹果放入冷库中． 据预测，苹果的市场价格每天每千克将上涨 0.2 元，但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用 160 元，而且苹果在冷库中最多可以保存 50 天，同时，每天有 10 千克的苹果损坏不能出售． (1)若存放 天后，将这批苹果一次性出售，设这批苹果的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数解析式； (2)王经理想获得 3850 元的利润，需将这批苹果存放多少天后出售？(利润销售总金额收购成本各种费用) (3)王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)需将这批苹果存放35天后出售 (3)王经理将这批苹果存放天后出售可获得最大利润，最大利润是4050元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法． （1）根据苹果的单价乘以苹果的数量，可得函数关系式； （2）根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用，可得方程，根据解方程，可得答案； （3）根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：由题意y与x之间的函数关系式为：（，且x为整数）； （2）解：由题意得： ， 解方程得：，（不合题意，舍去） 王经理想获得 3850 元的利润，需将这批苹果存放35天后出售； （3）解：设利润为w，由题意得 ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴时，， ，符合题意， ∴王经理将这批苹果存放天后出售可获得最大利润，最大利润是4050元． 41．（2025·浙江·模拟预测）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐．为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11:30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下： 经过的时间 /分钟 0 1 2 3 4 5 … 10 累计人数 （人） 0 95 180 255 320 375 … 500 当时与之间的函数关系式，（） 已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐． (1)根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式． (2)排队人数最多时有多少人？ (3)若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求，的值． 【答案】(1) (2)排队人数最多时有320人 (3)， 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法求解析式，二次函数，一次函数求最值的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）设排队人数为，则当时，，则当时，有最大值320（人）；当时，，则当时，有最大值300（人）；由此即可求解； （3）若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐， 则：，由，都是自然数，得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，随着时间的变化，人数的增加较多， ∴设与之间的函数关系式为， 当时，，当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴当时，与之间的函数关系式为； （2）解：①设排队人数为，则： 当时，， ， 当时，有最大值320（人）； 当时，， 当时，有最大值300（人）； ， 排队人数最多时有320人． （3）解：若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐， 则：， ∴， ，都是自然数， ，． 四边形的综合 42．（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，，作，点，恰好在直线上． (1)求证：． (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质综合、公式法解一元二次方程、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）根据“”证明即可证得结论； （2）设，根据含30度角的直角三角形的性质得到，利用三角形的外角性质和相似三角形的性质得到，则，进而整理得到，然后解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，又， ∴，整理为， 解得（负值已舍去）， ∴ 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、解一元二次方程、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识是解答的关键． 43．（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证： ； (2)连接，． ①求菱形的周长； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①16；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，根据菱形的性质可得，，结合可得，根据点E是的中点可得点M为的中点，据此证明； （2）①根据中点的概念可得，根据菱形以及平行线的性质可得，，证明，得到，结合以及的值可得，据此不难求出菱形的周长； ②连接，记与交点为点G，易得，，根据等腰三角形的性质可得，结合外角的性质可得，已知，则，则，易得，，，则为直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 点是的中点， ∴，， 点是的中点， ， ； （2）解：由（1）得，点是的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， ， 菱形的周长为； 如图，连接，记与交点为点， ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ∴， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得是解答的关键． 44．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连结，以为边作矩形（点在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点在的中点时，点在同一直线上，求的长； (2)如图2，当时，求证：线段被平分． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）由勾股定理求出，求出，则可得出答案； （2）过点作于点，与交于点，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：过点作于点，与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即线段被平分． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 45．（2025·浙江衢州·一模）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点． (1)如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：； (2)若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点， ①如图（2），若，求的长； ②如图（3），连接，当，且时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①的长为2；②． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、二次根式的混合运算、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）根据矩形的性质求得，利用三角形中位线的性质求得，推出，利用相似三角形的性质即可证明； （2）①连接交于点，连接，利用三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可； ②设，则，连接，，作于点，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接交于点， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，则， ∴， ∴， ∴； （2）解：①连接交于点，连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即的长为2； ②设，则，连接，，作于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 46．（2025·浙江杭州·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点， ①求证：； ②若时，则____． （2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）的长为或或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）①根据矩形的性质得出，，进而证明，结合已知条件即可证明； ②由①可得，，证明，得出，根据，即可求解； （2）根据菱形的性质得出，根据已知条件得出，，可证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解； ②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过 点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解； ③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在；当点在边上时，过点作交的延长线于点，再由勾股定理求的长即可． 【详解】解：（1）①四边形是矩形，则， °， ， ， ， ， ； ②由①可得， ． ， ， ， （2）在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点， 平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt△DEH 中，∠HDE＝∠A＝60°， 则，， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ，， 解得：或， 即或， ②当点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点，过点作，则， 四边形是平行四边形， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， 在中，， ∴，， ， ， ， ，， ，， ， 即 ， ， 即 ， 解得： ，（舍去）， 即 ； ③当点在边上时，如图所示， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ， 点不可能在边上， ④当点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为或或 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 圆的综合 47．（2025·浙江·一模）如图，在中，已知弦相交于点，连接． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、求弧长、圆周角定理 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算得到答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）解：连接，， ，， ， ， ， ∵的半径为， 的长为． 48．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，已知内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若直线与直线交于点，且，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)的度数为或． 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、线段垂直平分线的性质、利用垂径定理求值 【分析】（）连接，，设与交于点，由，，得，，垂直平分，所以，，设，然后由外角性质和角度和差即可求解； （）连接，由勾股定理得，，然后证明，则，从而求出，再由勾股定理得，再通过垂径定理得，再通过圆内接四边形和平角定义证明，则，然后代入求值即可； （）分当在线段上时和当在延长线上时两种情况分析即可 【详解】（1）解：连接，，设与交于点， ∵，， ∴，，垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当在线段上时，连接， 由上可得：， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，为半径， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 如图，当在延长线上时， 由上可得：， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，为半径， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 49．（2025·浙江·一模）如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． (1)若，请直接写出，的度数． (2)求证：是的切线． (3)若平分，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理解题即可； （2）设，根据（1）的推理过程得到，然后根据角平分线得到，然后求出，即可得到结论； （3）先根据角平分线的定义和三角形的外角得到，即可得到，然后证明，根据对应边成比例得到长，然后根据切线得到，然后证明，求出的值，再在Rt中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 连接，则， 又∵， ∴； （2）证明：设， ∵平分， ∴， 连接，则， 又∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）解：∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得， 在Rt中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 50．（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结． (1)若，B为的中点，求的度数． (2)连结，当时． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、圆周角定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知圆内接四边形求角度 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系和圆内接四边形的性质进行解答即可； （2）①证明，，即可证明结论； ②过点B作交圆于点P，连结，证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， ∵B为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）①如图， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ②如图2，过点B作交圆于点P，连结， 则，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$